Bài tập toán cao cấp tập 1

Bài tập toán cao cấp tập 1

Tập 1

Nguyễn Thủy Thanh

NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr.

Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình

tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả

B ` AI T ˆ A P

Tˆ a.p 1 Da.i sˆo´ tuyˆe´n t´ınh v` a H`ınh ho.c gia’i t´ıch

NH ` A XU ˆ A ´T BA’N DA I HO C QU O ˆ ´C GIA H ` A N ˆ O I

H` a Nˆ o.i – 2006

L` o.i n´ oi dˆ ` u a 4

1.1 D- i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c 6

1.2 Da.ng d a.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c 8

1.3 Biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c Mˆodun v`a acgumen 13

1.4 Biˆe’u diˆe˜n sˆo´ ph´u.c du.´o.i da.ng lu.o ng gi´ac 23

2 D - a th´ u.c v` a h` am h˜ u.u ty ’ 44 2.1 D- a th´u.c 44

2.1.1 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c C 45

2.1.2 D- a th´u.c trˆen tru.`o.ng sˆo´ thu c R 46

2.2 Phˆan th´u.c h˜u.u ty’ 55

3 Ma trˆ a.n D - i.nh th´u.c 66 3.1 Ma trˆa.n 67

3.1.1 D- i.nh ngh˜ıa ma trˆa.n 67

3.1.2 C´ac ph´ep to´an tuyˆe´n t´ınh trˆen ma trˆa.n 69

3.1.3 Ph´ep nhˆan c´ac ma trˆa.n 71

3.1.4 Ph´ep chuyˆe’n vi ma trˆa.n 72

3.2 D- i.nh th´u.c 85

3.2.1 Nghi.ch thˆe´ 85

3.2.2 D- i.nh th´u.c 85

3.2.3 T´ınh chˆa´t cu’a di.nh th´u.c 88

3.2.4 Phu.o.ng ph´ap t´ınh di.nh th´u.c 89

3.3 Ha.ng cu’a ma trˆa.n 109

3.3.1 D- i.nh ngh˜ıa 109

3.3.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ha.ng cu’a ma trˆa.n 109

3.4 Ma trˆa.n nghi.ch da’o 118

3.4.1 D- i.nh ngh˜ıa 118

3.4.2 Phu.o.ng ph´ap t`ım ma trˆa.n nghi.ch da’o 119

4 Hˆ e phu o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 132 4.1 Hˆe n phu.o.ng tr`ınh v´o.i n ˆa’n c´o di.nh th´u.c kh´ac 0 132

4.1.1 Phu.o.ng ph´ap ma trˆa.n 133

4.1.2 Phu.o.ng ph´ap Cramer 134

4.1.3 Phu.o.ng ph´ap Gauss 134

4.2 Hˆe t`uy ´y c´ac phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh 143

4.3 Hˆe phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh thuˆa` n nhˆa´t 165

5 Khˆ ong gian Euclide Rn 177 5.1 D- i.nh ngh˜ıa khˆong gian n-chiˆe`u v`a mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m co. ba’n vˆ` vecto 177e 5.2 Co so.’ D- ˆo’i co so.’ 188

5.3 Khˆong gian vecto Euclid Co so.’ tru c chuˆa’n 201

5.4 Ph´ep biˆe´n d ˆo’i tuyˆe´n t´ınh 213

5.4.1 D- i.nh ngh˜ıa 213

5.4.2 Ma trˆa.n cu’a ph´ep bdtt 213

5.4.3 C´ac ph´ep to´an 215

5.4.4 Vecto riˆeng v`a gi´a tri riˆeng 216

6 Da.ng to`an phu o.ng v`a ´u.ng du.ng d ˆe’ nhˆa.n da.ng du.`o.ng v` a m˘ a.t bˆa.c hai 236 6.1 Da.ng to`an phu.o.ng 236

6.1.1 Phu.o.ng ph´ap Lagrange 237

6.1.2 Phu.o.ng ph´ap Jacobi 241

6.1.3 Phu.o.ng ph´ap biˆe´n dˆo’i tru c giao 244

6.2 D- u.a phu.o.ng tr`ınh tˆo’ng qu´at cu’a du.`o.ng bˆa.c hai v`a m˘a.t

bˆa.c hai vˆe` da.ng ch´ınh t˘a´c 263

Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa p to´an cao cˆa´p n`ay du.o c biˆen soa.n theo Chu.o.ngtr`ınh To´an cao cˆa´p cho sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.c Tu nhiˆen cu’aDa.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i v`a d˜a du.o c Da.i ho.c Quˆo´c gia H`a Nˆo.i thˆongqua v`a ban h`anh.

Mu.c d´ıch cu’a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho.cTu nhiˆen n˘a´m v˜u.ng v`a vˆa.n du.ng du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an cao

cˆa´p Mu.c tiˆeu n`ay quyˆe´t di.nh to`an bˆo cˆa´u tr´uc cu’a gi´ao tr`ınh Trong

mˆo˜i mu.c, dˆa` u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a´t nh˜u.ng co so.’ l´y thuyˆe´tv`a liˆe.t kˆe nh˜u.ng cˆong th´u.c cˆa` n thiˆe´t Tiˆe´p d´o, trong phˆa` n C´ac v´ı du.ch´ung tˆoi quan tˆam d˘a.c biˆe.t t´o.i viˆe.c gia’i c´ac b`ai to´an mˆa˜u b˘a`ng c´ach

vˆa.n du.ng c´ac kiˆe´n th´u.c l´y thuyˆe´t d˜a tr`ınh b`ay Sau c`ung, l`a phˆa` n B`ai

tˆa p O’ dˆay, c´ac b`ai tˆa.p du.o c gˆo.p th`anh t`u.ng nh´om theo t`u.ng chu’ dˆe`.v`a du.o c s˘a´p xˆe´p theo th´u tu t˘ang dˆa` n vˆe` dˆo kh´o v`a mˆo˜i nh´om dˆe`uc´o nh˜u.ng chı’ dˆa˜n vˆe` phu.o.ng ph´ap gia’i Ch´ung tˆoi hy vo.ng r˘a`ng viˆe.cl`am quen v´o.i l`o.i gia’i chi tiˆe´t trong phˆ` n C´a ac v´ı du s˜e gi´up ngu.`o.i ho.cn˘a´m du.o c c´ac phu.o.ng ph´ap gia’i to´an co ba’n

Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa p n`ay c´o thˆe’ su.’ du.ng du.´o.i su hu.´o.ng dˆa˜n cu’agi´ao viˆen ho˘a.c tu m`ınh nghiˆen c´u.u v`ı c´ac b`ai tˆa.p dˆe`u c´o d´ap sˆo´, mˆo.t

sˆo´ c´o chı’ dˆa˜n v`a tru.´o.c khi gia’i c´ac b`ai tˆa.p n`ay d˜a c´o phˆa` n C´ac v´ı du.tr`ınh b`ay nh˜u.ng chı’ dˆa˜n vˆe` m˘a.t phu.o.ng ph´ap gia’i to´an

T´ac gia’ gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca’m o.n c´ac thˆ` y gi´ao: TS Lˆe D`ınhaPh`ung v`a PGS TS Nguyˆ˜n Minh Tuˆa´n d˜a do.c k˜y ba’n tha’o v`a d´onge

g´op nhiˆ`u ´e y kiˆe´n qu´y b´au vˆ` cˆa´u tr´e uc v`a nˆo.i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac

gia’ vˆ` nh˜e u.ng thiˆe´u s´ot cu’a ba’n tha’o gi´ao tr`ınh

M´o.i xuˆa´t ba’n lˆ` n dˆaa ` u, Gi´ao tr`ınh kh´o tr´anh kho’i sai s´ot Ch´ung

tˆoi rˆa´t chˆan th`anh mong du.o c ba.n do.c vui l`ong chı’ ba’o cho nh˜u.ng

thiˆe´u s´ot cu’a cuˆo´n s´ach dˆe’ gi´ao tr`ınh ng`ay du.o c ho`an thiˆe.n ho.n

H`a Nˆo i, M`ua thu 2004

T´ ac gia ’

Sˆ o ´ ph´ u.c

1.1 D - i.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c 6 1.2 Da ng d a i sˆ o ´ cu’a sˆ o ´ ph´ u.c 8 1.3 Biˆ e’u diˆ ˜n h`ınh ho.c Mˆodun v`a acgumen 13 e 1.4 Biˆ e’u diˆ ˜n sˆ e o ´ ph´ u.c du.´ o.i da ng lu o . ng gi´ac 23

Mˆo˜i c˘a.p sˆo´ thu c c´o th´u tu (a; b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o c go.i l`a mˆo.t sˆo´

ph´u.c nˆe´u trˆen tˆa.p ho p c´ac c˘a.p d´o quan hˆe b˘a`ng nhau, ph´ep cˆo.ng v`aph´ep nhˆan du.o c du.a v`ao theo c´ac di.nh ngh˜ıa sau dˆay:

(I) Quan hˆe b˘a`ng nhau

(a1, b1) + (a2, b2)def = (a1+ a2, b1+ b2).1

(III) Ph´ep nhˆan

(a1, b1)(a2, b2)def = (a1a2− b1b2, a1b2+ a2b1)

Tˆa.p ho p sˆo´ ph´u.c du.o c k´y hiˆe.u l`a C Ph´ep cˆo.ng (II) v`a ph´ep nhˆan

(III) trong C c´o t´ınh chˆa´t giao ho´an, kˆe´t ho p, liˆen hˆe v´o.i nhau bo.’i

luˆa.t phˆan bˆo´ v`a mo.i phˆa` n tu.’ 6= (0, 0) dˆe`u c´o phˆa` n tu.’ nghi.ch da’o

Tˆa.p ho p C lˆa.p th`anh mˆo.t tru.`o.ng (go.i l`a tru.`o.ng sˆo´ ph´u.c) v´o.i phˆa`n

tu.’ khˆong l`a c˘a.p (0; 0) v`a phˆa` n tu.’ do.n vi l`a c˘a.p (1; 0) ´Ap du.ng quy

t˘a´c (III) ta c´o: (0; 1)(0; 1) = (−1, 0) Nˆe´u k´y hiˆe.u i = (0, 1) th`ı

i2 = −1

Dˆo´i v´o.i c´ac c˘a.p da.ng d˘a.c biˆe.t (a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta

c´o

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

T`u d´o vˆ` m˘a.t da.i sˆo´ c´ac c˘a.p da.ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe.te

v´o.i sˆo´ thu c R: v`ı ch´ung du.o c cˆo.ng v`a nhˆan nhu nh˜u.ng sˆo´ thu c Do

vˆa.y ta c´o thˆe’ dˆo` ng nhˆa´t c´ac c˘a.p da.ng (a; 0) v´o.i sˆo´ thu c a:

(a; 0) ≡ a ∀ a ∈ R.

D˘a.c biˆe.t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.

Dˆo´i v´o.i sˆo´ ph´u.c z = (a, b):

1+ Sˆo´ thu..c a du.o c go.i l`a phˆa`n thu c a = Re z, sˆo´ thu c b go.i l`a phˆa`n

a’o v`a k´y hiˆe.u l`a b = Im z.

2+ Sˆo´ ph´u.c z = (a, −b) go.i l`a sˆo´ ph´u.c liˆen ho p v´o.i sˆo´ ph´u.c z

1 def l` a c´ ach viˆ e´t t˘ a ´t cu’a t` u tiˆ e´ng Anh definition (di.nh ngh˜ıa)

1.2 Da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´ u.c

Mo.i sˆo´ ph´u.c z = (a; b) ∈ C dˆe`u c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.i da.ng

Thˆa.t vˆa.y, z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib

Biˆe’u th´u.c (1.1) go.i l`a da.ng da.i sˆo´ cu’a sˆo´ ph´u.c z = (a, b) T`u (1.1)

v`a di.nh ngh˜ıa sˆo´ ph´u.c liˆen ho p ta c´o z = a − ib.

Du.´o.i da.ng da.i sˆo´ c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa.p ho p sˆo´ ph´u.c du.o c thu chiˆe.n theo c´ac quy t˘a´c sau

Gia’ su.’ z1 = a1+ ib1, z2 = a2+ ib2 Khi d´o

(I) Ph´ep cˆo.ng: z1± z2 = (a1± a2) + i(b1± b2)

(II) Ph´ep nhˆan: z1z2 = (a1a2− b1b2) + i(a1b2+ a2b1)

+ i a1b2− a2b1

a2

1+ b2 1

·

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 1+ T´ınh i n T`u d´o ch´u.ng minh r˘a`ng

a) i n + i n+1 + i n+2 + i n+3 = 0;

b) i · i2· · · i99· i100 = −1.

2+ T`ım sˆo´ nguyˆen n nˆe´u:

a) (1 + i) n = (1 − i) n;b)1 + i

n = 4k + r, r ∈ Z, 0 6 r 6 3 Khi d´o

i n = i 4k+r = i 4k · i r = (i4)k i r = i r

(v`ı i4 = i) T`u d´o, theo kˆe´t qua’ trˆen ta c´o

−1 + i √32

m

+−1 − 3i √ 3 + 9 + 3i

√

38

m

= 1m+ 1m = 2.

Tu.o.ng tu. nˆe´u n = 3m + 2 ta c˜ung c´o S = −1 N

V´ ı du 3 T´ınh biˆe’u th´u.c

σ =

1 +1 + i2

V´ ı du 4 Biˆe’u diˆ˜n sˆo´ ph´e u.c √ 4 − 3i du.´o.i da.ng da.i sˆo´

Gia’i Theo di.nh ngh˜ıa ta cˆa` n t`ım sˆo´ ph´u.c w sao cho w2 = 4 − 3i.

Nˆe´u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı

4 − 3i = (a + bi)2 = a2− b2+ 2abi.

V´ ı du 5 Biˆe’u diˆ˜n sˆo´ ph´e u.c

v´o.i diˆ`u kiˆe.n l`a c´ac phˆae ` n thu c cu’a√ 5 + 12i v`a √ 5 − 12i dˆ`u ˆam.e

Gia’i ´Ap du.ng phu.o.ng ph´ap gia’i trong v´ı du 4 ta c´o

Hˆe n`ay c´o hai nghiˆe.m l`a (3; 2) v`a (−3; −2) Theo diˆe`u kiˆe.n, phˆa` nthu c cu’a √ 5 + 12i ˆam nˆen ta c´o

Chı’ dˆa˜n ´Ap du.ng c´ach gia’i v´ı du 3

d) z n = (z) n ; e) z + z = 2Re z; g) z − z = 2Im z.

6 V´o.i gi´a tri thu c n`ao cu’a x v`a y th`ı c´ac c˘a.p sˆo´ sau dˆay l`a c´ac c˘a.p

sˆo´ ph´u.c liˆen ho p:

1) y2 − 2y + xy − x + y + (x + y)i v` a −y2+ 2y + 11 − 4i;

2) x + y2+ 1 + 4i v` a ixy2+ iy2− 3 ?

(DS 1) x1 = 1, y1 = 3; x2 = 9, y2 = 5; 2) x 1,2 = −5, y 1,2 = ±5)

7 Ch´u.ng minh r˘a`ng z1 v`a z2 l`a nh˜u.ng sˆo´ ph´u.c liˆen ho p khi v`a chı’

khi z1 + z2 v`a z1z2 l`a nh˜u.ng sˆo´ thu c

Mˆo˜i sˆo´ ph´u.c z = a + ib c´o thˆe’ d˘a.t tu.o.ng ´u.ng v´o.i diˆe’m M(a; b) cu’a

m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo v`a ngu.o c la.i mˆo˜i diˆe’m M(a; b) cu’a m˘a.t ph˘a’ng dˆe`u

tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib Ph´ep tu.o.ng ´u.ng du.o c x´ac lˆa.p l`a

do.n tri mˆo.t - mˆo.t Ph´ep tu.o.ng ´u.ng d´o cho ph´ep ta xem c´ac sˆo´ ph´u.c

nhu l`a c´ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo M˘a.t ph˘a’ng d´o du.o c go.i l`a

m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c Tru.c ho`anh cu’a n´o du.o c go.i l`a Tru.c thu c, tru.c tung

du.o..c go.i l`a Tru.c a’o Thˆong thu.`o.ng sˆo´ ph´u.c z = a + ib c´o thˆe’ xem

nhu vecto

−→

OM Mˆo˜i vecto cu’a m˘a.t ph˘a’ng v´o.i diˆe’m dˆa` u O(0, 0) v`a

diˆe’m cuˆo´i ta.i diˆe’m M(a; b) dˆe`u tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z = a + ib v`angu.o c la.i

Su tu.o.ng ´u.ng du.o c x´ac lˆa.p gi˜u.a tˆa.p ho p sˆo´ ph´u.c C v´o.i tˆa.p ho pc´ac diˆe’m hay c´ac vecto m˘a.t ph˘a’ng cho ph´ep go.i c´ac sˆo´ ph´u.c l`a diˆe’mhay vecto

V´o.i ph´ep biˆe’u diˆe˜n h`ınh ho.c sˆo´ ph´u.c, c´ac ph´ep to´an cˆo.ng v`a tr`u.c´ac sˆo´ ph´u.c du.o c thu c hiˆe.n theo quy t˘a´c cˆo.ng v`a tr`u c´ac vecto Gia’ su.’ z ∈ C Khi d´o dˆo d`ai cu’a vecto tu.o.ng ´u.ng v´o.i sˆo´ ph´u.c z

du.o c go.i l`a mˆodun cu’a n´o

G´oc gi˜u.a hu.´o.ng du.o.ng cu’a tru.c thu..c v`a vecto z (du.o c xem l`a g´oc

du.o.ng nˆe´u n´o c´o di.nh hu.´o.ng ngu.o c chiˆe`u kim dˆo`ng hˆo`) du.o c go.i l`aacgumen cu’a sˆo´ z 6= 0 Dˆo´i v´o.i sˆo´ z = 0 acgumen khˆong x´ac di.nh.Kh´ac v´o.i mˆodun, acgumen cu’a sˆo´ ph´u.c x´ac di.nh khˆong do.n tri., n´ox´ac di.nh v´o.i su sai kh´ac mˆo.t sˆo´ ha.ng bˆo.i nguyˆen cu’a 2π v`a

Arg z = arg z + 2kπ, k ∈ Z,

trong d´o arg z l`a gi´a tri ch´ınh cu’a acgumen du.o c x´ac di.nh bo.’i diˆe`ukiˆe.n −π < arg z 6 π ho˘a.c 0 6 arg z < 2π.

Phˆ` n thu c v`a phˆaa ` n a’o cu’a sˆo´ ph´u.c z = a + ib du.o c biˆe’u diˆe˜n qua

mˆodun v`a acgument cu’a n´o nhu sau

Nhu vˆa.y, acgumen ϕ cu’a sˆo´ ph´u.c c´o thˆe’ t`ım t`u hˆe phu.o.ng tr`ınh

(iv) |z1− z2| = |z1+ (−z2)| ≥ |z1| − | − z2| = |z1| − |z2| N

Nhˆa n x´et C´ac bˆa´t d˘a’ng th´u.c (iii) v`a (iv) c`on c´o thˆe’ viˆe´t du.´o.ida.ng

(iii)∗ |z1+ z2| > |z1| − |z2| ; (iv)∗ |z1− z2| > |z1| − |z2| Thˆa.t vˆa.y ta c´o |z1+ z2| > |z1| − |z2| v` a |z1+ z2| > |z2| − |z1| C´ac

vˆe´ pha’i kh´ac nhau vˆ` dˆa´u do d´o nˆe´u lˆa´y vˆe´ pha’i du.o.ng th`ı thu du.o ce(iii)∗ Bˆa´t d˘a’ng th´u.c (iv)∗

thu du.o c t`u (iii)∗ b˘a`ng c´ach thay z2 bo.’ i

−z2

V´ ı du 3 Ch´u.ng minh dˆ` ng nhˆa´t th´o u.c

|z1+ z2|2+ |z1− z2|2 = 2(|z1|2+ |z2|2).

Gia’i th´ıch ´y ngh˜ıa h`ınh ho.c cu’a hˆe th´u.c d˜a ch´u.ng minh

Gia’i Gia’ su.’ z1 = x1+ iy1, z2 = x2+ iy2 Khi d´o

dˆo d`ai cu’a c´ac ca.nh cu’a n´o N

V´ ı du 4 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u |z1| = |z2| = |z3| th`ı

B˘a`ng nh˜u.ng nguyˆen do h`ınh ho.c, dˆe˜ thˆa´y r˘a`ng

V´ ı du 5 Ch´u.ng minh r˘a`ng nˆe´u |z1| = |z2| = |z3| = 1 v` a z1+z2+z3 = 0

th`ı c´ac diˆe’m z1, z2 v`a z3 l`a c´ac dı’nh cu’a tam gi´ac dˆ`u nˆo.i tiˆe´p tronge

du.`o.ng tr`on do.n vi

Gia’i Theo gia’ thiˆe´t, ba diˆe’m z1, z2 v`a z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng tr`on

do.n vi Ta t`ım dˆo d`ai cu’a c´ac ca.nh tam gi´ac

V´ ı du 6 V´o.i diˆ`u kiˆe.n n`ao th`ı ba diˆe’m kh´ac nhau t`u.ng dˆoi mˆo.t ze 1,

z2, z3 n˘a`m trˆen mˆo.t du.`o.ng th˘a’ng

Gia’i 1+ Nˆe´u c´ac diˆe’m z1, z2, z3 n˘a`m trˆen du.`o.ng th˘a’ng cho tru.´o.cth`ı vecto di t`u z2 dˆe´n z1 c´o hu.´o.ng nhu cu’a vecto di t`u diˆe’m z3 dˆe´n

z1 ho˘a.c c´o hu.´o.ng ngu.o c la.i Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a c´ac g´oc nghiˆeng cu’ac´ac vecto n`ay dˆo´i v´o.i tru.c thu c ho˘a.c nhu nhau ho˘a.c sai kh´ac g´oc π.

l`a sˆo´ thu c Diˆe`u kiˆe.n thu du.o c l`a diˆe`u kiˆe.n cˆa` n

2+ Ta ch´u.ng minh r˘a`ng d´o c˜ung l`a diˆ`u kiˆe.n du’ Gia’ su.’e

T`u (1.5) v`a (1.6) suy ra diˆe’m (x3, y3) n˘a`m trˆen du.`o.ng th˘a’ng d´o N

V´ ı du 7 X´ac di.nh tˆa.p ho p diˆe’m trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c tho’a m˜an c´acdiˆ`u kiˆe.n:e

1) |z − 2| + |z + 2| = 5;

2) |z − 2| − |z + 2| > 3;

3) Re z > c;

4) Im z < 0.

Gia’i 1) D˘a’ng th´u.c |z − 2| + |z + 2| = 5 x´ac di.nh qu˜y t´ıch nh˜u.ng

diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng m`a tˆo’ng khoa’ng c´ach t`u d´o dˆe´n hai diˆe’m cho

tru.´o.c F1 = −2 v` a F2 = +2 l`a h˘a`ng sˆo´ b˘a`ng 5 Theo di.nh ngh˜ıa trong

h`ınh ho.c gia’i t´ıch d´o l`a du.`o.ng ellip v´o.i b´an tru.c l´o.n b˘a`ng 5

2 v`a tiˆeudiˆe’m ±2.

2) Qu˜y t´ıch c´ac diˆe’m cu’a m˘a.t ph˘a’ng C tho’a m˜an diˆe`u kiˆe.n

|z − 2| − |z + 2| ... Ph´ep biˆe’u diˆe˜n (1. 11) du.o c go.i l`a da.ng m˜u cu’a sˆo´ ph´u.c C˜ung nhu dˆo´i v´o.i da.ng lu.o nggi´ac ta c´o:

1/ nˆe´u z1< /small> = r1< /small>e iϕ1< /small>,...

2 (1 + cos ϕ)

hcos

(

√

3 + i)12 6 = 212 6

hcos12 6π

6 + i sin

12 6π... (|a|2+ 1) (|b|2+ 1)

8 Ch´u.ng minh r˘a`ng mo.i sˆo´ ph´u.c z 6= ? ?1 v`a |z| = dˆe`u c´o thˆe’ biˆe’u

diˆe˜n du.´o.i da.ng

z = 1 + ti