Bài toán đặt không chỉnh

Bài toán đặt không chỉnh

Mục lục

1.1 Bài toán đặt không chỉnh 6

1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh 6

1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh 7

1.2 Phương trình toán tử đơn điệu 9

1.2.1 Toán tử đơn điệu 9

1.2.2 Phương trình với toán tử đơn điệu 13

Chương 2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu 16 2.1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử trong trường hợp toán tử nhiễu đơn điệu 16

2.1.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 16

2.1.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 20

2.2 Hiệu chỉnh phương trình toán tử với toán tử nhiễu không đơn điệu 22

2.2.1 Bài toán hiệu chỉnh 22

2.2.2 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 23

2.3 Ví dụ số 25

Kết luận 27

Tài liệu tham khảo 28

Tóm tắt công trình

Xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử A(x) = f, ở đây A : X −→

X∗ là một toán tử đơn điệu, h-liên tục từ không gian Banach phản xạ thực

X vào không gian liên hợp X∗ của X, f là phần tử thuộc X∗ Nếu toán tử Akhông có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì phương trình toán

tử A(x) = f nói chung là một bài toán đặt không chỉnh Trong đề tài nàychúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử đặt khôngchỉnh A(x) = f trong trường hợp toán tử nhiễu Ah : X −→ X∗ đơn điệu vàkhông đơn điệu thoả mãn ||A(x) − Ah(x)|| ≤ hg(||x||) trong đó g(t) là mộthàm liên tục, không âm, giới nội, ∀t > 0 Chúng tôi cũng đưa ra một ví dụ

số minh hoạ, chương trình thực nghiệm được viết bằng ngôn ngữ MATLAB

Mở đầu

Rất nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới bài toán

đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi dữkiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy nhất,hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Do tính không

ổn định này của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó gặp khókhăn Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể dẫn đến mộtsai số bất kỳ trong lời giải

Trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu bài toán đặt không chỉnh dưới dạngphương trình toán tử

đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bài toán

đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bàitoán thực tế Nội dung chủ yếu của phương pháp này là xây dựng nghiệmhiệu chỉnh cho phương trình toán tử (1) trong không gian Hilbert thực H dựatrên việc tìm phần tử cực tiểu xh,δ

α của phiếm hàm Tikhonov

Fαh,δ(x) = kAh(x) − fδk2 + αkx − x∗k2 (2)

trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x∗ là phần tửcho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (Ah, fδ) là xấp xỉ của (A, f).Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàmTikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h, δ) thích hợp để phần tử cựctiểu xh,δ

α(h,δ) dần tới nghiệm chính xác của bài toán (1) khi h và δ dần tớikhông

Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khókhăn trong trường hợp bài toán phi tuyến Đối với lớp bài toán phi tuyến vớitoán tử đơn điệu A : X → X∗, F Browder [7] đưa ra một dạng khác củaphương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu của phương pháp do F.Browder đề xuất là sử dụng một toán tử M : X → X∗ có tính chất h-liêntục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Us, ánh xạ đối ngẫu tổngquát của X, là một toán tử có tính chất như vậy Bằng phương pháp này, Ya

I Alber [3] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh

cho bài toán (1) khi Ah : X → X∗ là toán tử đơn điệu

Việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệuchỉnh (3) khi Ah ≡ A đã được nghiên cứu trong [4] ở đó người ta chỉ rarằng tham số α phụ thuộc vào δ được đánh giá bởi đẳng thức

ρ(α) = ˜Kδp, 0 < p < 1, ˜K ≥ 1,với ρ(α) = αkxδ

αk Phương trình hiệu chỉnh (3) cùng cách chọn tham số

α = α(δ) như trên là một thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trìnhtoán tử không chỉnh (1) Năm 2005, Nguyễn Bường [6] đã nghiên cứu việcchọn giá trị của tham số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộng trên cơ

sở giải phương trình

ρ(α) = δpα−q, 0 < p ≤ q

cho bài toán (1) khi xét phương trình hiệu chỉnh (3) trong trường hợp Ah ≡ A.Trong trường hợp toán tử nhiễu Ah không đơn điệu thì phương trình (3)

có thể không giải được Do đó O A Liskovets [8] đã xây dựng nghiệm hiệuchỉnh xτ

α trên cơ sở giải bài toán bất đẳng thức biến phân: tìm xτ

α ∈ X saocho:

đơn điệu với các nội dung sau:

1 Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnhphương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ thực X.Nêu sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệmhiệu chỉnh ứng với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm

2 Đưa ra một ví dụ số minh họa

Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương Chương 1 giới thiệumột số kiến thức cơ bản nhất về bài toán đặt không chỉnh và phương trìnhtoán tử đơn điệu

Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov chophương trình toán tử đơn điệu với toán tử nhiễu đơn điệu và không đơn

điệu đồng thời đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh này ở phầncuối của chương là một kết quả số có tính chất minh hoạ

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo Ts Nguyễn ThịThu Thủy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện

đề tài

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo trong khoaToán-Tin, trường Đại Học Khoa Học những người đã tận tình giảng dạy và

trang bị cho em nhiều kiến thức cơ bản trong suốt thời gian em học tập tạitrường.

Em xin gửi lời cảm ơn tới chị Vũ Thị Ngọc nguyên sinh viên lớp CN ToánK4 đã giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian em làm đề tài

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên và cổ

vũ tôi rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2010

Sinh viênDương Thị Việt An

Chương 1

Phương trình toán tử đặt không chỉnh

1.1 Bài toán đặt không chỉnh

1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh trên cơ sở xétmột bài toán ở dạng phương trình toán tử

ở đây A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gianBanach Y , f là phần tử thuộc Y Sau đây là một định nghĩa của Hadamard(xem [1])

Định nghĩa 1.1 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu

1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

2) nghiệm này duy nhất;

3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán (1.1)

được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) Đối với các bài toán phituyến thì điều kiện thứ hai hầu như không thoả mãn Do vậy hầu hết các bàitoán phi tuyến đều là bài toán đặt không chỉnh Hơn nữa điều kiện cuối cùngcũng khó thực hiện được, vì vậy ta có định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.2 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian Y Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm của phươngtrình (1.1) không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f, nghĩa là x = R(f), đượcgọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0 tồn tại một sốδ(ε) > 0 sao cho từ ρY(f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε, ở đây

1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Sau đây là một số ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Ví dụ 1.1 (xem [1]) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I

Z b a

K(x, s)ϕ(s)ds = f0(x), x ∈ [a, b], (1.2)

ở đây nghiệm là một hàm ϕ(x), vế phải f0(x) là một hàm cho trước, K(x, s)

là hạch của tích phân Giả thiết hạch K(x, s) cùng với ∂K(x, s)

∂x liên tục trênhình vuông [a, b] ì [a, b] Ta xét hai trường hợp sau:

• Trường hợp 1

A : C[a, b] → L2[a, b]

ϕ(x) 7→ f0(x) =

Z b a

K(x, s)ϕ(s)ds

Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2[a, b], tức

là khoảng cách giữa hai hàm f0(x) và f1(x) trong L2[a, b] được cho bởi

ρL2 [a,b](f0, f1) =

 Z b

|f0(x) − f1(x)|2dx

12

Giả sử phương trình (1.2) có nghiệm là ϕ0(x) Khi đó với vế phải

f1(x) = f0(x) + N

Z b a

K(x, s)sin(ωs)dsthì phương trình này có nghiệm

 Z b a



Kmax1

ωcos(ωs)

b a

K(x, s)ϕ(s)ds

Tương tự, ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ0 và ϕ1 trong khônggian L2[a, b] có thể lớn bất kì Thật vậy,

ρL2 [a,b](ϕ0, ϕ1) =

 Z b a

|ϕ0(x) − ϕ1(x)|2dx

12

= |N |

 Z b a

2ωsin(ω(b − a))cos(ω(b + a)).

Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL 2 [a,b](f0, f1) rấtnhỏ nhưng ρL 2 [a,b](ϕ0, ϕ1) lại rất lớn

Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán (1.1) nên người ta thường

có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta sẽ sử dụng nghiệm x0 có

x∗-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm thoả mãn

A(x0) = f,và

• Toán tử đơn điệu: Toán tử A được gọi là đơn điệu (monotone) nếu

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A) (1.3)Toán tử A được gọi là đơn điệu chặt (strictly monotone) nếu dấu bằng chỉxảy ra khi x = y Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệutương đương với tính không âm của toán tử

Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t)không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và

hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk
, ∀x, y ∈ D(A)

Nếu δ(t) = cAt2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn

điệu mạnh

Ví dụ 1.2 Toán tử tuyến tính A : RM

→ RM được xác định bởi

A = BTB,với B là một ma trận vuông cấp M, là một toán tử đơn điệu

• Toán tử h-liên tục, d-liên tục: Toán tử A được gọi là h-liên tục tinuous) trên X nếu A(x+ty) * Ax khi t → 0 với mọi x, y ∈ X và A đượcgọi là d-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ xn → x suy ra Axn * Axkhi n → ∞

(hemicon-Ví dụ 1.3 Hàm hai biến:

liên tục theo từng biến riêng biệt tại (0, 0) nhưng không liên tục tại (0, 0)

Do đó nó h-liên tục tại (0, 0)

• Toán tử bức: Toán tử A được gọi là toán tử bức (coercive) nếu

lim

||x||→+∞ ||x|| = +∞, ∀x ∈ X.

• Không gian E-S (Ephimov Stechkin): Không gian Banach X được gọi làkhông gian Ephimov Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu X phảnxạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử (xn * x) và sự hội tụ chuẩn(kxnk → kxk) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh (kxn− xk → 0)

Ví dụ 1.4 Không gian Hilbert có tính chất E-S

Sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1) được cho trong định lýsau.

Định lí 1.1 (xem [1]) Cho A là một toán tử h-liên tục, đơn điệu và bức từkhông gian Banach phản xạ X vào X∗ Khi đó phương trình A(x) = f cónghiệm với mọi f ∈ X∗

Chứng minh: Do A là toán tử bức, cho nên tồn tại một hàm thực không

âm δ(t) : δ(t) → +∞ khi t → +∞ và hA(x), xi ≥ ||x||δ(||x||) Xét ánh xạ

af(x) = A(x) − f, ở đây f ∈ X∗ là một phần tử bất kì Khi đó af cũng là

ánh xạ liên tục và đơn điệu Hơn thế nữa

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian X Khi s = 2 thì Us

được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian X.Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho trong mệnh đề sau.Mệnh đề 1.1 (xem [1]) Giả sử X là một không gian Banach Khi đó,

1) U(x) là tập lồi, U(λx) = λU(x) với mọi λ ∈ R;

2) U là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X∗ là không gian lồi chặt Trongtrường hợp X là không gian Hilbert thì U = I-toán tử đơn vị trong X

ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồn tạitrong mọi không gian Banach

Định lí 1.2 (xem [3]) Nếu X∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ đốingẫu chuẩn tắc U : X → X∗ là toán tử đơn điệu, bức và d-liên tục Hơnnữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệu chặt.Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được sử dụng trongphần sau.

Bổ đề 1.1 (xem [1]) Cho X là không gian Banach thực X∗ là không gianliên hợp của X, f ∈ X∗ và A : X −→ X∗ là một toán tử h-liên tục Khi

đó tồn tại x0 ∈ X thoả mãn bất đẳng thức:

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ Xthì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f Đặc biệt nếu A là một toán tử

đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương đương với:

• Toán tử đơn điệu cực đại: Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu

hx∗ − y∗, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X, ∀x∗ ∈ A(x), ∀y∗ ∈ A(y)

Tập Gr(A) được gọi là đơn điệu nếu nó thoả mãn bất đẳng thức trên NếuGr(A) không chứa trong một tập đơn điệu nào khác trong X ì X∗ thì toán

tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại

Định lí 1.3 (xem [3]) Mọi toán tử đơn điệu, h-liên tục A : X −→ X∗ làtoán tử đơn điệu cực đại

Định lí 1.4 (xem [3]) Bất kì một toán tử h-liên tục A : X −→ X∗ vớiD(A) = X đều là toán tử đơn điệu cực đại.

Định nghĩa 1.3 Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X∗ là khônggian liên hợp của X, ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm trên X

• ϕ được gọi là lồi trên X nếu

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y), ∀x, y ∈ X, λ ∈ [0, 1]

• ϕ được gọi là khả vi Fréchet nếu tồn tại F ∈ L(X, R) sao cho

ϕ(x + h) = ϕ(x) + F (h) + o(k h k), h → 0,với h thuộc lân cận của điểm không Nếu F tồn tại thì nó được gọi là đạohàm Fréchet của ϕ tại x và kí hiệu là ϕ0(x) = F

1.2.2 Phương trình với toán tử đơn điệu

Cho X là một không gian Banach phản xạ thực, X∗ là không gian liênhợp của X Với f ∈ X∗ cho trước, phương trình (1.1) được gọi là phươngtrình toán tử Nếu A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu thì phương trìnhtoán tử (1.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh

Ví dụ 1.5 Xét phương trình toán tử (1.1) với A là một ma trận vuông cấp

thì phương trình vô nghiệm Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trong phươngtrình ban đầu đã kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm.

Ký hiệu S0 là tập nghiệm của phương trình (1.1), giả thiết nghiệm tồn tại

Ta có định lý sau (xem [3])

Định lí 1.5 Cho toán tử A : X −→ X∗ là toán tử đơn điệu cực đại Gọi S0

là tập tất cả các phần tử x0 ∈ X sao cho x0 là nghiệm của phương trình

Ax = f Khi đó S0 là tập lồi và đóng trong X∗

Chứng minh: Lấy f1, f2 ∈ Ax Vì A là toán tử đơn điệu nên ta có:

Vậy f ∈ Ax hay S0 là tập lồi

Lấy fn ∈ Ax, fn → f∗ Ta chứng minh f∗ ∈ Ax Thật vậy,

hfn− g, x − yi ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA

Cho n → ∞ ta được hf∗ − g, x − yi ≥ 0 Suy ra f∗ ∈ Ax

Vậy S0 là tập đóng

2

Chương 2

Hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu

2.1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử trong trường hợp toán

tử nhiễu đơn điệu

2.1.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

Cho X là một không gian Banach thực, X∗ là không gian liên hợp của

X Xét phương trình toán tử

ở đây f ∈ X∗ là phần tử cho trước, A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu,

đơn trị, h-liên tục Trong toàn bộ chương này ta luôn giả thiết X là khônggian Banach phản xạ, có tính chất E-S, X và X∗ là các không gian lồi chặt.Nếu toán tử A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì bàitoán (2.1) nói chung là bài toán đặt không chỉnh Ký hiệu S0 là tập nghiệmcủa bài toán (2.1) Giả thiết rằng S0 6= ∅, khi đó S0 là một tập đóng và lồitrong X (xem Định lý 1.5)

trong đó g(t) là một hàm giới nội và Ah là toán tử đơn điệu và h-liên tục từ

X vào X∗, x∗ là một phần tử bất kỳ trong X Giả thiết rằng ánh xạ đối ngẫu

tổng quát Us thoả mãn:

s(x) − Us(y), x − y ≥ mUkx − yks, mU > 0, (2.5)

ta có kết quả sau (xem [1])

Định lí 2.1 Cho Ah : X → X∗ là toán tử đơn điệu bị chặn, h-liên tục vớimọi h > 0, Us : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X thỏa mãn(2.5), fδ ∈ X∗ với mọi δ > 0 Giả thiết rằng các điều kiện (2.3) và (2.4)thỏa mãn Khi đó:

1) Với mỗi α > 0 phương trình (2.2) có duy nhất nghiệm xτ

α, τ = (h, δ).2) Ngoài ra nếu

=+ α s(x), x − θ Vì A là toán tử đơn điệu nên

Mặt khác, theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X ta có

α s(x), x − θ s(x), x = αkxks

... X∗ toán tử đơn điệu, d-liên tục Hơnnữa, X không gian Banach lồi chặt U tốn tử đơn điệu chặt.Sau kết lý thuyết toán tử đơn điệu sử dụng trongphần sau.

Bổ đề 1.1 (xem [1]) Cho X không. .. thiết X khônggian Banach phản xạ, có tính chất E-S, X X∗ khơng gian lồi chặt.Nếu tốn tử A khơng có tính chất đơn điệu đơn điệu mạnh bàitốn (2.1) nói chung tốn đặt khơng chỉnh Ký... class="text_page_counter">Trang 11

Toán tử A gọi đơn điệu tồn hàm không âm δ(t )không giảm với t ≥ 0, δ(0) = và

hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk
, ∀x,