1) Các mệnh đề sau đúng hay sai:
a) Phần tử a của nhóm G có cấp là n ∈Z+ nếu và chỉ nếu an = e ( e là đơn vị của G )
b) Nếu H và H, là hai nhóm con của nhóm xiclic X thì H∩ H, là nhóm con xiclic của X
c) Tồn tại nhóm xiclic cấp 8 có 5 nhóm con phân biệt d) Mọi nhóm xiclic cấp 8 đều có 4 nhóm con phân biệt 2) Chứng minh rằng tập X gồm các ma trận dạng 1 0 1 n , với n∈Z cùng với phép nhân hai ma trận lập thành một nhóm xiclic. Tìm phần tử sinh của X.
3) Chứng minh rằng tập X gồm tất cả các ma trận dạng 1 0 0 0 1 0 0 1 x , với x∈Q
cùng với phép nhân hai ma trận lập thành một nhóm Abel. Hỏi nhóm X này có phải là nhóm xiclic hay không? Tại sao ?
4) Chứng minh rằng Z2 ×Z3 là nhóm xiclic nhưng Z2 ×Z4 , Z3 ×Z6 không là nhóm xiclic .
5) Cho p là số nguyên tố.Tìm số phần tử sinh của nhóm xiclic Zpr , r∈Z, r≥1 6) Tìm tất cả các phần tử sinh của các nhóm sau:
a) Z12 b) Z7 c) Z9
7) Tìm tất cả các nhóm con của các nhóm xiclic cấp 12, 17.
CHƯƠNG III. ĐỒNG CẤU NHÓM
A. LÝ THUYẾT 1. Đồng cấu nhóm 1.1 Định nghĩa.
Ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y được gọi là đồng cấu nhóm nếu f bảo tồn phép toán, tức là f(xy)=f(x)f(y) với mọi x,y∈X
Đồng cấu nhóm f :X →Y với f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) được gọi là đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu).
Nếu tồn tại một đẳng cấu f :X →Y ta nói nhóm X đẳng cấu với nhóm Y . Kí hiệu X ≅Y
1.2. Định lý
Cho G là nhóm, H G. Kí hiệu L(G) là tập tất cả các nhóm con của G, L(G,H) là tập tất cả các nhóm con của G chứa H.
Khi đó tương ứng f :S→S/H là một song ánh từ K(H,G) vào L(G/H). Hơn nữa, nếu ta kí hiệu S/H=S* và T/H=T* với H ≤S,T ≤G thì
i) T≤S⇔T*≤S*. Khi đó [S,T]=[S*,T*]
ii) T S ⇔T* S*. Khi đó S/T ≅S*/T*
1.3. Một số tính chất
i) Nếu f :X →Y là đồng cấu nhóm thì f(e)=e và f( )x−1 =[f( )x ]−1, ∀x∈X
ii) Nếu các ánh xạ f :X1 → X2 và g:X2 →X3 là các đồng cấu thì ánh xạ tích
3 1
:X X
f
g → cũng là một đồng cấu nhóm. Đặc biệt tích của hai đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu) là một đơn cấu ( toàn cấu, đẳng cấu)
iii) Nếu f :X →Y là đẳng cấu nhóm thì đẳng cấu ngược f −1:Y →X cũng là đẳng cấu nhóm
2. Ảnh và tạo ảnh của đồng cấu nhóm 2.1 Định nghĩa
Cho f :X →Y là đồng cấu nhóm, khi đó
i) Ảnh của đồng cấu f ( kí hiệu là Imf) là tập được xác định: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
{ ( ) } ( )
Im f = f x x∈X =f X
ii) Hạt nhân của đồng cấu f ( kí hiệu Kerf) là tập được xác định
{x X f(x) e} f 1(e)
Kerf = ∈ = = −
2.2 Tính chất
Cho f :X →Y là đồng cấu nhóm, khi đó i) Nếu H ≤X thì f(H)≤Y
ii) Nếu K Y thì f −1( )K X
iii) Imf ≤Y
iv) Kerf X
v) f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf ={ }e
vi) f là toàn cấu khi và chỉ khi Imf =Y
vii) Nếu nhóm X đựơc sinh bởi tập A thì Imf được sinh bởi tập f(A) viii) Nếu A' A≤ X thì f(A')f(A) ix) Nếu B' B≤Y thì f −1( )B; f −1( )B x) X/ Kerf ≅ Imf 2.3. Định lý. Cho G là nhóm, H ≤G và K G. Khi đó HK/K≅ H/H ∩ K 2.4. Định lý.
Cho G là nhóm, H Gvà K G, H ⊆K. Khi đó K/H là nhóm con chuẩn tắc của
G/H và G/K≅ (G/H)/(K/H)
B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP
Bài toán 1. Cho ánh xạ f: X →Y. Chứng minh f là đồng cấu nhóm
Phương pháp giải. Ta chứng minh :
(i) X, Y lập thành nhóm với các phép toán tương ứng (ii) Mọi x1 , x2 ∈X, ta có f (x1 x2 ) = f (x1) f (x2 )
Bài toán 2. Cho ánh xạ f: X →Y. Chứng minh f là đơn cấu
Phương pháp giải. Ta chứng minh :
(i) f là đồng cấu nhóm
(ii) f là đơn ánh hoặc Kerf = { }e
Bài toán 3. Cho ánh xạ f: X →Y. Chứng minh f là toàn cấu
Phương pháp giải. Ta chứng minh :
(i) f là đồng cấu nhóm (ii) f là toàn ánh
Bài toán 4. Cho ánh xạ f: X →Y. Chứng minh f là đẳng cấu nhóm
Phương pháp giải. Ta chứng minh
(i) f là đơn cấu (ii) f là toàn cấu
Bài toán 5. Chứng minh X ≅Y, với X, Y là các nhóm cho trước (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Phương pháp giải.
Cách 1. Lập ánh xạ f :X →Y và chứng minh f là đẳng cấu nhóm
Cách 2. Nếu X = G/H thì ta lập một toàn cấu nhóm f :G→Y sao cho Kerf = H
Cách 3. Nếu X là nhóm xylic cấp n thì ta cần chứng minh Y là nhóm xylic cấp n.
C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI
Bài 1. Cho A A1, 2 lần lượt là các nhóm con chính tắc của nhóm X X1, 2. Chứng minh rằng: 2 1 2 1 A X X A × × và (X1×X2) (/ A A1× 2) (≅ X1/A1) (× X2 /A2).
Giải. Gọi πi:Xi →Xi/Ai, i =1,2 là các toàn cấu chính tắc. Xét tương ứng: π :X1×X2 →(X1/A1) (× X2/A2)
Ta thấy π là toàn cấu nhóm và Kerπ = ×A A1 2. Do đó
(X1×X2) (/ A A1× 2) (≅ X1×A1) (/ X2×A2) .
Bài 2. Cho X là nhóm xiclic sinh bởi phần tử a. Chứng minh rằng: a) Nếu cấp của a là vô hạn thì X đẳng cấu với Z.
b) Nếu cấp của a là số n hữu hạn thì X đẳng cấu với Zn
Giải. a) Xét ánh xạ f: Z→X n an
Với mọi m, n ∈ Z, ta có f m n( + ) =am n+ =a am. n = f m f n( ) ( )
Nên f là đồng cấu nhóm
Hiển nhiên f là toàn ánh vì X là nhóm xiclic sinh bởi a. Nếu f m( ) = f n( ) thì am =an, do đó am−n =e.
Do a có cấp vô hạn nên m – n = 0 tức f là đơn cấu. Vậy f là đẳng cấu.
b) Theo giả thiết a =n nên ánh xạ: ϕ Zn →X được xác định ϕ( )r =ar được
xác định tốt, không phụ thuộc vào việc chọn lớp r. Dễ dàng kiểm tra được ϕ là
đẳng cấu nhóm.
Bài 3. Chứng minh rằng:
a) Mọi nhóm xiclic cấp vô hạn đều đẳng cấu với nhau.
b) Hai nhóm xiclic cấp hữu hạn đẳng với nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp.
Giải. a) Giả sử X = a Y, = b là các nhóm xiclic cấp vô hạn,
Khi đó ánh xạ f X: →Y
ak bk
Rõ ràng là một đẳng cấu
b) Nếu hai nhóm xiclic hữu hạn đẳng cấu thì hiển nhiên chúng cùng cấp. Ngược lại, giả sử X = a Y, = b là các nhóm xiclic cùng cấp n.
Khi đó ánh xạ f X: →Y
ak a bk
là một đẳng cấu. Thật vậy, ta có ak = ⇔ −bl k l n ⇔bk =bl, do đó f là ánh xạ và là đơn ánh, Hiển nhiên f là toàn ánh. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ngoài ra, ta có f a a( ) ( )k l = f ak l+ =bk l+ =b bk. l = f a( ) ( )k f al .
Vậy f là đẳng cấu.
Bài 4. Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm X sao cho A B∩ ={ }e và
X = AB . Chứng minh rằng X đẳng cấu với nhóm A B×
Giải . Do AB = X nên với mỗi phần tử x của X viết được dưới dạng x = ab với
a A∈ và b B∈ .
Giả sử có x ab a b= = , , với a a, ,∈A và b b, ,∈B thì a a b b, 1− = , −1∈ ∩A B. Vì
{ }
viết một cách duy nhất dưới dạng x = ab, với a A b B∈ , ∈ . Mặt khác các phần tử của
A giao hoán được với các phần tử của B. Thật vậy, với a, b tùy ý thuộc A, B, xét tích a b ab−1 −1 . Vì A và B là những nhóm con chuẩn tắc của X nên b ab A−1 ∈ và
1 1
a b a B− − ∈ .
Vậy a b ab A B−1 −1 ∈ ∩ ={ }e nên a b ab e−1 −1 = hay ab=ba. Ánh xạ ϕ:A B× →X
( )a b, a ab
là một đồng cấu do ab = ba, là đơn cấu do A B∩ ={ }e , là toàn cấu do X =AB.
Vậy ϕ là đẳng cấu.
Bài 5. Giả sử X là nhóm.
a) Chứng minh X /[X X, ] là nhóm Abel
b) Chứng minh rằng nếu HX thì X/H là nhóm Abel khi và chỉ khi
[X X, ]⊂H Giải. Ta có [X X, ]X a) Với mọi x y X, ∈ ta có 1 1 [ ] , x y xy− − ∈ X X nên xy X X[ , ]= yx X X[ , ], tức là [ ] / , X X X là nhóm Abel
b) X H/ Abel ⇔ ∀x y X, ∈ thì xyH =yxH ⇔ ∀x y X, ∈ thì
[ ] 1 1
,
x y xy H− − ∈ ⇔ X X ⊂H .
Bài 6. Cho X và Y là hai nhóm xiclic cấp tương ứng là s và t và các phần tử sinh là x và y
a) Chứng minh quy tắc ϕ cho tương ứng với mỗi phần tử xn∈X với phần tử
( )k n
y ∈Y,với k là một số tự nhiên khác không cho trước là một đồng cấu nhóm khi và chỉ khi sk là bội của t
b) Chứng minh rằng nếu ϕ là đẳng cấu thì (s,k)=1.
Giải. a) Nếu ϕ là đồng cấu nhóm thì ( ) ( )s ( ) s ks (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Y X
e =ϕ e =ϕ x =ϕ x =x . Vậy ks
Y
y =e nên ks t
Ngược lại, nếu ks t, ta chứng minh ϕ là đồng cấu nhóm.
Đầu tiên, ta chứng minh ϕ là một ánh xạ.
Thật vậy, nếu n m x =x thì n m s− do đó k n m t( − ). Bởi vậy ykn = ykm tức là ϕ là ánh xạ. Ngoài ra, ta có ϕ(x xn. m) ( )=ϕ xn m+ = y(n m k+ ) = y ynk. mk =ϕ( ) ( )xn ϕ xm b) Ta có X ={x x, ,...,2 xs−1,xs =e} . Do ϕ là đẳng cấu nên Y {yk y k y(s )k ysk e} = = , 2 ,..., −1 ,
Thật vậy, do ϕ là đẳng cấu nên s =t tức số phần tử của X và Y bằng nhau và j i x x ≠ thì yki ykj i j s , 1 , ,∀ = ≠
Do đó yk là một phần tử sinh của Y nên ( )k,t =1. Vì t = s nên (s, k) = 1
Bài 7. Cho BA≤G và C≤G. Chứng minh rằng: a) (B∩C) ( A∩C) và (A∩C) (/ B∩C)≅B(A∩C)/B
b) Nếu C G thì BCAC và AC/BC≅A/B(A∩C)
Giải. a) Vì (A∩C)≤A và BA. Áp dụng định lý 2.3 với G được thay bởi A, H thay bởi A∩C và K thay bởi B, ta được B∩C= ((A∩C)∩B) (A∩C) và
(A∩C) (/ B∩C) (≅ A∩C)B/B=B(A∩C)/B (Tính chất 3.2 v chương I )
b) Giả sử CG. Theo tính chất 3.2 v chương I thì AC và AB là các nhóm con của G.
Mặt khác, BCG ( tính chất 3.2 vi) chương I ), BC≤ AC≤G ( do BC ≤ G, AC ≤ G, và BC ⊆ AC ). Do đó BCAC
Áp dụng định lý 2.3 với G thay bởi AC, H thay bởi BC , ta được
( )
(A BC ) A
A/ ∩ và A //(A∩( )BC ) ≅ A( )BC /BC.
Mặt khác A∩( )BC =B(A∩C).
Thật vậy, B(A∩C)⊆ A∩(BC) vì B≤ A.
Lấy a∈A∩(BC), suy ra a = bc với b∈ B, c∈C. Do đó b−1a=c∈A∩C. Suy ra a∈B(A∩C)
Vì vậy A∩( )BC =B(A∩C) Vậy AC/BC ≅A/B(A∩C).
Bài 8. Cho A ≤Z(G) và f :G→H là toàn cấu . Chứng minh rằng f(A)≤Z(H)
Giải . Ta chỉ cần chứng minh f(A) ⊂Z(H)
Lấy y∈f(A). Do đó f là toàn cấu nên tồn tại x∈A sao cho y = f(x) Ta có yh = f(x)f(g) = f(xg) = f(gx) = f(g)f(x) = hy, ∀h∈H
Do đó y∈Z( )H . Vậy f( )A ⊂Z( )H . Do đó f( )A ≤Z( )H
Bài 9. a) Cho X là một nhóm giao hoán. Chứng minh rằng:
Ánh xạ ϕ:x→X
k aa a (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
với k là một số nguyên cho trước, là một đồng cấu. Xác định Kerϕ.
b) Cho X là một nhóm. Ánh xạ ϕ:X →X
a a−1
là một đẳng cấu của nhóm X khi và chỉ khi X là nhóm Abel.
Giải. a) Ta có ( ) ( )k k k ab ab a b ϕ = = ( vì X là nhóm Abel ) nên ϕ( )ab =ϕ( ) ( )a ϕ b Ker { k } { x X x e x X ϕ = ∈ = = ∈ cấp x là ước của k }
b) Giả sử X là một nhóm Abel thì theo a) ϕ là một đồng cấu vì {
er
Do đó ϕ là một đơn cấu, hơn nữa ϕ là một toàn cấu vì ( )1 1
x− − =x. Do đó ϕ là
một đẳng cấu .
Đảo lại, giả sử ϕ là một đẳng cấu, khi đó với mọi a b X, ∈ ta có
( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 ab a b a b ba ϕ ϕ ϕ − − − = = = Mặt khác ( ) ( ) 1 ab ab ϕ − = suy ra ( ) 1 ( ) 1 ab − = ba − hay ab = ba. Vậy X là một nhóm Abel.
Bài 10. Chứng minh rằng có một đồng cấu duy nhất từ nhóm cộng các số hữu tỷ
Q đến nhóm cộng các số nguyên Z. Từ đó suy ra nhóm cộng các số hữu tỷ Q
không phải là một nhóm xiclic
Giải. Giả sử f: Q → Z là một đồng cấc từ nhóm cộng Q đến nhóm cộng Z. Nếu
0
f ≠ nghĩa là tồn tại một số hữu tỷ q q( ≠0) sao cho f q( ) ≠0. Ta thấy rằng
( ) ( ).1 ( )1 0
f q = f q =qf ≠ , từ đó f ( )1 = ≠n1 0. Vậy với mọi số nguyên n≠0,
( )n =nf( )1 ≠0 f Giả sử n > 1, n ∈Z và (n n, 1) =1. Ta có ( ) 0 1 1 1 1 . . f f n nf n n n n n = ÷= ÷= = với 0 1 n n f = ÷
Như vậy n lại là ước của n1. Vô lý
Vậy chỉ có một đồng cấu 0 từ nhóm cộng các số hữu tỷ Q và nhóm cộng các số nguyên Z, Q không đẳng cấu với Z nên Q không là một nhóm xiclic ( bài 3 )
Bài 11. Tìm tất cả các đồng cấu từ a) Z6 đến Z18
b) Z18 đến Z6
c) Một nhóm xiclic cấp n đến chính nó
d) Một nhóm xiclic cấp n đến một nhóm xiclic vô hạn
Giải. Ta có mỗi đồng cấu f : Zn → Zm hoàn toàn được xác định bởi f( )1 =k
( tức f( )x =kx )
Theo bài 6 thì f là đồng cấu khi và chỉ khi knm. Bởi vậy ta có (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a) Mỗi đồng cấu f : Z6 → Z18 hoàn toàn xác định bởi f(1)=k với 0≤k<18
và 6k18⇔k3. Do đó k = 0, 3, 6, 9, 12, 15 nên có tất cả 6 đồng cấu f : Z6 → Z18
đó là các đồng cấu xác định bởi:
( )1 =0
f , f( )1 =3 f(1)=6, f(1)=9, f(1)=12, f(1)=15
b) Mỗi đồng cấu f : Z18 → Z6 hoàn toàn xác định bởi f(1)=k với 0≤k<6
và 18k6. Do đó k =0,5.
Như vậy có 6 đồng cấu f : Z18 → Z6 , đó là f(1)=0, f(1)=1, f(1)=2, 3
) 1
( =
c) Mỗi đồng cấu f : Zn → Zn hoàn toàn xác định bởi f(1)=k với 0≤k < n và knn. Do đó có tất cả n đồng cấu f : Zn → Zn được xác định bởi: f(1)=k với
1 ,..., 2 , 1 , 0 − = n k
d) Giả sử f : a →b là đồng cấu nhóm và giả sử f(a)=bk. Khi đó ta có
nk n n f a b a f e f
e= ( )= ( )=( ( )) = . Vì b có cấp vô hạn nên nk = 0, suy ra k = 0 và do đó f(a) =e
Vậy có duy nhất một đồng cấu từ nhóm xiclic hữu hạn và nhóm xiclic cấp vô hạn đó là đồng cấu tầm thường.
Bài 12. a) Tìm KerΦ và Φ (25) của đồng cấu Φ: Z → Z7 biết Φ(1) =4
b) Tìm KerΦ vàΦ (18) của đồng cấu Φ: Z → Z10 . Biết Φ(1)=6 c) Tìm KerΦ và Φ(3) của đồng cấu Φ: Z10 → Z20 biết Φ(1)=8
Giải. a) Φ: Z → Z7, Φ(1)=4 KerΦ={x∈Z|Φ(x)=0} ={x∈Z| xΦ(1) = 0}= { x∈Z|4x=0}={x∈Z| 4x7} = 7Z ( )25 =Φ(25.1)=25Φ( )1 =25.4=2 Φ b) Φ: Z → Z10 ,Φ( )1 =6 KerΦ={x∈Z|Φ(x)=0}={x∈Z|xΦ(1)= 0}={x∈Z| 6x = 0}={x∈Z| 6x10} = 5Z 8 6 . 18 ) 1 ( 18 ) 1 . 18 ( ) 18 ( =Φ = Φ = = Φ c) Φ: Z10 → Z20 ,Φ( )1 =8 KerΦ={x ∈ Z10|Φ( x) = 0} ={ x∈ Z10| xΦ(1) = 0} = { x ∈Z10| x 8 = 0} = { x∈ Z10| 8x20} = { x ∈ Z10| x5}= { 0, 5, 10 } 4 24 ) 1 ( 3 ) 1 3 ( ) 3 ( =Φ = Φ = = Φ
Bài 13. Cho G là nhóm hữu hạn sinh, G’ là nhóm bất kỳ và mỗi ánh xạ f :S →G', trong đó S là tập sinh của G. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đồng cấu F:G→G' sao cho F S = f . Ngược lại, nếu G là nhóm Abel và mỗi ánh xạ f :S→G' đều tồn