Một số bài tập lý thuyết nhóm

Một số bài tập lý thuyết nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MƠN TỐN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT NHĨM Giáo viên hướng dẫn Sinh viên: Lê Thị Đồ ThS.Nguyễn Hồng Xinh MSSV: 1050023 Lớp: Sư phạmTốn 01-K31 CẦN THƠ 2009 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Ngày… tháng…năm 2009 Giáo viên hướng dẫn NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Ngày… tháng…năm 2009 Giáo viên phản biện Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng của bản thân, em cần trang bị một lượng kiến thức nhất định, và sự động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình làm việc. Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong bộ môn Toán đã tận tình giảng dạy trong bốn năm đại học, để em có được nhiều kiến thức bổ ích phục vụ cho luận văn. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Hoàng Xinh đã tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài trong thời gian qua. Nhân đây cho em gửi lời cảm ơn đến các bạn của mình đã động viên, giúp đỡ em hoàn thành luận văn. Mặc dù đã cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi sai sót, em rất mong nhận được sự nhận xét, đóng góp để hoàn thiện luận văn của mình. Một lần nữa cho phép em gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô, bạn bè và người thân đã giúp đỡ, động viên em hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Người viết Lê thị Đồ MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU . PHẦN NỘI DUNG . CHƯƠNG I. NHÓM VÀ NHÓM CON .1 A. Lý thuyết .1 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp .2 C. Một số bài tập có lời giải 3 D. Một số bài tập rèn luyện 10 CHƯƠNG II. NHÓM HỮU HẠN SINH 11 A. Lý thuyết 11 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 12 C. Một số bài tập có lời giải 12 D. Một số bài tập rèn luyện 21 CHƯƠNG III. ĐỒNG CẤU NHÓM .23 A. Lý thuyết 23 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 24 C. Một số bài tập có lời giải .24 D. Một số bài tập rèn luyện 32 CHƯƠNG IV. ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ NHÓM GIẢI ĐƯỢC……………………………………………………… 34 A. Lý thuyết 34 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 36 C. Một số bài tập có lời giải .37 D. Một số bài tập rèn luyện 43 CHƯƠNG V. NHÓM LŨY LINH .44 A. Lý thuyết 44 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 47 C. Một số bài tập có lời giải .47 D. Một số bài tập rèn luyện 55 CHƯƠNG VI. NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC 56 A. Lý thuyết 56 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp 56 C. Một số bài tập có lời giải 56 D. Một số bài tập rèn luyện 66 CHƯƠNG VII. NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH 67 A. Lý thuyết .67 B. Các phương pháp chứng minh thường gặp .67 C. Một số bài tập có lời giải 68 D. Một số bài tập rèn luyện 75 PHẦN KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM THẢO PHẦN MỞ DẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong chương trình, chúng em đã được học môn “ Lý Thuyết Nhóm”. Nhưng do thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng em chỉ nghiên cứu một số nhóm và làm một số bài tập. Đối với em, lý thuyết nhóm là một môn rất hay và tạo cho em nhiều hứng thú khi học, điều này gợi cho em muốn học hỏi , biết nhiều hơn về lý thuyết nhóm. Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Một số bài tập lý thuyết nhóm” với mong muốn được hiểu nhiều hơn về lý thuyết nhóm. 2. Mục đích nghiên cứu Thực hiện đề tài “Một số bài tập lý thuyết nhóm”, em hướng đến mục đích là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học còn khá mới với bản thân. Đây cũng là dịp để em có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà đặc biệt là về lý thuyết nhóm – một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trong toán học nói chung. Việc nghiên cứu này cũng giúp em có thêm nhiều kiến thức chuẩn bị cho các kỳ thi sau này. 3. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu: tổng hợp, phân tích, khái quát hóa. Tổng hợp các kiến thức từ các nguồn tài liệu khác nhau. Phân tích một số bài tập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó. 4. Nội dung luận văn Chương I. Nhóm và nhóm con. Chương II. Nhóm hữu hạn sinh. Chương III. Đồng cấu nhóm. Chương IV. Định lý Lagrange và nhóm giải được Chương V. Nhóm lũy linh. Chương VI. Nhóm siêu giải được. Chương VII. Nhóm Abel hữu hạn sinh. PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I. NHÓM VÀ NHÓM CON A. LÝ THUYẾT 1. Nhóm 1.1.Định nghĩa Cho tập X khác rỗng, * là phép toán hai ngôi trong X. (X,*) được gọi là nhóm nếu: i) Mọi a,b,c ∈ X, ta có a*(b*c)= (a*b)*c ii) Tồn tại phần tử Xe ∈ sao cho Xx ∈ , ta có e*x = x*e = x iii) Mọi phần tử Xx ∈ luôn tồn tại Xx ∈ , sao cho exxxx == ** ,, Nếu (X,*) có tính giao hoán thì X được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel. 1.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm) Cho X là tập khác rỗng, * là phép toán hai ngôi thỏa: (a*b)*c=a*(b*c), mọi Xcba ∈ ., . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: i) X là nhóm ii) Các phương trình a*x=b và x*a=b có nghiệm trong X, mọi a, b X ∈ iii)Trong X có phần tử đơn vị trái và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo trái iv) Trong X có phần tử đơn vị phải và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo phải 1.3. Định lý Cho (X,.) là một nhóm thì ta có các khẳng định sau: i) Mỗi phần tử của X chỉ có một phần tử nghịch đảo ii) Nếu xy = xz ( yx = zx) thì y = z (luật giản ước) iii) Với mọi x, y X ∈ , ta có (xy) 111 −−− = xy iv) ( x 1 − ) -1 = x , với mọi Xx ∈ 2. Nhóm con 2.1. Định nghĩa Cho G là nhóm, H là một tập con khác rỗng của G. Ta nói rằng H là nhóm con của G nếu H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là một nhóm. Kí hiệu GH ≤ . Dễ thấy tập hợp chỉ gồm một phần tử đơn vị của nhóm G lập thành một nhóm và được gọi là nhóm đơn vị . Kí hiệu là 1 hoặc {e} Nếu H G ≤ , H 1 ≠ , H G ≠ thì H được gọi là nhóm con thực sự của G. Kí hiệu GH < 2.2. Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm con) Cho GH ⊂ , H ≠ Ø. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: i) GH ≤ ii) Mọi yx, ,H ∈ thì xy H ∈ và x H ∈ − 1 iii) Mọi yx, ,H ∈ ta có xy H ∈ − 1 2.3. Định nghĩa Cho G là nhóm, GH < i) H được gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại GN < sao cho GNH << . ii) H được gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu 1 ≠ H và không tồn tại GK ≤ sao cho HK << 1 . 3. Nhóm con chuẩn tắc 3.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm và GH ≤ . Ta nói rằng H là nhóm con chuẩn tắc của G hay H là ước chuẩn của G nếu mọi Gx ∈ ta có Hx = xH. Kí hiệu H G 3.2. Một số tính chất i) Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc ii)Cho GH ≤ , khi đó H G khi và chỉ khi Hxhx ∈ − 1 hoặc Hhxx ∈ − 1 ,với mọi Hh ∈ , với mọi Xx ∈ . iii) G là nhóm, H G , GK ≤ thì KKH  ∩ iv) Giao một họ tùy ý khác rỗng các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G v) Cho G là nhóm, H G và GK ≤ . Khi đó KH là nhóm con nhỏ nhất của G chứa H và K ( theo nghĩa bao hàm ) và KH = HK vi) Cho n HHH , .,, 21 là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó GHHH n  . 21 . 4. Nhóm thương Nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của một nhóm X thì X/A = { xA Xx ∈ } cùng với phép toán xAyA = xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A B. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP Bài toán 1. Chứng minh tập khác rỗng X cùng một phép toán hai ngôi ( . ) lập thành một nhóm. Phương pháp giải: Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau: (i) Với mọi Xzyx ∈ ,, , có (xy)z = x(yz) (ii) Tồn tại phần tử (đơn vị ) Xe ∈ sao ch xe = ex = x, với mọi Xx ∈ (iii) Với mọi Xx ∈ tồn tại x X ∈ , sao cho xx exx == ,, Cách 2. Ta chứng minh ( X, . ) là một nhóm con của nhóm ( Y, . ), trong đó ( Y, . ) là nhóm đã biết Bài toán 2 . Chứng minh tập H là nhóm con của nhóm ( X, .) Phương pháp giải: Cách 1. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau: [...]... Vậy có duy nhất nhóm con cấp d của X Bài 14 Các nhóm sau có bao nhiêu nhóm con Tìm cấp của chúng a) Nhóm xiclic cấp 12 b) Nhóm xiclic cấp 17 Giải a) Số 12 có các ước là 1, 2, 3, 4, 6, 12 nên nhóm xiclic cấp 12 có 6 nhóm con có cấp 1, 2, 3, 4, 6, 12 b) Số 17 có các ước 1, 17 nên nhóm xiclic nhóm 17 có 2 nhóm con có cấp 1, 17 Nhận xét Từ bài 12 và bài 13 ta có các kết quả : i) Giả sử X là nhóm xiclic sinh... các phần tử sinh của các nhóm sau: a) Z12 b) Z7 c) Z9 r 7) Tìm tất cả các nhóm con của các nhóm xiclic cấp 12, 17 CHƯƠNG III ĐỒNG CẤU NHÓM A LÝ THUYẾT 1 Đồng cấu nhóm 1.1 Định nghĩa Ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y được gọi là đồng cấu nhóm nếu f bảo tồn phép toán, tức là f(xy)=f(x)f(y) với mọi x, y ∈ X Một đồng cấu nhóm f từ nhóm X đến nhóm X đựơc gọi là tự đồng cấu nhóm Đồng cấu nhóm f : X → Y với f là... Nếu G là nhóm thì [G, G ] G 3 Định nghĩa Cho G là nhóm, S ⊂ G i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi tập S và kí hiệu là ii) Với H ≤ G, H = < S > Ta nói nhóm con H được sinh bởi S hay S là tập sinh của H Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh Đặc biệt, nếu G có tập sinh... không phải là số nguyên tố, tức n = n1n2 ( n1 , n 2 đó nhóm con < x n1 > ∈ N, n1, n2 ≠ 1 ), khi là nhóm con thực sự cấp n2 của X ( trái giả thiết ) Vậy X là nhóm xiclic, hữu hạn, cấp nguyên tố Bài 9 Chứng minh rằng nhóm con của nhóm xiclic là nhóm xiclic Giải Giả sử X là nhóm xiclic, X = < a > và A là một nhóm con của nhóm X Nếu A = {e} thì A = < e > là nhóm xiclic Nếu A ≠ { e} , gọi m là số nguyên dương... = và G = a =3 D) MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Các mệnh đề sau đúng hay sai: a) Phần tử a của nhóm G có cấp là n ∈ Z+ nếu và chỉ nếu an = e ( e là đơn vị của G ) b) Nếu H và H, là hai nhóm con của nhóm xiclic X thì H ∩ H, là nhóm con xiclic của X c) Tồn tại nhóm xiclic cấp 8 có 5 nhóm con phân biệt d) Mọi nhóm xiclic cấp 8 đều có 4 nhóm con phân biệt 1 n 2) Chứng minh rằng tập X gồm các ma trận... C -1 = 1 Ta có det ( CAC-1 ) = det C det A det C -1 =1 Suy ra CAC-1 ∈ H Vậy H  GL3(R) Bài 6 a) Chứng minh rằng giao của một họ bất kỳ những nhóm con của nhóm X là một nhóm con của nhóm X b) Hỏi hợp của các nhóm con của nhóm X có phải là nhóm con của nhóm X không ? Tại sao ? Giải a) Giả sử { X α } α∈I là một họ nhóm con của ( X, ) ∩ Đặt A = α∈I X α , vì e∈ X α , với mọi α ∈ I nên e ∈ A Vậy A≠ Ø 1... α ∈ I Do 1 đó xy − ∈ A Vậy A là nhóm con cuả X b) Hợp của hai nhóm con có thể không là nhóm con.Chẳng hạn X là tập các hàm số thực trên R Khi đó ( X, +) lập thành một nhóm Abel, trong đó phép ( +) là cộng hai hàm số thực Gọi X 1 , X 2 là tập các hàm số lẻ và chẵn trên R Dễ dàng kiểm tra được ( X 1 ,+), ( X 2 ,+) là các nhóm con của ( X, +) Tuy nhiên X 1 ∪ X 2 không là nhóm Thật vậy, f( x = x 3 ∈ X 1... lập thành một nhóm xiclic Tìm phần tử sinh của X 3) Chứng minh rằng tập X gồm tất cả các ma trận dạng 1 0   0 0 1 0 x 0 ,   1 với x∈ Q cùng với phép nhân hai ma trận lập thành một nhóm Abel Hỏi nhóm X này có phải là nhóm xiclic hay không? Tại sao ? 4) Chứng minh rằng Z2 × Z3 là nhóm xiclic nhưng Z2 × Z4 , Z3 × Z6 không là nhóm xiclic 5) Cho p là số nguyên tố.Tìm số phần tử sinh của nhóm xiclic... n Bài 7 Chứng minh rằng mọi nhóm có cấp vô hạn đều có vô hạn nhóm con Giải Nếu X = là nhóm xiclic có cấp vô hạn thì với mỗi số tự nhiên n, ta có là nhóm con xiclic của X và nếu n ≠ m thì < x n > ≠ < x m > nên X có vô hạn nhóm con Nếu X không là nhóm xiclic • Nếu X có chứa một phần tử cấp vô hạn x thì A = là nhóm con xiclic cấp vô hạn của X, A có vô hạn nhóm con nên X cũng có vô hạn nhóm. .. xz thì y = z e) Cho G là nhóm, nếu H là tập con của G, Ø có chứa phần tử đơn vị và các phần tử của H đều có phần tử nghịch đảo thuộc H thì H là nhóm con của G f) Trong một nhóm có 100 phần tử, ngoài phần tử đơn vị, không có phần tử nào là nghịch đảo của chính nó H≠ CHƯƠNG II NHÓM HỮU HẠN SINH A LÝ THUYẾT 1 Tâm giao hoán 1.1 Định nghĩa Cho G là một nhóm và A ⊂ G, A ≠ Ø Khi đó tập: C ( A) = {x ∈G xa = . “ Một số bài tập lý thuyết nhóm với mong muốn được hiểu nhiều hơn về lý thuyết nhóm. 2. Mục đích nghiên cứu Thực hiện đề tài Một số bài tập lý thuyết. “ Lý Thuyết Nhóm . Nhưng do thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng em chỉ nghiên cứu một số nhóm và làm một số bài tập. Đối với em, lý thuyết