Đo độ và tích phân.pdf

Tài liệu đo độ và tích phân.

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)

Phần 3 Độ Đo Và Tích Phân

Chuyên ngành: Giải Tích, PPDH Toán

§1 Độ Đo

(Phiên bản đã chỉnh sửa)

PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày 18 tháng 4 năm 2005

1 PHẦN LÝ THUYẾT

1 Không gian đo được

Định nghĩa :

1) Cho tập X 6= ø; một họ F các tập con của X được gọi là một σ−đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau :

i X ∈ F và nếu A ∈ F thì Ac ∈ F , trong đó Ac = X \ A

ii Hợp của đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F

2) Nếu F là σ−đại số các tập con của X thì cặp (X, F ) gọi là một không gian đo được

; mỗi tập A ∈ F gọi là tập đo được (đo được với F hay F − đo được)

Tính chất

Giả sử F là σ−đại số trên X Khi đó ta có :

1) ø ∈ X

Suy ra hợp của hữu hạn tập thuộc F cũng là tập thuộc F

2) Giao của hữu hạn hoặc đếm được các tập thuộc F cũng là tập thuộc F

3) Nếu A ∈ F , B ∈ F thì A \ B ∈ F

2 Độ đo

Định nghĩa :

Cho một không gian đo được (X, F )

1) Một ánh xạ µ : F −→ [0, ∞] được gọi là một độ đo nếu :

i µ(ø) = 0

ii µ có tính chất σ−cộng, hiểu theo nghĩa

∀{An}n ⊂ F, (An∩ Am = ø, n 6= m) ⇒ µ(

∞

[

n=1

An) =

∞

X

n=1

µ(An)

2) Nếu µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F thì bộ ba (X, F, µ) gọi là một không gian độ đo

Tính chất :

Cho µ là một độ đo xác định trên σ−đại số F ; các tập được xét dưới đây đều giả thiết

là thuộc F

1) Nếu A ⊂ B, thì µ(A) ≤ µ(B), hơn nữa nếu µ(A) < ∞ thì ta có

µ(B \ A) = µ(B) − µ(A) 2) µ(

∞

S

n=1

An) ≤

∞

P

n=1

µ(An)

Do đó, nếu µ(An) = 0 (n ∈ N∗) thì µ(

∞

S

n=1

An) = 0 3) Nếu An⊂ An+1 (n ∈ N∗) thì µ(

∞

S

n=1

An) = lim

n→∞µ(An) 4) Nếu An⊃ An+1 (n ∈ N∗) và µ(A1) < ∞ thì

µ(

∞

T

n=1

An) = lim

n→∞µ(An) Quy ước về các phép toán trong R

Giả sử x ∈ R, a = +∞ hoặc a = −∞ Ta quy ước :

1) −∞ < x < +∞

2) x + a = a, a + a = a

3) x.a = a , nếu x > 0

−a , nếu x < 0 , a.a = +∞, a.(−a) = −∞

4) x

a = 0

Các phép toán a − a, 0.a, a

0,

x

0,

∞

∞ không có nghĩa.

Khi thực hiện các phép toán trong R ta phải hết sức cẩn trọng Ví dụ, từ x + a = y + a không suy ra được x = y (nếu a = ±∞)

Định nghĩa

Độ đo µ xác định trên σ−đại số F các tập con của X được gọi là :

1) Độ đo hữu hạn nếu µ(X) < ∞

2) Độ đo σ− hữu hạn nếu tồn tại dãy {An} ⊂ F sao cho

X =

∞

[

n=1

An, µ(An) < ∞ ∀n ∈ N∗

3) Độ đo đủ nếu nó có tính chất

(A ⊂ B; B ∈ F, µ(B) = 0) ⇒ A ∈ F

3 Độ đo Lebesgue trên R

Tồn tại một σ−đại số F các tập con của R mà mỗi A ∈ F gọi là một tập đo dược theo Lebesgue (hay (L)− đo được) và một độ đo µ xác định trên F (gọi là độ đo Lebesgue trên R ) thỏa mãn các tính chất sau :

1) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng, là (L)−đo được Nếu I là khoảng với đầu mút a, b (−∞ ≤ a ≤ b ≤ t) thì µ(I) = b − a

2) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L)−đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0

3) Tập A ⊂ R là (L)−đo được khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại tập đóng F , tập mở

G sao cho

F ⊂ A ⊂ G, µ(G \ F ) < ε 4) Nếu A là tập (L)−đo được thì các tập x + A, xA cũng là (L)−đo được và :

µ(x + A) = µ(A) µ(xA) = |x|µ(A) 5) Độ đo Lebesgue là đủ, σ− hữu hạn

2 PHẦN BÀI TẬP

1 Bài 1 Cho không gian độ đo (X, F, µ), tập Y 6= ø và ánh xạ ϕ : X −→ Y Ta định nghĩa :

A = {B ⊂ Y : ϕ−1(B) ∈ F } Chứng minh A là σ−đại số trên Y và γ là độ đo xác định trên F

Giải

• Ta kiểm tra A thỏa hai điều kiện của σ−đại số :

i Ta có Y ∈ A vì ϕ−1(Y ) = X ∈ F

Giả sử B ∈ A, ta cần chứng minh Bc = Y \ B ∈ A Thật vậy, ta có

 ϕ−1(Y \B) = ϕ−1(Y )\ϕ−1(B) = X\ϕ−1(B)

ϕ−1(B) ∈ F ( do B ∈ A) nên X \ ϕ−1(B) ∈ F

⇒ ϕ−1(Y \ B) ∈ F hay Y \ B ∈ A

ii Giả sử Bn ∈ A(n ∈ N∗) và B =

∞

S

n=1

Bn Ta có

ϕ−1(B) =

∞

S

n=1

ϕ−1(Bn)

ϕ−1(Bn) ∈ F (n ∈ N∗)







⇒ ϕ−1(B) ∈ F hay B ∈ A

• Tiếp theo ta kiểm tra γ là độ đo

Với B ∈ A ta có ϕ−1(B) ∈ F nên số µ[ϕ−1(B)] xác định, không âm Vậy số γ(B) ≥ 0, xác định

i Ta có γ(ø) = µ[ϕ−1(ø)] = µ(ø) = 0

ii Giả sử Bn ∈ A (n ∈ N∗), Bn∩ Bm = ø (n 6= m) và B =

∞

S

n=1

Bn.Ta có

ϕ−1(B) =

∞

S

n=1

ϕ−1(Bn),

ϕ−1(Bn) ∩ ϕ−1(Bm) = ϕ−1(Bn∩ Bm) = ø (n 6= m)

⇒ µ[ϕ−1(B)] =

∞

P

n=1

µ [ϕ−1(Bn)] (do tính σ−cộng của µ)

⇒ γ(B) =

∞

P

n=1

γ(Bn)

2 Bài 2 Cho không gian độ đo (X, F, µ) và các tập An∈ F (n ∈ N∗) Đặt :

B =

∞

S

k=1

 ∞

T

n=k

An

 (Tập các điểm thuộc mọi An từ một lúc nào đó)

B =

∞

T

k=1

 ∞

S

n=k

An

 (Tập các điểm thuộc vô số các An)

Chứng minh

1) µ(B) ≤ lim

n→∞

µ(An)

2) µ(C) ≥ lim

n→∞µ(An) Nếu có thêm điều kiện µ(

∞

S

n=1

An) < ∞

Giải 2) Đặt Ck=

∞

S

n=k

ta có :

Ck ∈ F (k ∈ N∗), C1 ⊃ C2 ⊃ , µ(C1) < ∞; C =

∞

[

k=1

Ck

Do đó : µ(C) = lim

k→∞µ(Ck) (1) Mặt khác ta có Ck ⊃ Ak

nên

µ(Ck) ≥ µAk ∀k ∈ N∗ và

lim

k→∞µ(Ck) ≥ lim

k→∞µ(Ak) (2)

Từ (1), (2) ta có đpcm

3 Bài 3 : Cho σ−đại số F và ánh xạ :

µ : F −→ [0, ∞]

thỏa mãn các điều kiện sau :

i µ(ø) = 0

ii Nếu A1, A2 ∈ F, A1∩ A2 = ø thì µ(A1∪ A2) = µ(A1) + µ(A2)

(Ta nói µ có tính chất cộng hữu hạn)

iii Nếu An ∈ F (n ∈ N∗), A1 ⊃ A2 ⊃ và

∞

T

n=1

An 6= ø thì lim

n→∞µ(An) = 0 Chứng minh µ là độ đo

Giải

Giả sử Bn ∈ F (n ∈ N∗), Bn∩ Bm = ø (n 6= m) và B =

∞

S

n=1

Bn, ta cần chứng minh

µ(B) =

∞

X

n=1

µ(Bn) (1)

Ck =

∞

[

n=k

Bn (k = 1, 2 ),

ta có

Ck ∈ F, C1 ⊃ C2 ⊃ và

B = B1∪ ∪ Bn∪ Cn+1

∞

T

k=1

Ck= ø (Xem ý nghĩa tập C, bài 2 và giả thiết về các Bn)

⇒







µ(B) =

n

P

k=1

µ(Bk) + µ(Cn+1) (2) ( do tính chất ii.) lim

m→∞µ(Cn) = 0 ( do tính chất iii.) Cho n → ∞ trong (2) ta có (1)

4 Bài 4 : Ký hiệu µ là độ đo Lebesgue trên R Cho A ⊂ [0, 1] là tập (L)−đo được và µ(A) = a > 0 Chứng minh rằng trong A có ít nhất một cặp số mà hiệu của chúng là số hữu tỷ

Giải

Ta viết các số hữu tỷ trong [0, 1] thành dãy {rn}n và đặt An = rn+ A (n ∈ N∗) Ta chỉ cần chứng minh tồn tại n 6= m sao cho An∩ Am 6= ∅ Giả sử trái lại, điều này không đúng Khi đó ta có

µ(

∞

[

n=1

An) =

∞

X

n=1

µ(An) (1) Mặt khác, ta có

µ(An) = µ(A) = a,

∞

[

n=1

An ⊂ [0, 2]

Do đó vế phải của (1) bằng +∞ còn vế trái ≤ 2, vô lý

5 Bài 5 : Cho tập (L)− đo được A ⊂ R Chứng minh A có thể viết thành dạng A = B \ C với B là giao của đếm được tập mở và C là tập (L)−đo được, có độ đo Lebesgue bằng 0

Giải

Do tính chất 3) của độ đo Lebesgue, với mỗi n ∈ N∗ta tìm được tập mở Gn ⊃ A sao cho µ(Gn\ A) < 1

n Đặt B =

∞

T

n=1

Gn và C = B \ A

Ta có B là (L)− đo đưực và do đó C cũng là (L)− đo được Vì

C ⊂ Gn\ A ∀n = 1, 2, nên ta có :

µ(C) ≤ 1

n ∀n = 1, 2, Vậy µ(C) = 0

6 Bài 6 : Cho tập L− đo được A ⊂ [0, 1] với µ(A) = a > 0 Chứng minh:

1) Hàm f (x) = µ(A ∩ [0, x]) liên tục trên [0, 1]

2) ∀b ∈ (0, a) ∃B ⊂ A : B (L)− đo được, µ(B) = b

Giải 1) Với 0 ≤ x < y ≤ 1 ta có

f (y) =µ(A ∩ [0, y])

=µ(a ∩ [0, x]) + µ(A ∩ (x, y])

⇒ f (x) − f (y) = µ(A ∩ (x, y])

⇒ 0 ≤ f (x) − f (y) ≤ y − x

Do đó f liên tục trên [0, 1]

2) Ta có f (0) = 0, f (1) = a và f liên tục nên tồn tại xo ∈ (0, 1) thỏa f (xo) = b hay µ(A ∩ [0, x]) = b Tập B := A ∩ [0, xo] cần tìm