Một sồ bài tập lý tự luận 12

phần I con lắc lò xo Bài 1: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ chuyển động đầu dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25 N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc 310 .  (cm/s) theo phương thẳng đứng hướng lên. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dương hướng xuống. a. Viết PTDĐ. b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất. Lời giải a) Tại VTCBO kl = mg  l = 0,04 25 0,1.10 k mg  (m +  =  5105 1,0 25 m k (Rad/s) + m dao động điều hoá với phương trình x = Asin (t + ) Tại thời điểm t = 0 x = 2 cm > 0 v = 10 3 (cm/s) <0 Ta có hệ 2 = ASin  Sin  >0 -10 3 = 5.Acos cos <0 Chia 2 vế tg = 3 1   = 6 5  (Rad)  A = 4(cm) Vậy PTDĐ: x = 4sin (5t + 6 5  ) (cm) b) Tại VTCB lò xo dãn l = 4cm + ở thời điểm t = 0, lò xo bị dãn l = 4 + 2 = 6 (cm)  l l 0 0(VTCB )) x - l • • • + ở thời điểm t = 0 , vật đi lên v<0, tới vị trí lò xo bị dãn 2cm lần đầu tiên thì v<0. Vậy lúc đó x = -2 (cm) Ta có: -2 = 4sin (5t + 6 5  )  sin (5t + 6 5  ) = 2 1  5t + 6 5  = 6 7   t = 15 1 (s) ( Có thể giải bằng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều) Bài 2: Cho con lắc lò xo dđđh theo phương thẳng đứng vật nặng có khối lượng m = 400g, lò xo có độ cứng K, co năng toàn phần E = 25mJ. Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB để lò xo giãn 2,6cm đồng thời truyền cho m vận tốc 25cm/s hướng lên ngược chiều dương Ox (g = 10m/s 2 ) a. CM vật dđđh. b. Viết PTDĐ Lời giải a. Tại VTCB kl = mg  kl = 0,4.10 = 4  l = k 4 (mét) Tại thời điểm t = 0, kéo m xuống dưới VTCB, lò xo dãn 2,6 cm  x = 2,6 - l = 0,026 - k 4 ( mét) Chiều dương 0x hướng xuống  x >0 Tại t = 0 x = 0,026 m/s > 0 v = -0,25 m/s <0 Cơ năng toàn phần E = 3 10.25 2 2 1 2 2 1   mvkx (J) Ta có phương trình: 322 25.10).0,4.(0,25 2 1 ) k 4 k(0,026 2 1   => k > 153,8 N/m  k(2,6.10 -2 - 025,0) 4 2  k  0,026 2 .k 2 - 0,233k + 16 = 0  k = 250 (N/m) TM k = 94,67 (N/m) loại Vậy k = 250 N/m   = 25 4,0 250  m k (Rad/s) Tại t = 0 x = 1cm > 0 v = -25cm/s < 0 1 = Asin ; sin >0  = 4 3 Rađ -25 = 25Acos; cos<0 A = 2 cm Vậy phương trình điều hoà là x = ) 4 3 t25sin(2   (cm) Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lượt là k 1 = 30 (N/m) và K 2 = 30 (N/m) được gắn nối tiếp với nhau và gắn vào vật M có khối lượng m = 120g như hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang. Bỏ qua ma sát. 1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ 2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật Lời giải 1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dương từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của vật. Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng. Khi vật ở li độ x thì x = x 1 + x 2 với x 1 ; x 2 là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc nén). + Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên x 1 = 1 k F  ; x 2 = 2 k F  L 1 L 2 M Vậy x =          2121 11 kk F k F k F Mặt khác F = - kx  kkk 111 21  áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx ''  mx '' = - k.x hay x '' = - x 2 với  2 = )( . 21 21 kkm kk m k   Vật dao động điều hoà theo phương trình x = Asin (t + ) Vậy vật dao động điều hoà * Phương trình dao động  = 10 )2030(12,0 20.30 )( . 21 21      kkm kk m k (Rad/s) Khi t = 0 x = 10cm>0 v = 0 cm/s Ta có hệ 10 = Asin ; sin >0  = 2  0 = Acos ; cos = 0 A = 10 (cm) Vậy phương trình dao động là x = 10sin (10t + 2  ) (cm) 2. Ta coi con lắc được gắn vào 1 lò xo có độ cứng K Vậy lực phục hồi là F = - kx  Lực phục hồi cực đại F max = +kA = 120,10 = 1,2N Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu khối lượng m = 250 (g) theo phương thẳng đứng kéo quả cầu xuống dưới VTCB 3 cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4 2 cm/s theo phương thẳng đứng lên trên. Bỏ qua ma sát (g = 10m/s 2 ;  2 = 10). 1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ? 2. Tính F max mà hệ lò xo tác dụng lên vật?  Lời giải 1. Chọn trục 0x thẳng đứng hướng xuống gốc 0 tại VTCB + Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng. + Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi lò xo. + Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo cùng độ cứng và chiều dài và bằng 2 1 lực đàn hồi tổng cộng) F = 2F 0  -Kx = -2kx  K = 2k + Tại VTCB:  P +  P2 =  0 Hay mg - 2kl o = 0 (1) + Tại li độ x; 2 lò xo cùng dãn l = x + l 0 Hợp lực:  P +   FF2 dh mg - 2k(l 0 + x) = F (2) Từ (1) (2) F = -2kx Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx ''  x '' = x m k2   x = Asin (t + ) Vậy vật DĐĐH + PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0 v = - 0,4 2 m/s = - 40 2 (cm/s) Ta có hệ 3 = A sin ; sin > 0 - 40 2 = 10 2 Acos ; cos < 0 Biên độ A = 5 200 2.40 3 2 2  cm Ta có hệ 3 = 5sin sin = 0,6 -40 2 = 10 2 .5.cos cos  = -0,8 k 0 F k 0 F P + m O •    143,13 0    2,5 Rad PTDĐ là x = 5sin (10 2 t + 2,5) (cm) e) Lực mà hệ số lò xo tác dụng vào vật Cả 2 lò xo coi như một lò xo độ cứng K = 2k = 50 N/m l 0 = 05,0 50 10.25,0  K mg m = 5 (cm) Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại F đhmax = K (A + l 0 ) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N) Bài 5: Một vật có khối lượng m = 100g chiều dài không đáng kể được nối vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L 1 , L 2 có độ cứng k 1 = 60N/m, k 2 = 40 N/m. Người ta kéo vật đến vị trí sao cho L 1 bị dãn một đoạn  l = 20 (cm) thì thấy L 2 không dãn, khi nén rồi thả nhẹ cho vật chuyển động không vận tốc ban đầu. Bỏ qua ma sát và khối lượng của lò xo. Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều dương hướng từ A  B,chọn t = 0 là lúc thả vật. a) CM vật DĐĐH? b) Viết PTDĐ. Tính chu kì T và năng lượng toàn phần E. c) Vẽ và tính cường độ các lực do các lò xo tác dụng lên gia cố định tại A, B ở thời điểm t= 2 T . Lời giải a) CM vật DĐĐH + Chọn trục toạ độ như hình vẽ. + Khi vật ở VTCB lò xo L 1 dãn l 1 lò xo L 2 dãn l 2 Khi đó vật để L 1 dãn l = 2cm ; L 2 khi nén k dãn thì l chính là độ biến dạng tổng cộng của vật ở VTCB. B A  01 F  02 F 0 + x G x l = l 1 + l 2 = 20 (cm) (1) + Tổng hợp lực bằng 0 : 00 02010201   FFFFNP Hay + K 1 l 1 - k 2 l 2 = 0 (2) + Khi vật có li độ x> 0 độ dãn của L 1 là (l 1 + x) cm, L2 là (l 2 - x) Tổng hợp lực   amFFNP 21 Hay - k 1 (l 1 + x) + k 2 (l 2 - x) = mx''  - (k 1 + k 2 ) x = mx''  x'' = 2 21 .     x m kk với 2 = m kk 21   Vậy x = Asin (t + ) (cm)  vật DĐĐH b)  =  10 1,0 4060 21     m kk (Rad/s) + Biên độ dao động A = l 2 (vì A = 2 2 2 2 0 lxx    ) Giải (1), (2) l 1 + l 2 = 20 l 1 = 8cm 60l 1 + 400l 2 = 0 l 2 = 12cm -> A = 12cm t = 0 -> x 0 = Asin  = A v 0 = Acos = 0 Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10t + 2  ) (cm) Chu kì dao động T = 2,0 10 22      (s) Năng lượng E = 72,0)012.(,100. 2 1 2 1 22 KA (J)   = 2  c) Vẽ và tính cường độ các lực + Khi t = 1,0 2  T (s) thì x = 12 sin (10.0,1 + 2  ) = -12 (cm) Vì vậy, tại t = 2  vật ở biên độ x = - A Tại vị trí này lò xo l 1 bị nén 1 đoạn A - l 1 = 12 - 8 = 4 (cm) Lò xo L 2 bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm) + Lực tác dụng của lò xo L 1 và L 2 lên A, B lần lượt là  21 ,FF F 1 = 60.0,04 = 2,4 (N) F 2 = 40.0,24 = 0,6 (N) (  21 ,FF cùng chiều dương) Bài 6: Cho hai cơ hệ được bố trí như các hình vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật nặng có khối lượng m, m = 100g; bỏ qua ma sát khối lượng của r 2 và lò xo dây treo k dãn. Khối lượng k đáng kể. 1. Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật ở VTCB. 2. Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh. Tính chu kì và biên độ dao động của vật. Lời giải 1) Hình a + Chọn chiều dương ox hướng xuống, gốc 0 tại VTCB + Phương trình lực   0 00 FT   0 00 PT Chiều lên ox -T 0 + Kl = 0 -T 0 + mg = 0 a b  P  0 F + x  0 T  0 T O  P  0 F 0 (VB) + x  0 T  T 0 = kl = mg = 0,1.10 = 1  T 0 = 1N l = 0,05 (m) = 5 (cm) * Hình b Chọn chiều dương hướng xuống, O là VTCB Chiếu lên Ox -T 0 + mg = 0 -kl + 2T 0 = 0  T 0 = mg = 1 (N) l = 10 (cm) 2) Chứng minh vật DĐĐH Hình a: + Khi vật ở VTCB lò xo dãn l  kl - mg = 0 + Khi vật ở li độ x lò xo dãn l + x F = mg - T T - k(l + x) = 0  F = mg - kl 0 - kx  F = -kx áp dụng định luật II N  - kx = mx '' = xx m k . 2   Với  = m k  x = Asin (t + )  vật dao động điều hoà * Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn l  2 1 kl - mg = 0 Khi vật ở li độ x lò xo dãn l + 2 x mg - T = F 2T - k(l + 2 x ) = 0  F = mg - 2 1 kl - x k 4  F = x k 4    Hay x k 4  = mx ''  x = x m k 4  = -  2 x với  = m k 4 x = Asin (t + )  vật dao động điều hoà Bài 7: Một vật có khối lượng m = 400g được gắn trên một lò xo dựng thẳng đứng có độ cứng k = 50 (N/m) đặt m 1 có khối lượng 50 g lên trên m. Kích thích cho m dao động theo phương thẳng đứng biên độ nhỏ, bỏ qua lực ma sát và lực cản. Tìm hiên độ dao động lớn nhất của m, để m 1 không với khối lượng m trong quá trình dao động (g = 10m/s 2 ) Lời giải Khi m 1 không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a =  2 x Giá trị lớn nhất của gia tốc (a max =  2 A) Nếu m 1 rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trường g Vậy điều kiện để m 1 không rời khỏi m a max < g   2 A < g  A< 2 g  +  = m k   2 = 125 4,0 50   A < 125 10 = 0,08 (m) = 8cm  A max = 8cm Bài 8: Cho 1 hệ dao động như hình vẽ, khối lượng lò xo không đáng kể. k = 50N/m, M = 200g, có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang. 1) Kéo m ra khỏi VTCB 1 đoạn a = 4cm rồi buông nhẹ. Tính V TB của M sau khi nó đi qũang đường 2cm . m 1 m M k o v m 0 [...]... 0,2  0,05 Lại có 2  ' ( A ' ) 2  x0 v= Từ (1)  v0  = = 40 2 (m/s) ( M  m0 ) v (0,2  0,5).40 2 = 200 2 (cm/s)  m 0,05 Bài 9: Một vật nặng hình trụ có khối lượng m = 0,4kg, chiều cao h = 10cm tiết diện s = 50cm2 được treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m Khi cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lượng riêng D = 103 (kg/m3) Kéo vật khỏi VTCB theo phương thẳng đứng xuống... v0 = 0 v2 0 gl   0 = gl 2 v2 v2 3 v2 Tmin= mg ( 0  1  0 )  mg(1  0 ) gl 2 gl 2gl áp dụng 0,1 .12  1,1( N ) Tmax = 0,1.10 + 1 12 Tmin = 0,1 10 (1  ) = 0,95 (N) 2.10.1 Bài 14: Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội Đồng hồ sẽ chạy nhanh chậm thế nào khi đưa nó vào TPHCM Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và TPHCM lần lượt là 9,7926 m/s2 9,7867 m/s2 Bỏ qua sự ảnh hưởng của nhiệt độ Để đồng... 1 1 mgl 20 - mgl 2 = mgl (20 - 2) 2 2 2 E = 1 2 0,5.10 (62  32 )  2,08.10 2 (J) 2 2 180 + Công suất của động cơ là ΔE ΔE 2,08.10 12 = 1,04.10-5 W    t N.T 100 2 Bài 18: Tại một nơi nang bằng mực nước biển, ở nhiệt độ 100C, một đồng hồ quả lắc trong một ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ như 1 con lắc đơn thanh treo con lắc có hệ số nở dài  = 2.10-5 K-1 1 Tại VT nói trên... Khi C // C' Cb2= C + C' = 5C Bước sóng 2= 2c 5LC  51 = 421,3 (m) Bài 23: Một trụ điện xoay có điện dung bt liên tục và tỉ lệ thuận với góc quay từ gt C1= 10pF đến C2= 490 pF khi góc quay của các bản tăng dần từ 0 đến 180 Tụ điện được mắc với một cuộcn dây có điện trở 1.10 -3 , hệ số tự cảm L = 2H để làm thành Mdđ ở lối vào của 1 một máy thu vô tuyến điện (mạch chọn sóng) a Xác định khoảng bước sóng...  5.106 2  6.105    10   1     1,4.106 (F)  3,5.1015 (NF) Kết luận: Cn + Cx 1,4.10-16 C  3,5.10-15F Bài 22: Khung dao động gồm cuộn L và tụ C thực hiện dao động điện từ tự do, điện tích cực đại trên 1 bản tụ là Q0 = 10-6C và chuyển động dao động cực đại trong khung là I0 = 10A a Tính bước sóng của dao động tự do trong khung b Nếu thay tụ điện C bằng tụ C ' thì bước sóng của khung tăng... cm l1= 0,51 (m) = 51cm Thay vào (1) (2)  l1=  0,81 (m) = 81 cm + Con lắc có chiều dài l1 - l2có chu kì T' = 2 (T ' )2 g g 2 T1 (4) T2= 2 0,3  1,1 (s) 10 Bài 12: Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo con lắc ra khỏi VTCB một góc 0 rồi thả không vận tốc đầu 1 Lập BT vận tốc tương ứng với li độ góc  suy ra BT vận tốc cực đại 2 Lập bt lực căng dây ứng với li độ góc  Suy tab t lực... Vì con lắc đồng hồ chạy đúng nên  T h ( t h  t )  T  0 2 R h= (t  t h ).R 2 Thay số ta được h = 0,736 km = 736 m Bài 19: Một quả cầu A có kích thước nhỏ, khối lượng m = 500g, treo bằng 1 sợi dây mảnh, không dãn, chiều dài l = 1m ở VTCB không quả cầu cách mặt đất nằm ngang một khoảng 0,8m Đưa quả cầu ra khỏi VTCB sao cho sợi dây lập với phương thẳng đứng 1 góc 0 = 600 rồi buông cho nó chuyển... T1 = T'2 l' l l ' g1  =   g2 g2 l g2 Thay số:  l'= 1,0006 l Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lượng là l = l'- l = 0,0006l VT l= 2 g1.T1 4 2 nên l = 0,0006 2 g1.T1 4 2 Thay số l = 0,0006 9,7926 4 x 4 2  0,0006 (m) = 0,6 mm Bài 15: Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1(m) và quả cầu nhỏ khối lượng m = 100 (g), được treo tại nơi có gia tốc trọng trường... Coi vật dao động vật được gắn vào lò xo có độ cứng k ' = SDg+ K = 200 N/m Biên độ dao động A = 0,04 (cm)  Cơ năng: E = 1 ' 2 1 k A  200 (0,04) 2  0,16 (J) 2 2 Bài 10: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k = 80 N/m Một đầu của lò xo được chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động Biết hệ số ma sát giữa m và mặt phẳng nang là M = 0,1 (g... 0,255 0,1.9,8   ~ 140 + Chu kì dao động của con lắc T'= 2   l g' + Từ hình vẽ: P P' = Do đó: T Fd ' P P g  g'   g cos cos T’ = 2  l cos  T0 cos g  T'= T0 cos  2 cos 0  1,97 (s) 14 Bài 16: Một con lắc đơn dao động với biên độ nhhỏ, chu kì là T0, tại nơi ga = 10m/s2 Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều trên đường ngang thì dây treo hợp với phương thẳng .  (s) T 2 = 2 1,1 10 3,0  (s) Bài 12: Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lượng m, kéo con lắc ra khỏi VTCB một góc  0 rồi thả không vận tốc. E = 72,0) 012. (,100. 2 1 2 1 22 KA (J)   = 2  c) Vẽ và tính cường độ các lực + Khi t = 1,0 2  T (s) thì x = 12 sin (10.0,1 + 2  ) = -12 (cm) Vì