Tương giao của đồ thị các hàm số

TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ I.. CÁC DẠNG TƯƠNG GIAO TỔNG QUÁT CỦA HÀM BẬC 3 VỚI Ox 1... Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số.. Chú ý: Theo qui ước 1 cấp số cộng

TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Bài toán tương giao tổng quát

Cho 2 đồ thị với các hàm số tương ứng: ( )C1 :y= f x m( , ) ; (C2):y=g x m( , ) Giao điểm của hai đồ thị (C1), (C2) có hoành độ là nghiệm của phương trình tương giao: f x m( , )=g x m( , )

2 Bài toán cơ bản

Cho đồ thị ( )C :y= f x m( , ) và trục hoành Ox: y = 0

Giao điểm của hai đồ thị có hoành độ là nghiệm của phương trình f x m( , )= 0

3 Các phương pháp chung

Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ

Xét phương trình: ƒ(x) = an x n + a n − 1x n −1 + + a1x + a0 = 0

q

= ∈
= là nghiệm của ƒ(x) thì q | a n và p | a0

Phương pháp hàm số (Sử dụng khi tham số là bậc 1)

y g x

y m

=



=



II CÁC DẠNG TƯƠNG GIAO TỔNG QUÁT CỦA HÀM BẬC 3 VỚI Ox

1 Các phương pháp xét tương giao

Bài toán: Xét tương giao của đồ thị hàm bậc 3 ( )C :y= f x m( , )với Ox: y = 0

1.1 Phương pháp nhẩm nghiệm cố định:

( , ) ( ) ( ( ) 2 ( ) ( ))

f x m = x− p a m x +u m x+v m

1.2 Phương pháp nhẩm nghiệm chứa tham số:

( , ) [ ( )] ( ( ) 2 ( ) ( ))

f x m = x− ϕ m a m x +u m x+v m

1.3 Phương pháp hình dạng đồ thị và vị trí cực trị của hàm số ( )C :y= f x m( , )

1.4 Phương pháp hàm số f x m( , ) 0 g x( ) m y g x( )

=



=



2 Bảng tổng kết các bài toán tương giao đồ thị hàm bậc 3

Hình dạng đồ thị f′( )x = 3ax2 + 2bx c+ f x( )=(x−p g x) ( )

1 nghiệm

(1 giao

điểm)

x

x

a > 0

a < 0

x 2 1

x

x x

2

2

CT CÐ

f f



 ′∆ = − >







>



0 0 0

g g

g p

∆ <





 ∆ =







=







2 nghiệm

(2 giao

điểm)

x

x 1 x 2

a < 0

a > 0

x2

1

CT CÐ

f f

 ′∆ = − >





=



( )

( )

0 0 0 0

g

g

g p

g p

 ∆ >





 ∆ =







≠





3 nghiệm

(3 giao

điểm)

x

x 1

2 x

a > 0

a < 0

x 2 1

x

x

1 x

x 1

2

2

CT CÐ

f f

 ′∆ = − >





<

0 0

g

g p

∆ >





≠



1

2 3

x

x x

α < <

<

3

x

x2

1

x

x3

2

x

x1

x

x1

2

x

a < 0

2 1

α

α

( ) ( )

2

CT CÐ

3

f f

a f

a f b a

 ′∆ = − >







 ′ α >



α <



( )

( )

0 0

2

g

g

g p p

a g S

∆ >







α <





α >







α <



1 2

3

x x

x

<

α x

x1

2

x

a > 0

1

x

x

1

x

x2

3

x

x1

2

x

x3

( ) ( )

2

CT CÐ

3

f f

a f

a f b a

 ′∆ = − >







 ′ α >



α >



( )

( )

0 0

2

g

g

g p p

a g S

∆ >







α >





α >







α >



2 3

x

x x

< α <

<

3

x

x2

1

x

x 3 2

x

x 1

x

x 1

2

x

a < 0

a > 0

x 2 1

α

( ) ( )

2

CT CÐ

3

a f

a f b a

 ′ ∆ = − >



 <



 α >





′

 α ≤





α ≤





( )

( ) ( )

0

2

0

g

g

p

a g S

p

a g

g p

 ∆ >

 < α



α >









α <





> α





 α <



1 2

3

x x

x

<

< α <

α

α

x

x1

2

x

a > 0

1

x

x

1

x

x1

2

3

( ) ( )

2

CT CÐ

3

a f

a f b a

 ′∆ = − >



 <



 α <





′



α ≥





( )

( ) ( )

0

2

0

g

g

p

a g S

p

a g

g p

 ∆ >

 > α



α >









α >







< α





 α <



3 Các bài tập mẫu minh họa

Bài 1 Tìm m để đồ thị (C m): y=x3 −3(m+1)x2 +2(m2 +4m+1)x−4m m( +1)

cắt Ox tại x x1, 2,x3phân biệt và > 1

Giải: Xét PT: x3 −3(m+1)x2 +2(m2 +4m+1)x−4m m( +1)= 0

⇔ (x−2)[x2 −(3m+1)x+2m m( +1)]= ⇔ 0 (x−2) (x−2m)[x−(m+1)]= 0

2

m





> + >



Bài 2 Tìm m để đồ thị (C m): y=x3 −2mx2 +(2m2 −1)x+m(1−m2)

cắt Ox tại x x1, 2,x3phân biệt và > 0

Giải: Xét PT: x3 −2mx2 +(2m2 −1)x+m(1−m2)= 0

⇔ (x−m x)[ 2 −mx+m2 −1]= ⇔ 0 x=m ∨ g x( )=x2 −mx+m2 − = 1 0

Yêu cầu bài toán ⇔ m > 0 và g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt > 0 và khác m

2 2

0

1 4

3

m

m m

>



< <

Bài 3 CMR: (C): ( )3 ( )3 3

y= x+a + x+b −x luôn cắt Ox tại đúng 1 điểm

f x = x+a + x+b −x =x + a+b x + a +b x+ a +b

y′ = x + a+b x+ a +b = ⇔g x =x + a+b x+ a +b =

• Nếu ∆ =′g ab ≤ thì y = f (x) không có cực trị nên (C) cắt Ox tại 1 điểm 0

• Nếu ab > 0 thì g(x) = 0 hay ƒ′(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 đồng thời

hàm số đạt cực trị tại x1, x2 Thực hiện phép chia ƒ(x) cho g(x) ta có:

( ) [ ( )] ( ) [4 ( )]

f x = x+ a+b g x −ab x+ a+b

Do g x( )1 =g x( )2 = nên 0 f x( )1 = −ab4x1+(a+b);f x( )2 = −ab4x2 +(a+b)

f f = f x f x =a b  x + a+b    x + a+b 

( ) ( )2 ( )2 ( )2

⇒ (C): y = f (x) luôn cắt Ox tại đúng 1 điểm

Bài 4 Tìm m để (C m): y= f x( )=x3 −3mx2 +3(m2 −1)x+(1−m2)cắt Ox tại

1, 2, 3

x x x phân biệt và > 0

⇔

( )

1 2

1 CÐ

f

′











cã nghiÖm

(*)

• Xét (1): f′( )x =3(x2 −2mx+m2 −1)= ⇔0 g x( )=x2 −2mx+m2 − = 1 0

• Xét (2): Thực hiện phéo chia ƒ(x) cho g(x) ta có:

( ) ( ) ( ) 2 ( 2 1)( 1)

f x = x−m g x − x+ m − m− Do g x( )1 =g x( )2 = nên 0

f x = − x + m − m− f x = − x + m − m−

f f = f x f x = x x − m − m−  x +x − m − m− 

y

x1 x1

x2 x2 x3

( 2 ) ( 2 )( ) ( 2 )( ) ( 2 )( 2 )( 2 )

• Xét (3), (4): x1=m− > ⇔1 0 m> ; 1 f( )0 = −1 m2 < ⇔0 m2 > Hệ (*) ⇔ 1

( 2 1) ( 2 3) ( 2 2 1) 0 ( 2 3) 2 2 1] 0



⇔

⇔ < < +

Bài 5 Tìm m để đồ thị (C m):y= f x( )=x3 −3x2 +3 1( −m x) + +1 3m

cắt Ox tại x1< <1 x2 <x3

Giải: Xét phương trình: f x( )= ⇔0 x3 −3x2 +3x+ =1 3m x( −1) (*)

( )

3 3 2 3 1

x

2 2

g x

x

−

Nghiệm của phương trình ƒ(x) = 0 là

hoành độ giao điểm của đường thẳng

y = m với (L): y = g(x)

Nhìn bảng biến thiên ta có:

Đồ thị (C m) cắt Ox tại x1< <1 x2 <x3 ⇔3m> ⇔3 m> 1

Bài 6 Tìm m để đồ thị (C m):y= f x( )=x3 −x2 +18mx−2m

cắt Ox tại x1< <0 x2 <x3 phân biệt

Giải: Xét f x( )=x3−x2+18mx−2m= ⇔0 2m(9x−1)= −x3+x2 (*)

x

2 2

x x

g x

x

Nghiệm của phương trình ƒ(x) = 0

là hoành độ giao điểm của đường

thẳng y = 2m với (L): y = g(x)

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

ƒ(x) = 0 có nghiệm thoả mãn

x < <x <x ⇔ 2m < 0 ⇔ m < 0

3 +∞

f

−∞

0

−∞

+∞

−∞

f

+∞

−∞

+∞

3

+∞

4 Tương giao hàm bậc 3 với Ox có hoành độ tạo thành cấp số

Bài toán gốc 1: Tìm điều kiện tham số để (C): y=ax3 +bx2 +cx+d a( ≠0) cắt

Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng

Điều kiện cần: Giả sử (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là ÷ x1, x2, x3 khi đó:

ax +bx +cx+d=a x−x x−x x−x ∀x

ax bx cx d a x x x x x x x x x x x x x x x  x

Đồng nhất hệ số bậc 2 ở 2 vế suy ra:

( 1 2 3) ( 1 3) 2 3 2 2

3

b

a

−

Thế 2

3

b

x

a

−

= vào f x( )=ax3+bx2 +cx+d = ⇒ điều kiện ràng buộc về tham số 0 hoặc điều kiện của tham số

Điều kiện đủ: Thử giá trị của tham số kiểm tra ƒ(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số

Chú ý: Theo qui ước 1 cấp số cộng được hiểu phải có công sai khác 0 nên nếu

không cho cụ thể yêu cầu 3 điểm phân biệt thì ta vẫn phải hiểu luôn có ràng buộc 3 điểm phân biệt trong dạng toán trên

Bài toán gốc 2: Tìm điều kiện tham số để (C): y=ax3 +bx2 +cx+d ad( ≠0) cắt

Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân

Điều kiện cần: Giả sử (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là cấp số nhân x1, x2, x3,

ax bx cx d a x x x x x x x x x x x x x x x  x

d

a

−

x

a

−

= vào phương trình f x( )=ax3 +bx2 +cx+d= 0

ta được các điều kiện ràng buộc về tham số hoặc điều kiện của tham số

Điều kiện đủ: Thử giá trị của tham số kiểm tra ƒ(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số

Hệ quả: Nếu a =1 thì 3

2

x = − , khi đó:d f x( )2 = ⇔ 0 ( )2

0

c⋅ − = = − ⋅d b d ⇔ −c d= −b d ⇔c =b d

Bài tập áp dụng 1: Tìm m để (C m):

hoành độ lập thành 1 cấp số cộng

Điều kiện cần: Giả sử (C m ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là ÷ x1, x2, x3 khi đó:

⇒ 3m=x1+x2 +x3=(x1+x3)+x2 =3x2⇒x2 =m Thế x2 =m vào f x( )= ⇒ 0

Với m = 1 thì f x( )=x3 −3x2 −6x+ = ⇔8 0 (x−1)(x2 −2x−8)= 0

(x 2) (x 1) (x 4) 0

Kết luận: (C m ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng ⇔ m = 1

Bài tập áp dụng 2 : Tìm m để (C m): y=f x( )=x3−(3m+1)x2 +(5m+4)x − cắt Ox tại 3 8 điểm phân biệt có hoành độ lập thành 1 cấp số nhân

Điều kiện cần: Giả sử (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là cấp số nhân x1, x2, x3,

8=x x x =x ⇒x = 2

Thế x2 = vào phương trình 2 f x( )= ⇒ 0 2 2( −m)= ⇔0 m= 2

Điều kiện đủ: Với m = 2 thì f x( )=x3 −7x2 +14x− = 8 0

(x 1) (x 2) (x 4) 0

III TƯƠNG GIAO HÀM BẬC 4 VỚI O x CÓ HOÀNH ĐỘ TẠO THÀNH CẤP SỐ

Bài 1 Tìm m để (C m): y= f x( )=x4 −2(m+1)x2 +2m + cắt Ox tại 4 điểm 1 phân biệt lập thành 1 cấp số cộng

Xét phương trình: f x( )= ⇔0 x4 −2(m+1)x2 +2m+ = (1) Đặt 1 0

t=x f x =g t =t − m+ t+ m+

Yêu cầu bài toán ⇔ ƒ(t) = 0 có 2 nghiệm t2 > t1 > 0 sao cho (1) có sơ đồ nghiệm:

Ta có: x4 −x3 =x3 −x2 =x2 −x1 ⇔ x4 −x3 =x3 −x2 ⇔

t − t = t − − t ⇔ t = t ⇔ t2 =9t1 > Yêu cầu bài toán 0

2

1 2

1

1

9

m

−

′





⇔

2

9

4

5

m

m

m

−

 =





Bài 2 Tìm a để PT 16x4 −ax3 +(2a+17)x2 −ax+16= có 4 nghiệm phân 0 biệt lập thành 1 cấp số nhân

0

ax +bx +cx +dx+ = , e (a≠0) có 4 nghiệm

1, 2, 3, 4

x x x x khi đó ta có:

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

b

a

c

x x x x x x x x x x x x

a







Áp dụng:

Điều kiện cần: Nếu x = α là một nghiệm thì α ≠ 0 và x= 1

α cũng là nghiệm Không mất tính tổng quát giả sử 4 nghiệm là: ÷÷ α α α, q, q2,αq3 với α ≠ 0

và q > ⇒ 1 α < α < αq q2 < αq3 Do

1

t

2

t

−

3 1 2 / 3

1/ 3 1/ 3 1

ta có:

1/ 3 1/ 3 1

4 / 3 2 / 3 2 / 3 4 / 3

16

1 1

16

a

a





+



Đặt t= α1/ 3+ α−1/ 3 ≥2 α1/ 3.α−1/ 3 =2 ⇒

3

2 16

16

a

a





+



⇒ 16(t4 −3t2+2)−32(t3 −2t)−17=0⇔(2t−5 2)( t−3 4)( t2−4t−1)= 0

2t−5 2t−3  2t−1 −2=0 Do t ≥ 2 nên suy ra 5

2

16x −170x +357x −170x+16= 0

⇔ (8x−1 2) ( x−1) (x−2) (x−8) = 0 ⇔ ÷÷ 1 1; 2 1; 3 2; 4 8

x = x = x = x =

Kết luận: Từ điều kiện cần và điều kiện đủ suy ra đáp số a = 170

IV TƯƠNG GIAO ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ

Bài 1 Tìm m để (∆): y = m cắt đồ thị (C): 2 1

1

x mx y

x

=

phân biệt sao cho OA ⊥ OB

Giải:
Xét PT:

2

1

(∆): y = m cắt (C) tại A, B phân biệt ⇔

2

,

1

m m

≠ <



< − ≠

⇔

= −

(*)

Ta có: OA ⊥ OB ⇔

2

1

OA OB

k k

1 0

2

Bài 2 Tìm m để (∆):y=mx− cắt (C): 1 2 1

2

y x

=

biệt thuộc cùng 1 nhánh của (C)

2

x

Do (C) có tiệm cận đứng x = −2 nên (∆) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc

cùng 1 nhánh của đồ thị (C) ⇔

( ) ( )

0

m m

m m

′

∆ >

− >



Bài 3 Tìm m để ( :∆) y=3x− cắt (C): 2 2 (2 1) 3

1

y

x

=

biệt thuộc 2 nhánh của (C)

2

2

x

− ≠ ⇔ ≠



1

x

≠



cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của đồ thị (C)

2

m



<



Bài 4 (Đề thi TSĐH khối A năm 2004) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ

thị (C):

y

x

=

x

⇔ g x( )=x2 +(2m−3)x−2m+ = 3 0

Ta có y = m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt

2

Bài 5 Tìm m để (d): mx−y−m= cắt đồ thị (C) 0 2 2 4 10

1

y

x

=

A, B phân biệt sao cho AB có độ dài ngắn nhất

Giải: Xét phương trình

2

2

1

x

Ta có (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt

AB = +m x −x − x +x − x x  +m

2

32

Lập bảng biến thiên suy ra với m= − −2 5 thì MinAB=8 2+ 5

Bài 6 Cho (C): 2 1

1

x y x

+

=

− và A(−2, 5) Xác định đường thẳng (D) cắt (C) tại 2 điểm B, C sao cho ∆ABC đều

x

y

+

x y

=





=

⇒ Phân giác tạo bởi 2 tiệm cận: ( )l :y= − + x 3

•

( )2

1

y

x

−

−

⇒ Hàm số nghịch biến

⇒ Đồ thị (C) có dạng như hình vẽ

Do A(−2, 5)∈(l) là trục đối xứng của (C) nên

đường thẳng (D) cần tìm phải vuông góc với (l)

⇒ (D): y = x + m

1

−

phân biệt và ∆ABC cân tại A

1 2

-1 -1/2

O

x

y

5

-2 A

l

( ) (D)

Giả sử (D) ∩ (l) ≡ I ⇒ (3 ,3 )

2 2 7

2

m

Gọi B x x( 1, 1+m C x); ( 2,x2 +m) ⇒ 2 ( )2 ( )2

BC = x −x =  x +x − x x 

BC =  −m + m+ = m − m+

∆ABC đều ⇔ 3BC2 =4AI2 ⇔3(m2 −2m+13)=(7−m)2

5

m

m

=



= −

( ) ( )

y x

y x





Bài 7 Tìm m để đường thẳng đi qua 2 giao điểm của (C1): 2 1

2

y x

=

1

y

x

=

3

y= x+

2

y x

x

= − +

+ và (C2):

3 1

x

+ Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình:

k

+ = (k ≠ 0), khi đó (1) ⇔ g x( )=x2 +(2k+3)x+5k+ = 2 0 Giả sử (C1), (C2) cắt nhau tại A x y( 1, 1),B x( 2,y2), khi đó:

1 2

1 2

x x k



k

2 1

khi đó g x( )=x2 −3x−13= có 0 ∆ > g 0