Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

www.truongthi.com.vn Môn Toán KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau 1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn. Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x ≥ 0, với x < 0 hàm số có tính đối xứng. Nếu hàm tuần hoàn thì chỉ cần xét trên một chu kì. 2) Tính y’, y” Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu. Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn. 3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn Tìm các đường tiệm cận. Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục. 4) Lập bảng biến thiên. 5) Vẽ đồ thị. Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), chỉ rõ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu, điểm uốn, các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ). Chú ý nếu hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, còn nếu hàm y = f(x) lẻ thì đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. a) Hàm bậc hai : y = ax2 + bx + c a ≠ 0 Ta có 22b4acyax2a 4a−=+ +b Đồ thị đường parabol được suy từ đồ thị hàm y = ax2 bằng phép tịnh tiến song song theo véctơ 2b4acbr,2a 4a−=−r. Với a > 0, min 24ac by4a−= đạt được tại bx2a=−. Hàm tăng trên b,2a−+∞, giảm trên b,2a−∞ −. Với a < 0, max 24ac by4a−=, đạt được tại b2a=−x. Hàm tăng trên , giảm trên (),b/2a−∞ −( )b/2a,− +∞. b) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d a ≠ 0. − Tập xác định (− ∞, + ∞) − Ta có y’ = 3 ax2 + 2bx + c, ∆’y’ = b2 − 3 ac y” = 6 ax + 2 b Nếu a > 0 thì + Với b2 − 3ac < 0, y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn đồng biến. + Với b2 − 3ac > 0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 và y’ > 0 ⇔ x ∉ [x1, x2]. Hàm số tăng (giảm) trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) (tương ứng, trên (x1, x2)). Điểm cực đại (cực tiểu) là (x1, y(x1)) (tương ứng (x2, f(x2)). Nếu a < 0 thì + Với b2 − 3ac < 0, y’ < 0 với ∀x, hàm y luôn nghịch biến. 2 1 www.truongthi.com.vn Môn Toán + Với b2 − 3ac > 0, tương tự ta cũng có Hàm y luôn nghịch biến trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) y đồng biến trên (x1, x2). Điểm cực tiểu (cực đại) (x1, f(x1)) (tương ứng (x2, f(x2)). − Điểm uốn: y” = 0 ⇔ x = − b/3a, điểm uốn là (−b/3a, f(−b/3a)). − Tâm đối xứng (−b/3a, f(−b/3a)) cũng là điểm uốn. c) Hàm phân thức: ax bcx dy+=+, c ≠ 0 Ta có 2abcad1ycdcxc−=++ − Nếu bc − ad = 0 thì ayc≡, x ≠ − d/c. − Nếu bc − ad ≠ 0 thì đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số kyx= với 2bc adkc−= bằng phép tịnh tiến theo véctơ rr =(−d/c, a/c). Đồ thị có hai tiệm cận x = − d/c và y = a/c. d) Hàm phân thức: ()2ax bx cyfxxd+ +==+, a ≠ 0 Ta có ()2ad bd cf(x) ax b adxd− +=+− ++ Tập xác định R\ { }d− ()()22ax d my'xd+−=+, m = ad2 − bd + c − Nếu m = 0 thì y = ax + (b − ad), x ≠ − d − Nếu am < 0 thì + Với a > 0, y’ > 0 (∀ x ≠ −d), hàm đồng biến trên (−∞, −d), (−d, +∞). + Với a < 0, y’ < 0 (x ≠ −d), hàm nghịch biến trên (− ∞, −d), (−d, +∞). − Nếu am > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm 1, 2mxda=−m + Nếu a > 0 thì hàm tăng trên (−∞, x1), (x2, +∞) giảm trên (x1, − d), (−d, x2) các điểm cực đại (cực tiểu) là (x1, 2ax1 + b), (tương ứng, (x2, 2ax2 + b) + Nếu a < 0 thì hàm tăng trên (x1, − d1), (−d1, x2) và giảm trên (−∞, x1), (x2, +∞). Điểm cực tiểu là (x1, 2ax1 + b) Điểm cực đại: (x2, 2ax2 + b). Ví dụ 1. Cho hàm số y = f(x) = mx3 + 3mx2 − (m − 1)x − 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1. b) Xác định m để hàm y = f(x) không có cực trị Giải. a) với m = 1, y = x3 + 3x2 − 1 Tập xác định R. 4 2 www.truongthi.com.vn Môn Toán y’ = 3x2 + 6x, y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = − 2 y’ = 3(x + 2) x > 0 ⇔ x < − 2 hoặc x > 0 y’ < 0 ⇔ − 2 < x < 0. Vậy y tăng (giảm) thực sự trên (− ∞, − 2) và (0, +∞) (tương ứng (−2, 0)). Hàm có điểm cực đại (− 2, 3) và cực tiểu (0, − 1). y” = 6x + 6, y” = 0 ⇔ x = − 1, y” đổi dấu qua x = − 1 vậy y = f(x) có điểm uốn (−1, 1). Ta có bảng biến thiên X 2 0 y’ + 0  0 + Y 3 1 Đồ thị y 3 -2 0 x -1 b) y’ = 3mx2 + 6mx − (m − 1) Điều kiện cần và đủ để y = f(x) không có cực là phương trình f’ (x) = 0 không có hai nghiệm phân biệt, nghĩa là 2m1m00m4'9m 3m(m1)0=≠⇔ ≤≤∆= + − ≤ Ví dụ 2. Cho hàm số y = x3 + mx2 − m a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 b) Khi nào đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt c) Xác định m sao cho x ≤ 1 ⇒ y ≤ 1. Giải a) m = 3 ⇒ y = x3 + 3x2 − 3 Tập xác định R Chiều biến thiên y’ = 3x2 + 6x, y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = − 2 y’ > 0 ⇔ x < − 2 và x > 0. Trên (−∞, − 2), (1, +∞) hàm đồng biến y’ < 0 ⇔ x ∈ (−2, 0), trên đó y nghịch biến y” = 6x + 6, ta có điểm uốn (−1, −1). Bảng biến thiên X 2 0 y’ + 0  0 + Y 1 3 Đồ thị xem hình vẽ 6 3 www.truongthi.com.vn Mụn Toỏn y 1 -2 -1 0 x -3 b) th ct trc honh ti 3 im phõn bit khi v ch khi hm s cú cc i v cc tiu v yc. yct < 0 Thy rng y = 3x2 + 2mx = x(3x + 2m) y = 0 x = 0 v x = 2m/3 Hm cú cc i v cc tiu 2m/3 0 m 0 () ( )3cđ ct4m 27my .yy0.y 2m / 3 m 027== < 24m 27 0> 33m2> Vy th ct trc honh ti ba im phõn bit khi v ch khi m33/> 2 c) ()y x 1 vi x 1 ( )y 0m1= Vi m1, m 0, ta cú 2m / 3 1 . Vy, vi m [1, 1]\{ }0 ()y x1 vi x 1 iu kin l ()34m1y 2m / 3 m27 = (vỡ y (1) = 1, y(1) = 1, y (0) = m u thuc [1, 1]). Nhng 324m 4m,m1 m27 27= 1 khi m1. m = 0 cng tha món. Kt lun m [1, 1]. Vớ d 3. Cho hm s y = (m 2)x3 mx + 2 (1) a) Kho sỏt v v th hm s khi m = 1 b) Chng minh rng khi m (0, 2) hm khụng cú cc i v cc tiu. c) Chng minh rng th ca hm s (1) luụn qua ba im c nh. Gii a) Tp xỏc nh R y = 9x2 + 1 = 0 x = 1/3 v x = 1/3 im cc i (1/3, 16/9), cc tiu (1/3, 20/9). y = 18x = 0 x= 0, im un (0, 2). Bng bin thiờn 8 4 www.truongthi.com.vn Môn Toán X 1/3 1/3 Y’  0 + 0  Y 16/9 20/9 y 4 20/9 16/9 -1 -1/3 0 1/3 1 x b) y’ = 3(m − 2)x2 − m Khi m ∈ (0, 2) ⇒ m / 3(m − 2) < 0 và phương trình y’ = 0 vô nghiệm. c) y = mx3 − 2x3 − mx + 2 ⇔ mx (x2 − 1) − 2(x3 − 1) − y = 0 Điểm cố định (xo, yo) phải thỏa mãn ()()2oooooo3oooox0, y2xx 1 0x1, y4,y2x1x1 y0==−=⇔=− ==− −== Đồ thị luôn đi qua 3 điểm cố định (0, 2), (− 1, 4), (1, 0). Ví dụ 4. Cho hàm số y = f(x) = 2x3 − 3(2m + 1)x2 + 6m (m + 1)x + 1 (1) a) Tìm quĩ tích điểm uốn b) Tìm quĩ tích điểm cực đại c) Tìm quĩ tích trung điểm đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. Giải. a) y’ = 6x2 − 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) y” = 12x − 6(2m + 1), y” = 0 ⇔ 2m 1x2+= y” đổi dấu khi x biến thiên qua (2m + 1)/2. Vậy điểm uốn là 2m 1 2m 1U,f22++. Từ 2m 1x2+= suy ra 2x 12m−=, thay vào phương trình y = f(x) ta thu được 33y 2x x 1.2= −+ Vậy quĩ tích đồ thị hàm 33y 2x x 1.2=−+ b) y’ = 6[x2 − (2m + 1)x + m (m + 1)], y’ = 0 ⇔ xmxm=1= + Đó là hai nghiệm phân biệt và rõ ràng y’(x) < 0 ⇔ x ∈ (m, m + 1) y’(x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, m) ∪ (m + 1, +∞) 10 5 www.truongthi.com.vn Môn Toán Vậy hàm luôn có cực đại và cực tiểu tại x = m và x = m + 1 tương ứng. Điểm cực đại là (m, f(m)). Khử m bằng cách thay m = x, vào (1) ta được y = 2x3 + 3x2 + 1. Vậy đồ thị của hàm y = 2x3 + 3x2 + 1 là quĩ tích các điểm cực đại của hàm số khi m thay đổi. c) Trung điểm của đoạn nối điểm cực đại và cực tiểu là điểm uốn, mà quĩ tích đã biết ở câu a). Ví dụ 5. Cho hàm số y = f(x) = x4 − mx3 − (2m + 1)x2 + mx + 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với a = 0. b) Tìm các điểm trên trục tung sao cho qua đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị của y = f(x) với m = 0. c) Xác định m sao cho phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm khác nhau lớn hơn 1. Giải. a) Với m = 0, hàm số có dạng y = x4 − x2 + 1 T.X.Đ. R y’ = 2x(2x2 − 1), y’ = 0 ⇔ x = 0 và x = 2/2± y” = 2(6x2 − 1), y” = 0 ⇔ x = ± 6/6 y” đổi dấu qua x = ±6/6 nên hàm số có hai điểm uốn ()()6 /6,31/36 , 6 /6,31/36−. Bảng biến thiên X 2/2− 0 2/2 Y’  0 + 0 + 0 − Y 34 1 34 y 1 3/4 -2/2 0 2/2 x b) f(x) là hàm chẵn nên trục tung là trục đối xứng. Nên qua điểm trên trục tung kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị thì phải có 1 tiếp tuyến song song với trục hoành. Từ đó điểm cần tìm phải là điểm M(0, 1). Ta kiểm tra điều đó. Giả sử y = ax + 1 là tiếp tuyến khác qua a. Khi đó phải có 42oo o3ooxx1ax4x 2x a−+= +−=1 nếu xo là hoành độ tiếp điểm. 12 6 www.truongthi.com.vn Môn Toán Giải hệ đó (đối với (xo, a)) ta có các nghiệm (0, 0), và ( )3/3, 4 3/9 .±± Từ đó các tiếp tuyến khác y = 1 là ( )y 43/9x 1= ±+. Vậy điểm cần tìm là M (0, 1). c) Phương trình x4 − mx3 − (2m + 1)x2 + mx + 1 = 0 (1) tương ứng với ()2211xmx2m1xx+− −− +=0 (2) Đặt 1txx=− . t’(x) = 21x+1> 0, do đó x > 1 thì t(x) > t(1) = 0. Bây giờ (2) có dạng t2 − mt − (2 − 1) = 0. (3) Vậy để có hai nghiệm lớn hơn 1, phương trình (3) phải có hai nghiệm dương. Tức là phải có ()22m412m0m8m4S/2 m/2 0 m 0p12m0 m1/2∆= − − >0+ −>=> ⇔>=− > < ⇔ ( )m425,1/2∈−+ Ví dụ 6. Cho hàm số mx 1yxm−=− (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2. b) Với m nào hàm đồng biến, nghịch biến không đổi? c) Chứng minh rằng khi m thay đổi đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định. d) Tìm quĩ tích tâm đối xứng của đồ thị. Giải. a) Với m = 2, 2x 1 3x2 x2y2−==+− − Tập xác định R\ { }2 Đồ thị có hai tiệm cận x = 2 và y = 2. ()23y'x2=− >−0 với ∀ x ≠ 2. Vậy y giảm trên các khoảng (−∞, 2) và (2, +∞). Các điểm đặc biệt x = 0 ⇒ y = 1/2; y = 0 ⇒ x = 1/2. Vậy đồ thị đi qua các điểm (0, 1/2) và (1/2, 0). Bảng biến thiên X 2 y’   Y 2 ∞ +∞ 2 Đồ thị có tâm đối xứng là giao điểm I của hai tiệm cận. 14 7 www.truongthi.com.vn Môn Toán y 2 I 1/2 0 1/2 2 x b) ()221my'xm−=−, x ≠ m • Nếu 1 − m2 > 0 (⇔ − 1 < m < 1) thì hàm luôn đồng biến trên mỗi khoảng (−∞, m) và (m, +∞). • Nếu 1 − m2 < 0 (⇔ m ∉ [−1, 1] thì hàm luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định • Nếu 1 − m2 = 0 (⇔ m = ± 1) thì y không đổi m = 1 ⇒ y ≡ 1 trên R\ { }1 m = − 1 ⇒ y ≡ − 1 trên R\ { }1− c) Giả sử (xo, yo) là điểm cố định. Khi đó ()ooo o oxmx y 1mx y 0 víi mäi m≠+− + = oooo o o2oo o ooxyxy 0x1,y 1xy 1x1,y 1x1=−+ ==⇒⇔⇔=− =− ===− Vậy đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định (1, −1) và (−1, 1). d) Tâm đối xứng là giao của hai tiệm cận tức là điểm (m, m). Khi m thay đổi các điểm này vạch đường thẳng y = x. Ví dụ 7. Cho hàm số ( )22m1x myxm+−=− a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 b) Chứng minh rằng với mọi m tiệm cận xiên của đồ thị luôn tiếp xúc với một parabôn cố định. Xác định parabôn đó. c) Tìm tất cả các điểm mà tiệm cận xiên không đi qua Giải a) Tập xác định R\ { }1 Với m = 1, ()22x 1 1y2x1x1 x1−==++−− ()21y' 2x1=−−, y’ = 0 2x12⇔=± 16 8 www.truongthi.com.vn Môn Toán y’ > 0 ⇔ 22x,1 1,22∈−∞ − ∪ + +∞ y’ < 0 ⇔ 22x1 ,122∈− +. Điểm cực đại. 21,422−−2, cực tiểu 21,422++2 Bảng biến thiên X 212− 1 212+ y’ + 0  || − 0 + 422− 422+Tiệm cận xiên y = 2(x + 1) Tiệm cận đứng x = 1 b) Ta có tiệm cận xiên y = (m + 1)x + m2 + m y 4 +2 2 4 I 2 -1 0 1 x Giả sử các tiệm cận xiên trên luôn tiếp xúc parabôn cố định y = ax2 + bx + c, a ≠ 0. Khi đó phương trình ax2 + bx + c = (m + 1)x + m2 + m có nghiệm kép với mọi m. Ta phải có ∆ = (b − m − 1)2 − 4a(c − m2 − m) = 0 với mọi m, hay (4a + 1)m2 + 2(2a − b + 1)m + b2 − 4ac − 2b + 1 = 0 với mọi m 24a 1 0 a 1 / 42a b 1 0 b 1 / 2c1/b4ac2b10+= =−⇔−+= ⇔==−−−+=4 Như vậy parabôn cần tìm là 18 9 www.truongthi.com.vn Môn Toán 2111y xx424=− + − =0 c) Giả sử (xo, yo) là điểm mà tiệm cận không đi qua. Từ đó phương trình yo = (m + 1)xo + m2 + m vô nghiệm, hay phương trình m2 + (xo + 1)m + xo − yo = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ = (xo + 1)2 − 4(xo − yo) < 0 ⇔ 2ooo11yxx4241< −+− Đó là các điểm nằm trong parabôn 211yxx42=− + −14 Ví dụ 8. Cho hàm số ()2x3xy2x 16− +=− a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến các tiệm cận là nhỏ nhất. c) tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục là nhỏ nhất. d) Tìm các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị (mỗi điểm thuộc một nhánh) sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất. Giải. a) Ta có 1yx22x=−+41−. Tập xác định R\ { }1. ()214y' 12x1=−−, y’ = 0 ⇔ x = −1 và x = 3. y’(x) < 0 với − 1 < x < 1 hoặc 1 < x < 3/2 điểm cực đại 51,2−− y’(x) > 0 với x < − 1 hoặc x > 3/2 điểm cực tiểu 33,2 X 1 1 3 y’ + 0  || − 0 + Y 52− 32 y 3/2 -1 0 3 x -5/2 -3 20 10 [...]... tiểu, điểm uốn, các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ). Chú ý nếu hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, còn nếu hàm y = f(x) lẻ thì đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. a) Hàm bậc hai : y = ax 2 + bx + c a ≠ 0 Ta có 2 2 b4ac yax 2a 4a −  =+ +   b Đồ thị đường parabol được suy từ đồ thị hàm y = ax 2 bằng phép tịnh tiến song... 0 khi 2 ,1 3  ∈+   x1 và f’(x) > 0 khi  2 , 3  x1 ∈ ++∞   Vậy () x1 21 2 4 n f x 1 1 2 22 33 3 >    =+ + + −+    mi 1 2 =+x3 3 c 2 ) Xét f(x) với 0 ≤ x < 1. Khi đó 22 11 www.truongthi.com.vn Mơn Tốn 26 13 www.truongthi.com.vn Mơn Tốn KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau... Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x ≥ 0, với x < 0 hàm số có tính đối xứng. Nếu hàm tuần hồn thì chỉ cần xét trên một chu kì. 2) Tính y’, y” Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu. Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn. 3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốn Tìm các đường tiệm cận. Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục. 4) Lập bảng biến thiên. 5) Vẽ đồ thị. Vẽ các... thuộc đồ thị mà tổng các khoảng cách d = d 1 + d 2 trong đó d 1 (tương ứng d 2 ) là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng (tương ứng tiệm cận xiên) là bé nhất. Ta có d 1 = x1− , 2 22 4 xx2 2 x1 4 d 5x 1 12  −−+ −  −  == − + và 4 1 5x 1 =−+dx − Vậy 4 44 x1 5x 1 5 ≥− = − d2 Dấu bằng xảy ra khi 4 42 x1 x 1 5x 1 5 −= ⇔=± − và 4 4 n d 5 =mi . c) Điểm M(x, y) thuộc đồ thị thì x ≠ 1 và. .. > 0 với mọi x, khi đó hàm ln đồng biến. + Với b 2 − 3ac > 0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 < x 2 và y’ > 0 ⇔ x ∉ [x 1 , x 2 ]. Hàm số tăng (giảm) trên (−∞, x 1 ) và (x 2 , + ∞) (tương ứng, trên (x 1 , x 2 )). Điểm cực đại (cực tiểu) là (x 1 , y(x 1 )) (tương ứng (x 2 , f(x 2 )). Nếu a < 0 thì + Với b 2 − 3ac < 0, y’ < 0 với ∀x, hàm y luôn nghịch biến.... ⇔ 2 x1 3 =− f’(x) < 0 khi 2 3 <−x và f(x) > 0 khi 2 x1 3 >− . Vậy () x0 32 2 1 f x 1 1 2 3 22 3 3 <  =− − + − =− +   − min 2 So sánh ta thấy () ( ) x1 min f x f 0 3 ≠ = = . d) Giả sử M(s, y(s)) và N (t, y(t)) ở đây t < 1 < s là các điểm thuộc đồ thị. Khi đó () () ( ) ()() 4s t 1 ys yt s t 2 s11t  − −=−+  −−  và () () ()() 2 2 4s t 1 MN st st 4 s11t  − =−... 2 b4acb r, 2a 4a  − =−    r . Với a > 0, min 2 4ac b y 4a − = đạt được tại b x 2a =− . Hàm tăng trên b , 2a  −+∞    , giảm trên b , 2a  −∞ −   . Với a < 0, max 2 4ac b y 4a − = , đạt được tại b 2a =−x . Hàm tăng trên , giảm trên () ,b/2a−∞ − ( ) b/2a,− +∞ . b) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d a ≠ 0. − Tập xác định (− ∞, + ∞) − Ta có y’ = 3 ax 2 . Môn Toán KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ Giải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau 1) Tìm tập. 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. a) Hàm bậc hai : y = ax2 + bx + c a ≠ 0 Ta có 22b4acyax2a 4a−=+ +b Đồ thị đường parabol được suy từ đồ thị hàm