Phần 1: Hệ phương trình ppt

Vậy với m = -1 hai phương trình có nghiệm chung x = 1.II.Hệ phương trình bậc cao hai ẩn : 1.Định nghĩa Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn trong đó có ít nhất một phương trình cóbậc lớn h

2 2

≠ +

≠ +

b a

b a

= + +

0 ' ' '

0

c y b x a

c by ax

0 ' ' 2 2

2 2

≠ +

≠ +

b a

b a

B1: Tính các biểu thức:

c a ac c

'

' ' '

'

' ' '

D

x= x ; = y Nếu D = 0; ta xét đến D x, D y

• Nếu D x ≠ 0 hoặcD y ≠0 hệ vô nghiệm

• Nếu D x = 0 và D y= 0 Hệ có vô số nghiệm, tập nghiệm của hệ là tậpnghiệm của phương trình ax by c+ + = 0.

3 4 5

y x

y x

Giải:

B1: Tính các biểu thức : 17

9 7

4 5

3 5

5 9 8

4 3

m

x

m y

4

2 4

4 1

1 4

2 1 2

1 2

1

2

2 2

2

− +

=

− +

m m

m m

D

m m

m m

m

m

D

m m m

m m

m m

D Khi đó, hệ phương trình có duy nhất nghiệm là:

m D

D D

(d1): A1x + B1y + C1 = 0;

(d2): A2x + B2y + C2 = 0;

Tùy theo giá trị của tham số hãy xác định vị trí tương đối của (d1) và (d2)

Phương pháp chung

Thực hiện theo các bước sau:

Bước 1 Thiết lập hệ phương trình tạo bởi (d1) và (d2) là:

• Nếu(I) vô nghiệm ⇔ ( )d1 P( )d2

• Nếu (I) có nghiệm duy nhất ( ) ( )1 2 D x,D y .

Cho a2 + b2 > 0 và hai đường thẳng (d1) và (d2) có phương trình:(d1): (a – b)x + y = 1 và (d2): (a2 – b2)x + ay = b.

a Xác định giao điểm của (d1) và (d2)

b Tìm điều kiện với a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành

Vậy với m = -1 hai phương trình có nghiệm chung x = 1.

II.Hệ phương trình bậc cao hai ẩn :

1.Định nghĩa

Là hệ gồm hai phương trình hai ẩn trong đó có ít nhất một phương trình cóbậc lớn hơn 1

2.Các dạng phương trình thường gặp

a) Hệ phương trình đối xứng loại một:

Trong mỗi phương trình khi thay thế x bởi y hoặc y bởi x thì phương trìnhkhông thay đổi

Nếu trong hệ xuất hiện x y− thì đặt t = −y và đặt S = +x t,P xt=

Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại I được trình bài ở trên,trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp:

1 Phương pháp thế: bởi rất nhiều hệ đối xứng là hệ “ Hệ gồm mộtphương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất của hai ẩn”

2 Phương pháp đồ thị

3 Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng cho hệ với yêu cầu

“tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất” Khi đó ta thực hiện cácbước:

Bước 1 Điều kiện cần

• Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0, y0) thì (y0, x0) cũng là nghiệmcủa hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x0 = y0

• Thay x0 = y0 ta được giá trị tham số Đó chính là điều kiện cần để hệ

Khi đó với: x, y là nghiệm của phương trình:

Vậy hệ phương trình có bốn cặp nghiệm

a Với m = 2 thế vào (*) ta được:

= +

− +

1

2 2

2

y x xy

y x y x

1 1

2 2

2

P

S P

S S

P

S P S

1

0 1

0 1

0 2 1

y

x t

x

y

x t

x X

5

5

1 5

1 5

1

y

x t

x

y

x t

x X

Ta có thể giải bằng phương pháp điều kiện cần và đủ như sau:

Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0, y0) thì (y0, x0) cũng lànghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x0 = y0

=



Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất

Điều kiện đủ: Với m = 18, ta được:

(I)

3 9

6

x y

x y

x y xy

x y

b) Hệ phương trình đối xứng loại hai:

- Nhận dạng: Nếu thay thế đồng thời x bởi y và y bởi x thì

phương trình thứ nhất biến thành phương trình thứ hai và ngược lại phươngtrình II biến thành phương trình I

B1: Trừ vế và biến đổi về (x−y) ( )f x,y = 0

B2: Xét x y− = 0

Xét f( )x,y = 0 có 3 cách

C1: Cộng hai vế phương trình trên và giải với f( )x,y = 0

C2: Dùng phương pháp thế

C3: Chứng minh f( )x,y = 0 vô nghiệm

Ngoài phương pháp chung để giải hệ đối xứng loại hai được trình bày ở trên,trong nhiều trường hợp ta còn sử dụng các phương pháp:

1 Phương pháp đồ thị

2 Phương pháp điều kiện cần và đủ: được áp dụng rất tốt cho hệ với yêucầu “tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm duy nhất” Khi đó ta thực hiệntheo các bước:

Bước 1 Điều kiện cần

• Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0, y0) thì (y0, x0) cũng là nghiệmcủa hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất khi: x0 = y0

• Thay x0 = y0 vào một phương trình của hệ và tìm điều kiện của tham

số để hệ phương trình đó có nghiệm duy nhất, khi đó ta được giá trị củatham số

• Đó chính là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2 Điều kiện đủ

1 3 2 2

2

x y y

y x x

0 0

5 2

x x

x

y x y x x

y x

⇔

= +

+

1

2 2

1 2

3

1 2

3

0 1 0

y

x y

x y x x

x y y x x

y x y

x

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm: S ={ ( ) ( ) (0 ; 0 ; 5 ; 5 ; − 1 ; 2) ( ); 2 ; 1}

( 1) ( 1)

Giải:

Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ như sau:

Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu hệ có nghiệm (x0, y0) thì (y0, x0) cũng lànghiệm của hệ, do đó hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0

2

2

8( 1) 8( 1)

Vậy, với m = 8 hệ có nghiệm duy nhất.

Chú ý: Nếu hệ có một phương trình đẳng cấp và vế trái bằng 0 thì ta cũng

giải theo cách trên

1 3 4

5 3

2 2

2 2

x xy y

y xy x

1 3 4

5 3

2 2

2 2

t t x

t t x

2 2

t

t t

• Xét x = 0 suy ra phương trình vô nghiệm.

Phương pháp này chủ yếu là sử dụng các kĩ năng biến đổi đồng nhất đặc biệt

là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hề về dạng đơn giản rồi thế vàophương trình đơn giản

LOẠI 1 Trong hệ phương trình bậc nhất với ẩn x hoặc y, khi đó ta tìm cách

rút y theo x hoặc ngược lại.

LOẠI 3 Một PT của hệ là phương trình bậc hai theo một ẩn, chẳng hạn đó

là ẩn y Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn y được qua x bằng cách giải

4 1

x

y x y

x

y x y

LOẠI 1 Một phương trình trong hệ có dạng f(x) = f(y), phương trình còn lại

giúp ta giới hạn được x, y để trên đó hàm số f đơn điệu Từ đó suy ra x = y

LOẠI 2 Hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến một trong hai

phương trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) trong đó f là hàm đơn

1 3

1 3

b a

Từ đó PT (3) ⇔a = b thay vào phương trình (1) ta được

2 1 3a

Theo nhận xét trên thì a+ a2 + > 1 0 nên PT (4)

2 2

Tương tự với x < 2 ta cũng suy ra điều vô lí

Vậy nghiệm của hệ là x = y = 2.

x y z

Thật vậy, từ hệ ta có: x=f(f(f(x))) và f(x) đồng biến trên I khi đó:

âu thuẫn với hệ

Do đó f(x) = x từ đó tìm được nghiệm của hệ.

Ví dụ: giải hệ phương trình:

sin 0 sin 0 sin 0

+ với x=0, ta có g(0)=0⇔ phương trình (*) nghiệm đúng

+ với x>0, ta có g(x)>g(0)=0⇔ phương trình (*) vô nghiệm

+ với x<0, ta có g(x)<g(0)=0⇔ phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=0

Vậy nghiệm của hệ là: x=y=z=0

II Hệ phương trình 3 ẩn bậc cao:

Đối với các hệ phương trình này chúng ta chủ yếu dùng phương phápđánh giá và biến đổi đại số

Với z = 1 hệ phương trình có dạng:

1 1

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( , , ), ( , , )x y z1 1 1 x y z2 2 2

* Đối với hệ lặp 3 ẩn bậc cao ta cũng có cách giải tương tự như trên

Ví dụ :

Giải hệ phương trình :

Giải :

Xét hàm số f Khi đó hệ có dạng:

Hàm f có tập giá trị I = Hàm đồng biến khi t >

Ta chứng minh f Thật vậy, từ hệ có và đồngbiến trên I Khi đó:

Cách bước giải phương trình vô tỷ:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình.

Bước 2: Lực chọn phương pháp thực hiện:

Phương pháp 1: Biến đổi tương đương.

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ:

1 Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ.

2 Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.

3 Sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ.

4 Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x.

a) Giải phương trình với m= 1.

b) Giải và biện luận phương trình.

- Với m= 0 Khi đó ( )2 vô nghiệm do đó ( )1 vô nghiệm.

- Với m≠ 0 Khi đó ( )I có nghiệm ⇔( )2 có nghiệm thoả mãn x≥ −m

2 1

2 1 0 2

Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

1 Nếu bài toán chứa f x( ) và f x( ) có thể:

Đặt t= f x( ) , điều kiện tối thiểu t≥ 0, khi đó ( ) 2

Đặt x= a sint với ,

2 2

t∈ − π π 

  hoặc x= a cost với t∈[ ]0, π .

5 Nếu bài toán chứa 2 2

  hoặc đặt x= a cotgt với t∈(0, π)

7 Nếu bài toán chứa a x a x+− hoặc a x a x−+ có thể đặt x acos t= 2

8 Nếu bài toán chứa (x a b x− ) ( − ) có thể đặt x a= + −(b a sin t) 2 .

Chú ý: Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng

phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ.

Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ đối với các phương trình vô tỉ,

ta có thể lựa chọn một trong các phương pháp sau:

Vậy phương trình có hai nghiệm x= 1,x= 2.

2

2

1 1

1

x x

x

+ +

Phương trình được biến đổi về dạng:

( )

2 2

*

4sin os2 2 os2 2 cos sin sin 4

2sin os2 1 os2 2sin os2 2sin os2 sin sin 0

1 2sin sin sin 0 sin 1 2sin 1 sin 0

Phương pháp này thường được sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp.

Khi đó thường ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x) có biệt số ∆ là một số chính phương.

2 1 0

1 5 1

m a f x− +m b f x+ =c

Ta có thể đặt:

( ) ( )

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương

1 Các hệ thu được thông thường là các hệ đối xứng.

2 Ở đây chúng sẽ đi xem xét hai dạng toán cơ bản:

Dạng 1: Phương trình chức căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai

( )

( ) ( )

2 2

1 2

- Với ( )3 thay vào ( )1 , ta được một phương trình bậc hai theo x.

- Với ( )4 thay vào ( )1 , ta được một phương trình bậc hai theo x.

Nhận xét: Để sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo

biến đổi phương trình ban đầu về dạng thoả mãn điều kiện ( )* .

Dạng 2: Phương trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba

3 3

1 2

- Với ( )3 thay vào ( )1 , ta được một phương trình bậc hai theo x.

- Với ( )4 thay vào ( )1 , ta được một phương trình bậc hai theo x.

Với x=y vào ( )1 được: x2 + 3x+ = 3 0 vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.