THAM LUẬN XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM Bài toán dạng này thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào Đại học & Cao đẳng và thuộc vào
Trang 1THAM LUẬN
XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Bài toán dạng này thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào Đại học & Cao đẳng và thuộc vào loại khó đối với học sinh Để giúp học sinh có một cách nhìn bài toán rõ ràng và biết cách giải quyết nó Chúng tôi xin trích dẫn một số đề thi vào Đại học & Cao đẳng các năm qua và đưa ra cách giải , qua đó giúp học sinh nắm được phương pháp giải Cuối mỗi phần có bài tập tương tự để học sinh kiểm tra kỹ năng tiếp thu của mình.
I.Xác định tham số để phương trình có nghiệm trên tập D
A Phương pháp giải:
+Biến đổi (có thể đặt ẩn phụ) đưa về dạng f(x) = m (hoặc f(t) = m)
+Lập BBT hàm số suy ra kết quả
*Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực:
m( 1+x2 − 1−x2 + =2) 2 1−x4 + 1+x2 − 1−x2 (1) ( ĐH khối B – 2004 )
HD: ĐK − ≤ ≤1 x 1 Đặt t = 1+x2 − 1−x2 Lập BBT suy ra 0≤ ≤t 2, ∀ ∈x [– 1; 1]
(1) trở thành: m(t + 2) = 2 – t2 + t ⇔m =
2
t
− + + + (2) +Phương trình (1) có nghiệm ⇔(2) có nghiệm t∈[0; 2]
2
t
− + +
+ Lập BBT từ đó suy ra : phương trình có nghiệm ⇔ 0≤ ≤m 1
*Ví dụ 2: Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:
x2+mx+ =2 2x+1 (1) (ĐH khối B – 2006)
HD: (1) 22 1 0 2
x
+ ≥
1 2
x
≥ −
⇔
1
0 2
1
x
x
− ≤ ≠
= + −
(1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiệm phân biệt x [ 1;0) (0; )
2
+Đặt f(x) = 3x + 4 1
x
− Lập BBT từ đó suy ra :phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔m 9
2
≥
*Ví dụ 3:Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực:
3 x− +1 m x+ =1 24 x2−1 (1) (ĐH khối A – 2007)
HD: ĐK x≥1 Ta có (1) ⇔ 1 4 1
m
+Đặt t = 4 1
1
x
x
−
+ , 0≤ <t 1 thì (2) trở thành: m = – 3t
2 + 2t (3) +(1) có nghiệm ⇔(3) có nghiệm t∈[0; 1)
1
Trang 2*Ví dụ 4:Xác định các giá trị m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 ]3
2 2
log x+ log x+ −1 2m− =1 0 (1) (ĐH khối A – 2002)
HD: Đặt t = 2
3
log x+1 thì (1) trở thành t2 + t – 2m – 2 = 0 ⇔m = 1
2(t
2 + t – 2) (2)
3
1≤ ≤x 3 ⇔ ≤0 log x≤ 3⇒1≤ ≤t 2
+ (1) có ít nhất một nghiệm x∈[1; 3 ] 3 ⇔(2) có ít nhất một nghiệm t∈[1; 2]
+ Đặt f(t) = 1
2(t
2 + t – 2) Lập BBT suy ra kết quả: 0≤ ≤m 2
*Ví dụ 5: Xác định các giá trị m để phương trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt :
x+ 9− = − +x x2 9x m+ (1)
x
≤ ≤
2 + 2t + 9 = m (3)
t = x(9−x) ⇔ 2 0
t
≥
0
t
≥
t
t
≥
∆ = − >
9 0
2
t
≤ <
+ Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔phương trình (3) có 2 nghiệm phân biệt t [0, )9
2
∈ +Đặt f(t) = – t2 + 2t + 9 Lập BBT suy ra kết quả 9≤ <m 10
B Một số bài tập tương tự để luyện tập:
Bài 1:Xác địnhcác giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực:
3+ +x 5− +x (3+x)(5−x)=m (1)
HD: ĐK 3− ≤ ≤x 5 Đặt t = 3+ +x 5− ⇒x t2 = 8 + 2 (3+x)(5−x)
BĐT Cô-Si: 2 (3+x)(5−x) ≤8⇒8≤ t2 ≤ 16 ⇒2 2≤ ≤t 4
2
t
t+ − =m (2) Phương trình (1) có nghiệm ⇔(2) có nghiệm t [2 2; 4]∈
2
t
Lập BBT suy ra kết quả 2 2≤ ≤m 8
Bài 2:Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thực:
x− +1 4m x4 2− + +3x 2 (m+3) x− =2 0 (1)
HD:ĐK x≥2 Ta có (1) ⇔ 4 2 2
1
x
x
−
− , 0≤ <t 1thì (2) trở thành: 1 + 4mt + (m + 3)t
2 = 0 ⇔m(t2 + 4t) = – 3t2 – 1 (3)
+Vì t = 0 không thỏa (3) , nên với 0 < t < 1 thì (3) tương đương m =
2
2
4
t
+ (4) +(1) có nghiệm⇔(4) có nghiệm t∈(0; 1)
Trang 3-Đặt f(t) =
2
2
4
t
3 4
≤ −
Bài 3:Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt :
mx2−2(m+3)x+3m+ = −1 x 1 (1)
x
≥
2
2
1
4 (2)
x
m
≥
+(1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiệm phân biệt x [1;∈ +∞)
+ Đặt f(x) = 2 2 4
+
5
4
2≤ <m
Bài 4: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm thuộc nửa khoảng [32; +∞)
2
log x+log x− =3 m(log x −3) (1)
HD: Đặt t = log x , với x∈[32; +2 ∞)⇔t∈[5; +∞)
+(1) trở thành t2− − =t 3 m t( − ⇔3) 2 3
3
t
− −
+(1) có nghiệm x∈[32; +∞)⇔(2) có nghiệm t∈[5; +∞)
3
t
− −
t
− +
⇒f(t) nghịch biến trên [5; +∞) Từ đó suy ra kết quả 1 < m 17
2
Bài 5: Xác định các giá trị m để phương trình sau có nghiệm duy nhất
9x – (m – 1)3x + 2m = 0 (1)
HD: Đặt t = 3x , t > 0 Phương trình (1) trở thành t2 – (m – 1)t + 2m = 0⇔m(t – 2) = t2 + t (2) + Vì t = 2 không thỏa (2) Với 0 < t 2≠ thì (2) tương đương m = 2
2
t
+
− (3) + (1) có nghiệm duy nhất ⇔(3) có đúng 1 nghiệm trên (0; +∞) \ {2}
+ Đặt f(t) = 2
2
t
+
− Lập BBT suy ra kết quả m∈ −∞( ;0)∪ +{5 2 6}
Bài 6:Xác định các giá trị m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt
(m−1) log (23 x− −2) (m−5) log (3 x− + − =2) m 1 0 (1)
HD: Với ĐK x > 2 , đặt t = log (3 x−2) thì (1) trở thành
(m – 1)t2 – (m – 5)t + m – 1 = 0 ⇔m(t2 – t + 1) = t2 – 5t +1⇔m = 22 5 1
1
− +
+ (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔(2) có 2 nghiệm phân biệt
+ Đặt f(t) =
2
2
5 1 1
− +
− + Lập BBT suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt ⇔
7 3
3 1
m m
− < <
≠
Trang 42
2
x
HD: + Với x > 0, đặt log x = t Khi đó phương trình (1) có dạng:2
1
t
≥
2
1 1
4
t t
≥
≥
(2)
+ Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm
⇔Đường thẳng y = m cắt đồ thị f(t) =
2 2
4
+
− + trên miền [1; +∞)
Từ BBT suy ra phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m ≤ 4
II Xác định tham số để bất phương trình có nghiệm trên D hoặc đúng mọi x∈D
A.Phương pháp giải: Trong trường hợp tồn tại max ( )x D∈ f x , min ( )x D∈ f x
+ f(x) < m, ∀ ∈x D ⇔ max ( )
x D f x m
+ f(x) > m , ∀ ∈x D⇔ min ( )
x D f x m
+ f(x) < m có nghiệm x∈D ⇔ min ( )
x D f x m
+ f(x) > m có nghiệm x∈D ⇔ max ( )
x D f x m
Chú ý: Trong trường hợp không tồn tại max ( )x D∈ f x , min ( )x D∈ f x thì dựa vào BBT để kết luận cụ thể
*Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm :
mx− x− ≤ +3 m 1 (1)
HD: ĐK x≥3 thì (1)⇔m(x – 1) ≤ x− +3 1 ⇔m≤ 3 1
1
x x
− +
1
x x
− +
− Ta có bpt (2) có nghiệm ⇔m max[3; ) ( )
∈ +∞
4
+
≤
*Ví dụ 2:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm :
−4 (4−x)(2+x) ≤x2−2x m+ −18 (1)
HD: ĐK (4 – x)(2 + x)≥ ⇔ − ≤ ≤0 2 x 4 Đặt t = (4−x)(2+x), 0≤ ≤t 3
(1) trở thành t2 – 4t + 10 ≤ m (2) Đặt f(t) = t2 – 4t + 10
+ (1) có nghiệm ⇔(2) có nghiệm t∈[0; 3]⇔ min ( )[0;3]
*Ví dụ 3: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm:
x+ x+9 ≤mlog2(2+ 4−x)
HD:ĐK: 0 ≤x ≤4 Khi đó log2(2+ 4 x− )≥1 Bpt tương đương: m
x
x
− +
+ +
) 4 2 ( log
9
2
+ Đặt f(x) =
) 4 2 ( log
9
x x
− +
+ +
với 0 ≤x ≤4 Ta có f’(x) = '. 2 '.
v
u v v
, trong đó :
Trang 5u =
9 2
1 2
1 ' 9
+ +
=
⇒ + +
x x
u x
2 ln ) 4 2 (
4 2
1 '
) 4
x x
v x
− +
−
−
=
⇒
+ Suy ra f’(x)> 0, x∀ ∈(0; 4) Vì f(x) liên tục trên đoạn [0; 4] nên f(x) đồng biến trên [0; 4] f(x) ≤m có nghiệm trên [0; 4] ⇔
M
x
≤
⇔
≤
⇔
≤
3 )
0 ( )
inf(
4
; 0
*Ví dụ 4: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x∈[0; 2]
(x2+1)2+ ≤m x x2+ +2 4 (1)
HD: Đặt t = x x2+2 thì (1) có dạng : t2 + 1 + m ≤ t + 4⇔m ≤ – t2 + t + 3 (2)
+ Hàm t = x x2+2 có t’(x) =
2 2
2
2
2
x x
x
+ +
+ > 0⇒t đồng biến trên [0; 2]⇒0≤ ≤t 2 6 + (1) đúng với mọi x∈[0; 2]⇔(2) đúng với mọi t [0; 2 6]∈
⇔m≤t∈min[0;2 6 ] f t( ), với f(t) = – t2 + t + 3 ⇔m 2 6 21≤ −
*Ví dụ 5:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x
(m−1)4x+2x+1+ + >m 1 0 (1)
HD:Đặt t = 2x , t > 0 Khi đó (1) trở thành : (m – 1 )t2 + 2t + m + 1 > 0⇔m > 2
2
1 1
t
− − + (2) + (1) đúng với mọi x ⇔(2) đúng mọi t > 0
+ Đặt f(t) =
2
2
1 1
t
− − + Lập BBT hàm f(t) suy ra : m > f(t),∀ ∈t (0;+∞ ⇔) m≥1
B Một số bài tập tương tự để luyện tập:
Bài 1:Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm
2cos 2x+3sin 2x≥m.3cos 2x (1)
HD: (1)⇔
3
m
2
cos x , 0 t≤ ≤1 ,
m
+ ≥
3
+
Ta có (1) có nghiệm ⇔(2) có nghiệm t∈[0; 1]⇔m≤max ( )t∈[0;1] f t ⇔m 4≤
Bài 2: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm
x x+ x+16≤m.log (33 + 9−x)(1)
HD:ĐK 0≤ ≤x 9 Khi đó (1) ⇔
3
16
m x
+ Đặt f(x) =
3
16
x
+ − Ta có f(x)≤m có nghiệm trên [0;9]⇔ min ( )[0;9]
+Hàm f(x) đồng biến trên [0; 9] nên xmin ( )∈[0;9] f x = f(0) =
3
4
4 log 6 ≤m
Bài 3: Xác định các giá trị m để bất phương trình sau đúng với mọi x≤0
m.2x+1+(2m+1)(3− 5)x+ +(3 5)x<0 (1)
Trang 6HD: (1)⇔ 2 (2 1) 3 5 3 5 0
+ + ÷ ÷ + ÷÷ <
2
−
+ (2) trở thành 2m + (2m + 1)t + 1
t< 0 ⇔2m(1 + t) <
2 1
t t
− − (3) + (1) đúng với mọi x≤0⇔(3) đúng với mọi t≥1⇔m <
2
t t
− − + với mọi t≥1 + Đặt f(t) =
2
t t
− −
+ Lập BBT suy ra m < f(t) với mọi t≥1⇔m <
1 2
−
III Xác định tham số để hệ phương trình có nghiệm
1.Loại dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai và định lý Vi-ét
*Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm:
HD: Đặt u = x + x2 , v = y + y2 , điều kiện u 1
4
≥ − , v 1
4
≥ −
uv m
+ =
=
2 – 24t + m = 0 (1)
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn 1 1 2
− ≤ ≤
' 0
∆ ≥
⇔
1
2 1
16
m
m
+ ≥
+ + ≥
*Ví dụ 2: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm:
1 2
2
+ =
HD: Đặt u = x−1 , v = y+2, điều kiện u≥0, v≥0
u v m
+ =
2
u v m
+ =
Khi đó u, v là hai nghiệm phương trình : t2 – mt + 1
2(m
2 – 2m – 1) = 0 (1)
Trang 7-Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm t1, t2 thỏa 0≤ ≤ ⇔t1 t2
0 0 0
S P
∆ ≥
≥
≥
⇔
2
2
0
1
2
m
≥
⇔
0
m m
≥
≤ − ∨ ≥ +
⇔1+ 2≤ ≤ +m 2 6
*Ví dụ 3: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm:
HD: +Nều x = 0 thì hệ trở thành
2
2
11 3
y
=
=
+Xét m ≠33 thì x = 0 không thỏa hệ Với x≠0, đặt y = tx khi đó hệ trở thành
⇔
2
+ Vì t2 + 2t + 3 > 0 ,∀t Suy ra (2) có nghiệm x với mọi t
Hệ có nghiệm ⇔(1) có nghiệm ⇔ ∆'= (11 – m)2 – (33 – m)(11 – 3m)≥0 ( m ≠33 )
⇔ – m2 + 44 – 121≥ 0 ⇔ 22− 363≤ ≤m 22+ 363
Vậy : 22− 363≤ ≤m 22+ 363
2 Loại dùng điều kiện cần và đủ
*Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2
2
HD: Giả sử (x0, y0) là nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ
Hệ có nghiệm duy nhất ⇒ x0 = y0 ⇒2 2
0
x – mx0 + m = 0 (*) (*) có nghiệm duy nhất ⇒ ∆= m2 – 8m = 0⇔m = 0 hoặc m = 8
+ Với m = 0 ta có
2
2
0
y x y
xy y
+ Với m = 8 ta có
x y x y
=
(I) hoặc
2
8
= − −
− − + = − −
(II)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất x = y = 2 , hệ (II) vô nghiệm Vậy m = 8 thỏa bài toán
Trang 8
2
2 2
1 1
y m x
HD:Hệ tương đương
2
1
y m x
Giả sử hệ có nghiệm (x0, y0 ) thì ( – x0, y0) cũng là nghiệm của hệ Vì hệ có nghiệm duy nhất suy ra x0 = – x0 ⇒x0 = 0 Thay vào hệ ta có
0
2
0
1
= +
2 – m – 4 = 0 ⇔
1 4 3
m m
= −
=
+ Nếu m = – 1 hệ trở thành
2
1 1
y
=
0
x y
=
=
Hệ có nghiệm duy nhất (0, 0) khi m = – 1
+ Nếu m = 4
3hệ trở thành
2
2
2 2
4
0
3
7
9
x
y x
Hệ có nghiệm duy nhất (0, 7
9) khi m =
4 3 Kết luận : m = – 1 , m = 4
3
3 Loại dùng phương pháp hàm số
*Ví dụ 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nhiều hơn 2 nghiệm
2
x y m
+ =
HD: Hệ tương đương 3 2
y m x
= −
+ Hệ có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi (1) có 3 nghiệm phân biệt
⇔Hàm f(x) = x3 – mx2 + 2m có cực đại và cực tiểu , đồng thời GTCĐ và GTCT trái dấu
+ Hàm có cực đại và cực tiểu ⇔f’(x) = 3x2 – 2mx có 2 nghiệm phân biệt⇔m≠0
+ Ta có f’(x) = 0 ⇔x = 0 hoặc x = 2
3
m
Khi đó f(0).f(2
3
m
)< 0 ⇔m2 > 27
2
m >
2
m >
*Ví dụ 2:Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm thực:
ln(12 ) ln(12 ) (1)
HD: ĐK: x > – 1 và y > – 1 Ta có (1)⇔ln(1 + x) + x = ln(1 + y) + y
+ Xét f(t) = ln(1 + t) + t , t > – 1 thì f’(t) = 1 + 1 > 0, ∀t > – 1⇒f(t) đồng biến trên (-1,+∞)
Trang 9-(1) có dạng f(x) = f(y) ⇔x = y Thế vào (2) ta có x2(2 – m) + 4x + 5 – m = 0⇔m=
2
2
1
x
+ + Đặt f(x) = 2 2 24 5
1
x
+ thì f’(x) =
2 2
1
x
+ , f’(x) = 0⇔x = – 2 ∨ x =
1 2
x – 1 1/2 +∞ f’(x) + 0 –
f(x)
6 3/2 2
2< ≤m
*Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi a > 0 hệ sau có nghiệm duy nhất
ln(1 ) ln(1 )
x y
y x a
− =
HD: ĐK x > – 1 và y > – 1 Hệ tương đương
x a x
y a x
= +
1
y a x
x
x a
= +
Hệ có nghiệm duy nhất ⇔(1) có nghiệm duy nhất
1
x a
+
+ Do a > o nên ea – 1> 0 suy ra f’(x) > 0 với mọi x > – 1 suy ra f(x) đồng biến trên (–1, +∞)
Ta có lim ( )x→+∞ f x = +∞ và
( 1)
x + f x
→ − = −∞ suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất
Bài tập tương tự:
Bài 1: Xác định các giá trị m để hệ sau có nghiệm:
1 2 ( 0)
m
HD: ĐK: x≥2 và y≥2 Hệ tương đương 1 2 1 2(1)
Đặt f(t) = t+ −1 t−2, f(t) nghịch biến trên [2, +∞) Nên (1) ⇔f(x) = f(y) ⇔x = y
Thế vào (2) ta có x+ +1 x− =2 m (3) Hệ có nghiệm ⇔(3) có nghiệm ⇔m≥3
Bài 2: xác định các giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất
Trang 10
2
2 2
2 2
m
y m
x
= +
HD: ĐK x≠0 và y≠0
Hệ tương đương
2 2
> >
⇔
2
> >
= >
Hệ có nghiệm duy nhất ⇔phương trình (1) có nghiệm dương duy nhất
⇔Đường thẳng y = m2 cắt đồ thị f(x) = 2x3 – x2 trên khoảng (0, +∞) tại một điểm duy nhất + Lập BBT hàm f(x) suy ra hệ có nghiệm duy nhất với mọi m
4 Loại dùng phương pháp hình học
*Ví dụ 1: xác định tham số m để hệ sau có nghiệm 2 2 0
0
x my m
HD: phương trình x + my – m = 0 là phương trình một đường thẳng d
Phương trình x2 + y2 – x = 0 là phương trình đường tròn (C) tâm I(– 1
2 , 0 ) bán kính R =
1 2
Hệ có nghiệm ⇔d và (C) có điểm chung ⇔d(I, d) ≤R
⇔
2
1
1 2
2 1
m m
−
≤ +
⇔ 3 2
0
4m − ≤ ⇔m 0 4
3
m
≤ ≤
Bài tập tương tự:
Bài 1: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
2 1
1
x y
+ ≤
HD:Hệ tương đương 1
x y
+ ≤
1
x y
+ ≤
⇔ 21(1) 2
x y
+ ≤
(1)là nửa dưới mặt phẳng xác định bởi đường thẳng x + y = 1( phần chứa gốc O) kể cả biên, còn (2) là đường tròn (C) tâm I(1, 1) bán kính R = m+1(m ≥1, khi m = 1 thì (2) là một điểm (1, 1)) + Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đường thẳng d: x + y – 1 = 0 tiếp xúc đường tròn (C)
2
2 = m+ ⇔ = −m
Tam Kỳ, ngày 10 tháng 3 năm 2011
Tổ Toán - Tin
Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm
