Bài tập toán rời rạc.doc

Chia sẻ kiến thức về môn toán rời rạc.

Trang 1

Bai tap toan roi rac co giaiLinks downloaded from ToanDHSP.COM

Cách hiểu 1: (serial là 02 ký tự XN cuối cùng).

Hai số NN đầu là mã tỉnh, do nhà nước quy định nên không ảnh hưởng đến kết quả bài toán

Sáu ký tự còn lại có 5 ký tự là N, như vậy có 10 tr 5 ường hợp Theo nguyên lý Dirichlet, số serial

⎤

X tối thiểu phải thỏa mãn: ⎤⎤

⎤10.000.000 ⎤⎤ 100 Điều này không hợp lý vì số ký tự chữ cái chỉ là

26 Do100.000vậy, nếu bài toán sửa lại là 1 triệu bảng số xe thì kết quả hợp lý hơn, khi đó số serial là:

⎤

⎤⎤

⎤1.000.000 ⎤⎤10

100.000

Cách hiểu 2: (serial là 02 ký tự NN đầu tiên)

Bốn ký tự NNNN sẽ có 104 trường hợp, 02 ký tự XN sẽ có 26*10 = 260 trường hợp Theo quy tắc

nhân, tổng số trường hợp sẽ là: 10 4 *260 = 2.600.000 Do đó, theo nguyên lý Dirichlet, số serial tối thiểu

phải là:

⎤

⎤⎤

⎤10.000.000 ⎤⎤84 4 2.600.000

Bài 3:

Vậy cần 04 số serial để đăng ký đủ cho 10 triệu xe

Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 10:

Trang 2

Xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 và kết thúc bằng 11 có dạng 00.xxxx.xx11 Tương tự như trên, ta

cũng tính được có 2 xâu.6

Vậy số xâu nhị phân bắt đầu bằng 00 hay kết thúc bằng 11 là:

Trang 3

n 2 * 28−26512 −64 448 xâu

b Bắt đầu bằng 00 và kết thúc bằng 11

Xâu nhị phân thỏa mãn đề bài phải có dạng: 00.xxxx.xx11 Hai ký tự đầu và 02 ký tự cuối là

không đổi, do vậy chỉ còn 06 ký tự ở giữa Do đó số xâu nhị phân thỏa mãn đề bài là: 26xâu

Bài 4:

Khóa 29 CNTT có 150 SV học NNLT Java, 160 SV hoc Delphi, 40 SV học cả hai môn trên.

a Tìm tất cả SV của khóa 29 biết rằng SV nào cũng phải học ít nhất 01 môn.

b Biết tổng số SV là 285, hỏi có bao nhiêu SV không học Java hoặc Delphi.

Cách 02: không học Java cũng chẳng học Delphi:

Theo cách hiểu này, áp dụng nguyên lý bù trừ ta tính được số SV như sau:

Bài toán này cũng có thể được hiểu theo 02 cách

Cách 01: phân biệt chữ thường với chữ hoa

Chữ cái thường:

Chữ cái hoa:

Chữ số:

262610

Cách 02: không phân biệt chữ thường với chữ hoa:

Cách làm hoàn toàn tương tự, nhưng thay vì sử dụng các số 62 và 52 thì ở đây sử dụng 02 số: 36

Trang 4

Giải

Trang 5

Vì có n phong bì và n bì thư nên có tất cả N = n! cách bỏ thư khác nhau Để đếm số cách bỏ thưsao cho không lá thư nào đúng địa chỉ, ta áp dụng nguyên lý bù trừ:

N = n! − N1 + N2− + (−1) nNn,

trong đó N m (1 ≤ m ≤ n) là số cách bỏ thư sao cho có ít nhất m lá thư đúng địa chỉ, N m là số cách lấy m lá

thư từ n lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có (n-m)! cách bỏ để m lá thư này đúng địa chỉ, như vậy:

Từ 8 số ở trên, ta chia thành 04 cặ p: {1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {4, 5} và t ổng của mỗi cặp đều bằng 9.

Như vậy, đề bài sẽ trở thành chọn 5 số từ 4 cặp số trên Theo nguyên lý Dirichlet, phải có ít nhất 01 cặp

số được chọn hết Vậy bài toán đã được chứng minh

Bài 8:

Chứng minh rằng trong bất kỳ một nhóm 27 từ tiếng Anh nào cũng có ít nhất 2 từ bắt đầu

từ cùng 01 chữ cái.

Giải

Bảng chữ cái của tiếng anh gồm 26 ký tự: a, b, c, …, x, y, z Vì có 27 từ tiếng Anh và mỗi từ bắt

đầu bằng 01 chữ cái nên theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 02 từ bắt đầu bằng cùng 01 chữ cái

Bài 9:

Cần phải có bao nhiêu SV ghi tên vào lớp TRR để chắc chắn có ít nhất 65 SV đạt cùng điểm

thi, giả sử thang điểm thi gồm 10 bậc.

Với xâu nhị phân có độ dài n, ta chia thành 02 trường hợp:

Nếu ký tự cuối cùng là 1 thì ký tự trước đó (ký tự thứ n – 1) có thể là 1 hay là 0 đều được

Nếu ký tự cuối cùng là 0 thì ký tự trước đó (ký tự thứ n – 1) chỉ có thể là 1 (vì nếu là 0 thì vi phạm

yêu cầu bài toán) nhưng ký tự trước đó nữa (thứ n – 2) có thể là 0 hay 1 đều được

Từ 02 trường hợp trên ta suy ra được: f n f n−1 f n−

2

Các điều kiện đầu: f12 , f 23

Có 13 xâu nhị phân có độ dài 5 và không có 2 số 0 liên tiếp

Trang 7

Bài 11:

⎤ f0 0

Dãy các số Fibonacci thõa

hồi của Fibonacci. f n f n−1 f n−2 , cho điều kiện đầu: ⎤ ⎤

Trang 9

Với n đường thẳng, theo đề bài thì đường thẳng thứ n sẽ cắt n – 1 đường thẳng còn lại tại n – 1

điểm, tức là sẽ cắt n – 1 + 1 = n phần mặt phẳng Do đó, số phần mặt phẳng tăng lên là n Từ đó, ta có

được hệ thức truy hồi: r n r n−1 n

Các điều kiện đầu là:

Trong đồ thị đơn, số bậc tối đa cung

TH1: Giả sử đồ thì không có đỉnh treo, do đó số bậc tối thiểu của các đỉnh là 1, số bậc tối đa của

các đỉnh là n-1 (vì là đơn đồ thị) Có n đỉnh, số bậc của các đỉnh đi từ 1 đến n-1 (n-1) giá trị Do đó theo

nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 02 đỉnh có cùng bậc

TH2: Giả sử đồ thị có ít nhất 01 đỉnh treo, khi đó số bậc tối thiểu của các đỉnh là 0, và số bậc tối

đa chỉ là n-2 (vì là đơn đồ thị, đồng thời có đỉnh treo) Có n đỉnh, số bậc của các đỉnh chỉ có thể đi từ 0

đến n-2 (n-1) giá trị Do đó theo nguyên lý Dirichlet phải có ít nhất 02 đỉnh có cùng bậc

Bài 15:

Tính tổng số bậc của K n (đơn đồ thị đủ).

Giải

Với đồ thị đủ thì mỗi đỉnh đều nối với các đỉnh còn lại Do vậy, khi có n đỉnh thì mỗi đỉnh đều nối

với n -1 đỉnh còn lại, tức là bậc của mỗi đỉnh đều bằng n – 1

Vậy, tổng số bậc của cả đồ thị là: n*(n – 1) bậc

II Các bài tập trong giấy kiểm tra lần 1.

Bài 16: (giống bài 12 phần trước).

Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi sau: a n2a n−15a n−2 −6an−3

trong đó các điều kiện đầu là: a07 , a 1−4 , a 28

Trang 11

Trong tổng số 2504 sinh viên của một khoa công nghệ thông tin, có 1876 theo học môn NNLT Pascal, 999 học môn ngôn ngữ Fortran và 345 học môn ngôn ngữ C Ngoài ra còn biết 876

sinh viên học cả Pascal và Fortran, 232 học cả Fortran và C, 290 học cả Pascal và C Nếu 189 sinh

viên học cả 03 môn Psacal, Fortran và C thì trong trường hợp đó có bao nhiêu sinh viên không học

môn nào trong cả 03 môn nói trên.

Giải

Gọi P: là tập gồm các SV học Pascal

F: là tập gồm các SV học FortranC: là tập gồm các SV học CN: là tổng số SV (2504 SV)Gọi K là số SV học ít nhất 01 mônTheo nguyên lý bù trừ, ta có:

Trang 12

⎤ 6

Trang 13

b5

c5

d5

e3

Trang 15

Bài toán này có thể không cần vẽ hình lại cũng được, từ ma trận kề ta cũng có thể dễ dàng xác

định được số cạnh của mỗi đồ thị lần lượt là 4 và 5 Do vậy chúng không thể đẳng cấu

Hai đồ thị cho ở trên có: số đỉnh, số cạnh, tổng số bậc và số bậc của mỗi đỉnh bằng nhau Đặc biệt,

các đỉnh của đồ thị thứ nhất và thứ hai khi sắp theo thứ tự sau đây thì chúng hoàn toàn tương đương về

mọi mặt:

Đồ thị thứ nhất

Đồ thị thứ hai

BTTo

an roi

rac u1v5

u2v6

u3v3

u4v2

Trang 16

v1

u6

Trang 17

Hai đồ thị có hướng cho ở trên khi sắp theo thứ tự sau đây về các đỉnh thì chúng tương đương về

tất cả các mặt: từ số đỉnh, tổng số bậc, bậc vào, bậc ra của mỗi đỉnh, tổng số cạnh, thứ tự và chiều của

u2v521

u3v112

u4v221

u5v421

u6v612

Vì vậy, hai đồ thị có hướng ở trên là đẳng cấu với nhau

Trang 18

(đpcm)

e vM

Trang 19

Gọi n1, n2 lần lượt là số đỉnh của mỗi phần (n1 + n2 = v) Vì là đơn đồ thị phân đôi nên số cạnh

K

nhiều nhất khi nó là đơn đồ thị phân đôi đủ, tức là: 1,

2.Khi đó, số cạnh nhiều nhất sẽ là:

D

⎤4 0 1 2 3 ⎤

h.bB

B

C

Tìm ma trận liền kề cho các đồ thị sau: a.K n

B

Trang 20

T Toan roi rac

c.W n

Giải

10

Trang 21

Trang 22

Thưa thầy, theo em nghĩ thì đây là hai ma trận liên thuộc chứ không phải là hai ma trận liền kề.

Và nếu là hai ma trận liên thuộc thì chúng đẳng cấu với nhau vì:

Trang 23

v là các số nguyên tố cùng nhau Hãy vẽ đồ thị có hướng G  V E

Tìm số đường đi phân biệt độ dài 3 từ đỉnh 2 tới đỉnh 8.

Giải

Trang 24

BT Toan roi rac

Trang 25

Hai đỉnh liền kề phải ở 2 phần khác nhau Một cạnh chỉ có thể nối từ 1 đỉnh ở phần (I) đến 1 đỉnh

ở phần (II) và ngược lại Gọi m là số đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ trong K3,3 có độ dài n

o Hai đỉnh không liền kề, n chẵn:

o Hai đỉnh không liền kề, n lẽ: m = 0

027

810

13

Trang 27

Bài tập chương III

Câu 1: Cho G là đồ thị có v đỉnh và e cạnh, còn M, m tương ứng là bậc lớn nhất và nhỏ nhất của các đỉnh

⎤,

⎤1 0101

Trang 28

14

Trang 29

Câu 11: Cho V={2,3,4,5,6,7,8} và E là tập hợp các cặp phần tử (u,v) của V sao cho u<v và u,v nguyên tố

cùng nhau Hãy vẽ đồ thị có hướng G=(V,E) Tìm số các đường đi phân biệt độ dài 3 từ đỉnh 2 tới đỉnh 8

Câu 12: Hãy tìm số đường đi độ dài n giữa hai đỉnh liền kề (t.ư không liền kề) tùy ý trong K3,3 với mỗi

giá trị của n sau:

a) n=2, b) n=3,c) n=4, d) n=5.

Trang 31

Câu 1:

Vì m và M tương ứng là bậc nhỏ nhất và lớn nhất các đỉnh của G, do đó ta dễ dàng có được:

Trang 32



e

v m

Trang 34

Trang 35

17

Trang 36

Trang 37

18

Trang 38

Bai tap toan roi rac co giaiLinks downloaded from

0 0

⎤⎤

Trang 39

19

Trang 40

Câu 9:

Theo em dề ra là hai ma trận liên thuộc

Dựa vào hai ma trận liên thuộc ta có thể vẽ lại đồ thị của hai ma trận như sau:

Hai đồ thị G1 và G2 hoàn toàn giống nhau nên chúng đẳng cấu với nhau

Trang 42

mặt: từ số đỉnh, tổng số bậc, bậc vào, bậc ra của mỗi đỉnh, tổng số cạnh, thứ tự và chiều đi và đến của các

cạnh đều tương ứng với nhau:

u2

v2

21

u3

v5

12

u4

v4

21

u5

v1

21

u6

v6

12

Vì vậy, hai đồ thị G1,G2 có hướng cho ở trên là đẳng cấu với nhau

Hai đỉnh liền kề phải ở 2 phần khác nhau cảu đồ thị Một cạnh chỉ có thể nối từ 1 đỉnh ở phần (I)

đến 1 đỉnh ở phần (II) và ngược lại Gọi b là số đường đi giữa 2 đỉnh bất kỳ trong K3,3 có độ dài n

Mặc khác mỗi một đỉnh ở phần này luôn có 3 đường đi để đi qua 1 đỉnh ở phần kia Do vậy ta có

được các kết quả sau đây rút ra từ suy luận trên:

o Hai đỉnh liền kề, n chẵn:

0

Trang 43

,

Trang 44

o Hai đỉnh không liền kề, n chẵn:

o Hai đỉnh không liền kề, n lẽ:

BÀI TẬP CHƯƠNG 4

027

810

b Để một đồ thị có đường đi Euler thì phải có đúng 2 đỉnh bậc lẻ, các đỉnh còn lại phải là bậc chẵn

Vậy một trong 2 giá trị m, n phải là 2, giá trị còn lại phải là số lẻ

Trang 46

là một đồ thị Hamilton Với K m,n các đỉnh có bậc m hoặc n, nên để đồ thị đầy đủ K m,n là đồ thị Hamilton

thì phải có điều kiện sau:

⎤ ⎤ ⎤ n≥n m

Trang 47

Câu 6:

Hiệu trưởng mời 2n (n ≥ 2) sinh viên giỏi đến dự tiệc Mỗi sinh viên giỏi quen ít nhất n sinh viên giỏi khác đến dự tiệc Chứng minh rằng luôn luôn có thể xếp tất cả các sinh viên giỏi ngồi xung quanh một bàn tròn, để mỗi người ngồi giữa hai người mà sinh viên đó quen.

Giải

Giả sử có đồ thị G = (V, E) mà trong đó ta có: V là tập hợp các sinh viên được mời dự tiệc, E = (u,v) với

u, v thuộc V và u, v có quan hệ là quen biết nhau (theo giả thiết của đề bài)

Như vậy theo giả thiết của bài toán ta sẽ xác lập được một đồ thị là một đơn đồ thị có 2n đỉnh, mỗi đỉnh

có bậc tối thiểu là n (vì theo đề bài cho: mỗi sinh viên quen biết với ít nhất là n sinh viên khác).Cho nên tacó: số bậc của mỗi đỉnh n ≥ 2n

2  n

Do đó, theo định lý Dirac thì G là đồ thị Hamilton

Mặc khác, đây là đồ thị vô hướng

Vậy theo các lập luận trên thì luôn luôn có thể xếp tất cả các sinh viên giỏi ngồi xung quanh một bàn tròn,

để mỗi người ngồi giữa hai người mà sinh viên đó quen (đpcm)

Câu 7:

Một ông vua đã xây dựng một lâu đài để cất báu vật Người ta tìm thấy sơ đồ của lâu đài (hình sau) với lời dặn: muốn tìm báu vật, chỉ cần từ một trong các phòng bên ngoài cùng (số 1, 2, 6, 10, ), đi qua tất cả các cửa phòng, mỗi cửa chỉ một lần; báu vật được giấu sau cửa cuối cùng

Hãy tìm nơi giấu báu vật?

BT Toan roi rac 3

1

2

Trang 48

Giải

Giả sử chúng ta xem mỗi một phòng là một đỉnh của đồ thị G và mỗi một cửa thông giữa các phòng là

một cạnh của đồ thị G thì theo yêu cầu của bài toán (qua tất cả các cửa và mỗi cửa chỉ qua một lần) ta

phải đi tìm đường đi Euler của đồ thị cho ở trên

Sau đây là đường đi để tìm báu vật: (xuất phát từ phòng số 6, kết thúc ở phòng 18 là cửa cuối cùng)

6  2  1 4  3  7  11  12  8  13  12  17  16  20  21  17  18  13  14

 9  5  4  2  5  6  10  15  14  19  18

Câu 8:

Đồ thị cho trong hình sau gọi là đồ thị Peterson P.

a) Tìm một đường đi Hamilton trong P.

b) Chứng minh rằng P \ {v}, với v là một đỉnh bất kỳ của P, là một đồ thị Hamilton.

c b

a) Đường đi Hamilton là:

b)

Câu 9:

Giải

a  b  c  d  e  f  h  k  g  i

Giải bài toán người phát thư Trung Hoa với đồ thị cho trong hình sau:

BT Toan roi rac

2

11 5

12

3

Trang 50

g

h r

Đồ thị G có đường đi Hamilton từ s tới r nhưng không có chu trình Hamilton thì ta cần tìm một đường đi

từ s tới r qua tất cả các đỉnh còn lại nhưng không trở về đỉnh xuất phát

Đường đi Hamilton là : s  a  b  c  e  f  g  d  h  r

Từ đồ thị ta nhận thấy sẽ không có bất kỳ chu trình Hamilton nào xuất phát từ s và lại trở về s

Câu 11:

Cho thí dụ về:

a) Đồ thị có một chu trình vừa là chu trình Euler vừa là chu trình Hamilton;

b) Đồ thị có một chu trình Euler và một chu trình Hamilton, nhưng hai chu trình đó không trùng nhau;

c) Đồ thị có 6 đỉnh, là đồ thị Hamilton, nhưng không phải là đồ thị Euler;

d) Đồ thị có 6 đỉnh, là đồ thị Euler, nhưng không phải là đồ thị Hamilton.

Trang 52

Chu trình E : 1, 2, 3,1

Chu trình Hamilton: 1, 2, 3, 1

Chu trình E: 1, 2, 3, 4, 2, 6, 4, 5, 6, 1 Chu trình Haminton: 1, 2, 3, 4, 5, 6

c) d)

36

Câu 12:

6

51

2

43

Chứng minh rằng con mã không thể đi qua tất cả các ô của một bàn cờ có 4 x 4 hoặc 5 x 5 ô vuông, mỗi ô chỉ một lần, rồi trở về chỗ cũ.

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	0,93 MB