TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG của dầm, KHUNG có độ CỨNG THAY đổi

LVTS20 TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA DẦM, KHUNG CÓ ĐỘ CỨNG THAY ĐỔI Đăng ngày 04072011 04:13:00 PM 438 Lượt xem 514 lượt tải Giá : 0 VND TÍNH TOÁN DAO ĐỘNG CỦA DẦM, KHUNG CÓ ĐỘ CỨNG THAY ĐỔI Hãng sản xuất : Unknown

-vũ thị hương lankhoá:2008-2011; LỚP: ch2008X1

tính toán dao động của dầm, khung có độ cứng thay

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Kiến trúc HàNội, các thầy cô trong khoa Sau đại học, cùng với các thầy cô giáo các bộmôn đã tạo mọi điều kiện để chúng tôi có thể hoàn thành khoá học 2008-2011!

Đặc biệt tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy giáo hướng dẫnluận văn tốt nghiệp của tôi là thầy: PGS.TS Đặng Quốc Lương Tôi xin cảm ơnthầy đã nhiệt tình giúp đỡ, tạo điều kiện, dành nhiều thời gian cũng như đầu tưtài liệu để hướng dẫn tôi hoàn thành được luận văn tốt nghiệp của mình!

Tôi xin cảm ơn công ty CP Tư vấn Đầu tư Xây dựng và Thương MạiViệt Bắc cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡtôi trong thời gian học tập và làm luận văn tốt nghiệp của mình

Luận văn của tôi còn chưa thật hoàn chỉnh, nhiều chỗ trình bày cònthiếu sót Nhưng tôi xin hứa sẽ đầu tư nghiên cứu thêm những vấn đề cònthiếu sót đó để hoàn thiện thêm kiến thức của mình trong quá trình làm việcsau này!

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đã thực hiện đầy đủ các yêu cầu của một luận văn tốtnghiệp thạc sỹ chuyên ngành xây dựng dân dụng và công nghiệp Tôi cam

đoan đã thực hiện đúng quy cách luận văn, và nội dung đề tài phù hợp vớichuyên ngành Đề tài luận văn của tôi cũng không bị trùng lặp với các đề tàiluận văn tốt nghiệp trước đây Nội dung của luận văn đã được trích dẫn đầy đủcác tài liệu tham khảo

Mục lục Trang Mục lục

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Phần 1: Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4 ý nghĩa thực tiễn và khoa học của đề tài

Phần 2: nội dung của luận văn

Chương 1: Tổng quan về DĐ của dầm, khung có

2.2.3 Bài toán dầm siêu tĩnh 412.2.4 Dao động của dầm có độ cứng thay đổi 452.2.5 Tính toán dao động cho dầm, khung, và các kết cấu công

của khung có độ cứng thay đổi

64

Chương 3: áp dụng tính dao động của dầm,

khung có độ cứng thay đổi.

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

M – Mô men uốn

Me– Mô men uốn của hệ tương đương

Q – Lực cắt hoặc tải tập trung

Phần 1: Mở đầu

Việt Nam là một đất nước đang phát triển, đời sống kinh tế xã hội đangngày càng được cải thiện và nâng cao Các ngành công nghiệp trong nướccũng đang từng bước phát triển mạnh mẽ Ngành xây dựng trong nước cũng

đang có những bước phát triển đáng kể Các công trình xây dựng và giaothông ngày càng được thiết kế với kiến trúc đa dạng và hiện đại, đòi hỏi phầnkết cấu phải theo kịp để đáp ứng yêu cầu kiến trúc và chất lượng công trình.Trước kia, các kết cấu có tiết diện thay đổi thường được đơn giản hóa, tínhtoán như các kết cấu có tiết diện không đổi tương đương Nhưng ngày nay,yêu cầu cần phải phát triển và hoàn thiện công nghệ tính toán các công trìnhxây dựng nói chung và các công trình kỹ thuật đặc biệt nói riêng để nâng cao

độ chính xác trong quá trình thiết kế kết cấu Việc tính toán các kết cấu phải

có sự chính xác cao và thuận tiện cho việc sử dụng máy vi tính Mặc dù vấn đềtính toán kết cấu là rất quan trọng và đã được nhiều nhà khoa học quan tâm,

và đã có nhiều công trình nghiên cứu, song vẫn còn nhiều vấn đề về phươngpháp tính toán các kết cấu vẫn chưa được giải quyết triệt để Cũng xuất phát từnhu cầu giải quyết những vấn đề đó tôi đã chọn đề tài của mình là:

“Tính toán dao dộng của dầm, khung có độ cứng thay đổi.”

Mục đích của luận văn là:

Tìm hiểu một số phương pháp tính toán dao động của dầm, khung có độcứng thay đổi

Giải các bài toán về dao động của dầm,khung có độ cứng thay đổi

So sánh các kết quả nhận được với lời giải của các phương pháp số vàphương pháp giải tích đã biết

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Đối tượng của luận văn là nghiên cứu dao động dầm, khung có độ cứngthay đổi

Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu dao động của dầm, và khung phẳng

ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn là:

Nghiên cứu và áp dụng các phương pháp tính toán dao động của dầm,khung có độ cứng thay đổi, để thiết kế các công trình xây dựng

Chương 1: Tổng quan về dao động của dầm, khung có

độ cứng thay đổi.

Việc tính toán dao động dầm có độ cứng thay đổi đã được đề cập đếntrong nhiều tài liệu, trong đó xem xét nhiều vấn đề khác nhau liên quan đếnviệc nghiên cứu trạng thái của chúng dưới tác dụng của nhiều loại tải trọng, vànhiều tài liệu có tính đến tác động của nền đàn hồi Trong nhiều chương trình

và tài liệu chuyên khảo nổi tiếng về lý thuyết dầm đều đặc biệt chú ý đến việctính toán dầm có độ cứng thay đổi Hàng loạt các công trình nghiên cứu trong

đó chú ý đến việc tính toán dầm trên nền đàn hồi như các nghiên cứu củaAnokhin N.N; Gabaxoop.R.F; Leonchiev N.N [17]… Vấn đề tính toán dầm có

độ cứng thay đổi chịu tải trọng tĩnh được nghiên cứu trong các công trình củaVarvac P.M Công trình nghiên cứu của Khetrumov P.A nghiên cứu các bàitoán về tính toán các thanh ghép có tiết diện thay đổi Trong công trình này có

áp dụng phương pháp biến phân Động lực học của thanh có độ cứng thay đổi

được làm sáng tỏ trong công trình của Korenhev B.G [15] Trong công trìnhnày sử dụng phương pháp thông số ban đầu để giải phương trình vi phân Bexelvới chỉ số v tùy ý trong các hàm cơ sở Tuy vậy, các công trình kể trên liênquan đến tính toán động lực học của thanh có độ cứng thay đổi chỉ giới hạn ở

lý thuyết, không có các ví dụ tính toán và các kết quả bằng số

Phương pháp tính dao động của dầm có độ cứng thay đổi có thể chiathành phương pháp chính xác và phương pháp gần đúng Phương pháp chínhxác gồm một số phương pháp: Phương pháp tích phân trực tiếp (chỉ trongtrường hợp (x) và J(x) được biểu thị bằng các hàm số thích hợp) Phươngpháp gần đúng gồm một số phương pháp: Phương pháp chuyển vị, phươngpháp năng lượng, phương pháp ma trận chuyển tiếp, Phương pháp thay thếkhối lượng, Phương pháp sai phân hữu hạn, Phương pháp Bunốp Galookin,phương pháp Lagrăng Rit [16]

Sau đây trình bày một số phương pháp được trình bày trong bài toán cơhọc:

Phương pháp tích phân trực tiếp [16]

Chỉ có thể giải được trong trường hợp khi dầm có tiết diện hình lăng trụ

Từ đó ta tìm được phương trình vi phân của dầm có tiết diện hình lăng trụ làphương trình vi phân Bessel Giải phương trình vi phân Bessel ta tìm đượcchuyển vị, từ đó tính được góc xoay, mô men uốn và lực cắt Từ các điều kiệnbiên, ta có thể xác định được các hằng số trong hệ thức Trong quá trình đó, ta

sẽ nhận được phương trình đặc trưng Giải phương trình đặc trưng ta sẽ nhận

được các trị riêng 1 từ đó tính được các tần số riêng của dầm

2

1 1

n g

x

l x

đổi và được coi là một hệ các thanh có tiết diện lăng trụ Theo phương phápnày trước tiên ta phải tính toán với dầm có tiêt diện không đổi Sau đó áp dụngvào thanh có tiết diện thay đổi theo bậc với các mặt cắt không đổi Nếu tiếtdiện thanh biến thiên liên tục, ta phải tiến hành chia nhỏ thanh thành nhiềuphân đoạn mà mặt cắt và khối lượng 1 đơn vị dài được xem là không đổi

U01 J01

J12 J23 J34

Phương pháp năng lượng [16]

PP NL dựa trên định luật bảo toàn năng lượng, tổng động năng và thếnăng của hệ trong quá trình dao động được bảo toàn Theo phương pháp nàyngười ta phải giả định trước đường đàn hồi, sau đó tính được động năng và thếnăng Từ đó tính được tần số dao động của hệ

i i i

P v

m v

Phương pháp ma trận chuyển tiếp [15]

Đây là một trong những phương pháp giải tích cơ bản để tính hệ thanh

Nó đặc biệt có hiệu quả khi tính thanh dạng dải (thẳng, cong, không gian).ứng dụng vào bài toán ổn định, dao động, nó cho phép giải một loạt cáctrường hợp phức tạp

Trong phương pháp ma trận chuyển tiếp ngoài những ẩn ở đầu trái (gốcxuất phát để tính toán) còn có ẩn số ở những liên kết ngoài cứng và liên kếttrong trơn Những giá trị không biết ở đầu phải (nút cuối thanh) thường đượctính ra trong việc giải bài toán Từ các điều kiện biên, ta có thể xác định đượccác hằng số trong hệ thức, trong quá trình đó ta sẽ nhận được các phương trình

đặc trưng Giải phương trình đặc trưng ta sẽ nhận được các giá trị riêng 1 từ

đó tính được các tần số riêng tương ứng

Phương pháp thay thế khối lượng [15]

Thay thế các khối lượng phân bố hay tập trung với khối lượng ít hơntrên kết cấu đặt tại một số điểm đặc biệt Nội dung của phương pháp thay thếkhối lượng là thay hệ gồm các khối lượng phân bố liên tục và tập trung thành

hệ có một số khối lượng tập trung Đưa hệ từ hệ vô hạn bậc tự do thành hệ hữuhạn bậc tự do Từ phương trình tần số ta sẽ tìm được các tần số riêng.[15]

Phương pháp phần tử hữu hạn [18]

Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp tính đã được hìnhthành và phát triển trong nhiều năm trở lại đây, nhưng do yêu cầu tính toáncủa một bài toán thực tế thường đòi hỏi một khối lượng tính toán rất lớn, nênviệc ứng dựng phương pháp phần tử hữu hạn trước đây gặp rất nhiều khó khăn.Chỉ từ khi có sự xuất hiện của máy tính và sự phát triển mạnh mẽ của ngànhtin học cùng với các phần mềm hỗ trợ như Cad, Sap, Etaps… Thì thực sựphương pháp phần tử hữu hạn mới được ứng dụng phổ biến và rộng rãi trongthực tế.

Đối tượng nghiên cứu của phương pháp phần tử hữu hạn là tìm lời giải

số cho các bài toán của lý thuyết trường nói chung và cơ học vật rắn biến dạngnói riêng phương pháp phần tử hữu hạn được áp dụng đặc biệt thành côngtrong lĩnh vực cơ học vật rắn biến dạng, trong đó các ẩn số cần tìm là chuyển

vị, biến dạng, ứng suất tại mỗi điểm bất kỳ trong kết cấu

Phương pháp phần tử hữu hạn tối thiểu hóa phiếm hàm năng lượng vàbao gồm các bước sau:

1) Chia nhỏ đối tượng nghiên cứu thành các phần tử hữu hạn;

2) Lựa chọn các ẩn số cơ bản của hàm xấp xỉ trong giới hạn của phầntử;

3) Xây dựng ma trận độ cứng, nghĩa là xác định sự phụ thuộc giữa lựctác dụng và chuyển dịch trong các nút của phần tử;

vi phân tương ứng Dạng sai phân dựa trên cơ sở hàm đa thức từng đoạn và coicác gián đoạn hữu hạn đã suy rộng khái niệm về miền vi phân và kể đến các

gián đoạn hữu hạn của hàm số cũng như đạo hàm bậc nhất của nó GabbaxovR.F [6] đã xác định rằng dạng hợp lý nhất của phương pháp xấp xỉ dần là dạngsai phân Dạng này được biểu hiện khi phân hoạch vùng tích phân của cácphương trình vi phân thành các miền con ( các phần tử có kích thước hữu hạn),

và sử dụng ma trận vi phân và tích phân trong giới hạn phần tử Nhờ đó ta cóthể giải được các bài toán dẫn đến hệ phương trình vi phân bậc 2, đạo hàmbình thường và đạo hàm riêng PP này có tính đến những gián đoạn ở vế phảicủa phương trình vi phân cần tìm và những đạo hàm đầu tiên của nó Khi sửdụng phương pháp xấp xỉ dần không cần phải viết các điều kiện biên ở bảitoán cho các điểm ngoải miền khảo sát, cũng không cần cô đặc lưới ở gầnvùng gián đoạn

Phương pháp sử dụng phương trình suy rộng của phương pháp sai phânhữu hạn.[18]

Phương pháp sai phân hữu hạn có tính đến tất cả các gián đoạn hữu hạnnói trên, ngoài gián đoạn của các đạo hàm bậc nhất của vế phải các phươngtrình vi phân ban đầu Khi đó, khác với các phương trình bình thường củaphương pháp sai phân hữu hạn không cần cô đặc lưới hoặc dùng giá trị trungbình tại vùng gần gián đoạn Ngoài ra tất cả các điểm tính toán phân bổ tronggiới hạn của vùng tích phân các phương trình vi phân Khi không có các gián

đoạn, các phương trình suy rộng của phương pháp sai phân hữu hạn trở thànhcác phương trình đã biết của phương pháp sai phân hữu hạn Nếu bài toán

được giải trên máy tính với mức độ phân hoạch cao thì sự khác nhau về độchính xác giữa kết quả khi dùng phương pháp phần tử hữu hạn hay phươngtrình suy rộng của phương pháp sai phân hữu hạn là không đáng kể

Phương pháp hệ tương đương [18]

Đây là một phương pháp khá đơn giản để giải quyết các vấn đề phứctạp, được sử dụng để phân tích tĩnh học, động lực học, và sự dao động của hệkết cấu được cấu tạo từ nhiều cấu kiện có độ cứng EJ thay đổi

Cơ sở lý thuyết của phương pháp hệ tương đương là cho phép thay thế một cấukiện có độ cứng thay đổi ExJx bằng một cấu kiện có độ cứng không đổi E1J1,bằng cách thêm vào một hệ thức của hệ tương đương Sự phát triển của cơ sở

lý thuyết này căn cứ vào các giả thiết về độ lệch (sai số) nhỏ, giả thiết về

đường nối các trọng tâm của các mặt cắt liền tiếp nhau là đường thẳng Nếu

đường nối này cong thì lý thuyết này sẽ vẫn ứng dụng được với độ chính xáctương đối nếu tỷ lệ giữa bán kính của đường cong đối với chiều dày của mặtcắt cấu kiện là lớn

Một hệ tương đương được thành lập, nó được sử dụng để tính toán lầnlượt độ lệch, dao động tự do, và dạng dao động của các phần tử có độ cứngthay đổi của hệ ban đầu

Chương 2: một số phương pháp tính dao động của dầm,

khung có độ cứng thay đổi.

2.1 Phương pháp chuyển vị góc (phương pháp ghép trơn) [16]

2.1.1 Phương trình vi phân dao động của dầm có tiết diện đều

Xét một phân tố khối lượng dx của dầm tựa đơn có tiết diện không

đổi

Dầm dao động ngang dưới tác động của các lực bên ngoài

Hình 2.1 biểu diễn độ võng và mô mem uốn, lực cắt trên mỗi phân tố [16]Theo lý thuyết đàn hồi: Mô men uốn và lực cắt được xác định bởi hệ thức:

2 2

y(x, t) M(x, t) EJ

x



 

 3 3

y(x, t) Q(x, t) EJ

x

Phương trình không có điều kiện biên nào được xét nên phương trình này được

áp dụng cho những thanh có điều kiện biên bất kỳ

2.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân dao động của dầm có tiết diện

  

Khi đó nghiệm tổng quát có dạng:

Trong đó:

2 2

Trong đó:

3 3

*) Đối với dầm tựa đơn, điều kiện biên có thể áp dụng là:

Với y(L/2j) là biên độ dao động.

*) Đối với dầm ngàm tại hai đầu thì điều kiện biên là:

0 0

Khi tính toán hệ khung gồm các dao động ngang (hệ dầm liên tục, khung cứngvv…) việc xác định hằng số tích phân từ A đến D là khác nhau đối với cácthanh khác nhau Nếu hệ khung, dầm được phân tích là có n thanh thì sẽ có 4n

ẩn số Các phương trình cần cho việc xác định hằng số tích phân được lấy từcác điều kiện biên tại các điểm nút của hệ thanh

2.1.3 Mô men và lực cắt tại biên của thanh dao động ngang.

Xét những hệ dao động với dao động điều hoà Dao động này có thểphát sinh do dao động tự do hay do dao động cưỡng bức do lực tác dụng điềuhoà trong khoảng thời gian đủ dài:

Hình 2.2 Mô men, lực cắt đầu thanh tách từ khung [16]

Từ hệ trong hình 2.2 phần tách rời của thanh gh đang dao động ngang

Để thay thế tác dụng của phần còn lại trên hệ, tại mỗi đầu thanh được tác dụngbởi những mô men M (t), M (t),gh hg và lực cắt Q (t),Q (t).gh hg Giả sử mô men tại 2

đầu thanh quay thuận kim đồng hồ dương

Do đó, mô men đầu trái phù hợp với mô men uốn tác dụng ở mặt cắtx=0 cả về độ lớn và dấu, trong khi mô men đầu phải có dấu ngược lại với mômen uốn tại mặt cắt x=1.

Lực cắt ở đầu thanh được coi dương nếu lực hướng xuống phía dưới.Kết quả là, lực ở đầu bên phải Qhg ứng với lực trượt tác động tại vị trí x=1trong cả dấu và độ lớn, trong khi đó lực ở đầu bên trái Qgh thì ngược lại với lựctrượt tại x=0

Nếu biết được sự biến dạng tại các đầu thanh ta có thể xác định được tấtcả các mô men uốn và lực cắt tại đầu theo phương trình 2.12-2.17 áp dụng chonhững mặt cắt tại mỗi đầu các thanh

Điều này cũng thoả mãn với trường hợp thanh chắn được liên kết tại 2

đầu các điều kiện biên khác nhau Tức là, ngay cả khi nó bị ngàm, tựa bản lề,

tự do ở một đầu hay có tựa đàn hồi (hình 2.3)

Hình 2.3 Các điều kiện biên [16]

Ví dụ xét thanh bên bên trái bị ngàm chặt, còn đầu phải cho chuyển

động xoay cưỡng bức theo dao động điều hoà  sin t  với biên độ   1, tronglúc những chuyển vị và góc xoay còn lại ở đầu kia bằng 0 (hình 2.4)

Hình 2.4 Góc quay đơn vị tại đầu phải [16]

Nếu không có sự tác dụng trong khoảng giữa thanh, phương trình 2.12 và các

đạo hàm từ 2.13-2.17, các điều kiện biên được biểu diễn là:

2 4

1 1 1

F ( )

cosh cos sinh sin

F ( )

cosh cos

(2.31)

Tóm lại, các lực cắt, mô men uốn tại các đầu mút ứng với các chuyển vị đơn

vị khác tại các đầu thanh gh khác cũng sẽ thu được bằng cách làm tương tự.Xét chuyển vị và góc xoay tuỳ ý tại các đầu g và h

g h

y y

y y

3 6

1 1

Khi đó biên độ độ võng tại một mặt cắt ngang bất kỳ của thanh chắn được tínhtheo phương trình 2.12 kết hợp các biểu thức 2.32 Lực cắt và mô men uốn tạicác đầu thanh được tính theo 2.14-2.16

g h

y y

EJ

y y

cosh sin sinh cos

L

cosh sin sinh cos

+) Đối với thanh ngàm tại g và có tựa tại h, các điều kiện biên là

g h

g

g

y y

y y

Được dùng trong việc tính toán các dạng riêng không trực giao, trong các dao

động giảm dần cũng như không giảm dần, khi xét đến ảnh hưởng của tải trọng

động…

Dạng của dao động điều hoà của thanh tiết diện chữ nhật, tách rời khỏi hệkhung, được xác định theo phương trình 2.12, các hằng số tích phân được tínhtheo công thức 2.34 Do đó 2.12 có thể viết dưới dạng:

1 3 3

1 2 4

1 3 4

4

1 3 4

1 3 4

1 3 4

2.1.5 Bài toán dầm có tiết diện thay đổi

Phương trình dao động của thanh phi lăng trụ thẳng cũng giống nhưphương trình của thanh tiết diện hình lăng trụ Mô men uốn được mô tả theobiểu thức:

2 2

y(x, t) M(x, t) EJ

a) Dầm có tiết diện thay đổi theo bậc

Xét thanh gồm 4 thành phần có hình lăng trụ và 3 mối nối trực tiếp,cùng 6 biến dạng chưa biết Gồm 3 chuyển động xoay 1,2…3 và 3 chuyển

Nếu thanh có tiết diện thay đổi liên tục, phương pháp ghép trơn cho kếtquả xấp xỉ Trong trường hợp này, cách tiến hành như sau: chia nhỏ thanhthành nhiều phân đoạn mà mặt cắt và được coi là không đổi.

Nếu chia thanh làm 4 phần và coi các phần này có tiết diện không đổi,

ta được thanh là các tiết diện ngang thay đổi theo bậc mà ta đã giải trong ví dụtrước

Điều kiện trong (2.64) được thỏa mãn nếu 2 cấu kiện có cùng chiều dài và

điều kiện biên Khi đó:

x e

M M

f(x)

Mệnh đề chứng minh rằng đối với dầm có hệ số độ cứng thay đổi ExJx,tồn tại một hệ tương đương với hằng số độ cứng E1J1 Nếu điều kiện biên vàchiều dài giống nhau đối với mọi đoạn có độ cứng thay đổi, thì mô men tại bất

kỳ điểm nào trên mặt cắt qua x được xác định bởi công thức (2.66)

Mô men của hệ tương đương ứng với hằng số độ cứng E1J1 được thỏamãn trong công thức (2.66) Mx, f(x) có thể được tính toán với Međã biết Khi

(b) y

Hình 2.7 [13]

Bằng cách áp dụng tĩnh học đơn giản thì mô men Mx của dầm có độcứng thay đổi tại vị trí x là:

2 2

0,425 (kN)

(d) y

3 (2L+6x)

Hình 2.8 (a) Hệ ban đầu; (b) Mô men quán tính; (c) Biểu đồ mô men Me; (d)Biểu đồ lực cắt Qe; (e) Hệ tương đương.[13]

2.2.2 Phương pháp gần đúng của hệ tương đương.

Phương pháp chính xác của hệ tương đương vừa được trình bày ở trênthường trở nên khó khăn đối với các hệ phức tạp Trong thực tế, sự khó khănnày được thay thế bằng một phương pháp đơn giản hơn trong phép lấy đạohàm của hệ tương đương

Xét một ví dụ về một cấu kiện dầm có độ cứng thay đổi trong hình2.10a Và hàm số độ cứng được xác định bởi công thức f(x) = ExJx/ E1J1 tronghình 2.10b Đồ thị được xác lập bằng việc chọn một hằng số E1J1 cho trước vàtính toán giá trị của f(x) = ExJx/ E1J1 của tất cả các mặt cắt dọc theo chiều dàicủa cấu kiện Tại những mặt cắt tương tự nhau, giá trị mô men Mx của cấukiện trong hình 2.10a được tính toán và vẽ trong hình 2.10c Bằng việc biểudiễn giá trị Mx theo f(x), biểu đồ mô men x

e

M M f(x)

 của hệ tương đương đượcbiểu thị trên đường cong trong hình 2.10d

x

(a) L

(b)

f(x)

x J

M(x) (c) A

Hình 2.10 (a) Hệ ban đầu (b) Biểu đồ hàm số độ cứng (c) Biểu đồ mô men

hệ ban đầu (d) Biểu đồ xấp xỉ Me (e) Biểu đồ lực cắt thay thế (f) Hệ tương

đương có độ cứng không đổi [13]

Dạng của Me xấp xỉ đúng với đoạn thẳng đơn vị chiều dài  Sn, vớin=1,2,3…, đã được biểu diễn trên hình 2.10d Những đoạn  Snkhông bắt buộcphải có độ dài bằng nhau, các điểm nối của chúng nằm bên dưới hoặc bên trên

đường biểu diễn Me Vì thế diện tích phần thêm vào hay bớt đi của đường nốinày xấp xỉ bằng diện tích của biểu đồ Me Số lượng của các đoạn  Snphụthuộc vào dạng của biểu đồ Me Thông thường có từ 3-5 đoạn  Sn

Biểu đồ lực cắt tương đương được vẽ trong biểu đồ 2.10e Cho ví dụ, lựccắt Q2 ứng với điểm thay đổi mô men trên mặt cắt C và B, xác định trên đoạn

có độ dài  X2 Hệ tương đương có độ cứng không đổi E1J1 được xác địnhtrong hình 2.10f và được thay thế bằng 3 lực tập trung Khi đó độ dốc hay độlệch của bất kỳ điểm nào trên biến dạng dài của hệ có độ cứng thay đổi đềuxác định được thông qua hệ tương đương trên hình 2.10f

Xét dầm trong hình 2.11a Yêu cầu xác định hệ tương đương có độcứng không đổi EJ1 bằng cách áp dụng PP gần đúng của hệ tương đương.Thêm vào đó, bằng cách áp dụng phương pháp hệ tương đương và áp dụng PPdiện tích mô men để xác định chuyển vị và góc xoay tại đầu tự do

Đồ thị của Me tương tự như trong hình 2.11c, nhưng ở phần này đồ thị đượclập bằng cách thay thế số mặt cắt dọc theo chiều dài cảu cấu kiện và chia giátrị của Mx cho gia trị f(x) phù hợp Đồ thị gần đúng của Me gồm 3 đoạn