Đang tải... (xem toàn văn)
MỘT SÔ BÁI TẬP TỪ TRƯỜNG Bài 1: Một đoạn dây dẫn dài 5 (cm) đặt trong từ trường đều và vuông góc với vectơ cảm ứng từ. Dòng điện chạy qua dây có cường độ 0,75 (A).
Bài 1: Hai quả cầu kim loại nhỏ giống hệt nhau ñược ñặt cách nhau 10cm, như trên Hình 1. Các quả cầu có ñiện tích tương ứng là 1,7.10-9 C và -3,3×10-9 C. Tìm lực tương tác giữa hai quả cầu nếu chúng ñược nối với nhau quan một dây dẫn rất nhỏ sao cho ta có thể giả thiết rằng các ñiện tích không tập trung trên dây dẫn này. Hình 1 Giải: Nếu hai quả cầu ñược nối với nhau bằng một dây dẫn mỏng, các ñiện tích trái dấu trên hai quả cầu sẽ triệt tiêu lẫn nhau, và lượng ñiện tích còn lại là (1,7-3,3).10-9 = -1,6.10-9 C Do dây dẫn rất nhỏ ta giả thiết rằng nó không tích ñiện. Mặt khác do hai ñiện tích ñược giả thiết là nhỏ và giống nhau, nên lượng ñiện tích này sẽ ñẩy lẫn nhau và phân bố ñồng ñều trên cả hai quả cầu, như trên hình vẽ sau: Nếu bỏ qua tác ñộng của dây dẫn, lực tương tác giữa hai quả cầu bằng: ( )( )2972120,8.105,8.104 8.854 10 0.1F Nπ−−−−= =× × × Do ñiện tích trên hai quả cầu cùng dấu, hai quả cầu ñẩy nhau. Bài 2: Một vòng ñiện tích ñồng nhất có bán kính b và có mật ñộ ñiện tích dây ρl với cực tính dương. Vòng ñiện tích nằm trong không gian tự do trên mặt phẳng xOy như trên Hình 2. Xác ñịnh vector cường ñộ ñiện trường tại một ñiểm P(0, 0, h) nằm trên trục của vòng ñiện tích và cách tâm của vòng ñiện tích một ñoạn là h. 10cm 1,7.10-9C -3,3.10-9C Dây dẫn mỏng 10cm -0,8.10-9C -0,8.10-9C Dây dẫn mỏng Hình 2: Vòng ñiện tích trên mặt phẳng xOy Giải: Xét vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi một phần tử vi phân vòng ñiện tích. Cụ thể là phần tử vi phân 1 có tọa ñộ (b, φ, 0) như trên hình vẽ. Phần tử vi phân này có ñộ dài dl bdφ= và có ñiện tích l ldq dl bdρ ρ φ= = . Vector khoảng cách 1R từ phần tử 1 tới ñiểm P(0, 0, h) là: 1ˆˆR zh rb= − Vì vậy, vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm P(0, 0, h) sinh ra bởi phần tử 1 bằng: ( )113 3/22 20 01ˆˆ4 4lbRdq hz brdE db hRρφπε πε−= =+ Tương tự như vậy, ta có thể viết ñược vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm P(0, 0, h) sinh ra bởi phần tử 2 ñối xứng với phần tử 1 qua gôc tọa ñộ bằng: ( )23/22 20ˆˆ4lbhz brdE db hρφπε+=+ Do ñó, vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm P(0, 0, h) sinh ra bởi hai phần tử ñối xứng bằng: ( )1 23/22 20ˆ2lbhzdE dE dE db hρφπε= + =+ Biểu thức này chứng tỏ rằng, trường sinh ra bởi vòng ñiện tích chỉ tồn tại thành phần theo trục z. Vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi toàn bộ vòng ñiện tích bằng: ( ) ( ) ( )3/2 3/2 3/22 2 2 2 2 2000 0ˆˆ ˆ22 4l lbh bhz QhE d z zb h b h b hπρ ρφπεε πε= = =+ + +∫ với 2lQ bπρ= là tổng ñiện tích của vòng ñiện tích. Bài 3: Xác định vector cường ñộ ñiện trường tại ñiểm P (0, 0, h) trong không gian tự do ở ñộ cao h trên trục z sinh ra bởi một ñĩa ñiện tích hình tròn có bán kính a trong mặt phẳng xOy với mật ñộ ñiện tích ñồng nhất ρs, như trong Hình 3. Sau ñó, xác ñịnh vector cường ñộ ñiện trường cho trường hợp bản mỏng vô hạn bằng cách cho a→∞. Hình 3: ðĩa ñiện tích tròn Giải: Xét một vòng ñiện tích r có bề rộng dr với diện tích 2ds rdrπ= và chứa một ñiện tích 2s sdq ds rdrρ πρ= = . Sử dụng kết quả của bài tập trước với b thay bằng r, ta có: ( ) ( )( )3/2 3/22 2 2 200ˆ ˆ244sdq h hdE z z rdrr h r hπρπεπε= =+ + Do ñó, vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi toàn bộ ñĩa ñiện tích bằng: ( )3/22 22 20 002 2 2 20 02 201ˆ ˆ02 21 1 1 1ˆ ˆ2 2ˆ12as ssssah hrdrE z zr hr hhhz zh ha h a hhza hρ ρε ερρε ερε−= =++ = − = ± − + + = ± − + ∫ Khi a→∞, ta thu ñược vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi một bản mỏng vô hạn theo biểu thức: 2 20 0ˆ ˆlim 12 2s sahE z za hρ ρε ε→∞ = ± − = ± + Bài 4: Cho hai bản mỏng tích ñiện ñồng nhất có kích thước vô hạn trong không gian tự do. Bản mỏng thứ nhất có mật ñộ ñiện tích bề mặt sρ ñược ñặt trong mặt phẳng xOy (z = 0). Bản mỏng thứ hai có mật ñộ ñiện tích bề mặt sρ− ñặt tại z = 2 m. Xác ñịnh trường sinh ra bởi hai bản mỏng ñó trên tất cả các vùng trong không gian. Giải: Theo bài tập 3, vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi một bản mỏng tích ñiện vô hạn ñược cho bởi biểu thức: 0ˆ2sE zρε= ± Do ñó, vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi bản mỏng thứ nhất bằng: 010ˆ0,2ˆ0.2ssz zEz zρερε>=− < Vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi bản mỏng thứ hai bằng: 020ˆ2 ,2ˆ2 .2ssz z mEz z mρερε− >=< Vector cường ñộ ñiện trường tổng hợp sinh ra bởi hai bản mỏng trong không gian bằng: 1 200 2 ,ˆ0 2 ,0 0.sz mE E E z z mzρε>= + = < << Bài 5: Hai dây ñiện tích dài vô hạn có cùng mật ñộ ñiện tích lρñặt trong mặt phẳng xOz song song với trục z tại các vị trí x = 1 và x = -1. Xác ñịnh vector cường ñộ ñiện trường tại một ñiểm bất kỳ trong không gian tự do dọc theo trục y. Giải: Ta ñã biết, trường sinh ra do một dây ñiện tích dài vô hạn trên trục z bằng: 0ˆ2lE rrρπε= Xét một ñiểm tại y trên trục nằm trên trục y. Từ hình vẽ, ta xác ñịnh ñược vector khoảng cách từ hai dây ñiện tích tới ñiểm y lần lượt bằng: 1ˆ ˆr yy x= − 2ˆ ˆr yy x= + Do ñó, vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi hai dây tại ñiểm y lần lượt bằng: ()112220 1 1 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 11l l lr yy x yy xEr r yyρ ρ ρπε πε πε− −= = =++ ()222220 2 2 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2 11l l lr yy x yy xEr r yyρ ρ ρπε πε πε+ += = =++ Vector cường ñộ ñiện trường tổng hợp bằng 201 22020ˆ02 1ˆ2 1ˆ02 1lllyy yyyE E E yyyy yyρπερπερπε>+= + = =+− <+ Bài 6: Xác ñịnh ñiện thế tại gốc tọa ñộ trong không gian tự do tạo ra bởi 4 quả cầu có cùng ñiện tích 40Q Cµ= ñặt tại 4 góc của một hình vuông trong mặt phẳng xOy có tâm tại gốc tọa ñộ. Cạnh của hình vuông dài 2m. Giải: Theo công thức: ( )104NmmmQV rr rπε==−∑ Do 4 quả cầu có cùng ñiện tích và cùng khoảng cách so với gốc tọa ñộ nên ñiện thế sinh ra tại gốc tọa ñộ bằng: ( )6 50 004 40 10 2 2 1042VQVRπε πεπε− −× ×= = =× . ñộ ñiện trường tại một ñiểm P(0, 0, h) nằm trên trục của vòng ñiện tích và cách tâm của vòng ñiện tích một ñoạn là h. 10cm 1,7.1 0-9 C -3 ,3.1 0-9 C Dây dẫn. mỏng 10cm -0 ,8.1 0-9 C -0 ,8.1 0-9 C Dây dẫn mỏng Hình 2: Vòng ñiện tích trên mặt phẳng xOy Giải: Xét vector cường ñộ ñiện trường sinh ra bởi một phần
