Xác định tham số của phương trình

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐỖ PHƯƠNG THỦY XÁC ĐỊNH THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐỖ PHƯƠNG THỦY XÁC ĐỊNH THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS Trần Văn Tuấn HÀ NỘI – 2018 Lời cảm ơn Để hoàn thành khóa luận này, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ThS Trần Văn Tuấn - Người trực tiếp tận tình hướng dẫn, bảo định hướng cho tơi suốt q trình tơi làm khóa luận Đồng thời tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Giải tích thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Tốn tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt khóa luận để có kết ngày hơm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Tác giả khóa luận Đỗ Phương Thủy Lời cam đoan Tơi xin cam đoan Khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn thầy ThS Trần Văn Tuấn Trong nghiên cứu, hồn thành khóa luận tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài: “Xác định tham số phương trình vi phân thường” kết việc nghiên cứu nỗ lực học tập thân, không trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Đỗ Phương Thủy Mục lục Mở đầu Bảng kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian chuẩn hữu hạn chiều 1.2 Tích vơ hướng hai véc tơ 1.3 Không gian Metric, không gian Metric đầy nguyên lý điểm bất động 1.4 Khái quát phương trình vi phân 1.4.1 Phương trình vi phân 1.4.2 Định lý tồn nghiệm phương trình 1.4.3 Các trường hợp đặc biệt phương trình 5 10 14 14 15 17 Bài toán xác định tham số phương trình vi phân thường 23 2.1 A ma trận 24 2.2 A ma trận phụ thuộc tham số 26 Kết luận 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO 29 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình vi phân nhánh quan trọng Toán học đề xuất nghiên cứu sớm nhiều nhà Toán học, xem [4] Những nghiên cứu thúc đẩy ứng dụng quan trọng từ nhiều tốn thực tiễn: Vật lý, Hóa học, Kinh tế, Sinh học, Các nghiên cứu phương trình vi phân tập trung trả lời câu hỏi tồn tại, tính phụ thuộc liên tục nghiệm Trên thực tế, mơ hình hóa tượng kiện ban đầu hệ số phương trình thường lấy từ đo đạc, quan sát thực tiễn Hơn trình đo đạc kiện ban đầu (dữ kiện Cauchy) tránh khỏi sai số cần sử dụng thêm yếu tố phụ (tham số) Đặc biệt, vài hệ số phương trình chưa biết Do để biết hệ số nghiệm toán, người ta phải đo đạc thêm Bài toán xác định tham số dựa vào đo đạc thêm nghiệm gọi toán xác định tham số Theo hướng nghiên cứu định tính phương trình vi phân, tơi chọn đề tài “Xác định tham số phương trình vi phân thường” để thực khóa luận Mục đích nghiên cứu • Giới thiệu, tìm hiểu phương trình vi phân thường tồn nghiệm • Cách xác định tham số, nghiệm phương trình vi phân thường biết kiện đầu số đo đạc khác Đối tượng nghiên cứu Trong khóa luận tốt nghiệp, đối tượng mà chúng tơi nghiên cứu phương trình vi phân thường Phạm vi nghiên cứu • Phương trình vi phân, tính ổn định nghiệm tồn nghiệm hệ phương trình vi phân • Bài tốn xác định tham số Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu sủ dụng khóa luận là: Tìm kiếm, tổng hợp, tham khảo tài liệu từ giáo trình, sách vở, trang web chủ yếu [4, 5] Sau phân tích, tích cực nghiên cứu bảo thầy giáo hướng dẫn, tổng hợp trình bày vấn đề cho rõ ràng, hợp lơ-gic Cấu trúc đề tài Khóa luận tốt nghiệp trình bày hai chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Bài toán xác định tham số phương trình vi phân thường Hà Nội, tháng 05 năm 2018 Tác giả khóa luận Đỗ Phương Thủy Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên, Z Tập số nguyên, R Tập số thực, C Tập số phức, R+ Tập số thực không âm, C[a, b] Tập hàm liên tục đoạn [a, b], C([a, b], Rn ) Không gian hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn , Rn Không gian Euclide n chiều, với x = (x1 , x2 , , xn ) phần tử Rn , 1/2 n |xi |2 chuẩn Euclide x = , i=1 |x| Chuẩn phần tử x, Kết thúc chứng minh x21 + · · · + x2n , Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số khái niệm, kết liên quan đến không gian metric, không gian metric đầy, nguyên lý Banach ánh xạ co sử dụng khóa luận, chi tiết tham khảo [1, 4] 1.1 Khơng gian chuẩn hữu hạn chiều Cho trước ma trận cấp n × m (n-dòng, m-cột), thu ánh xạ tuyến tính B : Rm → Rn , cho cơng thức Bx = Bx, Bx kí hiệu véc tơ cột  m  b x  j=1 1j j   m      b x 2j j  j=1  Bx :=  ,     n    bmj xj j=1 bji kí hiệu phần tử vị trí giao dòng thứ i với cột thứ j ma trận B, ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m Ngược lại, ánh xạ tuyến tính Rm → Rn có dạng Ma trận chuyển vị B ∗ B ma trận cấp m × n với phần tử b∗ji = bij , ∀1 ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ m Đặc biệt, với ma trận thực A cấp n × n từ ánh xạ tuyến tính khơng gian Rn vào ma trận A gọi ma trận khơng suy biến định thức số khác Khi tồn ma trận nghịch đảo, kí hiệu A−1 xác định cơng thức A × A−1 = A−1 × A = I, đó, ta kí hiệu I ma trận đơn vị cấp n Định nghĩa 1.1 Một chuẩn Rn ánh xạ · : Rn → [0, +∞) thỏa mãn tiên đề sau (i) x ≥ 0, ∀x ∈ Rn (ii) x = ⇔ x = (iii) λx = |λ| x , ∀λ ∈ R, x ∈ Rn (iv) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ Rn Đặt x = x1 , x = x2 , , x(n−1) = xn Khi ta có hệ phương trình vi phân cấp sau    x1       x2         x n = x2 , = x3 , (1.15) = f (t, x1 , x2 , , xn ) Nếu x = x(t) nghiệm phương trình (1.14) x1 = x(t), x2 = x (t), , xn = x(n−1) (t) nghiệm (1.15) Ngược lại, x1 (t), x2 (t), , xn (t) nghiệm hệ (1.15) hàm x = x1 (t) nghiệm phương trình (1.14) 1.4.2 Định lý tồn nghiệm phương trình Cho T, r hai số thực dương Xét phương trình vi phân (1.13), trụ ∆ := {(t, x) = (t, x1 , , xn ) ∈ [0, T ] × Rn : ≤ t ≤ T, |xi − x0i | ≤ r, i = 1, 2, , n} Định lý 1.2 Giả sử (i) Hàm f : ∆ → Rn liên tục (ii) Hàm f Lipschitz theo biến x ∆, nghĩa f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , ∀(t, x), (t, y) ∈ ∆ 15 Khi tồn nghiệm x = ϕ(t) hệ (1.13) thỏa mãn điều kiện đầu x(0) = x0 xác định khoảng I := [0, δ] , δ := T, r , M := sup f (t, x) M (t,x)∈∆ Chúng ta có kết sau tồn địa phương Định lý 1.3 Cho hàm f (t, x) : ∆ → Rn hàm số liên tục Lipschitz địa phương theo x Khi với x0 ∈ Rn x0 thuộc miền mở Rn phương trình (1.13) có nghiệm x(t, x0 ) thỏa mãn điều kiện x(0) = x0 Sự tồn nghiệm toán Cauchy lân cận thời điểm ban đầu t0 = tồn địa phương cần tìm tồn toàn tập xác định Nghĩa là, hai nghiệm x = x(t), y = y(t) phương trình (1.13) điểm t0 = 0, chúng khoảng tồn chung Định lí cho ta biết định lí địa phương Định lý 1.4 Giả sử f : Ω → Rn thỏa mãn điều giả sử định lí (1.3) Nếu x, y hai nghiệm (1.13) xác định khoảng mở I, J x(0) = y(0), x(t) = y(t), ∀t ∈ I ∩ J Chứng minh Cho (0, t1 ) = I ∩ J Ta chứng minh x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, t1 ) Cho T := τ ∈ [0, t1 ) : x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, τ ] Thì T = ∅ đặt T ∗ := sup T Ta cần chứng minh T ∗ = t1 16 Giả sử T ∗ < t1 x(t) = y(t), ∀t ∈ [0, T ∗ ], mà x(t), y(t) nghiệm phương trình (1.13), ta suy từ định lý (1.3) tồn tai ε > cho x(t) = y(t), ∀t ∈ [T ∗ , T ∗ + ε] Điều mâu thuẫn giả sử T ∗ := sup T suy T ∗ = t1 1.4.3 Các trường hợp đặc biệt phương trình Trong mục này, dẫn minh hoạ cụ thể kết phần trước cho số lớp phương trình vi phân có cấu trúc đặc biệt A Phương trình tuyến tính Trước tiên, khảo sát phương trình vi phân có dạng sau x(t) ˙ = A(t)x(t), t ∈ I, (1.16) A(t) = aij (t) ma trận cấp n × n với phần tử hàm phụ thuộc vào biến t I = [0, T ] Định nghĩa 1.6 Giả sử {X1 , , Xn } hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính phương trình (1.16) Khi đó, ma trận vng X(t) có cột X1 , , Xn gọi ma trận phương trình (1.16) Theo định nghĩa, ta thấy X(t) nghiệm phương trình vi phân ˙ X(t) = A(t)X(t), t ∈ I, (1.17) ma trận nghiệm X(t) khơng Có thể kiểm tra ma trận nghiệm Y (t) có dạng Y (t) = X(t)C, 17 C ma trận cấp n × n nghiệm (1.17) Hệ 1.1 Cho X(t) ma trận nghiệm hệ (1.16) nghiệm x(t) tốn Cauchy (1.16) thoả mãn điều kiện đầu x(0) = x0 có biểu diễn dạng x(t) = X(t)X(0)−1 x0 , t ∈ I (1.18) B Phương trình vi phân tuyến tính khơng Ta xét phương trình vi phân tuyến tính khơng có dạng sau x˙ = A(t)x(t) + b(t), t ∈ I, A(t) = aij (t) (1.19) ma trận cấp n × n với phần tử hàm phụ thuộc vào biến t Ta biết rằng, tập nghiệm phương trình vi phân cấp n lập thành không gian véc tơ n chiều Từ Nguyên lí chồng chất nghiệm cho phép ta biểu diễn nghiệm phương trình vi phân khơng qua nghiệm tổng quát phương trình nghiệm riêng Định lý 1.5 Cho X(t) ma trận nghiệm phương ∼ trình (1.16) x (t) nghiệm cho trước phương trình khơng (1.19) Khi nghiệm tổng quát x(t) hệ (1.19) thỏa mãn với điều kiện ban đầu x(0) = x0 có dạng ∼ x (t) = X (t) X (0)−1 x0 + x (t) , t ∈ I, 18 (1.20) Chứng minh Công thức (1.20) viết lại thành ∼ x (t) = X (t) c + x (t) , t ∈ I, với c = X (0)−1 x0 Hiển nhiên, hàm x(t) có dạng (1.20) nghiệm (1.19) Bây ta chứng minh nghiệm có dạng (1.20) Cho y(t) nghiệm tùy ý hệ (1.19) xác định điều kiện ban đầu y (0) = y0 , y0 ∈ Rn Xét hệ tuyến tính đại số ∼ X (0) c = y0 − x (0) Khi det X (0) = 0, hệ có nghiệm c0 Thì ∼ hàm X (t) c0 + x (t) có giá trị y0 thời điểm ban đầu t0 = Theo định lý tồn ∼ y (t) = X (t) c0 + x (t) , ∀t ∈ I Nói cách khác, nghiệm y(t) tùy ý có dạng (1.20) Định lý 1.6 (Công thức biến thiên số.) Cho X(t) ma trận nghiệm phương trình (1.16) nghiệm tổng qt x(t) phương trình khơng (1.19) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 có dạng −1 x (t) = X (t) X (0) t x0 + X (t) X(s)−1 b (s) ds, t ∈I, (1.21) c ∈ Rn Chứng minh Từ (1.20) công thức nghiệm tổng quát (1.19) có 19 dạng ∼ x (t) = X (t) X (0)−1 x0 + x (t) , t ∈ I, ∼ Bây ta tìm cơng thức nghiệm x (t) (1.19) có dạng ∼ x (t) = X (t) γ (t) , t ∈ I (1.22) γ : I → Rn hàm xác định sau Khi giả sử ∼ x (t) nghiệm (1.19), ta có X˙ (t) γ (t) + X (t) γ˙ (t) = A (t) X (t) + b (t) , Sử dụng đẳng thức (1.17), ta có X˙ (t) = A (t) X (t) ta kết luận γ˙ (t) = X(t)−1 b (t) , ∀t ∈ I, γ(t) có dạng t γ (t) = X(s)−1 b (s) ds, t ∈ I, (1.23) Từ ta thu điều phải chứng minh Trong lý thuyết phương trình vi phân nói chung, hệ điều khiển nói riêng ma trận U (t, s) = X (t) X(s)−1 , s, t ∈ I thường gọi ma trận chuyển C Phương trình vi phân với hệ số Ta nghiên cứu phương trình vi phân sau x˙ = Ax, t ≥ 0, 20 (1.24) A = (aij )1≤i,j≤n ma trận thực cấp n × n Theo hướng nghiên cứu tốn Cauchy, ta tìm ma trận nghiệm S(t) (1.24) mà thoả mãn điều kiện S(0) = I, I ma trận đơn vị Định lý 1.7 Ma trận ∞ tA S(t) = e := k=0 (tA)k k! (1.25) ma trận phương trình (1.24) hàm x(t) = S(t)x0 nghiệm phương trình (1.24) với điều kiện ban đầu x(0) = x0 Chứng minh Cơng thức (1.25) hồn tồn xác định ∞ k=0 (tA)k ≤ k! ∞ k=0 (t A )k k! chuỗi bên phải hội tụ Đồng thời d (tA)k (tA)k−1 = , dt k! (k − 1)! ∀k ≥ Nên lấy đạo hàm hai vế (1.25) d e(t+h)A − etA etA ehA − etA S(t) = lim = lim h→0 h→0 dt h h hA e −I = etA lim h→0 h hA e −I = S(t) lim h→0 h 21 (hA)n I (hA)0 (hA)1 + + + + − = S(t) lim h→0 0!h 1!h n!h h hn−1 An = S(t) lim A + + + h→0 n! = S(t)A d S(t) = S(t)A Từ với ý xem định dt lý Liouville( xem [4, Theorem 3.4]) Tương tự ta có det(S(t)) = et.trace(A) = S(t) t=0 = I ta nhận S(t) ma trận nghiệm hệ (1.24) Định lí chứng minh Chú ý 1.8 Từ Định lí 1.7 cơng thức biến thiên số cho phương trình vi phân với hệ số khơng có dạng t S(t − s)b(s)ds, ∀t ∈ R, x(t) = S(t)x0 + (1.26) với nghiệm x(t) hệ (1.24) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 Để kết thúc mục chúng tơi dẫn số tích chất quan trọng ma trận S(t) Mệnh đề 1.1 Ma trận S(t) thoả mãn tính chất 1) S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ∈ R 2) S(0) = I 3) S(t)−1 = S(−t), ∀t ∈ R 4) lim S(t)x = S(t0 )x, ∀x ∈ Rn , ∀t0 ∈ R t→t0 22 Chương Bài toán xác định tham số phương trình vi phân thường Khi vế phải phương trình khơng biết rõ ràng tồn nghiệm hệ không đảm bảo Để xác định nghiệm ta cần đo đạc thêm số thơng tin nghiệm Do chương này, chúng tơi nghiên cứu tốn xác định tham số phương trình vi phân phát biểu sau: (IP) tìm z ∈ Rn x ∈ C ([0, T ]; Rn ), n ≥ thỏa mãn   x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)z, t ∈ I = [0, T ],  x(0) = x0 , x0 ∈ Rn thoả mãn điều kiện đo thời điểm cuối x(T ) = xT Chúng tơi nghiên cứu tốn qua hai trường hợp A(t) phụ thuộc vào t không phụ thuộc vào t 23 2.1 A ma trận Xét tốn (IP1) tìm z ∈ Rn x ∈ C ([0, T ]; Rn ) thỏa mãn     x(t) ˙ = Ax(t) + B(t)z,    x(0) = x0 ,      x(T ) = xT t ∈ I = [0, T ], x0 ∈ Rn , (2.1) B : [0, T ] → R Khi ta thu kết sau tính giải toán (IP1) sau Định lý 2.1 Giả sử B hàm số liên tục min[0,T ] B(t) > Khi tốn (IP1) tồn nghiệm Đồng thời z = A˜−1 (xT − S(T )x0 ) t S(t − s)B(s)ds A˜−1 (xT − S(T )x0 ) x(t) = S(t)x0 + T A˜ = S(T − s)B(s)ds Chứng minh Vì vế phải phương trình thứ hệ (2.1) có dạng f (t, x(t)) = Ax(t) + B(t)z 24 nên ∀t ∈ [0, T ], ∀x1 , x2 ∈ Rn ta có f (t, x1 ) − f (t, x2 ) e = Ax1 + B(t)z − Ax2 − B(t)z = A(x1 − x2 ) ≤ A x1 − x2 e e e Do ta f Lipschitz tồn cục Vậy ∀z tốn Cauchy xác định hai phương trình hệ (2.1) tồn nghiệm x(t, x0 ) Bây giờ, ta tìm nghiệm (z, x) IP1 sau Theo công thức biến thiên số, ta có t S(t − s)B(s)zds, t ∈ [0, T ] x(t) = S(t)x0 + Sử dụng điều kiện đo thời điểm cuối T S(T − s)B(s)ds z x(T ) = S(T )x0 + ˜ = S(T )x0 + Az ˜ = xT − S(T )x0 ⇔ Az (2.2) T Vì min[0,T ] B(t) > nên A˜ = S(T − s)B(s)ds ma trận khả nghịch Từ (2.2) ta nhận z = A˜−1 (xT − S(T )x0 ) Thay z = A˜−1 (xT − S(T )x0 ) vào (2.1) ta t S(t − s)B(s)ds A˜−1 (xT − S(T )x0 ) x(t) = S(t)x0 + Ta điều phải chứng minh 25 2.2 A ma trận phụ thuộc tham số Xét tốn (IP2) tìm z ∈ Rn x ∈ C ([0, T ]; Rn ) thỏa mãn     x(t) ˙ = A(t)x(t) + B(t)z, t ∈ I = [0, T ],    x(0) = x0 , x0 ∈ Rn ,      x(T ) = xT (2.3) A(t) = (aij (t)), aij : [0, T ] → R, i, j = 1, n , n hàm số liên tục, B : [0, T ] → R Định lý sau dẫn kết tính giải toán (IP2) Định lý 2.2 Giả sử A(t), ∀t ∈ [0, T ] ma trận khả nghịch min[0,T ] B(t) > Khi tốn (IP2) tồn nghiệm Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 2.1 với z ∈ Rn tốn Cauchy xác định phương trình thứ thứ hai (2.3) tồn nghiệm Hơn nữa, với giả thiết cho Định lý 2.2, nghiệm toán này, xem công thức (1.21) Chương 1, cho công thức biến thiên số t x(t) = X(t)X (0)−1 x0 + X (t) X(s)−1 B (s) zds t = X(t)X (0)−1 x0 + U (t − s) B (s) zds t = U (t, 0)x0 + U (t, s)B(s)zds 26 Tại t = T ta T x(T ) = U (T, 0)x0 + U (T, s)B(s)zds (2.4) Từ (2.4) ta hệ phương trình sau ⇔ ⇔   ˜ xT = U (T, 0)x0 + Az  A˜ = T U (T, s)B(s)ds   z = A˜−1 (xT − U (T, 0)x0 )  x(T ) = xT = U (T, 0)x0 + T U (T, s)B(s)ds A˜−1 (xT − U (T, 0)x0 ) Vậy với tham số z = A˜−1 (xT − U (T, 0)x0 ) ta tìm nghiệm phương trình (2.3) t U (t, s)B(s)ds A˜−1 (xT − U (T, 0)x0 ) x(t) = U (t, 0)x0 + Ta điều phải chứng minh 27 Kết luận Trên toàn nội dung khoá luận đề tài “Xác định tham số phương trình vi phân thường” Trong khóa luận này, ngồi kiến thức mở đầu chúng tơi nghiên cứu toán xác định tham số phương trình vi phân thường với kiện đo đạc thời điểm cuối Chúng dẫn công thức biểu diễn cho tham số nghiệm toán theo ma trận nghiệm hệ Mặc dù cố gắng song hạn chế thời gian, kiến thức kinh nghiệm nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận quan tâm đóng góp ý kiến Thầy, Cơ bạn để khóa luận đươc đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Thầy, Cô giáo Khoa Toán, đặc biệt thầy giáo ThS Trần Văn Tuấn tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi để hồn thành khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Cung Thế Anh, Cơ sở lý thuyết phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2015 [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, phần NXB Giáo dục Việt Nam, 2003 [3] Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [B] Tài liệu tiếng Anh [4] V Barbu, Differential Equations, Springer, Cham, 2016 [5] A Lorenzi, Introduction to Identification Problems via Functional Analysis, VSP, Utrecht, Holland, 2001 29 ... thêm Bài toán xác định tham số dựa vào đo đạc thêm nghiệm gọi toán xác định tham số Theo hướng nghiên cứu định tính phương trình vi phân, tơi chọn đề tài Xác định tham số phương trình vi phân... nghiên cứu phương trình vi phân thường Phạm vi nghiên cứu • Phương trình vi phân, tính ổn định nghiệm tồn nghiệm hệ phương trình vi phân • Bài toán xác định tham số Phương pháp nghiên cứu Các phương. .. 22 Chương Bài toán xác định tham số phương trình vi phân thường Khi vế phải phương trình khơng biết rõ ràng tồn nghiệm hệ không đảm bảo Để xác định nghiệm ta cần đo đạc thêm số thơng tin nghiệm