Tài liệu ôn tập phần Tích phân.pdf

Tài liệu ôn thi đại học môn Toán phần tích phân.

Tr−êng THPT §Æng thóc høa

sin4x + cos2x

dx sin x + cos x

∫ 12 2007

bài giảng tích phân " Phạm Kim Chung  Trường THPT Đặng Thúc Hứa

“ Thực ra trên mặt đất lμm gì có đường, người ta đi lắm thì thμnh đường thôi ! ”

- Lỗ Tấn -

Viết một cuốn tμi liệu rất khó, để viết cho hay cho tâm đắc lại đòi hỏi cả một đẳng cấp thực sự ! Cũng may tôi không có tư tưởng lớn của một nhμ viết sách, cũng không hy vọng ở một điều gì đó lớn lao vì tôi biết năng lực về môn Toán lμ có hạn Khi tôi có ý tưởng viết ra những điều tôi gom nhặt được tôi chỉ mong sao qua từng ngμy mình sẽ lĩnh hội sâu hơn về môn Toán sơ cấp qua từng tiết học những học trò của tôi bớt băn khoăn, ngơ ngác hơn Vμ nếu còn ai đọc bμi viết nμy nghĩa lμ đâu đó tôi đang có những người thầy, người bạn cùng chung một niềm đam mê sự diệu kì Toán học

Thử giải một bμi toán khó… nhưng chưa thật hμi lòng !

x 1

=+

dx2x 1−

∫ 3.

1 2 3 0

x dx

x +1

∫ 4

3 4 2

dxsin x

π π

∫ 6

1 0

1 x+

∫ 2

1 2 2 0

dx

1 xư

∫ 3.

1 2 0

x 1 x dxư

1

3 2 0

x 1 x dx+

∫ 6

5 2 0

Bình luận : Bμi toán nμy còn giải được bằng phương pháp tích phân từng phần Còn với 2 cách giảI trên rõ rμng

khi bắt gặp cách 1) ta nghĩ rằng nó sẽ chứa đựng những phép tính toán phức tạp còn cách 2) sẽ chứa những phép tính toán đơn giản hơn Nhưng ngược lại sự suy đoán - cách 2) lại chứa những phép tính toán dμi dòng vμ nếu quả thật không khá tích phân thì chưa hẳn đã lμ được hoặc lμm được mμ lại dμi dòng hơn

VD2 Tính tích phân : I =

1 2 0

1dx

1 x+

∫

∫ 2

2 2 2 1

xdx

∫ 3.

0 2 1

x sin xdx

π

∫ còn phức tạp hơn tích

phân cần tính Vậy việc lựa chọn u vμ dv quyết định rất lớn trong việc sử dụng phương pháp tích phân từng phần Ta

hãy xét một VD nữa để đi tìm câu trả lời vừa ý nhất !

VD2 Tính

2 5 1

ln xdxx

∫

Ta thử đặt : 5

1ux

dv dxx

e cosxdx

π

e 1

1A

⎧ =

⎪+ =

xdx

xdx

=+

∫

TÝnh I

3 2

xdx

=+

x 4dx

xdx

xdx

x 1

=+

Tính I

x 1dx

xdx

=+

∫

Tính I

3 3

xdx

Tóm lại : Ta thường sử dụng hai phép biến đổi :

Tử số lμ nghiệm của mẫu số

Tử số lμ đạo hμm của mẫu số

∫ TÝnh I

2 4

4 4

4 4

x dx

=+

∫ TÝnh I

4 6

Tính I

6 6

=

+

∫ Tính I

xdx

x 3

=

ư

∫ Tính I

Chú ý : Với loại toán nμy trong cuốn “Tích Phân – T.Phương ” đã sử dụng phương pháp khai triển

Taylor nhưng tôi cảm thấy cách lμm nμy không nhanh hơn lại gây nhiều phức tạp cho học sinh nên đã không nêu ra

3 Kĩ thuật biến đổi tử số chứa đạo hμm của mẫu số

x dx

=+

⎛ ⎞+ ⎜ + ⎟ ư

⎝ ⎠

Tính I

2 4

∫ Tính I

2 4

xdx

=+

∫ Tính I ( 2 )

∫

∫ TÝnh I 4 dx2

=

∫

B×nh luËn : Lo¹t bμi to¸n nμy lμm t«i kh¸ Ên t−îng víi phÐp chia c¶ tö sè vμ mÉu sè cho

Qu¶ thËt t«i lu«n cè g¾ng t×m tßi xem liÖu m×nh cã thÓ nghÜ ra mét ph−¬ng ph¸p nμo kh¸c hay h¬n ch¨ng, nh−ng …” bã tay.com “ ThÕ míi hiÓu to¸n häc : “lu«n tiÒm Èn nh÷ng vÎ

xdx

=+

xdx

=

−

∫ TÝnh I

4 6

∫ TÝnh I

3 6

xdx

=+

∫ HD : I

2

2 3

xdx

=+

xdx2x 3

xdx

7x 1

dx2x 1

−

=+

−

= −∫

1 ∫sin xdx2 2 ∫cos xdx4 3.∫cos 3xdx4

4.∫sin 5xdx2 5 ∫sin 5xdx4 6 ∫cos x sin xdx2 4

21cosa.cosb cos a b cos a b

21sin a.cosb sin a b sin a b

2cos10 cos x 5

−+

sin x.cosxdx

π

∫

§Æt t=sinx, t∈ ⎡⎣0; 1⎤⎦ Khi x=0 th× t=1, khi x=

sin x.cosxdx

π

* n

4

cosx

dx n N , n 1sin x

π π

∫ 3

2 3 4

tg xdx

π π

∫

BiÕt d(cosx) −sinxdx

1.

2 n 0

cos x.sin xdx

π

* n

0

sin x

dx n N , n 1cos x

π

∫ 3

3 4 5 0

sin xdxcos x

sin xdxcos x

π

∫ 3 ( )

7 4

6 0

tg3xdxcos3x

π

∫

4. 14

dxcos x

cotg x cotgx dx

π π

+

∫ 2.

2 5 4

cosxdxsin x

π π

∫ 3 ( )

10 8

cotg5x

dxcos5x

∫

4. 14 dxsin x

∫ 5. dx2n

sin x

∫ 6 ∫ (cotg x5 +cotg x4 +cotg x3 +cotg x dx2 )

BiÕt d( sinx ± cosx ) (cosx±sinx dx)

0

cos x sin x

dxsin x cosx

π

−+

∫ 2.

2 4

cos x sin x sin 2x

⇒ = , như vậy tôi có thể ra một bμi

toán nhìn “ tạm được “ như sau : Tìm họ nguyên hμm :

Nếu thấy chưa hμi lòng ta thử biến đổi tiếp xem sao ?

Vậy bạn sẽ có một bμi toán mới : Tìm họ nguyên hμm : ∫ 2009 2007

cos 2x

dx sin 2x Có thể bạn sẽ thấy buồn khi bμi toán nμy lại

có cách giải ngắn hơn con đường chúng ta đi !

Nhưng dẫu sao cũng phải tự an ủi mình : “ Thực ra trên mặt đất lμm gì có đường ”

☺ Chẳng lẽ chỳng ta khụng thu lượm được điều gỡ chăng ? Nhưng tụi lại cú suy nghĩ khỏc, biết đõu những nhà viết sỏch lại xuất phỏt từ những ý tưởng như chỳng ta …???

Hóy thử xột sang một dạng toỏn khỏc :

C Tạo ra d( u(x)) để tính tích phân

VD Tính tích phân :

4 0

dxcosx

π

∫

Rõ rμng bμi toán không xuất hiện dạng : ∫f u x u' x dx( ( ) ) ( ) =∫f u du( )

Vậy để lμm được bμi toán, một phương pháp ta có thể nghĩ đến lμ tạo ra d( u(x)) như sau :

Bạn có nghĩ rằng mình cũng có khả năng sáng tạo ra dạng toán nμy !

Tạo d(sinx) cosxdx

∫ 3 ∫cos xdx3

4.

2

sin xdxcosx

∫ 5.

2

cos xdxcos3x

cos

∫ xdxsin x

π π

dxsin x cos x 1ư

4 3 0

tg xdx

π

∫ 2.

2 4

2 0

sin xdx

cotg xdx

π π

cotg5x

dxsin 5x

∫

4. 14 dxsin x

∫

D sáng tạo bμi tập

Nếu được phép hỏi, tôi sẽ hỏi rằng bạn có cảm thấy nhàm chán khi bạn cứ suốt ngày ôm lấy một cuốn sách tham khảo và làm hết bài tập này đến bài tập khác, mà đôi lúc bạn vẫn cảm giác rằng khả năng giải toán của mình không giỏi lên Còn tôi đam mê môn Toán từ khi tôi biết thế nào là sáng tạo Bạn có muốn thử xem mình có khả năng sáng tạo hay không ?

Dù khả năng sáng tạo bài tập được xuất phát từ những bản chất rất sơ đẳng, có thể bạn sáng tạo một bài toán mà bạn đã bắt gặp ở một cuốn sách nào đó nhưng dẫu sao nó vẫn mang “ dáng dấp “ của bạn

Tôi mạn phép tư duy để cùng tham khảo cho “ vui “ !

Tôi sẽ lấy một hμm số f(x) nμo đó mμ tôi thích, rồi đạo hμm để tìm d(f(x))

h Tôi chọn : f x( )=sin x cos x4 + 4 , f ' x( )=4 sin xcosx( 3 ưcos x sin x3 )=2.sin 2x sin x( 2 ưcos x2 )= ưsin 4x

Một bμi toán đơn giản được tạo ra : Tính dx

π

∫2 4 4 0

sin4x sin x + cos x

Một bμi toán nhìn khá đẹp mắt, bạn đã gặp ở đâu chưa ? Nếu gặp bμi toán nμy trước khi bạn biết sáng tạo bạn giải quyết nó như thế nμo ?

Để tăng khả năng “ đánh lừa trực giác “ bạn có thể tạo mẫu số thμnh một hμm số hợp nμo đó quen thuộc , ví dụ :

2.

( )2007dx

π

∫2 4 4 0

sin4x sin x + cos x

( )dx

π

∫2 4 4 0

sin4x sin x + cos x

2

cos

Tôi biết bạn sẽ nghĩ tư duy kiểu nμy “ cũ rích “ Vậy sao ta không thử tư duy một kiểu nμo đó cho hơi “lạ” một tý :

sin2x cos2x sin x + cos x

i Nếu như xuất phát từ lượng giác để tạo ra các bài toán tích phân của hàm lượng giác nghe có vẻ hiển nhiên quá, ta hãy xuất phát

từ hàm phân thức hữu tỷ xem sao ?

Tôi sẽ xuất phát từ bμi toán tìm nguyên hμm : 2dx

những lời giải thông minh hơn !!!

a Bạn đang ôn thi đại học, bạn đọc khá nhiều tài liệu đôi khi bạn sẽ gặp những bài toán khó hay những lời giải dài dòng hơn bạn

bạn thấy mình đang từng ngày tiến bộ Đôi khi bạn gặp một phương pháp nào đó với tên gọi làm bạn hoảng hốt Hãy dừng lại vμ tư duy, bạn

1

E x ln sin x cosx2

∫

Việc đưa ra bμi toán trên chỉ lμ sự đúc rút kinh nghiệm không phải lμ sự sáng tạo, nhưng nó giúp chúng ta lí giải

đựơc một điều quan trọng trong sáng tạo bμi tập : lμ muốn có một bμi tập hay bạn cần kết hợp nhiều phép biến đổi vμ dĩ nhiên đòi hỏi bạn phải kiên trì vμ một chút yếu tố “ may mắn “

d Tôi thử lấy hàm số : f x( )=2 sin x 2 sin2x 5cos x2 ư + 2 và tách nó thành 2 kiểu khác nhau :

Kiểu2 ( ) 2 2 ( 2 2 ) ( )2 ( )2 2

ở kiểu1 u'=cosx 2 sin xư vμ kiểu2 v '= ưsin xư2cosx ⇒ +u' v '= ư3 sin x( +cosx)

Vậy phải chăng bμi toán nμy sẽ rất khó : 2 sin x cosx 2 dx

2 sin x 2 sin 2x 5cos x

- Hãy giải bμi toán nμy bằng một cách thật thông minh

- Hãy “ mượn tạm “ tư duy nμy để ra bμi tập

Bạn đã quá quen với bμi toán nμy : dx6

⎝ ⎠ + bạn tìm lời giải nhanh hơn nhé !

Bμi toán trên “ bị lộ ý tưởng giải toán khi xuất hiện : 4 2 nhưng bμi toán nμy bạn hãy giải quyết dùm

dùng đồ của người khác cảm zác không thoải mái…nhưng dùng m∙i mà người ta không bắt trả lại thì thành của mình ! <☺ triết lí không ? >

Đêm khuya lắm rồi, tạm chia tay với tích phân hμm lượng giác ! Nhường lại sân chơi cho các bạn !

sin4x + cos2x

dx

Vỡ ủụứi phuù kieỏp taứi hoa

Vỡ ngửụứi gian dớu hay ta ủa tỡnh ?!

Tích phân của các hμm chứa dấu giá trị tuyệt đối

Khi xét dấu của hμm đa thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối bạn cần lưu ý một “ mẹo vặt “ : Đa thức có n

nghiệm thì ta xét trên (n+1) khoảng Đa thức bậc n có n nghiệm thì đan dấu trên các khoảng, khác n nghiệm thì mất tính đan dấu

ª 0974.337.449 _ Th¸ng 12 – n¨m 2007 _ Trang 22

VD1 TÝnh

3

2 2

9x −6x 1dx+

∫ 4

3 4 4

1 cos2xdx

π π