Áp dụng định luật bảo toàn năng lượngtrong một số bài tập Vật lý

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượngtrong một số bài tập Vật lý

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng

trong một số bài tập Vật lý

(Bài giảng lớp bồi dưỡng giáo viên Vật lý hè 2009)

GS.TS Bạch Thành Công

Hà nội 8- 2009

Năng lượng là thước đo lượng chuyển động của vật chất dưới mọi hình thức.Chuyển động của vật chất (trong một nghĩa rộng hơn là vận động) là vĩnh cửu

có nhiều hình thức phong phú Chuyển động cơ học chỉ là một dạng vận độngkhi vật thay đổi vị trí của mình trong không gian và năng lượng tương ứng vớichuyển động đó được gọi là năng lượng cơ học Chuyển động nhiệt là một hìnhthức khác và dạng năng lượng tương ứng là năng lượng nhiệt Ngoài ra có cácloại năng lượng khác: năng lượng điện từ, năng lượng hạt nhân, năng lượng liênkết hoá học đó là các dạng năng lượng đặc thù ứng với các dạng vận động cụthể của vật chất Định luật bảo toàn năng lượng nói chung có thể được trình bàytrong một số dạng cụ thể Chúng ta sẽ xem xét các dạng đó và ứng dụng chonhững bài tập cụ thể

A- TÓM TẮT LÝ THUYẾT

&1- Định luật bảo toàn cơ năng cho chất điểm

chuyển động trong trường thế

Cơ năng của chất điểm bao gồm động năng (năng lượng gắn với chuyển độngcủa chất điểm) và thế năng (năng lượng gắn với cáu hình tương tác giữa các chấtđiểm)

-Động năng

Công thực hiện bởi lực ⃗F lên chất điểm khối lượng m còn có thể biểu thị qua

độ biến thiên của một dạng năng lượng của chuyển động cơ học gọi là độngnăng Từ phương trình động lực học thứ hai của Newton ta có:

⃗

F=m d ⃗v dt

Mặt khác theo định nghĩa, công thực hiện bởi lực ⃗F khi lực đó là m chất điểmdịch chuyển đi một khoảng vô cùng bé d ⃗r là dA=(F ,d⃗r⃗ ) Ta có thể viết nhưsau:

dA=m(d ⃗v dt , d ⃗r)=m (d ⃗v, ⃗v) ⇒dA=d (mv22)

2 −

mv 12

Ở đây v2 là vận tốc của chất điểm tại vị trí r 2 , v 1 là vận tốc của chất điểm tại vị trí

r 1 Biểu thức cuối cùng chính là nội dung của định lý động năng: độ tăng động

năng của chất điểm trong một khoảng thời gian bằng công của lực đặt vào chấtđiểm trong khoảng thời gian đó

- Thế năng

Thế năng là dạng năng lượng cơ học phụ thuộc vào cấu hình hình học củacác vật tương tác Các vật tương tác với nhau có thể do va chạm trực tiếp hoặcthông qua trường lực Trường lực của vật M là khoảng không gian xung quanhvật M trong đó có lực do vật M sinh ra tác dụng vào bất kỳ vật m nào khác đượcnhúng vào không gian đó (H 1)

m M

H 1 Vật thử m trong trường lực của vật M

Trường lực là đồng nhất (hay còn gọi là trường đều) nếu lực F không phụthuộc vào vị trí Trường lực gọi là dừng nếu F không phụ thuộc thời gian (gọitắt là trường lực dừng) Nếu trường lực dừng có công của lực thực hiện lên chấtđiểm chỉ phụ thuộc vảo vị trí của điểm đầu và điểm cuối mà không phụ thuộc

vào hình dạng đường dịch chuyển thì trường lực đó gọi là trường thế và lực của

trường đó gọi là lực thế Điều đó cũng có nghĩa là công thực hiện bởi lực trường

thế trên quãng đường khép kín là bằng 0 Cụ thể hơn, nếu vật dịch chuyển trongtrường thế đi được một quãng đường khép kín 12341 (xem H 2) thì:

1

2

4

3

H 2 Quãng đuờng khép kín của vật

chuyển động trong trường thế

O

H 3 Vật chuyển động trong trường hấp dẫn từ điểm (1) đến điểm (2)

hướng theo phương thẳng đứng lên trên thì trọng lực có các thành phần là (xemH.3):

⃗

F (0,0 ,F z)=⃗F (0,0,−mg) (3)Công mà trọng lực thực hiện được khi chất điểm dịch chuyển trong trường từ

điểm 1 (độ cao z 1 ) đến điểm 2 (độ cao z 2) là :

Nếu vật dịch chuyển tiếp theo một đường cong nào đó từ điểm 2 về điểm 1 trở

về vị trí ban đầu Dễ thấy rằng:

A1221=A12+A21=0Như vậy trường lực đàn hồi là trường thế.

Lực của trường tĩnh điện do vật tích điện không chuyển động tạo ra xung quanh

nó tác động lên hạt tích điện đứng trong trường của nó (lực Coulomb) cũng làlực thế nên trường tĩnh điện cũng là trường thế

* Thế năng trong trường thế

Trong trường hợp trường thế, công của lực chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểmcuối thì mỗi điểm của trường có thể đặc trưng bởi gía trị của một hàm U(x, y, z)sao cho hiệu giá trị của hàm đó tại các điểm 1 và 2 bằng công của lực thế dịchchuyển chất điểm từ điểm 1 đến điểm 2:

A12=U1−U2

(6)

U1=U(x1, y1, z1)

U2=U(x , y , z1)

Hàm U có thứ nguyên năng lượng và phụ thuộc vào vị trí được gọi là hàm

thế năng Hàm đó phụ thuộc vị trí của chất điểm tương đối với vật nguồn sinh ratrường lực, do đó thế năng là dạng năng lượng phụ thuộc cấu hình của các vậttương tác

Mốc tính thế năng có thể chọn tuỳ ý Thật vậy, ta có thể chọn một hàm thế

năng U’ khác U’ = U + C, trong đó C là một hằng số thì:

A 12 = U 1 ’ – U 2 ’=U 1 -U 2

Công thực hiện bởi lực thế không có gì thay đổi

Biểu thức A 12 = U 1 – U 2 thường đựơc phát biểu như công của lực thế dịchchuyển chất điểm từ điểm 1 đến điểm 2 bằng độ giảm thế năng của chất điểmtrong dịch chuyển đó Công của lực thế thực hiện được khi chất điểm có dịchchuyển vô cùng bé được viết trong dạng vi phân:

dA=−dU =(F , d⃗r⃗ )

Biết dạng của U (x, y, z) ta có thể suy ra biểu thức của lực thế F Sử dụng biểu

thức cho vi phân của công và vi phân toàn phần của hàm đa biến U(x,y,z) ta có:

Mặt khác theo định lý động năng (2), độ tăng động năng của chất điểmkhi chất điểm dịch chuyển từ điểm 1 đến điểm 2 dưới tác dụng của lực thếbằng công của lực thế tác dụng lên nó:

Hàm E là tổng động năng và thế năng của chất điểm và được gọi là cơ năng của

nó Dựa trên (11) ta có định luật bảo toàn cơ năng của chất điểm chuyển động

trong trường thế: Cơ năng của chất điểm chuyển động trong trường thế được

bảo toàn.

Ta có thể phát biểu định luật (11) dưới dạng khác thể hiện sự chuyển hoágiữa động năng và thế năng của cơ năng chất điểm Lấy gia số (11) ta được:

(12) có nghĩa là khi chất điểm chuyển động trong trường thế độ tăng động năngbằng độ giảm thế năng của nó

Khi hạt chuyển động trong trường thế dạng đường cong thế năng sẽ quyếtđịnh tính chất của chuyển động (chuyển động trong một vùng không gian hạnchế hay toàn không gian, xem mục 4/ và thí dụ 1)

&2- Định luật bảo toàn cơ năng cho hệ vật lý cô lập (hệ kín)

Bây giờ ta xét một hệ vật lý gồm một số vật Hệ là cô lập không tương tácvới các vật khác ngoài hệ (hệ còn được gọi là hệ kín, xem H.5) Khi các phần tửcủa hệ cô lập này chuyển động, trong hệ có thể có ma sát và có thể có sự chuyểnđổi từ năng lượng cơ học sang năng lượng nhiệt là m các vật nóng lên Nói mộtcách khác là có sự chuyển đổi hình thức năng lượng bên trong hệ Khi đó địnhluật bảo toàn năng lượng được viết như sau:

ΔEK + ΔEU + ΔEEint=0(13)

Eint – năng lượng bên trong (hay nội năng) của hệ vật Nội năng của vật gồmđộng năng chuyển động và thế năng tương tác của các hạt bên trong vật

ΔEK + ΔEU + ΔEEint+ΔE~E=0 (15)

ΔE~E biểu thị độ biến thiên của các dạng năng lượng khác

Định luật bảo toàn năng lượng cho hệ vật lý cô lập được phát biểu như sau:

Trong một hệ cô lập năng lượng có thể chuyển đổi từ dạng này sang dạng khác nhưng năng lượng toàn phần của hệ thì không đổi.

&3- Định luật bảo toàn năng lượng trong dạng tổng quát

Bây giờ ta xét hệ vật lý đứng trong môi trường (xem H.6) Nếu có các lực

mà các vật của môi trường tác dụng xuyên qua biên giới hệ (ngoại lực) và thựchiện công trên các vật trong hệ thì hệ không phải là cô lập nữa Công của ngoại

lực A ngoại sẽ bằng đúng độ biến thiên năng lượng của hệ và phương trình (13)được viết lại là :

A ngoại = ΔEK + ΔEU + ΔEEint+ΔE~E (16)

(16) có nghĩa là nếu ngoại lực thực hiện lên hệ một công A ngoaị thì năng lượng

tổng cộng trong hệ dưới mọi dạng sẽ tăng một lượng đúng bằng công A ngoại .Hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp ngược lại khi mà hệ tác dụng các lực xuyênqua biên giới thực hiện công lên các vật của môi trường và năng lượng của hệgiảm đi một cách tương ứng Khi đó công A là âm ứng với sự giảm năng lượng

của hệ Do đó để tổng quát ta có thể bỏ ký hiệu “ngoại lực ” đi và viết:

A= ΔEK + ΔEU +ΔEEint+ΔE~E ( 17a)

Vì ΔEE là độ biến thiên của năng lượng cơ học (17a) có thể được viết là

A= ΔEE+ ΔEEint+ΔE~E ( 17b)

Trong (17a, b ) ta qui ước rằng khi A > 0 ngoại lực của môi trường thực hiệncông lên hệ Còn nếu A < 0, hệ thực hiện công lên môi trường (17a, b) có thể

coi là một cách phát biểu về định luật bảo toàn năng lượng dạng tổng quát: năng

lượng không tự nhiên sinh ra mà cũng không tự nhiên mất đi, nó chỉ biến đổi từ dạng này sang dạng khác hoặc truyền từ vật này sang vật khác Một dạng riêng

của (17) khi độ biến thiên của dạng năng lượng khác ΔE~E là nhiệt lượng mà

hệ nhận được do môi trường cung cấp - ΔEQ , còn cơ năng của hệ không đổi Đó

chính là nguyên lý thứ nhất của nhiệt động học

Công thức (18) có ý nghĩa là : Nhiệt lượng cung cấp cho hệ bằng tổng độ thayđổi nội năng của hệ và công hệ thực hiện (nếu A>0 hệ sinh công tác động lênmôi trường còn A<0 ứng với trường hợp môi trường sinh công tác động lên hệ).Nếu các biến thiên trong (17 b) là nhỏ ta chia cho khoảng thời gian xảy ra biếnthiên ΔEt và xét trong giới hạn ΔEt →0 :

(19) có ý nghĩa là công suất do ngoại lực thực hiện và nhiệt lượng cung cấp cho

hệ trong 1 đơn vị thời gian tác dụng lên hệ bằng sự thay đổi năng lượng cơ học

và nội năng của hệ trong của một đơn vị thời gian đó Nếu hệ kín thì vế trái của

(19) bằng 0;

dE

dt +

dE int

dt =0 Thí dụ 3 minh họa cho trường hợp này.

& 4- Sử dụng đường cong thế năng cho chuyển động của hạt trong trường

thế để khảo sát tính chất của chuyển động

Ta có thể sử dụng đường cong thế năng để khảo sát chuyển động của hạt trong trường thế Phương pháp này trực quan và giúp chúng ta phân tích chuyển động của hạt một cách tổng thể

4.1/ Chuyển động dao động của hạt trong

không gian hạn chế

Trước tiên ta xét chuyển động của hạt trong

trường thế một chiều (thế năng chỉ là hàm

của biến x) Hàm thế năng có một cực tiểu và

năng lượng cơ học E được bảo toàn và là

một hằng số dương cắt đường cong thế năng

tại điểm x 1 , x 2 (xem H 7)

E=K + U=const ; F=− dU

dx

(19)

Chuyển động của hạt chỉ có thể xảy ra trong vùng không gian hạn chế

x1≤x≤x2 mà ở đó U≤E , còn lực thế phụ thuộc toạ độ hạt và bằng:

Lực có hướng như trên hình vẽ và luôn có xu thế kéo hạt về vị trí cân bằng x0 –

vị trí có thế năng nhỏ nhất Chuyển động của hạt là chuyển động tuần hoàn có

x

E U

H 7 Hạt trong hố thế 1 chiều

chu kỳ bằng hai lần khoảng thời gian chuyển động từ x1 đến x2 Thí dụ điển hình

của trường hợp này là dao động điều hoà với hàm thế dạng parabol kx 2/2

4.2/ Trường hợp thứ hai: Đường cong thế năng một chiều có cả cực tiểu lẫn

cực đại (xem H 8).

Đường đẳng năng lượng E = const cắt đường cong thế năng tại ba điểm x 1 , x 2 ,

x 3 Ta có thể chia chuyển động của hạt ra là m ba vùng I, II, III, trong đó:

I - vùng hạt chuyển động hữu hạn trong hố thế

II - hàng rào thế III - vùng chuyển động vô hạn

Trong vùng I hạt chuyển động trong hố thế tương tự như trường hợp 1, toạ độhạt bị hạn chế bởi điều kiện x1≤x≤x2 Vùng II và vùng III được ngăn cáchbởi một rào thế năng có độ cao U max -E Trong khung cảnh của cơ học cổ điển,

hạt với năng lượng E không thể chuyển động từ vùng I sang vùng III Nếu hạt

ban đầu ở vô cực có năng lượng E= mv∞

2

2 (thế năng ở vô cực coi như bằng

không) và chuyển động theo chiều âm của trục OX thì x3 chính là điểm dừng củahạt Hạt không thể chuyển động từ vùng III sang vùng I mà chỉ có thể đổi hướngvận tốc của nó từ ngược chiều sang cùng chiều với hướng dương của trục OX

x1

O

H 8 Hạt trong trường thế với hàm

thế năng có cực đại, cực tiểu.

H 9 Chuyển động của hạt có thể hữu hạn hoặc vô hạn tuỳ theo năng lượng.

4.3/ Trường hợp hàm thế năng có dạng như H 9

Tuỳ theo giá trị của hằng số cơ năng E = const mà chuyển động của hạt có thể là

vô hạn hoặc hữu hạn

E > 0 chuyển động có thể xảy ra trong không gian vô hạn (thí dụ khi E = E 2 trên

như hàm của năng lượng cơ học E và chỉ số mũ n Trường hợp nào thì chu kỳ

của chuyển động không phụ thuộc vào năng lượng

u 1

du E

m 2 A

E

2

T

Tích phân theo u cho ta một hằng số phụ thuộc n và qui luật phụ thuộc của chu

kỳ chuyển động vào năng lượng có dạng:

T ∝E(1n−

1

2)

Dễ thấy răng trường hợp n=2 (trường hợp dao động tử điều hòa) Tích phân theo

u cho ta π /2 và A=k /2 Khi đó T không phụ thuộc vào năng lượng daođộng và có dạng quen thuộc cho dao động tử điều hòa (con lắc lò xo)

T = 2 π

√k /m

Thí dụ 2

Mô hình hai nguyên tử trung hòa tương tác với nhau bằng lực tương

tác tĩnh điện được mô tả trên hình vẽ Cho rằng khoảng cách giữa các nguyên

tử lớn hơn rất nhiều kích thước của chúng R >> x1, x2 và các điện tích dương coi

là cố định (các điện tích dương trong mô hình này ứng với hạt nhân hoặc lõi ionbên trong nguyên tử có khối lượng lớn, còn điện tích âm ứng với điện tử có khốilương nhỏ hơn rất nhiều so với hạt nhân nguyên tử do đó hạt nhân có thể coi làđứng yên và điện tử được coi là chuyển động) còn các điện tích âm dao độngdọc theo đường nối tâm các nguyên tử Coi các điện tích trong mỗi nguyên tử

tương tác với nhau bằng lực đàn hồi với hằng số lực là c, còn các điện tích thuộc

các nguyên tử khác nhau tương tác với nhau bằng lực hút hoặc đẩy tĩnh điệnCoulomb Hãy tìm tần số dao động bé của hệ?

Trả lời

Giải

Thế năng tương tác của các hạt trong hệ là tổng của thế năng tương tác tĩnh điện

Coulomb (ta ký hiệu là u coul) và thế năng đàn hồi Từ hình vẽ trên ta có biểu thức

Bỏ qua hằng số trong thế năng tương tác (vì thế năng được xác định chính xáctới một hằng số) Ta có

Vì trườn của các lực tương tác là trường thế nên năng lượng bảo toàn

E=const Do đó lấy đạo hàm theo thời gian t ta được

Hệ phương trình này có thể giải dễ dàng cho

Lời giải cho độ dịch chuyển của các điện tích âm là

Có thể lựa chọn điều kiện ban đầu khi t=0

Từ đó ta được các hằng số pha ban đầu và biên độ dao động

Năng lượng của hệ hai nguyên tử như hai lưỡng cực điện tương tác sẽ là

R3 trong đó R là khoảng cách giữa hai nguyên tử

trung hòa, dấu âm có ý nghĩa là năng lượng hút Biểu thức này cung cho ta thấythế năng hút trong các tinh thể khí trơ sẽ nhỏ hơn rất nhiều thế năng hút trong

tinh thể ion (tỉ lệ 1/R)

Thí dụ 3: Máy phát điện Faraday

Máy gồm một đĩa dẫn điện bán kính

r0 đặt trong từ trường với cảm ứng từ

B→ vuông góc với mặt đĩa Một điện

cực trượt c1 được đặt ở bờ đĩa và điện

cực trượt thứ hai c2 được đặt ở trục

quay của nó Một vật nặng khối

lượng M treo trên một dây dẫn quấn

quanh đĩa khi được thả xuống sẽ tạo

một mômen quay cho đĩa Người ta

nhận thấy nếu đĩa quay với vận tốc

góc không đổi sẽ có 1 dòng 1 chiều

lớn chạy qua điện trở R Hỏi:

a) Giải thích tại sao lại có dòng điện vào, đưa ra biểu thức sự phụ thuộc của cường độ dòng điện vào vận tốc góc ω của sự quay đĩa

C 1

b) nếu dây rất dài, hệ sé đạt tới vận tốc góc không đổi ω f Tìm sự phụ

thuộc của ω f và dòng liên quan với nó

Giải

a) Đây là trường hợp có chuyển hóa năng lượng cơ học thành năng lượng điện

và nhiệt năng: độ giảm thế năng của vật M bằng động năng quay của đĩa kim

loại và nhiệt lượng tỏa ra trong mạch điện Khi đĩa đạt tới vận tốc góc không đổi

thì độ giảm thế năng của vật M trong 1 đơn vị thời gian sẽ bằng công suất nhiệt của dòng điện tỏa ra trên điện trở R.

Trước hết ta tìm cường độ dòng điện qua R Xét điện tử ở khỏang cách r

tới trục quay Điện tử trong đĩa quay có vận tốc dài là ⃗v=[ω,⃗r⃗ ] do đó nó chịu

tác dụng của lực Lorent (CGS)

Lực này tương đương với lực điện trường

khi cường độ điện trường bằng E

→

hướng ra ngoài Như vậy, hiệu điện thế giữa c2, c1

(c1 âm hơn, c2 dương hơn)