Một số bài toán về đường đi trong lí thuyết đồ thị

Một số bài toán về đường đi trong lí thuyết đồ thị

ờ ti thc tp chuyờn ngnh Nhúm thc hin: Lp 46B2_CNTTLi M uLý thuyt th l mt lnh vc ó cú t lõu v cú nhiu ng dng hin i. Nhng t tng c bn ca lý thuyt th c xut vo nhng nm u ca th k 18 bi nh toỏn hc li lc ngi Thy S Lenhard Euler. th c s dng gii cỏc bi toỏn trong nhiu lnh lc khỏc nhau . Chng hn , th cú th s xỏc nh mch vũng trong vn gii tớch mch in. th cú trng s trờn cỏc cnh cú th s dng gii cỏc bi toỏn nh: Tỡm ng i ngn nht gia hai thnh ph trong mnh giao thụng. Chỳng ta cng cũn s dng th gii cỏc bi toỏn v lp lch , thi khoa biuĐặc biệt trong khoảng vài mơi năm trở lại đây, cùng với sự ra đời của máy tính điện tử và sự phát triển nhanh chóng của tin học, lí thuyến đồ thị càng đợc quan tâm đến nhiều hơn. Các thuật toán trên đồ thị đã có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nh: Mạng máy tính, Lí thuyết mã, Tối u hoá .Trong phạm vi ti này do thi gian cú hn chỳng em chỉ nghiên cứu về một số bài toán v ng i trong lí thuyết đồ thị nh: Bài toán tìm chu trình Euler, Bài toán tìm đờng đi ngắn nhất , Thuật toán Dijkstral. Chỳng em rt mong c s úng gúp ý kin ca thy cụ v cỏc bn.Chúng em đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo, Tin s: Nguyn Trung Hũa, ngời thầy đã tạo mọi điều kiện và luôn giúp đỡ, hớng dẫn chúng em tận tình để chúng em hoàn thành tốt đề tài này.Nhúm sinh viờn thc hin:Lờ Th Thu HinNguyn Th Tho Trnh Th ThyNguyn Trng TiGVHD: TS. Nguyễn Trung Hoà1 Hỡnh 1.2: th cú hng Đê tài thực tập chuyên ngành Nhóm thực hiện: Lớp 46B2_CNTTPhần I:Các khái niệm cơ bản về lý thuyết đồ thịI. Định nghĩa:Là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó. Được mô tả hình thức:G = (V, E)V gọi là tập các đỉnh (Vertices) và E gọi là tập các cạnh (Edges). Cóthể coi E là tập các cặp (u, v), với u và v là hai đỉnh của V.Có thể phân loại đồ thị theo đặc tính và số lượng của tập các cạnh E:Cho đồ thị G = (V, E). Định nghĩa một cách hình thức1. G được gọi là đơn đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có nhiều nhất là 1 cạnh trong E nối từ u tới v.2. G được gọi là đa đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có thể có nhiều hơn 1 cạnh trong E nối từ u tới v (Hiển nhiên đơn đồ thị cũng là đa đồ thị).3. G được gọi là đồ thị vô hướng nếu các cạnh trong E là không định hướng, tức là cạnh nối hai đỉnh u, v bất kỳ cũng là cạnh nối hai đỉnh v, u. Hay nói cách khác, tập E gồm các cặp (u, v) không tính thứ tự. (u, v)≡(v, u)4. G được gọi là đồ thị có hướng nếu các cạnh trong E là có định hướng, có thể có cạnh nối từ đỉnh u tới đỉnh v nhưng chưa chắc đã có cạnh nối từ đỉnh v tới đỉnh u. Hay nói cách khác, tập E gồm các cặp (u, v) có tính thứ tự: (u, v) ≠ (v, u). Trong đồ thị có hướng, các cạnh được gọi là các cung. Đồ thị vô hướng cũng có thể coi là đồ thị có hướng nếu như ta coi cạnh nối hai đỉnh u, v bất kỳ tương đương với hai cung (u, v) và (v, u).GVHD: TS. NguyÔn Trung Hoµ2 Hình 1.2: Đồ thị có hướng Đê tài thực tập chuyên ngành Nhóm thực hiện: Lớp 46B2_CNTTVí dụ :Rất nhiều bài toán có thể mô hình hoá bằng đồ thị và giải quyết bằng các thuật toán trên đồ thị. Ví dụ: Xếp lịch thi đấu là một đồ thị vô hướng với mỗi đội là đỉnh, hai đội thi đấu với nhau là cạnh. Mạng giao thông là một đa đồ thị có hướng với nút giao thông là đỉnh, đường đi giữa hai nút là cung. Tương tự việc thiết kế mạng máy tính, mạng viễn thông có thể đưa về bài toán đồ thịII. Các khái niệm1 . Các khái niệm cơ bản- Khuyên: cạnh (cung) e gọi là khuyên nếu e có dạng (v,v).- Cạnh (cung) lặp: là hai cạnh (cung) cùng tương ứng với một cặp đỉnh.- Đỉnh kề: nếu (u,v) là cạnh (hoặc cung) của đồ thị thì v gọi là kề của u. Trong đồ thị vô hướng nếu v kề u thì u cũng kề v, nhưng trong đồ thị có hướng thì không chắc.- Cạnh liên thuộc: Trong đồ thị vô hướng, cạnh e=(u,v) gọi là cạnh liên thuộc với đỉnh u và liên thuộc với đỉnh v. - Bậc của đỉnh: Trong đồ thị vô hướng, số cạnh liên thuộc với v gọi là bậc của đỉnh v, kí hiệu là deg(v).Ví dụ: Xét đồ thị hình 1,deg(a)=1, deg(b)=deg(c)=4, deg(d)=1, deg(e)=deg(f)=3, deg(g)=0- Đỉnh cô lập, đỉnh treo: Trong đồ thị vô hướng, đỉnh bậc 0 gọi là đỉnh cô lập , đỉnh bậc 1 gọi là đỉnh treo.Ví dụ: Xét đồ thị hình 1.1. Ta có a là đỉnh treo, g là đỉnh cô lậpGVHD: TS. NguyÔn Trung Hoµ3Hình 1.1: Đồ thị vô hướngaecdgfbBAEDC Hình 1.2: Đồ thị có hướng Đê tài thực tập chuyên ngành Nhóm thực hiện: Lớp 46B2_CNTT- Cung vào, ra: Trong đồ thị có hướng, cung e=(u,v) gọi là cung ra khỏi u và là cung vào v.- Bán bậc của đỉnh: Trong đồ thị có hướng, số cung vào v gọi là bán bậc vào của đỉnh v, kí hiệu là: deg-(v), số cung ra khỏi v gọi là bán bậc ra của đỉnh v, kí hiệu là: deg+(v)Ví dụ: Xét đồ thị hình 1.1, deg-(A)=2, deg-(B)=3, deg-(C)=1, deg-(D)=2, deg-(E)=2deg+(A)=3, deg+(B)=2, deg+(C)=2, deg+(D)=2, deg+(E)=1- Định lý 1 : Trong đồ thị vô hướng thì tổng bậc của tất cả các đỉnh bằng 2 lần số cạnh.∑∈Vvv)deg( = 2m (m là số cạnh)Chứng minh:Mỗi cạnh e=(u,v) được tính một lần trong deg(u) và một lần trong deg(v) nên trong tổng bậc của các đỉnh, mỗi cạnh được tính hai lần, mà có m cạnh nên suy ra tổng bậc bằng 2m.- Hệ quả : Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh có bậc là số lẻ là một số chẵn Chứng minh:Gọi O là tập các đỉnh có bậc là số lẻ, và U là tập các đỉnh có bậc là số chẵn. Ta có:∑∈Vvv)deg( =∑∈Ovv)deg( + ∑∈Uvv)deg(= 2m Do ∀v∈U, deg(v) chẵn nên ∑∈Uvv)deg(⇒∑∈Ovv)deg( chẵnDo ∀v∈O, deg(v) lẻ mà tổng ∑∈Ovv)deg( chẵn, nên tổng này phải gồm một số chẵn các số hạng ⇒ số đỉnh có bậc là số lẻ là một số chẵn (đpcm).- Định lý 2 : Trong đồ thị có hướng, tổng bán bậc ra của tất cả các đỉnh bằng tổng bán bậc vào của tất cả các đỉnh và bằng số cạnh của đồ thị∑∈+Vvv)(deg= ∑∈−Vvv)(deg= m (m là số cạnh)Chứng minh: Hiển nhiên vì mỗi cung đều ra ở một đỉnh và vào ở một đỉnh khác. GVHD: TS. NguyÔn Trung Hoµ41, nếu i là đỉnh đầu của cung ej-1, nếu i là đỉnh cuối của cung ej0, nếu i không là đầu mút của cung ej Đê tài thực tập chuyên ngành Nhóm thực hiện: Lớp 46B2_CNTT2. Cách biểu diễn đồ thị trong máy tínha. Ma trận kề, ma trận trọng số Xét đơn đồ thị G=(V,E) với V là tập các đỉnh , E là tập các cạnh.• Ma trận kề:Ma trận A={ai,j : i,j=1, 2,. . . ,n} với ai, j = 0, nếu (i,j) ∉ E và ai,j = 1 , nếu (i,j) ∈ E, i, j=1, 2,. . .,n.gọi là ma trận kề của đồ thị G. Ví dụ: Hình 2.1. Đồ thị vô hướng G và Đồ thị có hướng G1Ma trận kề G Ma trận kề G1* Tính chất của ma trận kề của đồ thị vô hướng:- Tính đối xứng: a[i,j]=a[j,i], i,j=1,2,. . .,n.GVHD: TS. NguyÔn Trung Hoµ1 2 3 4 5 61 0 1 1 0 1 02 1 0 1 0 1 03 1 1 0 1 0 04 0 0 1 0 1 15 1 1 0 1 0 16 0 0 0 1 1 01 2 3 4 5 61 0 1 1 0 0 02 0 0 0 0 0 03 0 1 0 1 0 04 0 0 0 0 0 05 0 0 0 1 0 16 0 0 0 0 1 051, nếu i là đỉnh đầu của cung ej-1, nếu i là đỉnh cuối của cung ej0, nếu i không là đầu mút của cung ej(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,5) (4,5) (4,6) (5,2) (5,6) 1 1 1 0 0 0 0 0 0 02 -1 0 1 1 0 0 0 -1 03 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0A= 4 0 0 0 -1 0 1 1 0 05 0 0 0 0 -1 0 0 1 16 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 Đê tài thực tập chuyên ngành Nhóm thực hiện: Lớp 46B2_CNTT- Tổng các phần từ trên dòng i (cột j) bằng bậc của đỉnh i (đỉnh j).- Gọi aịjp , i,j=1, 2,. . . ,n là phần tử của ma trận Ap =A.A. . .A (p thừa số)Khi đó: aịjp , i,j=1, 2,. . . ,n là số đường đi khác nhau từ đỉnh i đến đỉnh j qua p-1 đỉnh trung gian.* Tính chất của ma trận kề của đồ thị có hướng:- Không có tính đối xứng- Tổng các phần từ trên dòng i bằng bán bậc ra của đỉnh i và tổng các phần từ trên cột j bằng bán bậc vào của đỉnh j. - Giống tính chất 3 của vô hướng* Ma trận kề của đa đồ thị: a[i,j]=số cạnh (cung) nối hai đỉnh i, j.• Ma trận trọng số:Đồ thị có trọng số là đồ thị mà mỗi cạnh (i,j) có một giá trị c(i,j) gọi là trọng số của cạnh. Để biểu diễn đồ thị ta sử dụng ma trận trọng số C= {c[i,j], i,j=1, 2,. . .,n}với c[i,j]=c(i,j) nếu (i,j)∈ E và c[i,j]=θ nếu (i,j) ∉ Etrong đó số θ có thể được đặt bằng một trong các giá trị sau: 0, +∞ , -∞ .Ưu điểm lớn nhất của phương pháp biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề (hoặc ma trận trọng số) là để trả lời câu hỏi: Hai đỉnh u,v có kề nhau trên đồ thị hay không, chúng ta chỉ phải thực hiện một phép so sánh. nhược điểm lớn nhất của phương pháp này là: không phụ thuộc vào số cạnh của đồ thị, ta luôn phải sử dụng n2 đơn vị bộ nhớ để lưu trữ ma trận kề của nó.b. Ma trận liên thuộc đỉnh-cạnh Xét G=(V, E) là đơn đồ thị có hướng. Ma trận liên thuộc đỉnh-cạnh có dạng:Ví dụ: GVHD: TS. NguyÔn Trung Hoµ61, nếu i là đỉnh đầu của cung ej-1, nếu i là đỉnh cuối của cung ej0, nếu i không là đầu mút của cung ejaij =12 4653(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,5) (4,5) (4,6) (5,2) (5,6) 1 1 1 0 0 0 0 0 0 02 -1 0 1 1 0 0 0 -1 03 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0A= 4 0 0 0 -1 0 1 1 0 05 0 0 0 0 -1 0 0 1 16 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 Đê tài thực tập chuyên ngành Nhóm thực hiện: Lớp 46B2_CNTT Hinh 2.2c. Danh sách cạnh (cung) Trong trường hợp đồ thị thưa (đồ thị có số cạnh m thoả mãn bất dẳng thức: m<6n) người ta thường dùng cách biểu diễn đồ thị dưới dạng danh sách cạnh.Chúng ta sẽ lưu trữ danh sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị. Một cạnh (cung) e=(x,y) của đồ thị sẽ tương ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e]. Như vậy, để lưu trữ đồ thị ta cần sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhược điểm của cách biểu diễn này tìm các đỉnh kề với một đỉnh cho trước chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh (khi duyệt qua danh sách tất cả các cạnh của đồ thị). Trong trường hợp đồ thị có trọng số ta cần thêm m đơn vị bộ nhớ để lưu trữ trọng số của các cạnh.Ví dụ: D/s cạnh (cung) của G (G1) ( hình 1)Đầu Cuối Đầu Cuối1 2 1 2GVHD: TS. NguyÔn Trung Hoµ7(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,5) (4,5) (4,6) (5,2) (5,6) 1 1 1 0 0 0 0 0 0 02 -1 0 1 1 0 0 0 -1 03 0 -1 -1 0 1 0 0 0 0A= 4 0 0 0 -1 0 1 1 0 05 0 0 0 0 -1 0 0 1 16 0 0 0 0 0 0 -1 0 -1 Đê tài thực tập chuyên ngành Nhóm thực hiện: Lớp 46B2_CNTT1 3 1 31 5 3 22 3 3 42 5 5 43 4 5 64 5 6 54 6 5 6 D/s cạnh của G D/s cung của G1d. Danh sách kề Với mỗi đỉnh v, ta lưu trữ danh sách các đỉnh kề với v: Ke(v)={u∈ V: (v,u)∈E} Ví dụ: - Danh sách kề của G Đỉnh đầu- Danh sách kề của hình G1Đỉnh đầuGVHD: TS. NguyÔn Trung Hoµ8 ờ ti thc tp chuyờn ngnh Nhúm thc hin: Lp 46B2_CNTTTrong cỏch biu din ny chỳng ta cn phi s dng c m+n n v b nh.III. ng i trong th1 ng iXét đồ thị G = <V,E> với - Tập đỉnh V = {v1,v2, .,vn} - Tập cạnh E = {e1,e2, .,em}Tập hợp các đỉnh kề nhau từ vi đến vj đợc gọi là 1 đờng đi, kí hiệu vivi1vi2 . vj vieivi1ei1vi2ei2 . ejvjTrong đó các cạnh, các đỉnh trong đờng đi có thể lặp lại 2 Chu trình Xét một đờng đi từ vi - vj. Nếu vi vj thì đờng đi này đợc gọi là một chu trình. Nh vậy chu trình là một đờng đi có đỉnh xuất phát và đỉnh kết thúc trùng nhau.Chú ý rằng đờng đi trong đồ thị có hớng không đợc đi ngợc chiều mũi tên- Đờng đi (chu trình) đợc gọi là đơn nếu nó đi qua mỗi cạnh không quá một lần.- Đờng đi (chu trình) đợc gọi là sơ cấp nếu nó đi qua mỗi đỉnh đúng một lần3 Đờng đi và chu trình của đồ thị vô hớng:Đờng đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên dơng, trên đồ thị vô hớng G=(V,E) là dãy:x0, x1, , xn-1, xn.Trong đó: u=x0, v=xn, (xi,xi+1) thuộc E. i=0,1,2, , n-1.GVHD: TS. Nguyễn Trung Hoà9 ờ ti thc tp chuyờn ngnh Nhúm thc hin: Lp 46B2_CNTTĐờng đi trên còn đợc biểu diễn dới dạng cạnh:(x0,x1), (x1,x2), ,(xn-1,xn).Đỉnh u đợc gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v đợc gọi là đỉnh cuối của đờng đi. Đờng đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u trùng với v) đợc gọi là chu trình. Đờng đi hay chu trình đợc gọi là đơn nếu không có cạnh nào bị lặp lại. Hỡnh2.3 Khái niệm đờng đi và chu trình trên đồ thị có hớng đợc định nghĩa hoàn toàn tơng tự nh trờng hợp đồ thị vô hớng, chỉ khác là ta có chú ý đến hớng trên các cung.4. Đờng đi và chu trình của đồ thị có hớng:Đờng đi có độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên dơng, trên đồ thị có hớng là dãy:x0, x1, , xn-1, xn.Trong đó: u=x0, v=xn, (xi,xi+1) thuộc E. i=0,1,2, , n-1.Đờng đi trên còn đợc biểu diễn dới dạng các cung:(x0,x1), (x1,x2), ,(xn-1,xn).Đỉnh u đợc gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v đợc gọi là đỉnh cuối của đờng đi. Đờng đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u trùng với v) đợc gọi là chu trình. Đờng đi hay chu trình đợc gọi là đơn nếu không có cạnh nào bị lặp lại.5. Đồ thị liên thôngCho đồ thị G = <V,E>. Hai đỉnh phân biệt u,v V đợc gọi là liên thông nếu tồn tại một đờng đi nối các đỉnh u,v với nhau. Đồ thị G đợc gọi là liên thông nếu với hai đỉnh phân biệt bất kỳ trong đồ thị đều là liên thông.GVHD: TS. Nguyễn Trung HoàEE10ABCDE [...]... lẻ. 7. Bài tốn đường đi ngắn nhất Trong lý thuyết đồ thị, bài toán đường đi ngắn nhất nguồn đơn là bài tốn tìm một đường đi giữa hai đỉnh sao cho tổng các trọng số của các cạnh tạo nên đường đi đó là nhỏ nhất. Định nghĩa một cách hình thức, cho trước một đồ thị có trọng số (nghĩa là một tập đỉnh V, một tập cạnh E, và một hàm trong số có giá trị thực f : E → R), cho trước một đỉnh v thuộc V, tìm một. .. Đầu Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực đã có từ lâu và có nhiều ứng dụng hiện đại. Những tư tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuất vào những năm đầu của thế kỷ 18 bởi nhà toán học lỗi lạc người Thụy Sỹ Lenhard Euler. Đồ thị được sử dụng để giải các bài toán trong nhiều lĩnh lực khác nhau . Chẳng hạn , đồ thị có thể sử để xác định mạch vịng trong vấn đề giải tích mạch đi n. Đồ thị có trọng số. .. một đường đi P từ v tới mỗi đỉnh v' thuộc V sao cho: là nhỏ nhất trong tất cả các đường nối từ v tới v' . Bài toán đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh là một bài toán tương tự, trong đó ta phải tìm các đường đi ngắn nhất cho mọi cặp đỉnh v và v' . Thuật tốn Dijkstra, mang tên của nhà khoa học máy tính người Hà Lan Edsger Dijkstra, là một thuật toán giải quyết bài toán đường đi ngắn... ngắn nhất nguồn đơn trong một đồ thị có hướng khơng có cạnh mang trọng số âm. Bài tốn: Cho một đồ thị có hướng G=(V,E), một hàm trọng số w: E → [0, ∞) và một đỉnh nguồn s. Cần tính tốn được đường đi ngắn nhất từ đỉnh nguồn s đến mỗi đỉnh của đồ thị. Ví dụ: Chúng ta dùng các đỉnh của đồ thị để mơ hình các thành phố và các cạnh để mơ hình các đường nối giữa chúng. Khi đó trọng số các cạnh có thể... phân loại đồ thị theo đặc tính và số lượng của tập các cạnh E: Cho đồ thị G = (V, E). Định nghĩa một cách hình thức 1. G được gọi là đơn đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có nhiều nhất là 1 cạnh trong E nối từ u tới v. 2. G được gọi là đa đồ thị nếu giữa hai đỉnh u, v của V có thể có nhiều hơn 1 cạnh trong E nối từ u tới v (Hiển nhiên đơn đồ thị cũng là đa đồ thị) . 3. G được gọi là đồ thị vô hướng... j. • Ma trận trọng số: Đồ thị có trọng số là đồ thị mà mỗi cạnh (i,j) có một giá trị c(i,j) gọi là trọng số của cạnh. Để biểu diễn đồ thị ta sử dụng ma trận trọng số C= {c[i,j], i,j=1, 2,. . .,n} với c[i,j]=c(i,j) nếu (i,j) ∈ E và c[i,j]= θ nếu (i,j) ∉ E trong đó số θ có thể được đặt bằng một trong các giá trị sau: 0, + ∞ , - ∞ . Ưu đi m lớn nhất của phương pháp biểu diễn đồ thị bằng ma trận... các bài tốn như: Tìm đường đi ngắn nhất giữa hai thành phố trong mạnh giao thơng. Chúng ta cũng cịn sử dụng đồ thị để giải các bài toán về lập lịch , thời khoa biu Đặc biệt trong khoảng vài mơi năm trở lại đây, cùng với sự ra đời của máy tính đi n tử và sự phát triển nhanh chóng của tin học, lí thuyến đồ thị càng đợc quan tâm đến nhiều hơn. Các thuật toán trên đồ thị đà có nhiều ứng dụng trong. .. hơn. Các thuật toán trên đồ thị đà có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nh: Mạng máy tính, Lí thuyết mÃ, Tối u hoá . Trong phạm vi đề tài nµy do thời gian có hạn chúng em chỉ nghiên cứu về một số bài toán v ng i trong lí thuyết đồ thị nh: Bài toán tìm chu trình Euler, Bài toán tìm đờng đi ngắn nhất , ThuËt to¸n Dijkstral. Chúng em rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cơ và các bạn. Chóng... dụ : Rất nhiều bài tốn có thể mơ hình hoá bằng đồ thị và giải quyết bằng các thuật tốn trên đồ thị. Ví dụ: Xếp lịch thi đấu là một đồ thị vô hướng với mỗi đội là đỉnh, hai đội thi đấu với nhau là cạnh. Mạng giao thơng là một đa đồ thị có hướng với nút giao thông là đỉnh, đường đi giữa hai nút là cung. Tương tự việc thiết kế mạng máy tính, mạng viễn thơng có thể đưa về bài tốn đồ thị II. Các khái... deg + (E)=1 - Định lý 1 : Trong đồ thị vơ hướng thì tổng bậc của tất cả các đỉnh bằng 2 lần số cạnh. ∑ ∈Vv v)deg( = 2m (m là số cạnh) Chứng minh: Mỗi cạnh e=(u,v) được tính một lần trong deg(u) và một lần trong deg(v) nên trong tổng bậc của các đỉnh, mỗi cạnh được tính hai lần, mà có m cạnh nên suy ra tổng bậc bằng 2m. - Hệ quả : Trong đồ thị vơ hướng, số đỉnh có bậc là số lẻ là một số chẵn Chứng minh: Gọi . đồ thị có đường đi Euler nhưng không có chu trình Euler là đồ thị đó có đúng 2 đỉnh bậc lẻ.7. Bài toán đường đi ngắn nhất Trong lý thuyết đồ thị, bài toán. là một thuật toán giải quyết bài toán đường đi ngắn nhất nguồn đơn trong một đồ thị có hướng không có cạnh mang trọng số âm .Bài toán: Cho một đồ thị