TÀI LIỆU ôn tập PHẦN đl VI ét

Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m: * Phương pháp giải:  Lập biệt thức 'hoặc.. b Trong trường hợp phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt x1,

Trang 1

Tài liệu ôn tập phần Đại số 9 cuối năm

CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1

x c x a

1

x c x a

Trang 2

II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT

Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0 Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

 Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (   ' 0 ;   0 hoặc a.c < 0).

 Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình

Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số)

1 CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.

Trang 3

2 Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1) Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m.

+ Nếu '< 0 (hoặc < 0)  pt (*) vô nghiệm

Vậy không có 2 số u, v thỏa đề bài.

Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28

Giải:

Theo đề bài  u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0

Trang 4

 x2 – 11x + 28 = 0(*)

Phương trình (*) có = 9 > 0   3 1

2

74

x x

 Biến đổi ' đưa về dạng : '= (A  B)2 + c > 0, m (với c là một số dương)

 Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m.

6 Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

* Phương pháp giải:

 Lập biệt thức '(hoặc).

 Biến đổi ' đưa về dạng : '= (A  B)2

 0, m.

 Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m.

7 Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:

* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận.

8 Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 5

1 Giải phương trình (1) khi m = – 2.

2 CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

3 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

Bài tập 2: Cho phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).

1 Giải phương trình (1) khi m = 3.

3 Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

Trang 6

3 Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập với m.

HD: 1 Khi m = 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 = 1

2

 .

2 = (2m – 3)2

0, m 3.

 ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3)2 > 0 |2m – 3| > 0 

3232

 Hệ thức: 2S + 4P = 1  2( x1 + x2) + 4 x1x2 = 1.

Bài tập 4 : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)

3 Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 độc lập

với m.

4 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.

HD: 1 Khi m = 5, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = 1, x2 = 7.

Trang 7

Bài tập 6 :

Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + m – 4 = 0 (1).

1 Giải phương trình (1) khi m = –2.

2 CMR: m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt (1) Chứng minh biểu thức:

A = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m.

Vậy A = 10 không phụ thuộc vào m.

Bài tập 7: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1)x + (2m – 4) = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = – 2.

2 CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1) Tính A = x1 2 x2 2 theo m.

4 Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài tập 8: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1)x + 2m – 7 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = –1.

2 CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

3 Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.

4 Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m.

Trang 8

4 Hệ thức cần tìm: 2S – P =5  2(x1 +x2) – x1x2 = 5.

5 x1 2 x2 2 = 10  m2 – 6m + 5 = 0  m = 1 hoặc m = 5.

Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = –1

2 Tìm m để:

a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.

HD: 1 Khi m = –1 x1 = 1 ; x2 = –3

2a Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi  = –4m > 0  m < 0.

2b Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0  1.(4m + 1) < 0  m < 1

Bài tập 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) (1).

a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép và tính nghiệm kép đó.

b) Trong trường hợp phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hãy tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1, x2 mà không phụ thuộc m.

HD: a)

a Phương trình (1) có nghiệm kép   ' = 0  m2 – 9 = 0  3

3

m m

 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khi '  > 0 m2 – 9 > 0  3

3

m m

THAM KHẢO THÊM

1 Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

1.1 Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc – 1

Trang 9

Giải: a) Ta có: abc38(11)0 nên phương trình có một nghiệm là x1 1, nghiệm còn lại là

1.2 Cho phương trình bậc hai, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ

ra hệ số chưa biết của phương trình:

1 2 2

x x x

2

522

92

9

1 2

2

1x   x   x   

Câu b tương tự

Giả sử hai nghiệm của phương trình là x1, x2 có vai trò như nhau

c) Theo đề bài ta có x1 x2 11 Theo định lí Vi-et ta có x1x2 7

2 1 2 1

x x x x

502

50

2

2 2

x x

Trang 10

a) x2 mx  35 0  biết một nghiệm bằng – 5

b) 2 x2 ( m  4) x m   0 biết một nghiệm bằng – 3

c) mx2 2( m  2) x m   3 0  biết một nghiệm bằng 3

2 Dạng 2: Lập Phương trình bậc hai

2.1.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm

Ví dụ 1: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2

Giải: Theo Định lí Vi-et ta có 

5 2 3

2 1 2 1

x x P

x x S

Vậy 3 và 2 là hai nghiệm của phương trình: x2  Sx P   0hay 2 5 6

1

 =

1 3 3

2.2.Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước

1

;

1

x x y x x

*Nhận xét: bài toán dạng này có hai các giải:

Cách 1: + Tính trực tiếp y1; y2 bằng cách: Tìm nghiệm x1; x2của phương trình đã cho rồi thay vào biểu thức tính

111

;31

121

2 1 2 1

2

x x y x

x y

Trang 11

Theo Định lí Vi-et ta có:

2

92

33)

(11)(11

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2

x x x x x x x x x

x x x y y S

Ví dụ 2: Cho phương trình 3x2 5x 60 có hai nghiệm x1; x2.

Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm

1 2 2 2 1 1

1

;

1

x x y x x

;6

975

2 1

61

;975

61

1 2 2 2

1 1

x y

2

1

;6

5

2 1 2

- Cách 1 chỉ thích hợp khi phương trình ban đầu có nghiệm x1; x2 là hữu tỉ do đó nên chọn Cách 2 để việc tính

toán đơn giản và nhanh hơn, cụ thể:

Theo Định lí Vi-et, ta có:

6

52353

5)

(11)(

11

2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 1

2 2 1 2

x x x x x x x x x

x x x

1112

111)

1).(

1(

2 1 2

1 1

2 2

x x

x x x

5 x x

3 2 3

1

2 1

Gi¶i: §iÒu kiÖn  = p2 - 4q  0 (*) ta cã:

x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Tõ ®iÒu kiÖn:

Trang 12

5 x x

3 2 3 1

x

x x2 1

2 1

2 2 2 1

2 1

225

x x x x

x

5 x 4x x

x

2 1

2 1 2

1

2 1 2 1 2

2

2 5

2

x x x

2 2

1



Bài 2: Cho phương trình x2  5x 10 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm

4 2 2

3 3 2 1

x x x x

Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1; x2

- Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1; x2tìm được

3 Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

Giải phương trình trên ta được x11;x2 4

Vậy nếu a = 1 thì b = - 4; nếu a = - 4 thì b = 1

* Lưu ý: không phải lúc nào ta cũng tìm được hai số thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 2: Tìm hai số a và b biết S = a + b = 3, P = ab = 6

Giải: Hai số a và b là nghiệm của phương trình x2  3x60

0152496.1.4





Trang 13

Phương trình vô nghiệm nên không tồn tại hai số a và b thỏa mãn đề bài

hai số a và b thỏa mãn yêu cầu đề bài mà chưa cần lập phương trình

* Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm hai số biết tổng S = 9 và tích P = 20

Bài 2: Tìm hai số x, y biết:

Bài 3: Tìm hai số x, y biết: x2 y2  25; xy  12

4 Dạng 4: Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai

* Cách biến đổi một số biểu thức thường gặp:

Và tương tự học sinh có thể biến đổi được nhiều biểu thức theoS  x1 x P x x2;  1 2

4.1 Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm

Với dạng toán này ta không giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu thức cần tính giá trị theo tổng và tích các nghiệm, sau đó áp dụng Định lí Vi-et để tính

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 8 x  15 0  có hai nghiệm x x1; 2 hãy tính

Trang 14

4.2 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc tham số

Ta lần lượt làm theo các bước sau:

+ Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x x1; 2 (a    0; 0)

+ Viết hệ thức S  x1 x P x x2;  1 2

Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức cần tìm

Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P sau đó đồng nhất các vế ta được hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số

Ví dụ 1: Cho Phương trình mx2 (2 m  3) x m   4 0  ( m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x x1; 2 không phụ thuộc vào m

Giải: a) Để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thì:

Ví dụ 2: Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình ( m  1) x2 2 mx m   4 0 

Chứng minh biểu thức A  3( x1 x2) 2  x x1 2 8 không phụ thuộc giá trị của m

Nhận xét: Bài toán này cho trước biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình nhưng về nội dung không khác

Ví dụ 9 Khi làm bài cần lưu ý:

Trang 15

+ Ta vẫn tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

+ Biểu thức A có giá trị là một số xác định với mọi m thỏa mãn điều kiện

Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thì

m

x x

m m

x x m

Bài 2: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009) Cho phương trình x2 2( m  1) x m  2  1 0(1)

a) Giải phương trình (1) khi m = 7

b) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm

c) Tìm hệ thức kiên hệ giữa hai nghiệm x x1; 2 của (1) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m

4.3 Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước.

Cách làm: + Tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 ( a  0 và   0)

+ Từ biểu thức chứa nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình tìm m

+ Đối chiếu với điều kiện để xác định m

Ví dụ 1: Cho phương trình mx2 6( m  1) x  9( m  3) 0  Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm

Trang 16

Từ x1 x2  x x1 2  6( m 1) 9( m 3)

Vậy với m = 7 thì phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1 x2  x x1 2

Ví dụ 2: Cho phương trình mx2 2( m  4) x m    7 0 Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm

1; 2

x x thỏa mãn x1 2 x2  0

Nhận xét: Ví dụ này khác ví dụ 11 ở chỗ hệ thức không chứa sẵn x1 x2 và x x1 2 nên ta không thể áp dụng ngay hệ thức Vi –et để tìm tham số m

Vấn đề đặt ra là ta phải biến đổi biểu thức đã cho về biểu thức chứa x1 x2 và x x1 2 rồi tìm m như ví dụ trên

Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 là:

0 16 15

m m

Vậy với m 1 hoặc m 128 thì phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1 2 x2  0

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình 3 x2 4( m  1) x m  2 4 m   1 0 có hai nghiệm x x1; 2thỏa mãn

Trang 17

Điều này sai vì có thể có trường hợp x1 x2 = 0

Do đó ta phải chuyển vế để đưa về dạng tích:

- Ta thấy m = - 1 không thỏa mãn (*) nên loại

Vậy m = 1 hoặc m = 5 là giá trị cần tìm

Ví dụ 4: Cho phương trình x2 2( m  1) x  2 m  5 0 

3. Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m

4. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện:

( x12 2 mx1 2 m  1)( x22 2 mx2 2 m  1) 0 

Giải: a)  '= m2 – 4m + 6 = (m – 2)2 + 2 > 0,m  pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên:

Bài 1: Cho phương trình x2 ( m  1) x  5 m  6 0 

Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn 4 x1 3 x2  1

Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x12x2 1

Bài 3: Cho phương trình x2 – 2mx + 4m – 3 = 0.Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 6Bài 4: Cho phương trình x2 (2 m  1) x m   0

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Trang 18

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1 x2  1

Bài 5: Cho phương trình x2 (2 m  1) x m  2  2 0 Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm x x1; 2 thỏa mãn

Bài 6*: Cho phương trình 8 x2 8 x m  2  1 0 (*) (x là ẩn số)

Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x , 1 x thỏa điều kiện: 2 4 4 3 3

Do đó yêu cầu bài toán  m  1

Bài 7: Cho phương trình : 3 x2  3 m  2  x   3 m  1   0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 x1 5 x2  6

Bài 8: Cho phương trình x2 – (m+1)x + m – 5 = 0

Xác định tham số m để phươg trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 13 23

1 2

4 32

Trang 19

2

m m





  



Cả hai giá trị của m=1 hoặc m=-2 đều thỏa mãn

Bài 9: Định m để phương trình x2 –(m-1)x + 2m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 là độ dài hai cạnh góc vuông củamột tam giác vuông có cạng huyền bằng 5

HD: (x1 + x2 = 5)

Bài 10: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12

HD: Ta có  ' m12 4mm120vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Bài 11*: Cho phương trình x2  3 x m   0 (1) (x là ẩn).

Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn

Thử lại thấy m  3 thỏa mãn pt (2) và điều kiện (1)

Bài 12: Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x + 2mx = 912 2

Trang 20

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 2(m 1)x  2  3m2 16.

4.4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức nghiệm

Cách làm: Cũng tương tự như những dạng bài trên ta áp dụng hệ thức Vi-et để biến đổi biểu thức đã cho rồi tìm giá trị

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 2(m+4)x + m2 - 8 = 0 (1) trong đó m là tham số.

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt GTLN.

Ví dụ 3*: Cho phương trình x2 + 2x – m = 0 (1) (x ; là ẩn, m là tham số)

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm Gọi x1, x2 là hai nghiệm (có thể bằng nhau)

của phương trình (1) Tính biểu thức P = x1 + x2 theo m, tìm m để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải: Phương trình (1) là phương trình bậc 2 (vì hệ số của x2 là 1 0) có

’ = 1 + m 0  m  – 1

Vậy phương trình (1) có nghiệm  m  –1

Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét, ta có: x1 + x2 = –2 ; x1.x2 = – m

Do đó, P = x1 + x2 = (x1 + x2)2 – 2 x1.x2

Trang 21

= [(x1 + x2)2 - 2 x1.x2] 2 – 2(x1.x2)2

= (4 + 2m)2 – 2m2 = 2m2 + 16m + 16

Vì m  –1  m + 1  0 nên ta có:

P = 2m2 + 16m + 16 = 2(m2 + 2m + 1) + 12m + 14 = 2(m + 1)2 + 12(m + 1) + 2  2

Suy ra P đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi và chỉ khi m + 1 = 0  m = –1

Ví dụ 4: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện:

c b a

0 a

Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a Min)

Giải: Từ giả thiết bài toán ta có:

a bc

3 2

Theo Viet: b, c là nghiệm của phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0

  = (a3 - a)2 - 4a2  0  a2 [(a2 - 1)2 - 4]  0  (a2 - 3) (a2 + 1)  0  a2 - 3  0  a2  3

 a  3 (a > 0)  min a = 3 tại b = c = 3 Vậy: amin = 3 tại b = c = 3

 Ở bài toán trên do vai trò của a, b, c như nhau nên có thể yêu cầu tìm Min của 1 trong các biến a, b, c

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Trang 22

Vì    

 

2 2

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình

đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

B B

b) Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình (1).Tìm giá trị lớn nhất của x1 x2

Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009)

Trang 23

Cho phương trình x2 (3 m  1) x  2( m2 1) 0  (1) ,(m là tham số)

b) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m

c) Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của (1), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x  12 x22

Bài 5: Cho phương trình x2 2( m  1) x  3  m  0 Tìm m để hai nghiệm x x1; 2

thỏa mãn x12 x22  10

Bài 6*: Cho phương trình x2  ( m  2) x  8 0  , với m là tham số.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 sao cho biểu thức

Bài 8: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – 1 =0 (x là ẩn, m là tham số)

Tìm tât cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 sao cho tổng

P = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất

5 Dạng 5: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

Khi xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai có thể xảy ra các trường hợp sau: hai nghiệm trái dấu, cùngdấu ( cùng dương hoặc cùng âm) Dấu của các nghiệm liên quan với ; S; P như thế nào?

Ta có bảng xét dấu sau:

Trang 24

Dấu của hai nghiệm x x1; 2 Điều kiện

Cùng dấu

Cùng dương(x x 1 2 0; x1 x2  0)

Cùng âm(x x 1 2 0; x1 x2  0)

  nên hai nghiệm cùng dấu âm

Tương tự với phần b và c

b) P = 40 > 0; S= 13 > 0 nên hai nghiệm cùng dấu dương

0 3

P   nên hai nghiệm trái dấu

Ví dụ 2: Cho phương trình x2  ( m  1) x m  2  m   2 0 ( m là tham số)

Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu với  m

có hai nghiệm trái dấu

Giải:Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì:

Trang 25

Bài 1: Cho phương trình x2 2( m  1) x  2 m  3 0  (1)

a) Chứng minh (1) luôn có nghiệm với mọi m; b) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm giá trị của m để (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài 2: Cho phương trình x2 5 x m   0

a) Giải phương trình với m = 6; b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương

Bài 3 : Xác định m để phương trình

a) mx2  2( m  2) x  3( m  2)  0 có hai nghiệm cùng dấu

b) ( m  1) x2  2 x m   0 có ít nhất một nghiệm không âm

* Lưu ý: phần b: xét các trường hợp phương trình có: + hai nghiệm trái dấu ; + hai nghiệm cùng dương

CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA (P): y = ax2 VÀ (D): y = ax + b (a  0)

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1.Hàm số y = ax2(a0):

Hàm số y = ax2(a0) có những tính chất sau:

 Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.

 Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.

Đồ thị của hàm số y = ax2(a0):

 Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng.

 Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành O là điểm thấp nhất của đồ thị.

 Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành O là điểm cao nhất của đồ thị.

Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a0):

 Lập bảng các giá trị tương ứng của (P).

 Dựa và bảng giá trị  vẽ (P).

2 Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) và (D): y = ax + b:

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau  đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.

 Giải pt hoành độ giao điểm:

+ Nếu  > 0  pt có 2 nghiệm phân biệt  (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Trang 26

+ Nếu  = 0  pt có nghiệm kép  (D) và (P) tiếp xúc nhau.

+ Nếu  < 0  pt vô nghiệm  (D) và (P) không giao nhau.

3 Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P): y = ax2(a0) và (Dm) theo tham số m:

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (Dm): cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng nhau  đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.

 Lập  (hoặc') của pt hoành độ giao điểm.

 Biện luận:

+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi  > 0 giải bất pt  tìm m.

+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm  = 0 giải pt  tìm m.

+ (Dm) và (P) không giao nhau khi  < 0 giải bất pt  tìm m.

a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

c) (Dm) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm

HD: 1 Tọa độ giao điểm: (2 ; 2) và (– 4 ; 8).

Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm).

1.Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.

2.Xác định giá trị của m để:

a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng 1

2

 b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

c) (D ) tiếp xúc (P) Xác định tọa độ tiếp điểm.

Trang 27

HD: 1 Tọa độ giao điểm: ( 1 1

a) Viết phương trình đường thẳng AB.

b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P).

3.Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.

HD: 2a) Đường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5.

2b) Tọa độ giao điểm: (1;– 2) và ( 5

1.Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.

2 Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).

3.Tìm tọa độ những điểm trên (P) thỏa tính chất tổng hoành độ và tung độ của điểm đó bằng – 4.

HD: 2 Tọa độ giao điểm: ( 1

Trang 28

 3 2

1.Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc.

2.Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (D).

3 Gọi A là điểm  (P) và B là điểm  (D) sao cho

2 10 11

t t

Bài tập 6: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm A(1; –2) và B(–2; 3).

1 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A, B.

2.Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = –2x2.

a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ đã cho.

b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d).

HD: 1 Phương trình đường thẳng AB: y = 5

Trang 29

Bài tập 7: Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = –2x2 trên mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy.

Gọi (D) là đường thẳng đi qua điểm A(–2; –1) và có hệ số góc k.

a) Viết phương trình đường thẳng (D).

b) Tìm k để (D) đi qua B nằm trên (P) biết hoành độ của B là 1.

Bài tập 8: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D).

1.Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.

2.Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành độ bằng – 2 Xác định tọa độ của A, B.

3.Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.

HD: 1 Tọa độ giao điểm: (2; 4) và (–1; 1).

2 Tọa độ của A(5; 7) và B(– 2 ; 4)

c) Tìm tọa độ của điểm M thuộc trục hoành sao cho MA + MB nhỏ nhất.

HD: a) Tọa độ giao điểm: (2; – 4) và (–1; 1).

Trang 30

b) Tọa độ của A(3; 1) và B(– 1 ; – 1).

2.Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm).

3.CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.

HD: 1 Tọa độ giao điểm: (1; 1)và (– 2; 4).

2 Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên trục Ox, ta có:

  OHA vuông tại H  SOHA = 1

 Gọi I là giao điểm của (D) với trục Ox  yI = 0  xI = 2  I(2; 0).

  IKB vuông tại K  SIKB = 1

 Phương trình đường thẳng OA: y = a’x (D’).

 (D’) đi qua A(1; 1)  a = 1  (D’): y = x.

 (D) có a = – 1 và (D’) có a’ = 1  a a’ = – 1  (D)  (D’)

 OA  AB   OAB vuông tại A.

CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Trang 31

Tài liệu ơn tập phần Đại số 9 cuối năm

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ

Các bước giải:

1 Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình):

 Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;

 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ;

 Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

2 Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được.

3 Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu của bài.

II BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập1: Giải bài tốn sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên cĩ hai chữ số, biết rằng

chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.

HD:

 Gọi x là chữ số hàng chục (x N, 0 < x  9).

 Gọi y là chữ số hàng đơn vị (y N, x  9)

 Số cần tìm cĩ dạng xy = 10x + y

 Vì chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta cĩ pt: x – y = 2 (1)

 Khi thêm chữ số bằng chữ số hàng chục vào bên phải thì được số mới: xyx =100x +10y + x = 101x +10y

 Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 682 nên ta cĩ phương trình:

Bài tập 3: Giải bài tốn sau bằng cách lập phương trình: Cho một số tự nhiên cĩ hai chữ số Tổng

của hai chữ số của nĩ bằng 10; tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12 Tìm số đã cho.

HD:

 Gọi x là chữ số hàng chục của số đã cho (x N, 0 < x  9)

 Chữ số hàng đơn vị: 10 – x

 Số đã cho cĩ dạng: 10.x + (10 – x) = 9x + 10

Trang 32

 Tích của hai chữ số ấy: x(10 – x)

 Theo đề bài ta có phương trình: (9x + 10) – x(10 – x)= 12  x2 – 2 = 0

 Giải pt trên ta được: x1 = –1( loại); x2 = 2 (nhận)

 Vậy số cần tìm là 28.

Bài tập 4: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi là 280m Nếu

giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích của nó tăng thêm 144m2 Tính các kích thước của hình chữ nhật.

 Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là x(140 – x) (m2).

 Khi giảm chiều dài của hình chữ nhật 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì hình chữ nhật mới

có diện tích: (x – 2)[(140 – x) + 3] = (x – 2)(143 – x) (m2)

 Vì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 144m2 nên ta có phương trình:

(x – 2)(143 – x) – x(140 – x) = 144  5x = 430  x = 86 (thỏa ĐK)

 Vậy hình chữ nhật có chiều dài 86m và chiều rộng là: 140 – x = 140 – 86 = 54 (m).

Bài tập 5: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là

320m Nếu chiều dài của khu vườn tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nó tăng thêm 50m2 Tính diện tích của khu vườn ban đầu.

HD:

 Chiều dài là 100m và chiều rộng là 60m.

 Diện tích khu vườn: 6 000 m2.

Bài tập 6: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một hình chữ nhật có chu vi 160cm và có

diện tích 1500m2 Tính các kich thước của nó.

HD:

 Nửa chu vi hình chữ nhật: 160

2 = 80 (m).

 Gọi x (m) là một kích thước của hình chữ nhật (0 < x < 80).

 Kích thước còn lại của hình chữ nhật là 80 – x (m).

Bài tập 7: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi

là 340m Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m Tính diện tích của sân trường.

HD:

 Gọi x, y (m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng sân trường ( 0 < x, y < 170)

 Vì sân trường có chu vi 340m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 340  x + y = 170 (1).

 Vì ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 20m nên ta có pt: 3x – 4y = 20 (2).

Trang 33

Bài tập 8: Cho một tam giác vuông Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì diện tích tam

giác sẽ tăng thêm 110cm2 Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ giảm đi 100cm2 Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.

 Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 20cm và 25cm.

Bài tập 9: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm, diện tích bằng 6cm2 Tìm độ dài các cạnh góc vuông.

HD:

 Gọi x (cm), y (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông (0 < x, y < 5).

 Vì tam giác có cạnh huyền 5cm nên ta có pt: x2 + y2 = 25 (1).

 Vì tam giác có diện tích 6cm2 nên ta có pt: 1

 Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 3cm và 4cm.

Bài tập 10: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái

bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể Nếu mở vòi thứ nhất trong 3 giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được 3

4 bể nước Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì mới đầy bể?

HD:

 Gọi x (h), y (h) lần lượt là thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng đầy bể ( x > 3, y > 4).

 Trong 1h, vòi 1 chảy được: 1

x (bể).

 Trong 1h, vòi 2 chảy được: 1 y (bể).

Trang 34

 Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 giờ 48 phút = 24

5 h sẽ đầy bể nên trong 1h hai vòi cùng chảy được

 Vậy: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 12h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.

Bài tập11: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể

không có nước trong 1 giờ 20 phút thì đầy bể Nếu để vòi thứ nhất chảy một mình trong 10 phút và vòi thứ hai chảy một mình trong 12 phút thì chỉ được 2

15 thể tích của bể nước Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?

HD: Vòi 1 chảy riêng đầy bể trong 120 phút = 2h, vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 240 phút = 4h.

Bài tập 12: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể

cạn (không có nước) thì sau 4 4

5 giờ đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6

5 giờ nữa mới bể nước Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?

Trang 35

 Vì hai vòi nước cùng chảy trong 4 4

 Vì lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau 6

5 giờ nữa mới

 Vậy: Vòi 2 chảy riêng đầy bể trong 8h.

Bài tập13: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn

chưa có nước thì sau 18 giờ đầy bể Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi mất bao lâu mới chảy đầy bể?

HD:

 Gọi x (h) là thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể (x > 27).

 Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể: x – 27 (h).

 Mỗi giờ vòi thứ nhất chảy được 1

x  x    x2 – 63x + 486 = 0.

 Giải pt trên ta được: x1 = 54 (nhận); x2 = 9 (loại).

 Vậy: Vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 542h, vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 27h.

Bài tập 14: (HK II: 2008 – 2009 _ Sở GD&ĐT Bến Tre):

Trang 36

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau Sau 1 giờ chúng gặp nhau Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút Tính vận tốc mỗi xe.

Bài tập 15: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110 km Hai

mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau Sau 2 giờ chúng gặp nhau Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 44 phút Tính vận tốc mỗi xe.

 Thời gian xe II đi hết đoạn đường AB: 110 y (h)

 Vì xe II tới A trước xe I tới B là 44 phút = 11

Trang 37

BÀI TẬP TỔNG HỢP CUỐI NĂM

Câu 1: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b  2 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 1 1

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x - x y + x + y - y + 12

Câu 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Chứng minh: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ).

Câu 5: Giải phương trình: 10 x + 1 = 3 x + 23  2 

Câu 6: Cho biểu thức A = 2x - 2 xy + y - 2 x + 3 Hỏi A có giá trị nhỏ nhất hay không? Vì sao?

Câu 7: Giải hệ phương trình:

3 3

Trang 38

x - 3x + 2 + x + 3 = x - 2 + x + 2x - 32 2

Câu 13: Giải phương trình: x2 + x + 2010 = 2010.

Câu 14: Các số thực x, a, b, c thay đổi, thỏa mãn hệ:

Câu 17: Cho x, y là hai số thực thoả mãn: (x + y)2 + 7(x + y) + y2 + 10 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y + 1

Câu 18: Giải phương trình: 1

Trang 39

Câu 26: Giải phương trình:  x + 8  x + 3   x2 11x + 24 1    5

Câu 27: Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 2

b c

b

a

.

Câu 31: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: (2x +1)y = x +1.

Câu 32: Cho a, b là các số dương thoả mãn ab = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (a + b + 1)(a2 + b2) +

Câu 34: Cho hai phương trình: x2 + a1x + b1 = 0 (1) , x2 + a2x + b2 = 0 (2)

Cho biết a1a2 > 2 (b1 + b2) Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 35: Giải phương trình: 3 2 6 19 2 2 26

Định dạng
Số trang	78
Dung lượng	3,52 MB