Tài Liệu Ôn Tập Cơ Lý Thuyết Trần Dương Anh Tài* Hồ Hoàng Huy *tranduonganhtai@gmail.com Ngày 20 tháng năm 2016 Trần Dương Anh Tài & et.al CÁC ĐẠI LƯỢNG TRONG TỌA ĐỘ SUY RỘNG Động tọa độ suy rộng Động hệ có dạng: N N m v = k k ∑ mk k∑ =1 k =1 T= Ta có: dr k dt (1) s ∂r • d ∂r r k ( qi , t ) = ∑ k qi + k dt ∂qi ∂t i =1 (2) Thay (2) vào (1), ta được: T= = N mk k∑ =1 s i,j∑ =1 s ∂r • ∑ ∂qki qi + i =1 N ∑ k =1 mk ∂r k ∂t ∂2 r k ∂qi ∂q j • • s ∂r • ∑ ∂qkj q j + j =1 s qi q j + ∑ i =1 ∂r k ∂t N ∑ k =1 mk ∂r k ∂r k ∂qi ∂t • qi + N mk k∑ =1 ∂r k ∂t Vậy động tọa độ suy rộng có dạng: T = T2 + T1 + T0 , (3) Trong đó: T2 = N • • s ∂2 r k a q q với a = m ij i j ij ∑ k ∂qi ∂q j ; i,j∑ =1 k =1 s T1 = • ∑ bij qi với bij i =1 N T0 = mk k∑ =1 ∂r k ∂t N ∂r ∂r k ; ∂t ∑ mk ∂qki k =1 Tổng quát, động tọa độ suy rộng tổng ba phần Phần động thứ T2 hàm bậc vận tốc suy rộng, phần động thứ hai T1 hàm bậc vận tốc suy rộng phần động thứ ba T0 không phụ thuộc vận tốc suy rộng ∂r Xét hệ chịu liên kết dừng ta có k = Phần động T0 , T1 nên động hệ chịu liên ∂t kết dừng tọa độ suy rộng có dạng: • • s T = T2 = ∑ aij qi q j i,j=1 (4) Vậy hệ chịu liên kết dừng động hàm bậc vận tốc suy rộng Thế tọa độ suy rộng Thế hệ trường lực hàm vị trí chất điểm, có dạng: U (rk ) = U (r1 , r2 , , rk ) = U ( x1 , y1 , z1 , , x N , y N , z N ) (5) Biểu diễn tọa độ Descartes chất điểm qua tọa độ suy rộng qi (với i =1,2, ,s) vào (5), ta tọa độ suy rộng có dạng: U (q1 , q2 , , qs ) = U (qi ) (6) Trần Dương Anh Tài & et.al Nếu Fk lực thế, ta có: Fk = −∇U = Nhân hai vế (7) cho ∂U ∂r k (7) ∂r k , lấy tổng theo số k từ → N, ta được: ∂qi N ∑ Fk k =1 N ∂r k ∂U ∂rk =−∑ ∂qi ∂rk ∂qi k =1 hay: Qi = ∂U ∂qi Vậy Qi lực suy rộng ứng với lực lực suy rộng ta có: Qi = − ∂U ∂qi (8) NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU (NGUYÊN LÝ HAMILTON) Trong khoảng thời gian từ thời điểm t1 đến t2 , chuyển động thật cợ hệ đặc trưng hàm Lagrange có dạng: • L(q1 , , qs , q˙1 , q˙s , t) = L(qi , qi , t), với i = 1, 2, , s (9) Ldt gọi tác dụng nguyên tố tác dụng khoảng thời gian từ t1 đến t2 định nghĩa: t2 S= Ldt (10) t1 Tổng quát, S phụ thuộc liên kết nên S = S(α, t) Biên phân tác dụng S là: t2 δS = δLdt hay δS = t1 ∂S δα ∂α (11) Nguyên lý Hamilton: Chuyển động thật hệ khoảng thời gian từ t1 đến t2 , xảy cho tác dụng S đạt cực trị hay biến t2 ∂S phân tác dụng S triệt tiêu, tức ta có: δS = δLdt = hay =0 ∂α α=0 t1 Trong học lý thuyết, nguyên lý Hamilton tiên đề tổng quát Từ nguyên lý này, ta thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ Trần Dương Anh Tài & et.al PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE CỦA CƠ HỆ HOLONOME Phương trình Lagrange hệ chuyển động trường lực • Thành lập phương trình Lagrange Xét hệ holonome só s tọa dộ suy rộng qi (i=1,2, ,s), chuyển động trường lực Trong trường hợp này, hệ gọi hệ bảo toàn Trong khoảng thời gian chuyển động từ thời điểm t1 đến t2 , quỹ đạo quỹ đạo thật có chung điểm đầu điểm cuối Ta có: δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = Chuyển động hệ đặc trưng hàm Lagrange L có dạng sau: • • L(qi , qi , t) = T (qi , qi , t) − U (q, t), (12) T U lần lươt động hệ Biến phân tác dụng S: t2 δS = • δL(qi , qi , t)dt t2 t1 s ∂L • ∂L δqi + • δqi ∂qi ∂ qi ∑ = t1 i =1 dt (13) Xét tích phân sau (13) t2 s • • δ qi dt i =1 ∂ q i ∑ t1 ∂L t2 s ∑ •δ i =1 ∂ q i = t1 t2 s ∑ = s t2 =− t1 d dt t2 t1 ∂L • ∂ qi t1 ∂L s • i =1 ∂ q i ∂L • ∂ qi − δqi • ∂ qi i =1 −d t2 ∂L ∑ = t1 • • δ qi ∂ qi s ∑ dt = ∂L d i =1 t1 t2 dqi dt ∂L d(δqi ) δqi d ∑ dt i =1 ∂L • ∂ qi δqi dt δqi dt Thay kết tích phân vừa tính vào (13), ta t2 s ∑ δS = i =1 t1 ∂L d − ∂qi dt ∂L • ∂ qi δqi dt (14) Theo nguyên lý Hamilton δS = δqi độc lập tuyến tính nên ta suy d dt ∂L − • ∂ qi ∂L =0 ∂qi (i = 1, 2, , s) (15) s phương trình vi phân bậc gọi phương trình Lagrange Giải (15), ta s phương trình chuyển động hệ qi (t) • Dạng khác phương trình Lagrange • Thay hàm L = T − U với U không phụ thuộc vào qi vào phương trình (15), ta ∂ d ∂ (T − U ) − (T − U ) = • dt ∂q ∂qi (16) i d ∂T ∂T ∂U ⇒ − =− • dt ∂q ∂qi ∂qi i (17) Trần Dương Anh Tài & et.al Ta có: − ∂U = Q (lực suy rộng thế) Vậy ta có dạng khác phương trình Lagrange ∂qi d dt ∂T • ∂ qi − ∂T = Qi ∂qi (i = 1, 2, , s) (18) Các phương trình Lagrange (13), (15) cho trường hợp hệ kín Nội lực tương tác chất điểm hệ lực tương ứng U nội hệ kín (thế ứng với nội lực tác dụng lên chất điểm hệ.) Phương trình Lagrange hệ chuyển động trường lực tổng quát Xét hệ holonome có s tọa độ suy rộng qi (i=1,2, ,s), chuyển động trường lực có lực hoạt động Fk lực hoạt động không Fk∗ Trong trường hợp này, hệ gọi hệ không bảo toàn Biểu thức lực suy rộng hệ trường hợp có dạng s ∂r (19) ∑ ( Fk + Fk∗ ) ∂qki = Qi + Qi∗ i =1 N Qi∗ = ∂r ∑ Fk∗ ∂qki (20) k =1 lực suy rộng ứng với lực không Phương trình Lagrange hệ chuyển động trường lực tổng quát có dạng d dt ∂T − • ∂ qi ∂T = Qi + Qi∗ ∂qi (21) ∂L = Qi∗ ∂qi (22) hay ta viết d dt ∂L • ∂ qi − L hàm Lagrange tương ứng trường lực Ưu điểm bật phương trình Lagrange giải quy luật chuyển động hệ ta không cần xác định phản lực liên kết tác dụng lên hệ Trong học, xác định phản lực liên kết tác dung lên hệ vấn đề khó phức tạp Trần Dương Anh Tài & et.al CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM LAGRANGE Hàm Lagrange có tính chất cộng Hàm Lagrange hệ gồm hai phần không tương tác A B (có hàm Lagrange tương ứng L A L B ) tổng hàm Lagrange hai phần • • • • L(q A , q A , q B , q B , t) = L A (q A , q A , t) + L B (q B , q B , t) (23) Do A B không tương tác (A B đủ xa), nên tọa độ suy rộng hệ A B q A q B tương ứng độc lập với Hàm L = L A + L B (với tọa độ suy rộng q A q B ) đặc trưng cho chuyển động hệ gồm hai phần A B không tương tác Ta cần chứng tỏ hàm L = L A + L B hàm Lagrange Lấy biến phân tác dụng tương ứng L khoảng thời gian từ t1 t2 : t2 t1 t2 δLdt = t1 δL A dt + t2 t1 δL B dt Mà L A L B hàm Lagrange A B nên biến phân tác dụng tương ứng chúng Do ta có: t2 t1 δLdt = Theo nguyên lý Hamilton hàm L = L A + L B hàm Lagrange đặc trưng cho chuyển động thật hệ gồm hai phần không tương tác A B Hàm Lagrange không đơn trị Các hàm Lagrange hệ sai khác đạo hàm toàn phần theo thời gian hàm f (qi , t) Gọi L hàm Lagrange hệ hàm L’ xác định sau hàm Lagrange hệ: L = L+ d f (qi , t), i = 1, 2, , s dt (24) Thật vậy, biến phân tác dụng tương ứng (24) khoảng từ t1 đến t2 : t2 t1 δL dt = = t2 t1 t2 t1 δLdt + δLdt + t2 t1 t2 t1 δ d f (qi , t)dt dt δd f (qi , t) Trong (25), ta có: t2 t1 t2 t1 nên: δLdt = L hàm Lagrange hệ, δd f (qi , t) = t2 t1 s ∂f d ∑ δq = ∂qi i i =1 t2 t1 s ∂f ∑ ∂qi δqi i =1 t2 = 0; δqi (t1 ) = δqi (t2 ) = t1 δL dt = Theo nguyên lý Hamilton hàm L’ hàm Lagrange hệ (25) Trần Dương Anh Tài & et.al CÁC PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC Các biến số tắc • Giải s phương trình Lagrange ta suy qi (t) qi (t), cho ta phương trình chuyển dđộng vận tốc tọa • độ suy rộng; 2s biến số: qi qi gọi biến số Lagrange Tuy nhiên, qi biến độc lập ta suy • • qi nên qi không biến độc lập Mặt khác, chuyển động hệ biễu diễn qua tọa độ suy rộng qi động lượng suy rộng ∂T pi = • 2s biến số gọi biến số tắc hay biến số Hamilton Chúng lập nên không ∂ qi gian 2s chiều, gọi không gian pha Khác với biến số Lagrange, biến số Hamilton độc lập với Hàm Hamilton Các phương trình tắc a/ Hàm Hamilton phương trình tắc Xét hệ holonome chuyển động trường lực Các động lượng suy rộng hệ xác định công thức: • ∂L ∂T pi = • = • ; U không phụ thuộc qi nên đạo hàm ∂ qi ∂ qi Biến phân hàm Lagrange ta được: s • δL(qi , qi , t) = s ∂L ∂L • δq + ∑ ∂qi i ∑ • δqi i =1 i =1 ∂ q i Thay pi vào phương trình ta được: s • δL(qi , qi , t) = s • ∂L δq + ∑ ∂qi i ∑ pi δqi i =1 i =1 s s • • ∂L δq + δ ( p q ) − ∑ ∂qi i ∑ i i ∑ qi δ pi i =1 i =1 i =1 (26) • d ∂L ∂L = ( • ) = pi ∂qi dt ∂q i (27) s = Từ phương trình Lagrange ta suy ra: Thay (27) vào (26) chuyển vế, ta được: s δ −L + ∑ i =1 • pi qi s =−∑ i =1 • pi δ qi s • + ∑ qi δpi (28) i =1 • Hàm − L + ∑is=1 pi qi lượng hệ theo vế bên phải (28) hàm biến số tắc Đặt hàm H H gọi Hamilton hay Hamiltonian: • s • H ( qi , pi , t ) = − L ( qi , qi , t ) + ∑ qi pi (29) i =1 Vậy hàm Hamilton đặc trưng cho chuyển động thật hệ theo biến số tắc Biến phân hàm Hamilton hệ: s s ∂H ∂H δH (qi , pi , t) = ∑ δqi + ∑ δp (30) ∂qi ∂pi i i =1 i =1 Trần Dương Anh Tài & et.al So sánh (28) (30), ta rút hệ phương trình sau: • ∂H qi = ∂pi (i = 1, 2, s) • ∂H − pi = ∂qi (31) 2s phương trình vi phân bậc (31) gọi phương trình tắc hay phương trình Hamilton Giải hệ phương trình này, ta suy qi , pi b/ Hàm Hamilton hệ chịu liên kết dừng Động hệ hàm bậc vận tốc suy rộng: T = T2 = • • s aij qi q j , ∑ i =1 đó: N aij = ∑ mk k =1 ∂2 r k ∂qi ∂q j ∂T Trong trường hợp này, động lượng suy rộng có dạng: pi = • ∂ qi = ∂T2 • , hàm Lagrange tương ứng: ∂ qi L = T − U = T2 − U Hàm Hamilton hệ chịu liên kết dừng có dạng: s H= ∑ s • pi qi − L = i =1 ∂T2 ∑ • • i =1 ∂ q i q i Theo định lý hàm (hàm đồng bậc), ta có: ∑is=1 − T2 + U • • qi ∂ qi ∂T2 = 2T2 Ta viết lại: H = 2T2 − T2 + U = T2 + U = E (32) c/ Phương trình Hamilton hệ chịu liên kết không dừng Khi hệ chịu liên kết không dừng, động hệ có dạng: T = T2 + T1 + T0 ; T2 , T1 , T0 động suy rộng bậc 2, bậc 1, bậc Hàm Lagrange tương ứng: L = T2 + T1 + T0 − U Hàm Hamilton hệ chịu liên kết không dừng có dạng: s s s s • ∂T2 • ∂T1 • ∂T0 • H = ∑ pi qi − L = ∑ • qi + ∑ • qi + ∑ • qi − ( T2 + T1 + T0 − U ) i =1 ∂ q i i =1 ∂ q i i =1 ∂ q i i =1 Theo định lý hàm đồng bậc, ta có: s • • qi i =1 ∂ q i s ∂T1 • • qi i =1 ∂ q i s ∂T0 • • qi i =1 ∂ q i ∑ ∂T2 = 2T2 , ∑ = T1 , ∑ = Vậy hàm Hamilton hệ chịu liên kết không dừng có dạng: H = T2 − T0 + U Nội dung tài liệu trích từ giáo trình Cơ học lý thuyết thầy Ninh Quý Cường (33)