Áp dụng định luật bảo toàn năng lượngtrong một số bài tập Vật lý

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượngtrong một số bài tập Vật lý

1 Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng trong một số bài tập Vật lý (Bài giảng lớp bồi dưỡng giáo viên Vật lý hè 2009) GS.TS. Bạch Thành Công Hà nội 8- 2009 2 Năng lượng là thước đo lượng chuyển động của vật chất dưới mọi hình thức. Chuyển động của vật chất (trong một nghĩa rộng hơn là vận động) là vĩnh cửu có nhiều hình thức phong phú. Chuyển động cơ học chỉ là một dạng vận động khi vật thay đổi vị trí của mình trong không gian và năng lượng tương ứng với chuyển động đó được gọi là năng lượng cơ học. Chuyển động nhiệt là một hình thức khác và dạng năng lượng tương ứng là năng lượng nhiệt. Ngoài ra có các loại năng lượng khác: năng lượng điện từ, năng lượng hạt nhân, năng lượng liên kết hoá học . đó là các dạng năng lượng đặc thù ứng với các dạng vận động cụ thể của vật chất. Định luật bảo toàn năng lượng nói chung có thể được trình bày trong một số dạng cụ thể. Chúng ta sẽ xem xét các dạng đó và ứng dụng cho những bài tập cụ thể A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT &1- Định luật bảo toàn cơ năng cho chất điểm chuyển động trong trường thế Cơ năng của chất điểm bao gồm động năng (năng lượng gắn với chuyển động của chất điểm) và thế năng (năng lượng gắn với cáu hình tương tác giữa các chất điểm). -Động năng Công thực hiện bởi lực F  lên chất điểm khối lượng m còn có thể biểu thị qua độ biến thiên của một dạng năng lượng của chuyển động cơ học gọi là động năng. Từ phương trình động lực học thứ hai của Newton ta có: dt vd mF   = Mặt khác theo định nghĩa, công thực hiện bởi lực F  khi lực đó là m chất điểm dịch chuyển đi một khoảng vô cùng bé rd  là ( ) rd,FdA   = . Ta có thể viết như sau: ( )         =⇒=       = 2 ,, 2 mv ddAvvdmrd dt vd mdA   Đại lượng 2 2 mv K = (1) 3 được gọi là động năng của chất điểm đang chuyển động với vận tốc v . Động năng là đại lượng có giá trị không âm, 0K ≥ . Nếu dưới tác dụng của lực F  chất điểm chuyển động từ vị trí 1 r  đến 2 r  đi được một quãng đường hữu hạn thì công thực hiện bởi lực F  là : ( ) ∫∫ ∫ =         == 2 r 1 r 2 r 1 r 2 r 1 r 2 12 dK 2 mv drd,FA   22 2 1 2 2 1212 mvmv KKA −=−= (2) Ở đây v 2 là vận tốc của chất điểm tại vị trí r 2 , v 1 là vận tốc của chất điểm tại vị trí r 1 . Biểu thức cuối cùng chính là nội dung của định lý động năng: độ tăng động năng của chất điểm trong một khoảng thời gian bằng công của lực đặt vào chất điểm trong khoảng thời gian đó. - Thế năng F  m M H. 1. Vật thử m trong trường lực của vật M Thế năng là dạng năng lượng cơ học phụ thuộc vào cấu hình hình học của các vật tương tác. Các vật tương tác với nhau có thể do va chạm trực tiếp hoặc thông qua trường lực. Trường lực của vật M là khoảng không gian xung quanh vật M trong đó có lực do vật M sinh ra tác dụng vào bất kỳ vật m nào khác được nhúng vào không gian đó (H. 1). Trường lực là đồng nhất (hay còn gọi là trường đều) nếu lực F không phụ thuộc vào vị trí. Trường lực gọi là dừng nếu F không phụ thuộc thời gian (gọi tắt là trường lực dừng). Nếu trường lực dừng có công của lực thực hiện lên chất điểm chỉ phụ thuộc vảo vị trí của điểm đầu và điểm cuối mà không phụ thuộc vào hình dạng đường dịch chuyển thì trường lực đó gọi là trường thế và lực của trường đó gọi là lực thế. Điều đó cũng có nghĩa là công thực hiện bởi lực trường thế trên quãng đường khép kín là bằng 0. Cụ thể hơn, nếu vật dịch chuyển trong trường thế đi được một quãng đường khép kín 12341 (xem H. 2) thì: 4 0A 12341 = (3) Công thực hiện trên toàn bộ quãng đường là tổng các công thành phần: 0AAA 34112312341 =+= Do đó: 1 2 4 3 H. 2. Quãng đuờng khép kín của vật chuyển động trong trường thế z 2 (1) z 1 (2) gm  rd  θ r 1 r 2 z O H. 3. Vật chuyển động trong trường hấp dẫn từ điểm (1) đến điểm (2) 341123 AA −= Lực trường thế còn gọi là lực bảo toàn (conservative force). Hai trường hợp trường thế quan trọng là trường hấp dẫn và trường lực đàn hồi. a) Trường hấp dẫn Ta xét một trường lực hấp dẫn quen thuộc, đó là trường lực hấp dẫn của Trái đất hay còn được gọi là trường trọng lực. Gần bề mặt Trái đất trường trọng lực có thể coi là đồng nhất. Ta chọn chiều dương trục OZ của hệ toạ độ Descartes hướng theo phương thẳng đứng lên trên thì trọng lực có các thành phần là (xem H.3): ( ) ( ) mg,0,0FF,0,0F z −=  (3) Công mà trọng lực thực hiện được khi chất điểm dịch chuyển trong trường từ điểm 1 (độ cao z 1 ) đến điểm 2 (độ cao z 2 ) là : ( ) ( ) ( ) ∫∫ −== 2 1 2 1 12 , z z dzmgrdFA   5 ( ) )zz(mgzzmgA 211212 −=−−= (4) Nếu vật dịch chuyển tiếp theo một đường cong nào đó từ điểm 2 về điểm 1 trở về vị trí ban đầu. Dễ thấy rằng: ( ) 1221 zzmgA −= (5) Công mà trọng lực thực hiện khi chất điểm chuyển động toàn bộ theo quỹ đạo khép kín trở về vị trí ban đầu theo (4), (5) là : 0 2112 =+ AA Do đó trường trọng lực là trường thế. b) Trường lực đàn hồi Xét một lò xo đàn hồi được đặt trên mặt nằm ngang dọc theo trục Ox nêu trong thí dụ 1. Công của lực đàn hồi thực hiện được khi lò xo bị biến dạng và đầu tự do của lò xo bị dịch chuyển từ điểm x 1 đến điểm x 2 , theo (5) là : 2 kx 2 kx A 2 2 2 1 12 −= (6) Rõ ràng là công này chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của dịch chuyển và ta cũng thấy ngay khi đầu tự do của lò xo từ vị trí x 2 trở về trạng thái ban đầu x 1 thì công của lực đàn hồi thực hiện được là : 12 2 1 2 2 21 A 2 kx 2 kx A −=−= Do đó công do lực đàn hồi thực hiện trên quãng đường khép kín x 1 x 2 x 2 x 1 bằng 0. 0AAA 21121221 =+= Như vậy trường lực đàn hồi là trường thế. Lực của trường tĩnh điện do vật tích điện không chuyển động tạo ra xung quanh nó tác động lên hạt tích điện đứng trong trường của nó (lực Coulomb) cũng là lực thế nên trường tĩnh điện cũng là trường thế. * Thế năng trong trường thế Trong trường hợp trường thế, công của lực chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối thì mỗi điểm của trường có thể đặc trưng bởi gía trị của một hàm U(x, y, z) 6 sao cho hiệu giá trị của hàm đó tại các điểm 1 và 2 bằng công của lực thế dịch chuyển chất điểm từ điểm 1 đến điểm 2: 2112 UUA −= (6) ( ) 1111 ,, zyxUU = ( ) 12 ,, zyxUU = Hàm U có thứ nguyên năng lượng và phụ thuộc vào vị trí được gọi là hàm thế năng. Hàm đó phụ thuộc vị trí của chất điểm tương đối với vật nguồn sinh ra trường lực, do đó thế năng là dạng năng lượng phụ thuộc cấu hình của các vật tương tác. Mốc tính thế năng có thể chọn tuỳ ý. Thật vậy, ta có thể chọn một hàm thế năng U’ khác U’ = U + C, trong đó C là một hằng số thì: A 12 = U 1 ’ – U 2 ’=U 1 -U 2 Công thực hiện bởi lực thế không có gì thay đổi. Biểu thức A 12 = U 1 – U 2 thường đựơc phát biểu như công của lực thế dịch chuyển chất điểm từ điểm 1 đến điểm 2 bằng độ giảm thế năng của chất điểm trong dịch chuyển đó. Công của lực thế thực hiện được khi chất điểm có dịch chuyển vô cùng bé được viết trong dạng vi phân: ( ) rdFdUdA   ,=−= Biết dạng của U (x, y, z) ta có thể suy ra biểu thức của lực thế F. Sử dụng biểu thức cho vi phân của công và vi phân toàn phần của hàm đa biến U(x,y,z) ta có: dzFdyFdxFdU zyx ++=−          = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − z y x F z U F y U F x U (7) UFhaygradUF −∇=−=  (8) 7 Mặt xác định trong không gian bởi điều kiện U (x, y, z ) =C (C- là hằng số) (9) gọi là mặt đẳng thế. Khi vật dịch chuyển trên mặt đẳng thế năng thì công của lực thế bằng không. Điều đó có thể thấy từ (9) nếu lấy vi phân hai vế thì: M H. 4. Truờng lực hấp dẫn có mặt đẳng thế là mặt cầu A= ∆ U=0 (10) Hình 4 minh hoạ trường hợp trường lực hấp dẫn có mặt đẳng thức là mặt cầu vì mọi điểm cách tâm trường lực một khoảng r có thế năng như nhau: r GMm U = Xét chất điểm chuyển động trong trường thế từ điểm 1 đến điểm 2, theo (6) công mà lực thế thực hiện được là : A 12 = U 1 - U 2 Mặt khác theo định lý động năng (2), độ tăng động năng của chất điểm khi chất điểm dịch chuyển từ điểm 1 đến điểm 2 dưới tác dụng của lực thế bằng công của lực thế tác dụng lên nó: A 12 = K 2 – K 1 Từ đó, ta có: U 1 + K 1 = U 1 + K 2 = E ( ) constzyxU mv UKE =+=+= ,, 2 2 (11) Hàm E là tổng động năng và thế năng của chất điểm và được gọi là cơ năng của nó. Dựa trên (11) ta có định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm chuyển động trong trường thế: Cơ năng của chất điểm chuyển động trong trường thế được bảo toàn. Ta có thể phát biểu định luật (11) dưới dạng khác thể hiện sự chuyển hoá giữa động năng và thế năng của cơ năng chất điểm. Lấy gia số (11) ta được: 8 UKUKE ∆−=∆⇒=∆+∆=∆ 0 (12) (12) có nghĩa là khi chất điểm chuyển động trong trường thế độ tăng động năng bằng độ giảm thế năng của nó. Khi hạt chuyển động trong trường thế dạng đường cong thế năng sẽ quyết định tính chất của chuyển động (chuyển động trong một vùng không gian hạn chế hay toàn không gian, xem mục 4/ và thí dụ 1) &2- Định luật bảo toàn cơ năng cho hệ vật lý cô lập (hệ kín) Bây giờ ta xét một hệ vật lý gồm một số vật. Hệ là cô lập không tương tác với các vật khác ngoài hệ (hệ còn được gọi là hệ kín, xem H.5). Khi các phần tử của hệ cô lập này chuyển động, trong hệ có thể có ma sát và có thể có sự chuyển đổi từ năng lượng cơ học sang năng lượng nhiệt là m các vật nóng lên. Nói một cách khác là có sự chuyển đổi hình thức năng lượng bên trong hệ. Khi đó định luật bảo toàn năng lượng được viết như sau: 0 int =∆+∆+∆ EUK (13) E int – năng lượng bên trong (hay nội năng) của hệ vật. Nội năng của vật gồm động năng chuyển động và thế năng tương tác của các hạt bên trong vật. += ∑ i ii vm E 2 2 int U hạt bên trong vật (14) Ngoài ra có thể có sự chuyển đổi năng lượng cơ học thành các dạng năng lượng khác (năng lượng hoá học, năng lượng điện từ…) khi đó biểu thức tổng quát cho định luật bảo toàn năng lượng sẽ là : 0 ~ int =∆+∆+∆+∆ EEUK (15) E ~ ∆ biểu thị độ biến thiên của các dạng năng lượng khác môi trường hệ vật lý H. 5. Hệ vật lý cô lập với môi trường xung quanh nó F  ngoại H. 6. Hệ vật lý mở chịu tác dụng của ngoại lực Định luật bảo toàn năng lượng cho hệ vật lý cô lập được phát biểu như sau: 9 Trong một hệ cô lập năng lượng có thể chuyển đổi từ dạng này sang dạng khác nhưng năng lượng toàn phần của hệ thì không đổi. &3- Định luật bảo toàn năng lượng trong dạng tổng quát Bây giờ ta xét hệ vật lý đứng trong môi trường (xem H.6). Nếu có các lực mà các vật của môi trường tác dụng xuyên qua biên giới hệ (ngoại lực) và thực hiện công trên các vật trong hệ thì hệ không phải là cô lập nữa. Công của ngoại lực A ngoại sẽ bằng đúng độ biến thiên năng lượng của hệ và phương trình (13) được viết lại là : A ngoại = EEUK ~ int ∆+∆+∆+∆ (16) (16) có nghĩa là nếu ngoại lực thực hiện lên hệ một công A ngoaị thì năng lượng tổng cộng trong hệ dưới mọi dạng sẽ tăng một lượng đúng bằng công A ngoại . Hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp ngược lại khi mà hệ tác dụng các lực xuyên qua biên giới thực hiện công lên các vật của môi trường và năng lượng của hệ giảm đi một cách tương ứng. Khi đó công A là âm ứng với sự giảm năng lượng của hệ. Do đó để tổng quát ta có thể bỏ ký hiệu “ngoại lực ” đi và viết: EEUKA ~ int ∆+∆+∆+∆= ( 17a) Vì E ∆ là độ biến thiên của năng lượng cơ học (17a) có thể được viết là EEEA ~ int ∆+∆+∆= ( 17b) Trong (17a, b ) ta qui ước rằng khi A > 0 ngoại lực của môi trường thực hiện công lên hệ. Còn nếu A < 0, hệ thực hiện công lên môi trường. (17a, b) có thể coi là một cách phát biểu về định luật bảo toàn năng lượng dạng tổng quát: năng lượng không tự nhiên sinh ra mà cũng không tự nhiên mất đi, nó chỉ biến đổi từ dạng này sang dạng khác hoặc truyền từ vật này sang vật khác. Một dạng riêng của (17) khi độ biến thiên của dạng năng lượng khác E ~ ∆ là nhiệt lượng mà hệ nhận được do môi trường cung cấp - Q∆ , còn cơ năng của hệ không đổi. Đó chính là nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học AEQ +∆=∆ int (18) 10 Công thức (18) có ý nghĩa là : Nhiệt lượng cung cấp cho hệ bằng tổng độ thay đổi nội năng của hệ và công hệ thực hiện (nếu A>0 hệ sinh công tác động lên môi trường còn A<0 ứng với trường hợp môi trường sinh công tác động lên hệ). Nếu các biến thiên trong (17 b) là nhỏ ta chia cho khoảng thời gian xảy ra biến thiên t ∆ và xét trong giới hạn 0→∆t : dt dQ dt dE dt dE dt dA −+= int ⇒ dt dE dt dE dt dQ P int +=+ (19) (19) có ý nghĩa là công suất do ngoại lực thực hiện và nhiệt lượng cung cấp cho hệ trong 1 đơn vị thời gian tác dụng lên hệ bằng sự thay đổi năng lượng cơ học và nội năng của hệ trong của một đơn vị thời gian đó. Nếu hệ kín thì vế trái của (19) bằng 0; 0 int =+ dt dE dt dE . Thí dụ 3 minh họa cho trường hợp này. & 4- Sử dụng đường cong thế năng cho chuyển động của hạt trong trường thế để khảo sát tính chất của chuyển động Ta có thể sử dụng đường cong thế năng để khảo sát chuyển động của hạt trong trường thế. Phương pháp này trực quan và giúp chúng ta phân tích chuyển động của hạt một cách tổng thể. x x 1 x x 2 x 0 E U F F H. 7 Hạt trong hố thế 1 chiều 4.1/ Chuyển động dao động của hạt trong không gian hạn chế Trước tiên ta xét chuyển động của hạt trong trường thế một chiều (thế năng chỉ là hàm của biến x). Hàm thế năng có một cực tiểu và năng lượng cơ học E được [...]... thay đổi thế năng của quả nặng M trong 1 đơn vị thời gian C F R r B- BÀI TẬP Bài tập 1 Một hạt khối lượng m chuyển động theo quỹ đạo là đường tròn bán kính R dưới tác dụng của lực xuyên tâm F(r) Tâm của trường lực C nằm trên đường tròn Hỏi qui luật sự phụ thuộc của lực vào khoảng cách r từ hạt tới tâm trường lực m 21 Trả lời F(r) = − 8R 2l 2 mr 5 Bài tập 2 Chất siêu dẫn là vật liệu nghịch từ lý tưởng mà... tròn Bài giải Trong trường xuyên tâm mô men động lượng được bảo toàn Chuyển động của hạt là chuyển động trong một trường lực xuyên tâm (trường thế) với thế năng U(r) và năng lượng tổng cộng (xem bài tập 1)  mr 2 l2 E= + +U (r) 2 2 mr 2 Số hạng thứ hai và ba đóng vai trò của một thế xuyên tâm hiệu dụng: U hd ( r ) = l2 2 mr 2 +U (r)  mr 2 E= + U hd ( r ) 2 Lực thế xuyên tâm chính là gradient của thế năng. .. từ định luật bảo toàn năng lượng : năng lượng ban đầu của khối lượng trong hệ qui chiếu khối tâm bằng năng lượng của lò xo Trong hệ qui chiêú phòng thí nghiệm Để xảy ra va chạm lần thứ 2 giữa quả cầu 1 và quả cầu 2 thì x1 = x2 : Ta có thể giải phương trình trên bằng phương pháp đồ thị (xem hình vẽ) 26 ψ 3π / 2 ϕ0 tg ψ = −γ sin ϕ b) Thời gian giữa các va chạm Bài tập 4 h Trên hai sợi dây nhỏ có treo một. .. R R R  R    R      x x 2 e2  − 1 + 2 + 22 +  R R R    Bỏ qua hằng số trong thế năng tương tác (vì thế năng được xác định chính xác tới một hằng số) Ta có u = ucoul 2 2 2 2 x1 x2 x1 x2 2e 2 x1 x2 +c +c =c +c − 2 2 2 2 R3 Động năng của hệ Vì trườn của các lực tương tác là trường thế nên năng lượng bảo toàn E=const Do đó lấy đạo hàm theo thời gian t ta được  x x11 −  x x2 2 − ... Hỏi vận tốc tâm hòn bi và tần số quay của nó khi hòn bi trở về vị trí ban đầu v = 0,73cm / s Trả lời f = 12,1s −1 Bài tập 5 (Chuyển động của hạt dưới tác dụng của lực Yukawa) 27 Hạt với khối lượng m chuyển động theo đường tròn bán kính R dưới tác dụng của lực xuyên tâm : F =− K r 2 e−r / a a/ Hãy xác định điều kiện cho hằng số a để quỹ đạo tròn là ổn định b/Hãy tính tần số của dao động xuyên tâm bé... cầu 1 để nó có thể va chạm với hệ hai quả cầu một lần nữa b) Thời gian trôi qua giữa hai va chạm đó là bao nhiêu? M m m 1 2 3 V0 Bài giải 23 a) Sau va chạm thứ nhất quả 1 chuyển động với vận tốc không đổi v 1, quả 2 và quả 3 dao động Để va chạm lần thứ hai, tọa độ quả cầu 1 và quả cầu 2 phải bằng nhau ở thời điểm nào đó muộn hơn Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng, động lượng cho hệ kín cho va chạm... Tìm sự phụ thuộc của ω f và dòng liên quan với nó Giải a) Đây là trường hợp có chuyển hóa năng lượng cơ học thành năng lượng điện và nhiệt năng: độ giảm thế năng của vật M bằng động năng quay của đĩa kim loại và nhiệt lượng tỏa ra trong mạch điện Khi đĩa đạt tới vận tốc góc không đổi thì độ giảm thế năng của vật M trong 1 đơn vị thời gian sẽ bằng công suất nhiệt của dòng điện tỏa ra trên điện trở R... nghĩa là năng lượng hút Biểu thức này cung cho ta thấy thế năng hút trong các tinh thể khí trơ sẽ nhỏ hơn rất nhiều thế năng hút trong tinh thể ion (tỉ lệ 1/R) Thí dụ 3: Máy phát điện Faraday → Máy gồm một đĩa dẫn điện bán kính r 0 đặt trong từ trường với cảm ứng từ B vuông góc với mặt đĩa Một điện cực trượt c1 được đặt ở bờ đĩa và điện cực trượt thứ hai c2 được đặt ở trục quay của nó Một vật nặng... trên phương pháp ảnh Mặt chất siêu dẫn có thể coi như một tấm gương phẳng và  M sao cho đường sức từ song mô men lưỡng cực ảnh có hướng giống như  M  M song với bề mặt chất siêu dẫn (có như vậy hai lưỡng cực từ mới đẩy nhau) 2h Superconductor Năng lượng tổng cộng của một nam châm vĩnh cửu nhỏ (lưỡng cực từ) dễ thấy gồm năng lượng tương tác lưỡng cực-lưỡng cực cộng thế năng hấp dẫn Năng lượng tương... x ) = x A n (A là constant) Haỹ tìm chu kỳ của chuyển động như hàm của năng lượng cơ học E và chỉ số mũ n Trường hợp nào thì chu kỳ của chuyển động không phụ thuộc vào năng lượng Giải Hạt chuyển động trong trường thế nên năng lượng cơ học được bảo toàn: E=  mx 2 n + A x = const 2 Chuyển động của hạt bị hạn chế trong không gian một chiều giữa hai điểm có tọa độ - xo và xo (xem hình vẽ) dx = dt ( 2 . 1 Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng trong một số bài tập Vật lý (Bài giảng lớp bồi dưỡng giáo viên Vật lý hè 2009) GS.TS. Bạch. Hệ vật lý cô lập với môi trường xung quanh nó F  ngoại H. 6. Hệ vật lý mở chịu tác dụng của ngoại lực Định luật bảo toàn năng lượng cho hệ vật lý cô