Một số bài tập lý thuyết nhóm

Một số bài tập lý thuyết nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Giáo viên hướng dẫn Sinh viên: Lê Thị Đồ

ThS.Nguyễn Hoàng Xinh MSSV: 1050023

Lớp: Sư phạmToán 01-K31

CẦN THƠ 2009

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ngày… tháng…năm 2009 Giáo viên hướng dẫn

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN PHẢN BIỆN

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ngày… tháng…năm 2009 Giáo viên phản biện

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng của bản thân, em cần trang bịmột lượng kiến thức nhất định, và sự động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình làmviệc

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô trong bộ môn Toán

đã tận tình giảng dạy trong bốn năm đại học, để em có được nhiều kiến thức bổ íchphục vụ cho luận văn Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầyNguyễn Hoàng Xinh đã tận tình hướng dẫn em thực hiện đề tài trong thời gianqua

Nhân đây cho em gửi lời cảm ơn đến các bạn của mình đã động viên, giúp đỡ

em hoàn thành luận văn

Mặc dù đã cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi sai sót, em rất mongnhận được sự nhận xét, đóng góp để hoàn thiện luận văn của mình

Một lần nữa cho phép em gửi lời cảm ơn đến toàn thể thầy cô, bạn bè vàngười thân đã giúp đỡ, động viên em hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn

Người viết

Lê thị Đồ

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I NHÓM VÀ NHÓM CON 1

A Lý thuyết 1

B Các phương pháp chứng minh thường gặp 2

C Một số bài tập có lời giải 3

D Một số bài tập rèn luyện 10

CHƯƠNG II NHÓM HỮU HẠN SINH 11

A Lý thuyết 11

B Các phương pháp chứng minh thường gặp 12

C Một số bài tập có lời giải 12

D Một số bài tập rèn luyện 21

CHƯƠNG III ĐỒNG CẤU NHÓM 23

A Lý thuyết 23

B Các phương pháp chứng minh thường gặp 24

C Một số bài tập có lời giải 24

D Một số bài tập rèn luyện 32

CHƯƠNG IV ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ NHÓM GIẢI ĐƯỢC……… 34

A Lý thuyết 34

B Các phương pháp chứng minh thường gặp 36

C Một số bài tập có lời giải 37

D Một số bài tập rèn luyện 43

CHƯƠNG V NHÓM LŨY LINH 44

A Lý thuyết 44

B Các phương pháp chứng minh thường gặp 47

C Một số bài tập có lời giải 47

D Một số bài tập rèn luyện 55

CHƯƠNG VI NHÓM SIÊU GIẢI ĐƯỢC 56

A Lý thuyết 56

B Các phương pháp chứng minh thường gặp 56

C Một số bài tập có lời giải 56

D Một số bài tập rèn luyện 66

CHƯƠNG VII NHÓM ABEL HỮU HẠN SINH 67

A Lý thuyết 67

B Các phương pháp chứng minh thường gặp 67

C Một số bài tập có lời giải 68

D Một số bài tập rèn luyện 75

PHẦN KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM THẢO

PHẦN MỞ DẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình, chúng em đã được học môn “ Lý Thuyết Nhóm”.Nhưng do thời gian trên lớp có hạn nên ở học phần này chúng em chỉ nghiên cứumột số nhóm và làm một số bài tập Đối với em, lý thuyết nhóm là một môn rấthay và tạo cho em nhiều hứng thú khi học, điều này gợi cho em muốn học hỏi ,biết nhiều hơn về lý thuyết nhóm

Được sự gợi ý của giáo viên hướng dẫn, em đã mạnh dạn chọn đề tài “ Một

số bài tập lý thuyết nhóm” với mong muốn được hiểu nhiều hơn về lý thuyết

nhóm

2 Mục đích nghiên cứu

Thực hiện đề tài “Một số bài tập lý thuyết nhóm”, em hướng đến mục đích

là rèn luyện kỹ năng tiếp cận, tìm hiểu và nghiên cứu một vấn đề Toán học cònkhá mới với bản thân

Đây cũng là dịp để em có thể nhìn lại tổng quan về kiến thức đại số mà đặcbiệt là về lý thuyết nhóm – một chủ đề lớn trong lĩnh vực đại số nói riêng và trongtoán học nói chung Việc nghiên cứu này cũng giúp em có thêm nhiều kiến thứcchuẩn bị cho các kỳ thi sau này

3 Phương pháp nghiên cứu

Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu: tổng hợp, phântích, khái quát hóa

Tổng hợp các kiến thức từ các nguồn tài liệu khác nhau Phân tích một số bàitập và khái quát hóa dựa trên sự phân tích đó

4 Nội dung luận văn

Chương I Nhóm và nhóm con

Chương II Nhóm hữu hạn sinh

Chương III Đồng cấu nhóm

Chương IV Định lý Lagrange và nhóm giải được

Chương V Nhóm lũy linh.

Chương VI Nhóm siêu giải được.Chương VII Nhóm Abel hữu hạn sinh

i) Mọi a,b,c X, ta có a*(b*c)= (a*b)*c

ii) Tồn tại phần tử e  X sao cho x  X, ta có e*x = x*e = x

iii) Mọi phần tử x  X luôn tồn tại x , X sao cho x*x, x, *xe

Nếu (X,*) có tính giao hoán thì X được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel

1.2 Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm)

Cho X là tập khác rỗng, * là phép toán hai ngôi thỏa: (a*b)*c=a*(b*c), mọi

iii)Trong X có phần tử đơn vị trái và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảotrái

iv) Trong X có phần tử đơn vị phải và mọi phần tử trong X đều có nghịchđảo phải

1.3 Định lý

Cho (X,.) là một nhóm thì ta có các khẳng định sau:

i) Mỗi phần tử của X chỉ có một phần tử nghịch đảo

ii) Nếu xy = xz ( yx = zx) thì y = z (luật giản ước)

iii) Với mọi x, y X , ta có (xy) 1  1  1

Dễ thấy tập hợp chỉ gồm một phần tử đơn vị của nhóm G lập thành mộtnhóm và được gọi là nhóm đơn vị Kí hiệu là 1 hoặc {e}

2.2 Định lý ( về điều kiện tương đương với nhóm con)

i) H  G

3.2 Một số tính chất

i) Mọi nhóm con của nhóm Abel đều là nhóm con chuẩn tắc

ii)Cho H  G, khi đó H G khi và chỉ khi xhx  1 H hoặc x1hxH ,với mọi h  H , với mọi x  X

iii) G là nhóm, HG, K  G thì HK K

iv) Giao một họ tùy ý khác rỗng các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G là mộtnhóm con chuẩn tắc của nhóm G

chứa H và K ( theo nghĩa bao hàm ) và KH = HK

vi) Cho H1,H2, ,H n là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G Khi đó

G H

H

H1 2 n 

4 Nhóm thương

cùng với phép toán xAyA = xyA là một nhóm, gọi là nhóm thương của X trên A

B CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP

Bài toán 1 Chứng minh tập khác rỗng X cùng một phép toán hai ngôi ( )

lập thành một nhóm

Phương pháp giải:

Cách 1 Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:

(i) Với mọi x,y,zX , có (xy)z = x(yz)

(ii) Tồn tại phần tử (đơn vị ) e  X sao ch xe = ex = x, với mọi x  X

(iii) Với mọi x  Xtồn tại x,X sao cho xx ,x,xe

Cách 2 Ta chứng minh ( X, ) là một nhóm con của nhóm ( Y, ), trong đó

(ii) Mọi h  H, mọi x  X , ta có xhx  1 H hoặc x1hxH

Cách 2 Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:

(i) H  X

(ii) Mọi x  X , ta có xH = Hx

Cách 3 Ta chứng minh H = Kerf với f :X  Y là một đồng cấu nào đó

C MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1 Trong tập Q, ta định nghĩa phép toán (*) :

a*b = a + b + ab, mọi a, bQ

a) Hỏi ( Q,*) có lập thành nhóm không ? Tại sao ?

c) Chứng minh rằng ( Q\{-1},*) lập thành một nhóm.

Giải

a) Dễ thấy 0 là phần tử đơn vị của ( Q,*) Giả sử ( Q,*) lập thành nhóm Suy

(-1)b = -1 Điều này vô lý Nên ( Q,*) không lập thành nhóm.

b) Gọi a, bQ\{-1} Giả sử a * b = -1, khi đó a + b + ab =1

1 1

a*( b*c ) = a*( b+ c + bc ) = a + b + c + bc + ab + ac + abc

Suy ra ( a*b ) * c = a*( b*c ) Nên phép toán có tính kết hợp

1

1 1

1 1

*

*

2 2

a a

a a a a

a a a

a a a

2009 2009

2009

2009

* 2009

Vậy Q+ có phần tử đơn vị là e = 2009

• Với aQ+ có phần tử nghịch đảo là

a a

2 , 2009

 Vì

a a a

a aa

a

2009

2009 2009

2 ,

2 , 2009



Vậy (Q+,*) lập thành một nhóm

2009 2009

0 1 0

0 1

0 1 0

0 0 1

0 1 0

0 1

0 1 0

0 1

0 1 0

0 1 0

0 1 0

0

0 1

0

0

Thật vậy

0 1 0

0 1 0

0 1 0

0 1 0

0 0 1

Mà A , X

Bài 4 Trong nhóm GL2 ( R ), xét tập con H = 

0 1

1 1 0

1 1 0

0 1 1 0

1 1 0

Vậy H là nhóm con của GL2 ( R ).

Bài 5 Trong nhóm GL3(R), xét tập con H = AGL3(R) detA 1}

Giải Ta có H Ø vì I3 H và H GL3(R)

Giả sử A, B H, khi đó det A = 1, det B = 1

1

1 det

Giả sử C GL3(R), khi đó det C = 1 và det C -1 = 1

Ta có det ( CAC-1 ) = det C det A det C -1 =1 Suy ra CAC-1H

Với x, y A , thì x, y X, với mọi  I nên xy 1

b) Hợp của hai nhóm con có thể không là nhóm con.Chẳng hạn X là tập các

hàm số thực trên R Khi đó ( X, +) lập thành một nhóm Abel, trong đó phép ( +) là

cộng hai hàm số thực

Gọi X1, X2 là tập các hàm số lẻ và chẵn trên R Dễ dàng kiểm tra được (

) ,

3 X ,g(x) x X

2 3

) ( )

Nhận xét nếu a , k a l đều có nghịch đảo là a m thì a k a m ea l a m  a k=a l

Do đó nếu A không có phần tử nào là nghịch đảo cuả chính nó ( ngoài e) thì2n-2 phần tử tạo thành (n-1) cặp ( a i,a j) trong đó a , i a j là nghịch đảo của nhau.Mỗi phần tử ở cặp này khác với mỗi phần tử ở cặp kia Nên trong A còn có một

đó trong A ngoài e, còn có một phần tử khác là nghịch đảo của chính nó

Bài 8 Cho A là một bộ phận khác rỗng của nhóm X Chứng minh rằng A là nhóm

con của X khi và chỉ khi AA  1 A

A b ab a B ab

A ab B

A

1

Điều này vô lý vì aA\B,bB\A

Vậy ta phải có A  B hoặc B  A

Bài 10 Cho X là nhóm và a,b,cX Chứng minh rằng nếu abc = e thì bca = e,

cab = e ( với e là phần tử đơn vị của X ) Hơn nữa ab   1 a 1b 1khi và chỉ khi

ab = ba

Giải Ta có bca2  (bca)bcabcabcabca bcae

và cab2 cabcab

= c(abc)ab = cab  cab = e

Hơn nữa, nếu (ab)-1 = a-1b-1 thì (ab)-1 (ab) = e  (ba)-1 (ba) = e = (ab)-1 (ba) ( do (ba)-1 = a-1b-1 = (ab)-1 ) Suy ra ab 1ab ab 1ba

ước) Ngược lại nếu ab = ba, với mọi a, bX thì (ab)-1 = (ba)-1 nên   1  1  1

a b ab

Bài 11 Cho X là nhóm, a,bX Chứng minh rằng ab2 a2b2 khi và chỉ khi ab

= ba

Giải.

 Ta có ab2 abab, mà ab2 a2b2 nên

ab2 ababa2b2 aabb abba ( luật giản ước )

 Ta có ab2 abab, mà ab  ba nên ab2 aabba2b2

Bài 12 Cho X là một nhóm với phần tử đơn vị e Chứng minh rằng nếu mọia  X

có a 2 e thì X là một nhóm Abel

Giải Ta có mọi a,bX ,ab2 e,a2 e,b2 e Do đó ab2 a2b2 e.

Mà ab2 a2b2 thì ab  ba ( theo bài 11)

Vậy X là nhóm Abel

Bài 13 Cho H, K là các nhóm con của nhóm X Chứng minh rằng HK=KH khi và

chỉ khi HK là nhóm con của X, trong đó HK hk hH,kK và

1h h k

h1k1h2k2h1k1h2k2 h1h2,k1,k2HK Mặt khác mọi a  HK , ta có a  hk,

K k H h K

b) Vì ( m, n) =1 nên tồn tại u, v Z sao cho mu+nv=1 Gọi aA n A m,suy ra 







e a

e a

Bài 15 Chứng minh rằng tập con khác rỗng A của nhóm cộng các số nguyên Z là

Giải.

 Giả sử A là nhóm con của nhóm ( Z, +)

I i I i i i I i I i

x e

x e

x

e

x x

e x

Vậy X là một nhóm.

Bài 17 Cho X là tập tùy ý Kí hiệu Map(X, X) là tập hợp các ánh xạ từ X đến X.

Với phép nhân ánh xạ Map(X, X) có lập thành nhóm hay không ? Tại sao ?

Chứng minh rằng bộ phận S(X) của Map(X, X) gồm các song ánh từ X đến

X là một nhóm với phép nhân các ánh xạ Hãy tìm số phần tử của S(X) trong

Giải.

• Ta có phép nhân các ánh xạ có tính kết hợp và ánh xạ đồng nhất là phần tửđơn vị

Nếu X = {0, 1, 2} và f: X  X

x 0

Map(X, X), khi đó fg = 1X, điều này không thể vì fg(1) = f(g(1)) = 0 1X(1) = 1

Do đó f không có phần tử nghịch đảo Vậy Map(X, X) không lập thành một nhóm

• Ta có tích hai song ánh từ X đến X là một song ánh từ X đến X , phép nhânánh xạ có tính kết hợp, ánh xạ đồng nhất 1X của X là một song ánh nên 1X S(X)

Nếu f  S ( X) thì f là một song ánh do đó f có ánh xạ ngược f 1 S(X)và

Vậy S(X) là một nhóm với phép nhân ánh xạ

• Giả sử X x1,x2, ,x n Với mỗi hoán vị x i1,x i2, ,x in của X ta cómột song ánh f :X  X xác định bởi: f x j x ij , j 1,n Đảo lại, với mỗi songánh f :X  X, cho ta một hoán vị của X

Bài 18 Cho Y là một bộ phận của tập hợp X Chứng minh rằng bộ phận S( X,Y)

S(X) Tìm số phần tử của S (X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y có mộtphần tử

Giải Ta có 1X(Y) = Y nên S(X,Y)  Ø

Giả sử f,gS(X,Y) Khi đó f(Y) = Y, g(Y) = Y, do đó gf(Y) = g(f(Y)) =g(Y) = Y Nên gf  S(X,Y)

Tổng quát số phần tử của S(X,Y) trong trường hợp X có n phần tử, Y cóphần tử là k!(n- k) !

D MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Chứng minh rằng (X, *) lập thành một nhóm , không Abel.

3) Trong GL2(R), cho tập con

a H

4) a) Cho  ,  S8,  1234568,   34 52618 Tính  3 ,  2  , 

.b) CMR: K e,    12 34 , 13 24   , 14 23 là nhóm con giao hoán của nhóm

với phép toán trên X ) sao cho ab=ba Chứng minh abn a n b n, với mọi số tựnhiên n 1

p, ) lập thành nhóm giao hoán , với p là nguyêntố

b) Tìm phần tử nghịch đảo của 2 , 4 , 7 , 8 trong Z11

7) Các mệnh đề sau đúng hay sai:

đơn vị và các phần tử của H đều có phần tử nghịch đảo thuộc H thì H là nhóm concủa G

f) Trong một nhóm có 100 phần tử, ngoài phần tử đơn vị, không có phần

tử nào là nghịch đảo của chính nó

CHƯƠNG II NHÓM HỮU HẠN SINH

Trường hợp đặc biệt A  a thì C(A) được kí hiệu là Ca và được gọi là tâmcủa phần tử a

Trường hợp A = G thì C(A) được gọi là tâm của G và kí hiệu là Z(G) Tức làZ(G)=xG xaax, aG

Cho G là nhóm , với x,yG ta gọi x 1y 1xy là một hoán tử của G

Nhóm con sinh bởi tập tất cả các hoán tử của G được kí hiệu là G, G.

Đặc biệt H = G, ta nói G là nhóm sinh bởi tập S hay S là tập sinh của G.iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhómxiclic.

iv) Nếu S x1,x2, ,x n thì S x1,x2, ,x n 

4 Định nghĩa

Một nhóm G được gọi là nhóm xiclic nếu G được sinh bởi một phần tử a nào

đó của G , G=<a> Khi đó a gọi là phần tử sinh của G

5 Phân loại nhóm xiclic

i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là G

nhóm vô hạn

ii) Cấp của phần tử a  G là cấp của nhóm <a> và kí hiệu là a

là phần tử có cấp vô hạn

iii) Nhóm G gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử trong G đều có cấp hữu hạn.iv) Nhóm G gọi là không xoắn nếu trong G chỉ có duy nhất phần tử đơn vị cócấp hữu hạn

B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP

Bài toán 1 Cho phần tử x thuộc G Chứng minh |x| = n <

Cách 2 Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:

(i) xn = e(ii) Giả sử tồn tại kZ sao cho xk = e Ta chứng minh n|k

Bài toán 2 Cho x thuộc nhóm G Chứng minh x có cấp vô hạn

Phương pháp giải Lấy mọi m, n thuộc Z sao cho mn Ta cần chứng minh xm

xn

Bài toán 3 Cho G là nhóm cấp n Chứng minh G xylic

Phương pháp giải:

Cách 1 Lấy mọi yG Ta cần chỉ ra phần tử a G sao cho y = ak, k Z

Cách 2 ta cần chứng minh tồn tại aG sao cho |a| = n

Bài toán 4 Chứng minh G là nhóm hữu hạn sinh

Phương pháp giải Ta cần chỉ ra tập S G sao cho

(i) S hữu hạn phần tử

(ii) <S> = G

C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1 Cho G là nhóm Chứng minh rằng:

a) Nếu S bằng rỗng thì S  e

k n

k n

1

1 2

1 2

1

l

n k n n m

l m m n k n

n x x y y y x

2 1 2

1 1

n x x x

x 1 2

2 1

 , với x i S,k,n iZ, i=1 ,k Vì x iSH, và H , S nên,

Bài 2 Cho G là nhóm, A, B là hai tập con của G Chứng minh rằng:

n x x x

x 1 2

2 1

Z, i=1 ,n Hay n k

k n

n x x x

x 1 2

2 1

n x x x

x 1 2

2 1

i

n , kZ, i= 1 ,k

Với n=1 thì (*) hiển nhiên đúng

Với n=2 thì (*) đúng do chứng minh trên



k i i k

i k i k

k i k

i

k

1 1

1 1

1 1

1 1

Bài 3 Cho G là nhóm Chứng minh rằng:

a) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G và K là nhóm con của G thì

H H H

1 2

H

1 2

1

, , 1 ,

1 2 1

1 2

1 2 1 1

1 2

1 2

thì xxeKH (vì eH ) Nếu x  H thì xexKH(vì e  K) Suy ra x  KH

Giả sử tồn tại M là nhóm con của G chứa K  H Lấy kh bất kỳ thuộc KHvới kK,hH Khi đó 

M H K K k

H H H

1 2

theo n

Với n=1 thì (*) hiển nhiên đúng

Với n=2 thì (*) đúng do chứng minh trên

 i

k i

H H H

1 2

1 , 1 , ,

H H

1 1

2

k j G H k

H H H

2 1

2

 i

n i

H H H

1 2

Bài 4 Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G Chứng minh rằng nếu H và G/H hữu

hạn sinh thì G là nhóm hữu hạn sinh

Giải Gọi H= < x1, x2, …, xn > ; G/H y1,y2, ,y m  Ta chứng minh



x x x n y y y m

G 1, 2, , , 1, 2, , Đặt K x1,x2, ,x n,y1,y2, ,y m  Lấy gbất kỳ thuộc G

Nếu g  H thì g  K ( vì H  K )

Nếu gG\H thì g  e và      m l

l m m

y y

y

2 1

m y y y

g 1 2

2 1

l m m



 1 2

k n n m

1 2

l m m n k n

n x x y y y x

g 1 2 1 2

2 1 2

1

đó G = K hay G là nhóm sinh bởi tập hợp x1,x2, ,x n,y1,y2, ,y m Vậy G lànhóm hữu hạn sinh

Bài 5 Chứng minh rằng nếu H là nhóm con thực sự của G thì G = <G\H>.

Giải Ta có G \ H G nên G\HG ( 5.1)

Lấy g bất kỳ thuộc G

h gx

H

h 

H G

d r x x

x x x x

x

y

r

r r p d r dp k

1 0

Từ đó suy ra x    m,nN sao cho m n thì x  m x n

Bài 7 Chứng minh rằng mọi nhóm có cấp vô hạn đều có vô hạn nhóm con.

Giải Nếu X = <x> là nhóm xiclic có cấp vô hạn thì với mỗi số tự nhiên n, ta

có <xn> là nhóm con xiclic của X và nếu n  thì m  x n x m  nên X có vôhạn nhóm con

Nếu X không là nhóm xiclic

• Nếu X có chứa một phần tử cấp vô hạn x thì A = <x> là nhóm con xicliccấp vô hạn của X, A có vô hạn nhóm con nên X cũng có vô hạn nhóm con

• Nếu mỗi phần tử của X đều có cấp hữu hạn thì số các nhóm con xiclic sinhbởi các phần tử của X là vô hạn vì xX xX

Bài 8 Chứng minh rằng nếu X là nhóm chỉ có các nhóm con tầm thường là

{e }và X thì X là nhóm xiclic, hữu hạn, cấp nguyên tố

Giải Lấy xX,xe Xét nhóm con < x > Vì x  {e} nên < x> = X Vậy

X là nhóm xiclic

( trái giả thiết ) Vậy X phải có cấp hữu hạn n

Nếu n không phải là số nguyên tố, tức n = n1n2 ( n1, n2  N, n1, n2 1 ),khi đó nhóm con  x n1  là nhóm con thực sự cấp n2 của X ( trái giả thiết )

Vậy X là nhóm xiclic, hữu hạn, cấp nguyên tố

Bài 9 Chứng minh rằng nhóm con của nhóm xiclic là nhóm xiclic

Giải Giả sử X là nhóm xiclic, X = < a > và A là một nhóm con của nhóm X

e a e a e e a

k k

2 1 2

1, n,n n n

n n n n

Bài 11 Giả sử X1, X2,…, Xk là các nhóm xiclic có cấp nguyên tố lần lượt là n1, n2,

…,nk Chứng minh rằng X1X2 …X k là nhóm xiclic khi và chỉ khi

n

a a





k l l l

a a

a1, 2, ,  1, 1, ,  1, 2, ,

k l

k

l

n l n l n l e a

e a

e a

• Nếu tồn tại n p,n q 1 ,p q,p,q1 ,k thì mn1,n2, ,n k n1n2 n k

Mọi x1,x2, ,x k X1 X2  … X k , ta có

k m m m

x

x

x1, 2, ,  1 , 2, ,  1, 2, ,

m nên luôn nhỏ hơn n1n2 n k nên X1  X2  …X k không là nhóm xiclic

Bài 12 Giả sử X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a cấp n, b = ak Chứng minh rằng:

xiclic cấp n đều có cấp là ước của n

b) X = <b> khi và chỉ khi d =1 Từ đó suy ra số phần tử của X

Giải a) Ta có b a a e d e

k d

k n d

n k d

k

nên

d

n m

Vậy cấp của b là d n

Suy ra mọi nhóm con của nhóm xiclic cấp n đều có cấp là ước của n

b) Ta có X = <b> khi và chỉ khi cấp của b bằng n tức n

d n

Vậy b là phần tử sinh của X khi và chỉ khi ( k, n ) = 1 Ta có các phần tử sinhcủa X chính là các phần tử có dạng ak ( 0<k<n ) với ( k, n ) = 1.

Bài 13 Cho X là nhóm xiclic cấp n và d là một ước của n Chứng minh rằng X có

đúng một nhóm con cấp d và nhóm này là nhóm xiclic

Giải Giả sử X = <a> có cấp n và d là ước của n Áp dụng bài 12 ta có d

n

a cócấp là d

Giả sử X có nhóm con H cấp d khác nữa Vì nhóm con của nhóm xiclic lànhóm xiclic nên tồn tại b  X sao cho H = <b>, với b  a k có cấp là d

Theo bài 12 thì cấp của b = ak là n n,k Do đó d = n n,k nên  

d

n k

Vậy có duy nhất nhóm con cấp d của X

Bài 14 Các nhóm sau có bao nhiêu nhóm con Tìm cấp của chúng

Nhận xét Từ bài 12 và bài 13 ta có các kết quả :

i) Giả sử X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a cấp n và b = ak Khi đó b là phần

tử sinh của nhóm con xiclic H của X cấp là

b) Z18 là nhóm xiclic với phép cộng, có phần tử sinh là 1 Tìm các phần tửsinh khác của Z18

Giải a) Ta có 3  3 1, (12,3) = 3 nên cấp của  3  là 4



Do đó  4  = 0 , 4 , 8

b) Ta có 5, 7, 11, 13, 17 là các số nguyên tố cùng nhau với 18 nên các phần

tử sinh khác của Z18 là 5 , 7 , 11 , 13 , 17

Bài 16 Giả sử X là nhóm, a và b là hai phần tử của X.

a) Chứng minh rằng cấp của ab bằng cấp của ba

b) Giả sử ab = ba và cấp của a, b là r, s

Khi đó nếu (r, s) = 1 thì cấp cùa ab là rs

Giải a) Giả sử ab có cấp là k, khi đó abk e

 

a e babab

Vậy nếu ab = ba và cấp của a, b là r, s và (r, s) = 1 thì cấp cùa ab là rs

Bài 17 Tìm cấp của các phần tử trong GL2(R)

0 1

1 1

1 1

0 1

0 1

0 1

2 1 0

0 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

2 1 1 0

1 1

1 1

1 1

1 0

1 n

c n

1 0

I B

G 

b) Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta thấy A2 là phần tử duy nhấtcó cấp 2

3 1 1 2 2

3 1 1 2 1

x x yxy y

x y yxyy y

x y yxyx

u

u2 51  2 1 3 1  2 1 3 1  2 2 1 1  1 1 

Nên u 2 u5 Tương tự ta được u 3 u6

Bài 20 Cho G = < a, b > thõa a3 = e; b7 = e; a-1ba = b3 Chứng minh rằng G lànhóm xiclic cấp 3

Giải Giả sử a = e thì b2 = e Do đó b6 = e hay b6 = b7 vì thế b = e ( mâu

thuẫn) Do đó a  nên e a  3 Vì a1ba b3 nên  1 2  3 2

b ba

a) Phần tử a của nhóm G có cấp là n Z+ nếu và chỉ nếu an = e ( e là đơn vịcủa G )

xiclic của X

c) Tồn tại nhóm xiclic cấp 8 có 5 nhóm con phân biệt

d) Mọi nhóm xiclic cấp 8 đều có 4 nhóm con phân biệt

0 1 0

Đồng cấu nhóm f :X  Y với f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) được gọi làđơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu).

hiệu X  Y

1.2 Định lý

L(G,H) là tập tất cả các nhóm con của G chứa H

nữa, nếu ta kí hiệu S/H=S* và T/H=T* với H S,T G thì

cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu)

iii) Nếu f :X  Y là đẳng cấu nhóm thì đẳng cấu ngược f 1 :Y  X cũng làđẳng cấu nhóm

2 Ảnh và tạo ảnh của đồng cấu nhóm

2.1 Định nghĩa

Cho f :X  Y là đồng cấu nhóm, khi đó

i) Ảnh của đồng cấu f ( kí hiệu là Imf) là tập được xác định:

v) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf  e

vi) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf =Y

vii) Nếu nhóm X đựơc sinh bởi tập A thì Imf được sinh bởi tập f(A)

Cho G là nhóm, H  Gvà K  G, H K Khi đó K/H là nhóm con chuẩn tắc của

B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP

Bài toán 1 Cho ánh xạ f: X  Y Chứng minh f là đồng cấu nhóm

Phương pháp giải Ta chứng minh :

(i) X, Y lập thành nhóm với các phép toán tương ứng

(ii) Mọi x1 , x2 X, ta có f (x1 x2 ) = f (x1) f (x2 )

Bài toán 2 Cho ánh xạ f: X  Y Chứng minh f là đơn cấu

Phương pháp giải Ta chứng minh :

(i) f là đồng cấu nhóm

(ii) f là đơn ánh hoặc Kerf =  e

Bài toán 3 Cho ánh xạ f: X  Y Chứng minh f là toàn cấu

Phương pháp giải Ta chứng minh :

(i) f là đồng cấu nhóm

(ii) f là toàn ánh

Bài toán 4 Cho ánh xạ f: X  Y Chứng minh f là đẳng cấu nhóm

Phương pháp giải Ta chứng minh

(i) f là đơn cấu

(ii) f là toàn cấu

Bài toán 5 Chứng minh X  Y, với X, Y là các nhóm cho trước

C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1 Cho A A1, 2 lần lượt là các nhóm con chính tắc của nhóm X X1, 2

Chứng minh rằng:

2 1 2

Ta thấy  là toàn cấu nhóm và Ker A A1 2 Do đó

X1X2 / A A1 2  X1A1 / X2A2

Bài 2 Cho X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a Chứng minh rằng:

a) Nếu cấp của a là vô hạn thì X đẳng cấu với Z.

b) Nếu cấp của a là số n hữu hạn thì X đẳng cấu với Zn

Giải a) Xét ánh xạ f: Z X

n  anVới mọi m, n  Z, ta có f m n  a m n a a m n f m f n   

Do a có cấp vô hạn nên m – n = 0 tức f là đơn cấu Vậy f là đẳng cấu

b) Theo giả thiết a n nên ánh xạ:  Zn  X được xác định  r a r được

đẳng cấu nhóm

Bài 3 Chứng minh rằng:

a) Mọi nhóm xiclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhau

b) Hai nhóm xiclic cấp hữu hạn đẳng với nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp

Giải a) Giả sử X  a Y,  b là các nhóm xiclic cấp vô hạn,

Bài 4 Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm X sao cho A B  e

Giải Do AB = X nên với mỗi phần tử x của X viết được dưới dạng x = ab

viết một cách duy nhất dưới dạng x = ab, với a A b B ,  Mặt khác các phần tửcủa A giao hoán được với các phần tử của B Thật vậy, với a, b tùy ý thuộc A, B,xét tích a b ab 1  1 Vì A và B là những nhóm con chuẩn tắc của X nên b ab A 1

và chỉ khi sk là bội của t

b) Chứng minh rằng nếu  là đẳng cấu thì (s,k)=1

Giải a) Nếu  là đồng cấu nhóm thì    s   s ks

e  e  x  x  x Vậy ks

Y

y e nên ks t

Ngược lại, nếu ks t, ta chứng minh  là đồng cấu nhóm

Đầu tiên, ta chứng minh  là một ánh xạ

Thật vậy, nếux n x m thì n m s  do đó k n m t(  ) Bởi vậy y kn y km tức là 

Thật vậy, do  là đẳng cấu nên s  tức số phần tử của X và Y bằng nhau t

và x  i x j thì y k i y k j i j s

, 1 , ,  



Do đó y k là một phần tử sinh của Y nên k,t  1 Vì t = s nên (s, k) = 1

Bài 7 Cho BAG và C  G Chứng minh rằng:

a) BC  AC và AC / BCBAC/B

b) Nếu C G thì BC  AC và AC/BCA/BAC

Giải a) Vì (AC) A và BA Áp dụng định lý 2.3 với G được thay bởi

A, H thay bởi A  C và K thay bởi B, ta được B  C=  ACB  AC và

Bài 8 Cho A Z (G) và f :G H là toàn cấu Chứng minh rằng f(A) Z(H)

Giải Ta chỉ cần chứng minh f(A) Z (H)

Lấy y  f ( A) Do đó f là toàn cấu nên tồn tại x  A sao cho y = f(x)

Do đó  là một đơn cấu, hơn nữa  là một toàn cấu vì x 11 x

Bài 10 Chứng minh rằng có một đồng cấu duy nhất từ nhóm cộng các số hữu tỷ

Q đến nhóm cộng các số nguyên Z Từ đó suy ra nhóm cộng các số hữu tỷ Q

không phải là một nhóm xiclic

n

f  

 

Như vậy n lại là ước của n1 Vô lý

Vậy chỉ có một đồng cấu 0 từ nhóm cộng các số hữu tỷ Q và nhóm cộng các

số nguyên Z, Q không đẳng cấu với Z nên Q không là một nhóm xiclic ( bài 3 )

Bài 11 Tìm tất cả các đồng cấu từ

a) Z6 đến Z18

b) Z18 đến Z6

c) Một nhóm xiclic cấp n đến chính nó

d) Một nhóm xiclic cấp n đến một nhóm xiclic vô hạn

Giải Ta có mỗi đồng cấu f : Zn  Zm hoàn toàn được xác định bởi f 1 k

( tức f x kx )

Theo bài 6 thì f là đồng cấu khi và chỉ khi kn m Bởi vậy ta có

a) Mỗi đồng cấu f : Z6  Z18 hoàn toàn xác định bởi f( 1 ) k với 0 k 18

c) Mỗi đồng cấu f : Zn  Zn hoàn toàn xác định bởi f( 1 ) k với 0 k < n

và kn n Do đó có tất cả n đồng cấu f : Zn  Zn được xác định bởi: f( 1 ) k

với k  0 , 1 , 2 , ,n 1

d) Giả sử f : a  b là đồng cấu nhóm và giả sử f(a) b k Khi đó ta có

nk n

Bài 12 a) Tìm Ker  và  (25) của đồng cấu : Z  Z 7 biết  ( 1 )  4

b) Tìm Ker  và  (18) của đồng cấu : Z  Z10 Biết  ( 1 )  6

c) Tìm Ker  và  ( 3 ) của đồng cấu : Z10  Z20 biết  ( 1 )  8

n x x x

x 1 2

2 1

 n k

k n

x f x F

x ( ) ( )1 ( ) 2

2 1

k n

n x x b y y y x

a 1 2 , 1 2

2 1 2

1

1 2

1 2

1

l

n k n n m

l m m n k n

1 2 2

1 2 2

1

l

n k n

n

y y y x x

2 1

1 2

2

Hay     1    2         1     2    1

1 2

k n

n x x b y y y x

a 1 2 , 1 2

2 1 2

Vì thế F(ab) = F(a)F(b) Nên F là đồng cấu

Lấy x bất kỳ thuộc S thì x  x1 nên F x f x 1f x Vậy F S f

Giả sử tồn tại đồng cấu g:G G' thỏa g(x)=f(x), x  S Lấy a  G thì

n n

k n

n

x g x

g x g x

f x

f x

f

a

2 1

Vậy F = g hay F là duy nhất

Ngược lại Nếu G là nhóm Abel thì <S>G Đặt G' G/ S  Xét ánh xạ

nên    Suy ra  G   G Nên G ' e Do đó G/ Se Lấy g bất kỳ thuộc

G thì g  e hay gS 

Bài 14 Chứng minh rằng :

a) Ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh

b)Nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh

Giải a) Cho G là nhóm hữu hạn sinh với tập sinh là S, G’ là nhóm và

Giả sử tồn tại H  G' chứa f(S) Lấy y bất kỳ thuộc Imf thì tồn tại x thuộc G

k n

n x x x

x 1 2

2 1

đó y f x f x  f x  f x n k H

k n

( H  G và f x i  f S H) Nên ImfH Vì thế Im f f(S)  Vậyảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh.

b) Cho G là nhóm, H G Xét toàn cấu chính tắc  : G G/H

x

xTheo chứng minh trên thì G/H  Im f   S x1,x2,x3, ,x n 

Vậy nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh

Từ kết quả trên suy ra nếu G=<S> và f :G G' là toàn cấu nhóm thì

G’=<f(S)>

Bài 15 Cho X là nhóm sinh bởi tập S với S x1,x2, ,x n , Y là nhóm bất kỳ và

Y X

 Nếu f = g thì f(x) = g(x), x  X Do đó f x i g x i với mọi i 1 ,n

 Nếu f x i g x i với mọi i 1 ,n, ta phải chứng minh f = g Thật vậy,

k n

n x x x

x 1 2

2 1

n n

n n

k n

n n

k n

n

x g x

g x g x

f x

f x f x x

2 1

 Nếu f :X  Y là đồng cấu và là toàn ánh lên tập S’ thì với mỗi i= 1, 2,

…, m luôn tồn tại x iX để cho f(xi) = yi Lấy y là phần tử bất kỳ thuộc Y, ta phảichứng minh tồn tại x thuộc X để cho f(x) = y Vì y  Y nên

k i Z m k y

y

y

k m

m x x x

x 1 2

2 1

m m

k m m

1 2

Vậy f là toàn cấu

 Nếu f là toàn cấu thì hiển nhiên f là toàn ánh lên tập S’

Bài 17 Cho Gi là nhóm, i  1 ,n Chứng minh rằng n i

 Cho Gi là nhóm hữu hạn sinh, i  1 ,n Gọi G i S i , với

x x x  i n

S

i

im i



i

n G x

x x

1 2

nm

k m

k m

k m k k k m k

k x x x x x x x x

x

2 1 1 2

2 2 22 21 1 1 12 11

2 22 21 1 12 11

m

nm

k n

k m k

k m

x , , , , , , , , , , , 2 2, , , , , , 1 , , ,

2 21

1 1 1

11

1 2

21 1

11

Do vậy :

n n

m

nm

k n

k m

k k

m

e e x

x , , , , , , , , , , , , 2 2 , , , 1 , , ,

2 21

1 1 1

11

1 2

21 1

1) Các phát biểu sau là đúng hay sai:

a) Hay nhóm bất kỳ G, G, luôn tồn tại đồng cấu từ G và G,

b) Mọi đồng cấu nhóm là đơn cấu khi và chỉ khi hạt nhân của nó chỉ chứa