Về kiến thức và kỹ năng : - Định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức - Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối - Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như : biến đổi tương đương , ph
Trang 1Giáo án đại số lớp 10: Chương 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH
Bài1 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Giáo án Đại số 10 Tiết 40 – Chương trình nâng cao
A.Mục tiêu : Qua bài học học sinh cần nắm vững :
1 Về kiến thức và kỹ năng : - Định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức
- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như : biến đổi tương đương , phản chứng , biến đổi hệ quả , sử dụng các bất đẳng thức cơ bản Đặc biệt , học
Trang 2sinh vận dụng được các tính chất của bất đẳng thức ( thực chất là các phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả ) , vận dụng được bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để chứng minh được một số bất đẳng thức
2 Về tư duy : - So sánh , đối chứng , chọn lọc , thay đổi từ các tính chất của
đẳng thức để có các tính chất của bất đẳng thức
của bất đẳng thức Phân biệt được đâu là phép biến đổi hệ quả , đâu là phép
biến đổi tương đương
3 Về thái độ : Cẩn thận , chính xác , chặt chẻ , biến đổi có cơ sở Tạo cơ sở cho
thực hiện các biến đổi bất phương trình sau này
B Chuẩn bị : - HS cần ôn tập kiến thức về bất đẳng thức đã học ở THCS
- GV chuẩn bị bảng phụ tóm tắt phân loại các nhóm tính chất của bất đẳng thức
Trang 3C Phương pháp : Phương pháp gợi mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển tư duy , đan xen các hoạt động nhóm
D Tiến trình bài học và các hoạt động
Hoạt động 1: Giới thiệu tổng quan nội dung chương 4 và tầm quan trọng của
chương trong toàn bộ chương trình đại số 10 và chương trình Toán THPT
Hoạt động 2 : Định nghĩa bất đẳng thức
TG Hoạt động của
thầy giáo
Hoạt động của học sinh
Nội dung
- So sánh 2 số
thực a và b , có
thể xảy ra những
- Có 3 khả năng
1.Ôn tập và bổ sung các tính chất của bất đẳng thức
- Cho 2 số thực a , b Các mệnh
Trang 4khả năng nào ? a
> b ( a < b ; a ≥ b
; a ≤ b ) ?
- Chứng minh một
BĐT là khẳng
định BĐT thức đó
là một mệnh đề
đúng
- a > b a- b > 0
a < b a - b < 0
a ≥ b a - b ≥ 0
a ≤ b a - b ≤ 0
đề a > b ; a < b ; a ≥ b ; a ≤ b được gọi là những bất đẵng thức
Hoạt động 3: Ôn tập và bổ sung các tính chất của bất đẳng thức
- Nêu các tính chất
của bất đẳng thức đã
Với a>b và b>c thì a
> c
Tính chất 1
c b
b a
a > c
Trang 5học
- Gợi ý : + Cho a > b
và b >c nhận xét gì
về hai số a và c?
+ Biết a > b với một
số c bất kì so sánh a
+ c với b + c?
đương bất đẳng thức
a > b + c ?
+ Cho hai bất đẳng
*a > ba + c > b + c
Thật vậy a > b a - b
> 0
a + c - (b + c) > 0
a + c > b + c
Điều ngược lại cũng đúng
a > b + c a - c > b
Tính chất 2 a > b a + c >
b + c
Hệ quả a > b + c a - c > b(chuyển vế và đổi dấu)
Tính chất 3
d c
b a
a + c >
b + d
Chứng minh
0
0
d c
b a d c
b a
a - b + c - d > 0
Trang 6thức cùng chiều a
> b và c > d , nhận
xét gì về a + c và b +
d?
+ Cho bất đẳng thức
a > b và một số thực
c 0 Nhận xét gì về
ac và bc?
a > b và c > d a +
c > b + d
a > b
c > 0 ac > bc
Thật vậy
a > b a - b > 0 c(
a - b) > 0
ac - bc > 0 ac >
bc
a + c > b + d
Chú ý: Không có quy tắc trừ hai
vế của hai bất đẳng thức cùng chiều
Tính chất 4
a > b
0 ,
0 ,
c bc ac
c bc ac
Chứng minh
* c > 0 : a > b a - b > 0 c(
a - b) > 0
ac - bc > 0 ac > bc
Trang 7Chứng minh tương tự khi c < 0 Giúp hs phát hiện ra
t/chất 5: Cho hai bất
đẳng thức a > b > 0
và c > d > 0, nhận xét
gì về ac và bd?
Từ bđt 5 giúp hs
thấy được t/chất 6 và
7 Cho a > b > 0
+
0
c
b a
ac > bc
+
0
b
d c
bc > bd
ac > bd
áp dụng tchất 5 ta có:
a2 > b2
Tính chất 5
0
0
d c
b a
ac >
bd
Chứng minh
+
0
c
b a
ac > bc (1)
+
0
b
d c
bc > bd (2)
Từ (1) và (2) suy ra ac > bd
Chú ý: Không có quy tắc chia hai
vế bất đẳng thức cùng chiều
Trang 8Từ bất đẳng thức ở
tính chất 5 ta có điều
gì?
Chứng minh?
dụng t/c 6 ta có a b (vô lý)
Vậy a b
Tính chất 6 a > b ≥ 0 an > bn ,
n N*
Tính chất 7 a > b ≥ 0 a b
Tính chất 8 a > b 3 3
a b
Hệ quả *Nếu a > 0 và b > 0 thì a
> b a2 > b2 *Nếu a 0 và b 0 thì a
ba2 b2
Hoạt động 4 : áp dụng các tính chất của bất đẳng thức
1 Không dùng bảng số hoặc máy tính , hãy so sánh hai số : 2 3 và 3
2 Chứng minh rằng : x2 > 2( x - 1)
Trang 93 Chứng minh nếu a, b , c là ba cạnh của một tam giác thì : ( b + c - a)( c + a - b)( a + b - c) ≤ abc
1 Gợi ý: Chứng
minh phản chứng
hoặc biến đổi tương
đương
- Vận dụng tính chất
6
1/ Giả sử 2 3 ≤ 3 ,
6 ≤ 4 Vôlý Vậy 2 3 > 3
2 Làm rõ phương
pháp chứng minh bđt
bằng cách biến đổi
tương đương và gợi ý
hs tiếp tục vận dụng
- Giải tại chổ và trình bày cách giải bằng lời
2/ x2 > 2( x - 1) x2 - 2x + 1
≥ 0
( x - 1)2 ≥ 0 ( Hiển nhiên )
Trang 10phương pháp đó để
giải bài tập 2
3 Gợi ý phương
pháp : Hãy xuất phát
từ những bất đẵng
thức quen thuộc
trong tam giác và
biến đổi để suy ra
đpcm
3/ Ta có các bất đẳng thức hiển nhiên sau
a2 ≥ a2 - ( b - c )2 = ( a-b+c) (a+b-c) ≥ 0
b2 ≥ b2 - (c - a )2 = ( b-c+a) (b+c-a) ≥ 0
c2 ≥ c2 - ( a - b )2 = ( c-a+b) (c+a-b) ≥ 0
áp dụng tính chất 5 ta có :
Trang 11a2b2c2 ≥ (b+c-a)2 (c+a-b)2 (a+b-c) 2
Tiếp tục áp dụng tính chất 7 thu được đpcm
Hoạt động 5 : Tìm kiếm các bất đẳng thức liên quan giá trị tuyệt đối
- Từ định nghĩa
GTTĐ , ta có được
những bất đẳng thức
nào ?
- HS suy nghĩ , phát biểu và bổ sung cho nhau
2 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
a/ Từ định nghĩa ta có :
a a; a IR
x a a xa Với a > 0
Trang 12x > a x < -a hoặc x > a Với
a > 0
-Hãy so sánh GTTĐ
của tổng hai số với
hiệu và tổng GTTĐ
của hai số đó ? Liên
hệ với kết quả tương
tự ở vectơ ?
- HS liên hệ với kết quả tương tự ở vectơ ,
từ các ví dụ cụ thể để
dự đoán và chứng minh
b/ Ta có a b a b Thật vậy
a b a b 2 2
( )
a b a b
a ab b a ab b
ab ab ( Hiển nhiên đúng )
áp dụng BĐT trên cho 2 số a+b
và -b ta có : a a b b ab b a b a b
Trang 13Tóm lại : a b a b a b
Hoạt động 6: Cũng cố kiến thức
- Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi tương đương ? Nêu
phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương ? Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi không tương đương ? Cách sử dụng pbđ không tương đương để chứng minh BĐT ?