Phương trình và nội dung dạy học về phương trình trong chương trình toán 8

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ YẾN PHƯƠNG TRÌNH VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ YẾN PHƯƠNG TRÌNH VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC ThS Dương Thị Luyến Hà Nội – Năm 2018 Lời cảm ơn Để hồn thành khóa luận này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ThS Dương Thị Luyến - người trực tiếp tận tình hướng dẫn, bảo định hướng cho em suốt q trình em làm khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Đại số thầy khoa Tốn - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện cho em hồn thành tốt khóa luận để có kết ngày hơm Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Yến Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận cơng trình nghiên cứu riêng em hướng dẫn cô ThS Dương Thị Luyến Trong nghiên cứu, hồn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài: “Phương trình nội dung dạy học phương trình chương trình tốn 8” kết việc nghiên cứu nỗ lực học tập thân, không trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Yến Mục lục Lời mở đầu Phương trình 1.1 Định nghĩa 1.2 Phương trình bậc ẩn 1.3 Phương trình tích 1.4 Phương trình chứa ẩn mẫu 1.5 Giải toán cách lập phương trình 6 10 11 11 12 Các dạng tập phương trình chương trình tốn 16 2.1 Các dạng tập có cách giải tổng quát 16 2.2 Một số toán khác 31 Hệ thống câu hỏi tập trắc nghiệm 35 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Lời mở đầu Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn lớp 8, phương trình dạy học chương gồm 16 tiết chiếm 11.5 phần trăm chương trình tốn Nhìn thấy tầm quan trọng vấn đề với mong muốn tìm hiểu sâu lĩnh vực góc độ sinh viên sư phạm toán học phạm vi khóa luận tốt nghiệp, giúp đỡ tận tình cô giáo - ThS Dương Thị Luyến em thực đề tài “Phương trình nội dung dạy học phương trình chương trình tốn 8” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với cơng tác nghiên cứu khoa học, đồng thời muốn sâu tìm tòi nghiên cứu, phân tích nội dung chương trình dạy học phương trình lớp để qua có lựa chọn phương pháp cách thức dạy học phù hợp nội dung phương trình lớp Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu nội dung phương trình chương trình tốn Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương 1: Phương trình Trong chương khóa luận trình bày số định nghĩa phương trình Nội dung phương trình bậc ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu, giải tốn cách lập phương trình lớp Chương 2: Các dạng tập phương trình toán Trong chương đưa phân loại dạng tập phương trình có cách giải tổng quát số toán hay phương trình lớp Chương 3: Hệ thống câu hỏi tập trắc nghiệm Chương đưa hệ thống câu hỏi trắc nghiệm phương trình lớp để đánh giá lực học sinh Chương Phương trình 1.1 Định nghĩa Phương trình nội dung dạy học tốn phổ thơng Nó nội dung kiến thức quan trọng chương trình tốn Do việc dạy nội dung kiến thức phương trình theo cách để đạt hiệu cao người học vấn đề cần thiết người giáo viên Để có phương thức dạy học phương trình cách hiệu ta cần phân tích nội dung, chương trình sách giáo khoa để có nhìn tổng quát sâu nội dung học Định nghĩa 1.1 (Đại sơ cấp, Hoàng Kỳ, trang 92) Cho hai hàm số n biến phức x1 , x2 , , xn f (x1 , x2 , , xn ) g(x1 , x2 , , xn ) Ta gọi tập hợp n số phức x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Cn điểm không gian phức n chiều Cn Khi hàm số xem hàm biến f (x), g(x) Cn Giả sử f (x) có miền xác định D1 ⊂ Cn , g(x) có miền xác định D2 ⊂ Cn Ta định nghĩa phương trình f (x) = g(x) (1) ký hiệu hàm mệnh đề “giá trị hai hàm số f (x) g(x) nhau” Ta gọi x ẩn phương trình (1) Nếu coi f g hàm n biến x1 , x2 , , xn khơng gian C (1) phương trình n ẩn x1 , x2 , , xn Tập hợp giá trị thừa nhận đối số gọi miền xác định phương trình (1), tập S = D1 ∩ D2 Nếu x lấy giá trị a ∈ S mà f (a) = g(a) đẳng thức a gọi nghiệm phương trình (1), a thoả mãn phương trình (1) phương trình (1) thoả mãn với a Đối với phương trình xảy ba trường hợp sau đây: a) Phương trình vơ nghiệm: Trong trường hợp khơng có giá trị a S cho f (a) g(a) nhau, tức f (a) = g(a) mệnh đề sai với a ∈ S Nói khác tập nghiệm M phương trình (1) tập rỗng : M = ∅ b) Bất kỳ giá trị a x (a ∈ S) thoả mãn phương trình, tức M = S Trong trường hợp phương trình đẳng S c) Có giá trị khơng phải giá trị a ∈ S thoả mãn phương trình Trong hai trường hợp b c ta nói phương trình có nghiệm Giải phương trình tìm tập hợp nghiệm M Nếu M biểu thị hay nhiều cơng thức chúng gọi công thức nghiệm tổng quát phương trình M tập hữu hạn hay vơ hạn Đây định nghĩa tổng qt xác đầy đủ phương trình nhiên với nội dung chương trình lớp học sinh chưa tìm hiểu ánh xạ, hàm mệnh đề, không gian phức định nghĩa khơng phù hợp, q khó ngồi khả để em học sinh lớp tiếp thu Chương trình đại số lớp dừng việc nghiên cứu phương trình bậc ẩn nên việc xét tập xác định chưa cần thiết phải đặt (đối với phương trình chứa ẩn mẫu cần đặt điều kiện ẩn để mẫu khác khơng) Vì Sách giáo khoa đại số tập 2, Phan Đức Chính tổng chủ biên, trang có trình bày: Định nghĩa 1.2 Một phương trình ẩn x có dạng A(x) = B(x), vế trái A(x) vế phải B(x) hai biểu thức biến x Theo định nghĩa khái niệm phương trình hẹp, nói phương trình x − = 2(x − 4), Còn với dạng phương trình như: x = định nghĩa không thoả mãn Chính sách giáo khoa tốn 8, Phan Đức Chính tổng chủ biên nêu ý “Hệ thức x = m (với m số đó) phương trình Phương trình rõ m nghiệm nó” Tuy nhiên yêu cầu nội dung phần học sinh hiểu khái niệm phương trình thuật ngữ vế trái, vế phải bước đầu làm quen với Vì tổng thể định nghĩa phương trình ẩn rõ ràng dễ hiểu phù hợp với nội dung chương trình lớp yêu cầu Trên thực tế học sinh lớp tiếp xúc nhiều với phương trình từ bậc tiểu học thơng qua dạng tốn điền số vào chỗ trống hay tìm x dạng tốn thường gặp bậc tiểu học Ví dụ như: tìm x: x + = 10 Như học sinh làm quen phương trình từ bậc tiểu học nhiên đến chương trình lớp đưa định nghĩa phương trình để dạy cho học sinh 1 chiều dài cũ tăng chiều rộng thêm chiều rộng cũ chu vi hình chữ nhật khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng khu vườn dài Bài Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 10m Nếu chiều dài tăng thêm 6m, chiều rộng giảm 3m diện tích tăng diện tích cũ 12m2 Tính kích thước khu đất 2.2 Một số tốn khác Ví dụ 2.2.1 Giải phương trình x + x + x + 17 + + + = 2009 2008 1993 Giải: x + x + x + 17 + + +3=0 2009 2008 1993 x+1 x+2 x + 17 ⇔ +1 + +1 + +1 2009 2008 1993 x + 2010 x + 2010 x + 2010 ⇔ + + =0 2009 2008 1993 ⇔ (x + 2010) 1 + + 2009 2008 1993 =0 ⇔ x + 2010 = ⇔ x = −2010 Vậy tập nghiệm phương trình S = {−2010} Một số toán tương tự 31 =0 Bài Giải phương trình sau: x − x − x − x − 10 x − 15 + + + + = 96 93 92 90 85 x + x + x + x + 91 x + 92 x + 61 b) + + = + + 97 95 91 39 x+8 x+7 x+6 x + 29 x + 40 x + 39 x + 38 c) + + +···+ = + + + 2001 2002 2003 1980 1969 1970 1971 x + 61 ··· + 1948 x+1 x+2 x+3 x+4 x+5 x+6 d) + + = + + 2004 2003 2002 2001 2000 1999 (Đề thi chọn HSG toán lớp 8, trường THCS Nguyễn Du, Quận a) TPHCM, 2005 - 2006) e) x − 10 x − x − x − + + = + 1998 1999 2000 2001 Bài Giải phương trình sau: (Với a, b, c tham số): a) b) 4x a+b−x b+c−x c+a−x + + + = c a b a+b+c (Đề thi chọn HSG toán lớp 8, Quậ 6, TPHCM, 1990 - 1991) x−a x−b x−c + + bc ca ab = 1 + + a b c (Đề thi chọn HSG toán 8, Trường Chuyên huyện Đức Phổ, Quảng Ninh, 1988 - 1989) 32 Gợi ý câu 2b) x−a x−b x−c 1 + + = + + bc ca ab a b c 1 x−a x−b x−c 1 + + = + + ++ + + ⇔ bc ca ab a a b b c c x−a x−b x−c b c a c a b ⇔ + + = + + + + + bc ca ab ab ca ab bc ca bc c b x−b c a x−c a b x−a − − + − − + − − =0 ⇔ bc bc bc ca ca ca ab ab ab x−a−b−c x−b−c−a x−c−a−b ⇔ + + =0 bc ca ab 1 ⇔ (x − a − b − c) + + =0 bc ca ab ⇔x−a−b−c=0 ⇔ x = a + b + c Vậy tập nghiệm phương trình S = {a + b + c} Ví dụ 2.2.2 Giải phương trình sau 1 + + = x(x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) Giải: Điều kiện xác định:    x=0       x + = ⇔    x=0       x = −1    x = −2      x = −3    x+2=0      x + = 33 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 1 + + = x(x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 1) − x (x + 2) − (x + 1) (x + 3) − (x + 2) + + = x(x + 1) (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) 1 1 1 − + − + − = x x+1 x+1 x+2 x+2 x+3 − = x x+3 x+3 x − = x(x + 3) x(x + 3) x+3−x = x(x + 3) 3 = x(x + 3) ⇔ x(x + 3) = ⇔ x2 + 3x − = ⇔ x2 − x + 4x − = ⇔ x(x − 1) + 4(x − 1) = ⇔ (x − 1)(x + 4) =  x=1 ⇔  (thỏa mãn) x = −4 Vậy tập nghiệm phương trình S = {−4; 1} Một số tốn tương tự Giải phương trình sau: 1 1 + + + = − 3x + x − 5x + x − 7x + 12 x − 9x + 20 45 b) + + = x + 4x + x + 11x + 34 x + 18x + 80 52 c) + + =− x − 5x + x − 8x + 15 13x + 80 (Đề thi HSG toán lớp 8, Trường Nguyễn Gia Thiều, quận Tân Bình, a) x2 TPHCM, 2001 - 2002) 34 Chương Hệ thống câu hỏi tập trắc nghiệm Bắt đầu từ năm 2017, môn Tốn kì thi Trung học phổ thơng Quốc gia diễn hình thức trắc nghiệm Để bắt nhịp với hình thức kiểm tra đánh giá em thu thập biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm phục vụ dạy học toán, để kiểm tra đánh giá lực toán học học sinh qua phần phương trình lớp Hệ thống câu hỏi tập trắc nghiệm đưa để đánh giá mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng Câu Phương trình vơ nghiệm có tập nghiệm là: A {∅} C S = R B ∅ D S = Câu Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc ẩn? A x(x + 2) = B 2x2 + 3x − = D (x + 2018)2 = C 2x − = Câu Số sau nghiệm phương trình 4x4 − 5x3 + = 0? A x = B x = C x = −5 D x = 35 Câu Trong phương trình sau phương trình phương trình bậc ẩn? A x2 + 2x + = B 2x + y = C 3x − = D 0x + = x−2 Câu Điều kiện xác định phương trình = là: x−4 A x = B x = C x = D x = −4 x+3 Câu Điều kiện xác định phương trình − = là: x−2 x A x = B x = D x = 0; x = −2 2x − Câu Cho phương trình: − = Điều kiện xác định x +1 x−1 x−2 phương trình là: C x = 0; x = A x = −1 x = x = B x = x = −2 C x = −1 x = x = D x = x = Câu Cho phương trình: (x − 1)(x + 7)(x2 + 2) = Tập nghiệm phương trình là: A S = {−7; −2; −1} B S = {−2; −1; 7} C S = {−2; 1; 7} D S = {−7; 1} Câu x = nghiệm phương trình sau đây? A 2x − = B x2 + 5x + = C x3 + 2x2 + x + = D x4 − x + = Câu 10 Cho phương trình: x + = 0; (1) + x = 0; (2) x(x − 9) = 0; (3) x2 − 81 = Cho hai khẳng định sau: 36 (4) (I) Phương trình (1) tương đương với phương trình (2) (II) Phương trình (3) tương đương với phương trình (4) Em chọn câu trả lời đúng: A (I) đúng, (II) sai B (I) sai, (II) C Cả (I) (II) D Cả (I) (II) sai Câu 11 Trong cặp phương trình sau, cặp phương trình tương đương? A x = x(x − 1) = B 5x = 2x − = C x − = 2x − = D x2 − = 2x − = Câu 12 Giá trị x = nghiệm phương trình sau đây? A 2x + + x = B 3x − 2x = C 2x − = D 2x2 − 7x + = Câu 13 Phương trình sau tương đương với phương trình 2x − = 0? A x = B x = −2 C x = D x = −3 Câu 14 Tập nghiệm phương trình 2x − = − 4x là: A S = {−2} B S = {−1} C S = {2} D x = {1} x+2 x+3 Câu 15 Điều kiện xác định phương trình − = là: x−3 x −9 A x = B x = C x = x = −3 D x = x = −3 −5 Câu 16 Điều kiện xác định phương trình + = x + x − (x − 2)(x + 3) là: A x = x = B x = −3 x = −2 C x = x = −2 D x = −3 x = Câu 17 Số nghiệm phương trình x − = x − là: 37 A Một nghiệm B Vô số nghiệm C Hai nghiệm D Vơ nghiệm Câu 18 Phương trình (x + 5)(x − 3) = có tập nghiệm là: A S = {5; 3} B S = {−5; 3} C S = {−5; −3} D x = {5; −3} x2 + x Câu 19 Điều kiện xác định phương trình: + = x là: A x = B x = C x ∈ R D x = ±2 Câu 20 Phương trình 2x + = có tập nghiệm là: −2 −5 B S = C S = D S = A S = 5 Câu 21 Để phương trình (m − 1)x + = −3 phương trình bậc ẩn thì: A m = B m ∈ R C m = D m = Câu 22 Phương trình 3x − = có nghiệm là: A x = B x = −2 C x = D x = −3 Câu 23 Cho phương trình: (2x2 +1)(4x−3) = (x−15)(2x2 +1) Nghiệm phương trình là: 1 18 A x = − ; x = −4 B x = − ; x = 2 D x = −4 C x = − ; x = x −12 Câu 24 Tập nghiệm phương trình: + = là: x + 5(x + 1) A S = {−2} B S = ∅ C S = {−1; −2} D S = {2} Câu 25 Tính tổng lũy thừa bậc nghiệm phương trình: 2(x − 1)(x + 3) = A 80 B 82 C 98 D Một kết khác 38 Câu 26 Tập nghiệm phương trình: 4x − = x + 15 là: A S = B S = {−8} C S = {2} D S = {8} Câu 27 Phương trình sau có nghiệm? A x2 − 3x = B 2x + = + 2x C x(x − 1) = D (x + 2)(x2 + 1) = Câu 28 Phương trình −x + b = có nghiệm x = b bằng: A C −1 B D Câu 29 Với giá trị m phương trình m(x − 3) = có nghiệm x = 5? A m = B m = −2 C m = D m = −3 Câu 30 Phương trình x(x − 1) = x có tập nghiệm là: A S = {0; 2} B S = {0; −2} C S = {0; 1} D S = {1; −4} Câu 31 Với giá trị m phương trình: m(x−3) = có nghiệm x = −1? A m = B m = −2 C m = D m = −3 Câu 32 Phương trình x2 + = có tập nghiệm là: A S = {1} B S = {−1} C S = {1; −1} D S = ∅ Câu 33 Tổng nghiệm phương trình x2 + 3x − = là: A −3 B C −4 D x+2 x Câu 34 Tập nghiệm phương trình: + = là: 16 A S = B S = 5 −16 −8 C S = D S = 5 Câu 35 Tập nghiệm phương trình: x2 + x = là: A S = {0} B S = ∅ C S = R D S = {0; −1} Câu 36 Tích nghiệm phương trình: 3x2 − 4x + = là: 39 1 C D − 3 −3 + = là: Câu 37 Tập nghiệm phương trình: x + x x(x + 1) A B A S = {−1} B S = {0} C S = ∅ D S = {0; −1} 2x x −1 Câu 38 Tập nghiệm phương trình: + = x − x − (x − 2)(x − 1) là: A S = 1; B S = {1} C S = D S = ∅ Câu 39 Tập nghiệm phương trình: x3 − 3x2 + 3x − = là: A S = {1} B −1; 1; C S = 1; D S = {−1} Câu 40 Tập nghiệm phương trình: (x − 2)(x + 3) + 2(x + 3) = là: A S = {−3; 0} B {−3} C S = {−3; 2} D S = {3; 0} Đáp án hệ thống câu hỏi trắc nghiệm 10 B C B C B C D D A A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C B A C D D B B C A 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 C A D A B D D A C A 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B D A B D C C C 40 A A Dưới gợi ý cách giải cho số câu hỏi khó: 2x − Câu Cho phương trình: − = x + x −1 x−2         x∈R x + =      x =   ⇔ x=1 ⇔ Điều kiện xác định: x − =    x =         x = x − = Vậy ta chọn đáp án D Câu 21 Phương trình: (m − 1)x + = −3 phương trình bậc ẩn m − = ⇔ m = Vậy ta chọn đáp án C x −12 Câu 24 + = (1) x + 5(x + 1) Điều kiện xác định: x + = ⇔ x = −1 5x 2(x + 1) −12 + = 5(x + 1) 5(x + 1) 5(x + 1) 5x + 2x + −12 ⇔ = 5(x + 1) 5(x + 1) (1) ⇔ ⇒ 7x + = −12 ⇔ 7x = −14 ⇔ x = −2 (thỏa mãn) Vậy ta chọn đáp án A Câu 28 −x + b = (1) x = nghiệm phương trình (1) nên −1 + b = ⇒ b = Vậy ta chọn đáp án A Câu 29 m(x − 3) = (1) Phương trình (1) có nghiệm x = nên m(5 − 3) = ⇒ m.2 = ⇒ m = 41 Vậy ta chọn đáp án C Câu 33 Ta có: x2 + 3x − = ⇔ x2 − x + 4x − = ⇔ x(x − 1) + 4(x − 1) = ⇔ (x + 4)(x − 1) =   x+4=0 x = −4 ⇔ ⇔  x−1=0 x=1 Tổng nghiệm phương trình là: −4 + = −3 Vậy ta chọn đáp án A −3 + = x + x  x(x + 1)    x+1=0    Điều kiện xác định: x =      x(x + 1) = Câu 37 (1) ⇔ (1) ⇔   x + =  x = 3x 4(x + 1) −3 + = x(x + 1) x(x + 1) x(x + 1) ⇒ 3x + 4x + = −3 ⇔ 7x = −7 ⇔ x = −1 (loại) Vậy ta chọn đáp án C Câu 39 x3 − 3x2 + 3x − = (1) 42 ⇔   x = −1  x = Lưu ý ta nhìn thấy vế trái phương trình (1) đẳng thức (1) ⇔ (x − 1)3 = ⇔x−1=0 ⇔ x = Vậy ta chọn đáp án A 43 Kết luận Phương trình nội dung quan trọng đại số chương trình phổ thơng Việc nghiên cứu phương trình nội dung dạy học phương trình chương trình tốn cho ta cách nhìn tổng quát nội dung dạy học phương trình chương tốn từ chọn phương pháp dạy học phù hợp Khóa luận tốt nghiệp em tập trung phân tích nội dung dạy học phương trình lớp 8, dạng tập phương trình chương trình tốn với hệ thống câu hỏi trắc nghiệm phương trình tốn Tuy nhiên khóa luận chưa sâu nghiên cứu nhiều tốn hay khó phương trình lớp Đề tài giúp em nhìn nhận sâu nội dung dạy học phương trình chương trình tốn 8, dạng tập phương trình tốn qua chuẩn bị kiến thức sâu cho việc giảng dạy toán sau em bạn sinh viên khoa tốn giáo viên tốn nói chung Với thời gian chuẩn bị chưa nhiều bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý từ q thầy bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn 44 Tài liệu tham khảo [1] Vũ Hữu Bình (2010), Nâng cao phát triển Toán - Tập 2, Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Phan Đức Chính (2010), Sách giáo khoa đại số tập 2, Nxb Giáo dục Việt Nam [3] Hoàng Kỳ (2000), Đại sơ cấp, Nxb Giáo dục [4] Đoàn Quỳnh (2010), Sách giáo khoa đại số 10 Nâng cao - tập 1, Nxb Giáo dục Việt Nam [5] Tơn Thân (2010), Bài tập Tốn - Tập 2, Nxb Giáo dục Việt Nam [6] Tạp chí Toán tuổi thơ (2017), Tổng hợp Toán tuổi thơ năm 2017 Trung học sở, Nxb Giáo dục Việt Nam [7] Trang web: violet.vn 45 ... quan hệ toán học Như vậy, nội dung dạy học phương trình chương trình tốn trình bày nội dung sau để giảng dạy cho học sinh: + Định nghĩa phương trình ẩn, tập nghiệm phương trình, giải phương trình, ... dung chương trình dạy học phương trình lớp để qua có lựa chọn phương pháp cách thức dạy học phù hợp nội dung phương trình lớp Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu nội dung phương trình chương trình. .. gồm chương: Chương 1: Phương trình Trong chương khóa luận trình bày số định nghĩa phương trình Nội dung phương trình bậc ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu, giải tốn cách lập phương