Phần 1: Hệ phương trình ppt

Phần I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 1. Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:    =++ =++ 0''' 0 cybxa cbyax , ( ) ( ) 0 0'' 22 22 ≠+ ≠+ ba ba 2. Phương pháp giải: - Áp dụng phép biến đổi tương đương như quy tắc cộng đại số và phép thế mà ta đã học. - Dùng định thức. Giải hệ phương trình:    =++ =++ 0''' 0 cybxa cbyax , ( ) ( ) 0 0'' 22 22 ≠+ ≠+ ba ba B1: Tính các biểu thức: caac ca ca D bccb bc bc D baab ba ba D y x '' '' '' '' '' '' −== −== −== B2: Xét các trường hợp : Nếu D 0 ≠ , hệ có nghiệm duy nhất ( ) ;x y trong đó D D y D D x y x == ; Nếu D = 0; ta xét đến x D , y D • Nếu x D 0 ≠ hoặc y D 0 ≠ hệ vô nghiệm • Nếu x D = 0 và y D = 0. Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tập nghiệm của phương trình 0ax by c+ + = . 3. Bài tập áp dụng: Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:    =− =− 897 345 yx yx Giải: B1: Tính các biểu thức : 17 97 45 −= − =D 19 87 35 5 98 43 == = − − = y x D D B2: Nhận thấy rằng D = -17 0 ≠ nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất 5 19 ; ; 17 17 y x D D D D     = −  ÷  ÷     Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình: ( )    =−+ −=+ mymx mymx 12 4 Giải: B1: Tính các biểu thức: ( )( ) ( ) ( )( ) 2482 2 4 244 1 14 212 12 1 2 2 2 2 −+=−+= − = −−=−+−= − − = −+=−−= − = mmmm m mm D mmm mm m D mmmm m m D y x B2: Ta xét các trường hợp sau:     ≠ −≠ ⇔≠ 2 1 0 m m D . Khi đó, hệ phương trình có duy nhất nghiệm là: ( )       + + + − −=         = 1 4 ; 1 2 ;; m m m m D D D D yx y x     = −= ⇔= 2 1 0 m m D . Với 1m = thì x D = -9 0≠ (Hệ vô nghiệm). Với 2m = thì x y D D= = 0 nên hệ có vô số nghiệm ( ) yx; và được tính theo    −= ∈ xy Rx 22 4. Ứng dụng: Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng. Cho hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình tổng quát: (d 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; (d 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 = 0; Tùy theo giá trị của tham số hãy xác định vị trí tương đối của (d 1 ) và (d 2 ). Phương pháp chung Thực hiện theo các bước sau: Bước 1. Thiết lập hệ phương trình tạo bởi (d 1 ) và (d 2 ) là: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 A x B y C 0 A x B y = - C A x B y C 0 A x B y = - C + + = +   ⇔   + + = +   Bước 2. Bằng việc biện luận (I) ta có được vị trí tương đối của (d 1 ) và (d 2 ) cụ thể là: • Nếu(I) vô nghiệm ( ) 1 2 ( ) .d d⇔ P • Nếu (I) có nghiệm duy nhất ( ) ( ) 1 2 , . y x D D d d M D D       ⇔ ∩ =    ÷       • Nếu (I) có vô số nghiệm ( ) ( ) 1 2 .d d⇔ ≡ Ví dụ: Cho a 2 + b 2 > 0 và hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) có phương trình: (d 1 ): (a – b)x + y = 1 và (d 2 ): (a 2 – b 2 )x + ay = b. a. Xác định giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ). b. Tìm điều kiện với a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành. Giải: a. Xét hệ phương trình tạo bởi (d 1 ) và (d 2 ) có dạng: ( ) ( ) 2 2 1a b x y a b x ay b  − + =   − + =   Ta có D = b 2 – ab, D x = a – b, D y = ab – a 2 . Vậy, suy ra: ( ) ( ) { } 2 1 2 0 0,d d I D b ab∩ = ⇔ ≠ ⇔ − ≠ Khi đó giao điểm I có tọa độ 1 , . a I b b   = −  ÷   b. Điểm I ∈ Ox. 2 0 0 0. 0 b ab a a b b  − ≠ =   ⇔ ⇔   ≠ =    Tìm tham số m để hai phương trình bậc hai có nghiệm chung. Ví dụ : Với giá trị nào của m thì 2 phương trình sau có nghiệm chung: 2x 2 + mx – 1 = 0 và mx 2 – x + 2 = 0. Giải: Các phương trình trên có nghiệm chung ⇔ hệ sau có nghiệm: 2 2 2 1 0 2 0 x mx mx x  + − =  − + =  Đặt x 2 = y ta được hệ: 2 1 2 mx y x my + =   − =  Ta có: D = - m 2 – 2; D x = - m – 4; D y = 2m – 1. Vì D ≠ 0, ∀ m, hệ có nghiệm duy nhất 2 2 4 1 2 à y = 2 2 m m x v m m + − = + + Do x 2 = y nên ta phải có: 2 2 2 3 4 1 2 = 2 2 + 6m + 7 = 0 m = -1. m m m m m + −    ÷ + +   ⇔ ⇔ Vậy với m = -1 hai phương trình có nghiệm chung x = 1. II.Hệ phương trình bậc cao hai ẩn : 1.Định nghĩa Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn trong đó có ít nhất một phương trình có bậc lớn hơn 1. 2.Các dạng phương trình thường gặp a) Hệ phương trình đối xứng loại một: Trong mỗi phương trình khi thay thế x bởi y hoặc y bởi x thì phương trình không thay đổi. Phương pháp: Đặt S x y= + và P xy= + Tìm ,S P + Khi đó ,x y là nghiệm của phương trình 2 0X SX P− + = Chú ý: Nếu trong hệ xuất hiện x y− thì đặt t y = − và đặt S x t = + , P xt = Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại I được trình bài ở trên, trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp: 1. Phương pháp thế: bởi rất nhiều hệ đối xứng là hệ “ Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩn”. 2. Phương pháp đồ thị. 3. Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng cho hệ với yêu cầu “tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất”. Khi đó ta thực hiện các bước: Bước 1. Điều kiện cần • Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x 0 , y 0 ) thì (y 0 , x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x 0 = y 0 . • Thay x 0 = y 0 ta được giá trị tham số. Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất. Bước 2. Điều kiện đủ. 4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki. 5. Nhận xét về miền nghiệm. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Giải: Hệ phương trình được viết lại Đặt S = x + y, P = xy Khi đó với: x, y là nghiệm của phương trình: Với ⇒ là nghiệm phương trình: Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: 2 2 1x xy y m x y xy m + + = +   + =  a. Giải hệ khi m = 2 b. Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm thoã: x > 0, y > 0. Giải: Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ: 1S P m SP m + = +   =  ⇒ S, P là hai nghiệm của phương trình: 1 2 2 1 ( 1) 0 z z m z m z m =  − + + = ⇒  =  (*) a. Với m = 2 thế vào (*) ta được: 1 ( ) 2 2 ( ) 1 x y I xy x y II xy  + =    =    + =    =    . - Hệ (I) vô nghiệm. - hệ (II) có nghiệm x = y =1. b. Để hệ có nghiệm x, y > 0 : 2 2 1 4 4 1 0 0 0 4 4 2 0 0 m S P m m S m m P m  ≥   ≥    > < ≤     ⇔ > ⇔ ⇔     ≥  ≥  >    >    Ví dụ 3: Giải hệ phương trình    −=−+ =+−+ 1 2 22 yxxy yxyx . Giải: Nhận thấy trong hệ có x y− , ta đặt t y= − . Hệ thành: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 x t x t x t xt x t xt x t xt x t   + − − = + − − + =  ⇔   − + + = − − + + = −    Đặt S x t = + , P xt = . Hệ thành:    = = ∨    = −= ⇔    −=+− =−− 5 4 0 1 1 22 2 P S P S SP SPS    = −= 0 1 P S . Khi đó ,x t là nghiệm của phương trình: 2 0X X+ =           = −= ⇔    = −=    = = ⇔    −= = ⇔    −= = ⇔ 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 2 1 y x t x y x t x X X    = = 5 4 P S . Khi đó ,x t là nghiệm của phương trình: 2 4 5 0X X− + =           = −= ⇔    −= −=    = −= ⇔    −= −= ⇔    −= −= ⇔ 1 5 1 5 5 1 5 1 5 1 y x t x y x t x X X . Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ){ } 1;5;5;1;0;1;1;0 −−− Ví dụ 4: Cho hệ phương trình: 2 2 6 x y m x y  + =  + =  Giải: Ta có thể giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ như sau: Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x 0 , y 0 ) thì (y 0 , x 0 ) cũng là nghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x 0 = y 0 . Khi đó: (I) 2 0 0 2 18 2 6 x m m x  = ⇔ ⇒ =  =  Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất. Điều kiện đủ: Với m = 18, ta được: (I) 2 2 6 18 3 9 6 x y x y x y xy x y  + = + =  ⇔ ⇔ ⇔ = =   = + =   là nghiệm duy nhất. Vậy, với m = 18 hệ có nghiệm duy nhất. Ví dụ 5. Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 1 1 4 ( ) 1 1 4 x y x y I x y x y  + + + =     + + + =   Giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4.4x y x y x y x y     = + + + ≤ + + + =  ÷  ÷     Vậy hệ (I) tương đương với khả năng bất đẳng thức xảy ra dấu “=”. ⇔ x = y = 1 1 x y = = 1. Vậy nghiệm của hệ là: x = y= 1. Ví dụ 6 : Giải hệ phương trình : 2 2 3 3 1 1 x y x y  + =  + =  (1) (2) Giải : Ta có : (1) 3 2 3 3 2 2 3 2 1 1 1 x x x x y x y y y y  ≤  ≤  ⇒ ⇒ ⇒ + ≤ + ≤   ≤ ≤    (3) Từ phương trình (2) ta suy ra : bất đẳng thức (3) xảy ra dấu ‘=’. 3 2 3 2 0 1 1 0 x y x x y y x y   =     = =    ⇒ ⇒   = =      =     b) Hệ phương trình đối xứng loại hai: - Nhận dạng: Nếu thay thế đồng thời x bởi y và y bởi x thì phương trình thứ nhất biến thành phương trình thứ hai và ngược lại phương trình II biến thành phương trình I. - Phương pháp: B1: Trừ vế và biến đổi về ( ) ( ) 0, =− yxfyx [...]... g(0)=0 ⇔ phương trình (*) nghiệm đúng + với x>0, ta có g(x)>g(0)=0 ⇔ phương trình (*) vô nghiệm + với x . Phần I: HỆ PHƯƠNG TRÌNH A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: 1. Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:    =++ =++ 0''' 0 cybxa cbyax . nghiệm. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: Giải: Hệ phương trình được viết lại Đặt S = x + y, P = xy Khi đó với: x, y là nghiệm của phương trình: Với ⇒ là nghiệm phương trình: Vậy hệ phương trình. sử dụng các phương pháp: 1. Phương pháp thế: bởi rất nhiều hệ đối xứng là hệ “ Hệ gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩn”. 2. Phương pháp đồ thị. 3. Phương pháp