Bài tập toán rời rạc 2 doc

NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ BÀI 6 TRANG 44_1 Có bao nhiêu hoán vị của các số tự nhiên 1, 2…10 mà trong đó 3 số 1, 2, 3 không đứng cạnh nhau theo thứ tự tăng dần GIẢI:  Gọi |A| là tập các hoán vị của các số tự nhiên từ 1…10 => |A| =10!   Gọi |A1| là tập các số tự nhiên gồm 3 số 1, 2, 3 gom thành một nhóm và theo thứ tự tăng dần, và các số còn lại 4…10 Như vậy |A1| là tập hoán vị của 8 số => | A1|=8! NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ BÀI 6 TRANG 44_2 Gọi |A2| là tập các số tự nhiên trong đó 3 số 1, 2, 3 không đứng cạnh nhau theo thứ tự tăng dần  Theo nguyên lý bù trừ, ta thu được |A2| = 10! - 8! = 3588480 ( hoán vị )  BÀI 7 TRANG 44, 45 Hỏi phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 29 có bao nhiêu nghiệm nguyên không âm thỏa mãn x1 ≤ 3, x2 ≤ 12, x3 ≤ 5, x4 ≤ 10 GIẢI:  Theo giả thiết ta có x1 + x2 + x3 + x4 = 29  (3 − x1 ) + (12 − x2 ) + (5 − x3 ) + (10 − x4 ) = 1  Đặt t1 = 3 − x1 , t2 = 12 − x2 , t3 = 5 − x3 , t4 = 10 − x4  → ¬   => t1 ≥ 0, t 2 ≥ 0, t3 ≥ 0, t4 ≥ 0 và t1 ≤ 3, t2 ≤ 12, t3 ≤ 5, t4 ≤ 10 Điều kiện sau là hiển nhiên vớI các nghiệm của pt t1 + t2 + t3 + t4 = 1 Bài toán trở về trường hợp bài toán chia tiền Số nghiệm của phương trình tương ứng với số cách chia tiền  Áp dụng vào bai toán => số nghiệm là :    k− cn +1 −1 k 4− 1 c1+4 −1 = 4 ( nghiệm) BÀI 8 TRANG 45_1 Một lớp có 50 học sinh làm bài kiểm tra gồm 3 câu hỏi Biết rằng mỗi học sinh làm được ít nhất một câu, và số học sinh làm được câu 1 là 40, câu 2 là 35, câu 3 là 30 Chứng minh rằng số học sinh làm được 3 câu không vượt quá 27 GIẢI:  Gọi tập hợp số học sinh làm được số câu hỏi 1 là :|X1|  Gọi tập hợp số học sinh làm được số câu hỏi 2 là :|X2|  Gọi tập hợp số học sinh làm được số câu hỏi 3 là :|X3|  Theo giả thiết ta có : |X1|=40 , |X2|=35,|X3|=30 và  BÀI 8 TRANG 45_2  Theo nguyên lý của tập hợp ta có | X 1 ∪ X 2 ∪ X 3|= | X 1| + | X 2 | + | X 3| − | X 1 ∩ X 2 | − | X 2 ∩ X 3| − | X 1 ∩ X 3| + | X 1 ∩ X 2 ∩ X 3|    X X Đặt | X 1 ∩ 2 ∩ 3 |=K => 50 =105- | X 1 ∩ X 2 | − | X 1 ∩ X 3 | − | X 3 ∩ X 1| + K Đặt K1 =| X 1 ∩ X 2 | − | X 1 ∩ X 2 ∩ X 3 |≥ 0 K 2 =| X 2 ∩ X 3 | − | X 1 ∩ X 2 ∩ X 3 |≥ 0 K 3 =| X 3 ∩ X 1| − | X 1 ∩ X 2 ∩ X 3 |≥ 0 BÀI 8 TRANG 45_3    Do đó ta có : 50 = 105 - (3K+K1+K2+K3) + K =>2K ≤ 55 ( do K1+K2+K3 ≥ 0 ) => K ≤ 27 Vậy số học sinh làm không quá được cả 3 câu không quá 27( đpcm) ... phương trình x1 + x2 + x3 + x4 = 29 có nghiệm ngun khơng âm thỏa mãn x1 ≤ 3, x2 ≤ 12, x3 ≤ 5, x4 ≤ 10 GIẢI:  Theo giả thiết ta có x1 + x2 + x3 + x4 = 29  (3 − x1 ) + ( 12 − x2 ) + (5 − x3 ) +... x1 , t2 = 12 − x2 , t3 = − x3 , t4 = 10 − x4  → ¬   => t1 ≥ 0, t ≥ 0, t3 ≥ 0, t4 ≥ t1 ≤ 3, t2 ≤ 12, t3 ≤ 5, t4 ≤ 10 Điều kiện sau hiển nhiên vớI nghiệm pt t1 + t2 + t3 + t4 = Bài toán trở...NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ BÀI TRANG 44 _2 Gọi |A2| tập số tự nhiên số 1, 2, không đứng cạnh theo thứ tự tăng dần  Theo nguyên lý bù trừ, ta thu |A2| = 10! - 8! = 3588480 ( hoán vị )  BÀI TRANG 44, 45