Bài tập toán rời rạc 2 doc

Chứng minh rằng số học sinh làm được 3 câu không vượt quá 27.

NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

BÀI 6 TRANG 44_1

 Có bao nhiêu hoán vị của các số tự nhiên 1, 2…10 mà trong đó 3 số 1, 2, 3 không đứng cạnh nhau theo thứ

tự tăng dần

GIẢI:

 Gọi |A| là tập các hoán vị của các số tự nhiên từ 1…10 => |A| =10!

 Gọi |A1| là tập các số tự nhiên gồm 3 số 1, 2, 3 gom thành một nhóm và theo thứ tự tăng dần, và các số

còn lại 4…10 Như vậy |A1| là tập hoán vị của 8 số => | A1|=8!

NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ

BÀI 6 TRANG 44_2

 Gọi |A2| là tập các số tự nhiên trong đó 3 số 1,

2, 3 không đứng cạnh nhau theo thứ tự tăng dần

 Theo nguyên lý bù trừ, ta thu được

|A2| = 10! - 8! = 3588480 ( hoán vị )

BÀI 7 TRANG 44, 45

 Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thỏa mãn

GIẢI:

 Theo giả thiết ta có

 Đặt

 => và

 Điều kiện sau là hiển nhiên vớI các nghiệm của pt

 Bài toán trở về trường hợp bài toán chia tiền

 Số nghiệm của phương trình tương ứng với số cách chia tiền

 Áp dụng vào bai toán => số nghiệm là : = 4 ( nghiệm)

1 2 3 4 29

x  x  x  x 

1 3, 2 12, 3 5, 4 10

x  x  x  x 

1 2 3 4 29

x  x  x  x 

  

   (3 x1) (12  x2) (5  x3) (10  x4) 1

t   x t   x t   x t   x

1 0, 2 0, 3 0, 4 0

t  t  t  t 

1 1

k

n k

1 3, 2 12, 3 5, 4 10

1 2 3 4 1

t  t  t  t 

BÀI 8 TRANG 45_1

 Một lớp có 50 học sinh làm bài kiểm tra gồm 3 câu hỏi Biết rằng mỗi học sinh làm được ít nhất một câu, và số học sinh làm được câu 1 là 40, câu 2 là 35, câu 3 là 30 Chứng minh rằng số học sinh làm được 3 câu không vượt quá 27.

GIẢI:

 Gọi tập hợp số học sinh làm được số câu hỏi 1 là :|X1|

 Gọi tập hợp số học sinh làm được số câu hỏi 2 là :|X2|

 Gọi tập hợp số học sinh làm được số câu hỏi 3 là :|X3|

 Theo giả thiết ta có : |X1|=40 , |X2|=35,|X3|=30 và

BÀI 8 TRANG 45_2

 Theo nguyên lý của tập hợp ta có

 Đặt

 => 50 =105-

 Đặt

| 1 2 3| | 1| | 2 | | 3| | 1 2| | 2 3|

| 1 3| | 1 2 3|

X X X X X X X X X X

X X X X X

        

    

| X 1  X 2  X 3 |  K

| 1 X  X 2 | | 1  X  X 3| | 3  X  X 1|  K

1 | 1 2 | | 1 2 3 | 0

2 | 2 3 | | 1 2 3 | 0

3 | 3 1| | 1 2 3 | 0

     

     

     

BÀI 8 TRANG 45_3

 Do đó ta có : 50 = 105 - (3K+K1+K2+K3) + K

 =>2K 55 ( do K1+K2+K3 0 ) => K 27

 Vậy số học sinh làm không quá được cả 3 câu không quá 27( đpcm)