MỤC LỤC
Cho một họ những nhóm ( )Xi i∈I mà các phép toán ký hiệu bằng dấu nhân. Chứng minh rằng H là nhóm con của GL2(R). Nhóm này gọi là nhóm Klein. f) Trong một nhóm có 100 phần tử, ngoài phần tử đơn vị, không có phần tử nào là nghịch đảo của chính nó.
Trường hợp đặc biệt A={ }a thì C(A) được kí hiệu là Ca và được gọi là tâm của phần tử a. i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa S được gọi là nhóm con sinh bởi tập S và kí hiệu là <S>. iii) Nếu G có một tập sinh hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn sinh. Đặc biệt, nếu G có tập sinh chỉ gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xiclic. Một nhóm G được gọi là nhóm xiclic nếu G được sinh bởi một phần tử a nào đó của G , G=<a>. Khi đó a gọi là phần tử sinh của G. Phân loại nhóm xiclic. Khi đó xảy ra hai trường hợp sau. Trường hợp này G là nhóm xiclic vô hạn. ii) Tồn tại những lũy thừa bằng nhau. Cấp của phần tử. Định nghĩa Cho G là nhóm. Nếu G hữu hạn thì G được gọi là nhóm hữu hạn, ngược lại G được gọi là nhóm vô hạn. Nếu a hữu hạn thì a gọi là phần tử có cấp hữu hạn. Ngược lại, a được gọi là phần tử có cấp vô hạn. iii) Nhóm G gọi là nhóm xoắn nếu mọi phần tử trong G đều có cấp hữu hạn. iv) Nhóm G gọi là không xoắn nếu trong G chỉ có duy nhất phần tử đơn vị có cấp hữu hạn. B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP Bài toán 1. Phương pháp giải:. Ta tiến hành kiểm tra các tính chất sau:. Ta chứng minh n|k. Chứng minh x có cấp vô hạn. Phương pháp giải. Ta cần chứng minh xm≠ xn. Chứng minh G xylic Phương pháp giải:. Lấy mọi y∈G. Chứng minh G là nhóm hữu hạn sinh Phương pháp giải. Chứng minh rằng:. Thật vậy, lấy hai phần tử x,y bất kỳ thuộc H. Giả sử tồn tại H, là nhóm con của G chứa S. Khi đó knk. Theo định nghĩa của nhóm con sinh bởi tập hợp thì H =< S >. Chứng minh rằng:. Chứng minh rằng:. HK và HK=KH. Lấy x bất kỳ thuộc K∪H. Suy ra x∈KH. Giả sử tồn tại M là nhóm con của G chứa K∪H. Lấy kh bất kỳ thuộc KH với. Ta chứng minh KH=HK. Tương tự ta được HK ⊂ KH. Vậy ta có điều phải chứng minh. Chứng minh rằng nếu H và G/H hữu hạn sinh thì G là nhóm hữu hạn sinh. Ta chứng minh. Vậy G là nhóm hữu hạn sinh. Trường hợp g∈H. Giả sử tồn tại x thuộc G\H sao cho gx∈H. Chứng minh rằng mọi nhóm có cấp vô hạn đều có vô hạn nhóm con. Nếu X không là nhóm xiclic. • Nếu mỗi phần tử của X đều có cấp hữu hạn thì số các nhóm con xiclic sinh bởi các phần tử của X là vô hạn vì x∪X <x>=X. Chứng minh rằng nếu X là nhóm chỉ có các nhóm con tầm thường là {e }và X thì X là nhóm xiclic, hữu hạn, cấp nguyên tố. Vậy X là nhóm xiclic. Chứng minh rằng nhóm con của nhóm xiclic là nhóm xiclic. Chứng minh rằng X1 ì X2là nhúm xiclic khi và chỉ khi n1, n2 nguyờn tố cựng nhau. Dễ thấy nhóm. Thật vậy, ta xét. Chứng minh rằng X1ì X2 ì…ì Xk là nhúm xiclic khi và chỉ khi. Ta chứng minh cấp của. Thật vậy ta xét:. Chứng minh rằng:. Suy ra mọi nhóm con của nhóm xiclic cấp n đều có cấp là ước của n. Từ đó suy ra số phần tử của X. Suy ra mọi nhóm con của nhóm xiclic cấp n đều có cấp là ước của n. Chứng minh rằng X có đúng một nhóm con cấp d và nhóm này là nhóm xiclic. Nên ad anxaky aky H. Vậy có duy nhất nhóm con cấp d của X. Các nhóm sau có bao nhiêu nhóm con. Tìm cấp của chúng a) Nhóm xiclic cấp 12. Khi đó b là phần tử sinh của nhóm con xiclic H của X cấp là. ii) Nếu a là phần tử sinh của nhóm xiclic cấp hữu hạn n thì các phần tử sinh khác của X là ar với r và n nguyên tố cùng nhau. Tìm cấp của các phần tử trong GL2(R). b) Chứng minh rằng G chỉ có duy nhất một nhóm con cấp 2 Giải. b) Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta thấy A2 là phần tử duy nhấtcó cấp 2. Chỉ ra những phần tử trùng nhau của các phần tử sau:. D) MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN. , với n∈Z cùng với phép nhân hai ma trận lập thành một nhóm xiclic. Tìm phần tử sinh của X. 3) Chứng minh rằng tập X gồm tất cả các ma trận dạng.
, với n∈Z cùng với phép nhân hai ma trận lập thành một nhóm xiclic. Tìm phần tử sinh của X. 3) Chứng minh rằng tập X gồm tất cả các ma trận dạng. Đặc biệt tích của hai đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu). Ảnh và tạo ảnh của đồng cấu nhóm 2.1 Định nghĩa. ii) Hạt nhân của đồng cấu f ( kí hiệu Kerf) là tập được xác định. B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP Bài toán 1. Chứng minh f là đồng cấu nhóm Phương pháp giải. Chứng minh f là đơn cấu Phương pháp giải. Chứng minh f là toàn cấu Phương pháp giải. Chứng minh f là đẳng cấu nhóm Phương pháp giải. Ta chứng minh. Chứng minh X ≅Y, với X, Y là các nhóm cho trước Phương pháp giải. C) MỘT SỐ BÀI TẬP Cể LỜI GIẢI. Chứng minh rằng:. Cho X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a. Chứng minh rằng:. Nên f là đồng cấu nhóm. Vậy f là đẳng cấu. xác định tốt, không phụ thuộc vào việc chọn lớp r. Dễ dàng kiểm tra được ϕ là đẳng cấu nhóm. Chứng minh rằng:. a) Mọi nhóm xiclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhau. b) Hai nhóm xiclic cấp hữu hạn đẳng với nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp. Rừ ràng là một đẳng cấu. b) Nếu hai nhóm xiclic hữu hạn đẳng cấu thì hiển nhiên chúng cùng cấp. là một đẳng cấu. Vậy f là đẳng cấu. Chứng minh rằng X đẳng cấu với nhúm A Bì. Vậy mỗi phần tử x X∈ được. Mặt khác các phần tử của A giao hoán được với các phần tử của B. Vậy ϕ là đẳng cấu. Giả sử X là nhóm. b) Chứng minh rằng nếu HX thì X/H là nhóm Abel khi và chỉ khi. a) Chứng minh quy tắc ϕ cho tương ứng với mỗi phần tử xn∈X với phần tử.
Nên F là đồng cấu. Lấy a∈G thì. Xét ánh xạ. Do tính duy nhất của ánh xạ mở rộng nên θ =π. Vì x∈G nên knk. ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. Vậy nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. Thật vậy, với mọi x thuộc X ta có knk. Chứng minh rằng f là toàn cấu khi và chỉ khi f là toàn ánh lên S’. Vì y∈Y nên. Hiển nhiên x∈X. Vậy f là toàn cấu. Xét phép chiếu chính tắc chỉ số i. Vì phép chiếu chính tắc là toàn cấu nên theo bài 14 thì Gi là nhóm hữu hạn sinh. D) MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Các phát biểu sau là đúng hay sai:. b) Mọi đồng cấu nhóm là đơn cấu khi và chỉ khi hạt nhân của nó chỉ chứa phần tử đơn vị. c) Một đồng cấu nhóm có thể có hạt nhân là tập rỗng. g) Nhóm cộng các số hữu tỷ Q là một nhóm xiclic. Khi đó f(x) có thể không là nhóm xiclic. Chứng minh rằng f là đồng cấu nhóm khi và chỉ khi G là nhóm Abel. 3) Chứng minh rằng nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của X thì tồn tại một song ánh từ tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X chứa A đến tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X/A.
(vii) Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu G có đúng một p- nhóm con Sylow với mỗi p là ước nguyên tố của G thì G là tích trực tiếp của các p- nhóm con Sylow của nó. i) Dãy chuẩn tắc của G được gọi là dãy Abel nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm giao hoán. ii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy xiclic nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm xiclic. iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy hợp thành nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm đơn. iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy cơ bản nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhân tử cơ bản. iv) Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu G có một dãy Abel v) Cho G là nhóm, P là một tính chất nào đó của nhóm. Một dãy poly-P là dãy chuẩn tắc của G mà tất cả các nhân tử của dãy đều có tính chất P. Nhóm G được gọi là nhóm poly-p nếu nó có một dãy poly-P vi) G là nhóm giải được nếu nó là nhóm polyabelian. vii) G là nhóm polyxylic nếu nó có một dãy polyxylic. viii) Giả sử P, Q là các tính chất nào đó của nhóm. Do giả thuyết quy nạp nên X/Z(X) là nhóm giải được. a) Chứng minh rằng nếu X không phải là nhóm Abel thì X/Z(X) không phải là nhóm xiclic. b) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp p2 đều là nhóm Abel với p là số nguyên tố. Do đó X là nhóm Abel. Nếu nhóm X khác { }e không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài X được gọi là nhóm đơn. Chứng minh rằng nhóm giải được là nhóm đơn khi và chỉ khi nó là nhóm giải được cấp nguyên tố. Mà X chỉ có hai nhóm con chính tắc tầm thường { }e và X nên X chỉ có hai nhóm con tầm thường. thì K cũng là nhóm con chuẩn tắc của X trái giả thiết X là nhóm đơn. Theo bài 8 chương II thì X là nhóm xiclic cấp nguyên tố nên X là nhóm giải được cấp nguyên tố. Vậy X là nhóm đơn giải được. Chứng minh rằng H, K là nhúm giải được thỡ H Kì là nhúm giải được. H là nhóm giải được nên ta có chuỗi giải được:. K là nhóm giải được nên ta có chuỗi giải được :. Không mất tính tổng quát giả sử n m〉. Do đú Hi−1ìKi−1/HiìKi là nhúm Abel Vậy H Kì là nhúm giải được. a) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 6 đều giải được. b) Hỏi mọi nhóm cấp pq với pq là các số nguyên tố có phải là nhóm giải được không?.
Ta sẽ chứng minh (∗) bằng quy nạp theo i. Hay H là nhóm lũy linh lớp ≤c. a) Chứng minh rằng nếu G là nhóm lũy linh và f G: →H là một toàn cấu thì H lũy linh. b) Chứng minh rằng nếu G là nhóm lũy linh lớp c và H G thì G/H là nhóm lũy linh lớp ≤c. Vì G lũy linh nên mọi nhóm con cực đại của G là chuẩn tắc trong G ( bài 9). Gọi M là nhóm con cực đại của G, ta có M G khi đó theo nhận xét 9i) ta được G/M là nhóm xiclic cấp nguyên tố. Chứng minh rằng nếu G/H và G/K lũy linh thì. Ta được ϕ là toàn cấu. Chứng minh rằng G là nhóm lũy linh cấp 1 khi và chỉ khi G là nhóm giao hoán. Chứng minh rằng nếu G không Abel, có cấp p3 thì G lũy linh lớp 2. Mặt khác G không Abel nên G/ξ1 không xiclic. Thật vậy nếu G/ξ1xiclic thì tồn tại a G∈ sao cho mọi phần tử của G/ξ1 đều có dạng lũy thừa của aξ1. Chứng minh rằng nếu G là nhóm lũy linh thì dãy giảm trung tâm của G và dãy tăng trung tâm của G có độ dài bằng nhau. Do đó dãy giảm trung tâm của G và dãy tăng trung tâm của G có độ dài bằng nhau. Xét các ma trận. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Chứng minh rằng:. a) Nhóm con của lũy linh là lũy linh. b) Nhóm thương của nhóm lũy linh là lũy linh.
Chứng minh rằng:. Giả sử nhóm G có các tính chất:. Chứng minh rằng G chứa một nhóm con xiclic duy nhất cấp 8. Chứng minh rằng với mọi nhóm con H của G, ta được một chuỗi có độ dài c từ H đến G. Chứng minh rằng nếu G là nhóm lũy linh thì cả chuổi tâm trên và chuổi tâm dưới đề là chuổi trung tâm. Chứng minh rằng nếu H và K là các nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G thì HK là một nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G. ii) Cho G là nhóm giao hoán. Khi đó G thỏa điều kiện tối đại nếu G là nhóm hữu hạn sinh. Nếu N G, N có một dãy các nhóm con chuẩn tắc mà tất cả các số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm xiclic thì N được gọi là nhóm G-siêu giải được. B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP Bài toán. Chứng minh nhóm G là nhóm siêu giải được. Phương pháp giải. Ta tiến hành kiểm tra các bước sau:. Chứng minh S3 là nhóm siêu giải được. Chứng minh rằng H và G/N là nhóm siêu giải được. Ta chứng minh H là nhóm siêu giải được Ta xét dãy các nhóm con của H. Vậy H là nhóm siêu giải được. Chứng minh G/N là nhóm siêu giải được. Do đó ta có dãy các nhóm con chuẩn tắc của G/N là:. Chứng minh rằng:. a) Mọi nhóm con xiclic chuẩn tắc của nhóm G là nhóm G- siêu giải được. b) Nếu G là nhóm G- siêu giải được thì G là nhóm siêu giải được. Như vậy N là nhóm G- siêu giải được. b) Vì G là nhóm G- siêu giải được nên G có một dãy các nhóm con chuẩn tắc với các số hạng là các nhóm con chuẩn tắc của G và các nhân tử là nhóm xiclic. Am−1Am=Gi+1 với các số hạng là nhóm con chuẩn tắc của G có các nhân tử là nhóm xiclic có cấp nguyên tố hoặc vô hạn hay nói cách khác G có một dãy siêu giải được có tất cả các nhân tử là nhóm có cấp nguyên tố hoặc vô hạn.
{ }0 thì H cũng là một nhóm con Abel tự do có cơ sở hữu hạn và lực lượng cơ sở của H bé hơn hoặc bằng lực lượng cơ sở của F. Chứng minh rằng nếu nhóm Abel G có cấp vô hạn mà các phần tử có cấp vô hạn của G nằm trong một nhóm con hữu hạn sinh khác { }e thì G là nhóm hữu hạn sinh.