Phương trình và bất phương trình chứa căn (lý thuyết sử dụng ẩn phụ căn thức)

Chuyên đề phương trình và bất phương trình ôn thi đại học môn Toán.Trong chuyên đề này đề cập đến việc đặt ẩn phụ cho căn thức trong các bài toán phương trình và bất phương trình thường xuất hiện trong các đề thi đại học các năm gần đây.

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) CHỦ ĐẠO: SỬ DỤNG HAI ẨN PHỤ ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC – ĐẲNG CẤP  ĐẶT HAI ẨN PHỤ – PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC BẬC HAI  ĐẶT HAI ẨN PHỤ – PHÂN TÍCH NHÂN TỬ  BÀI TỐN NHIỀU CÁCH GIẢI LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) Y@ Trong chương trình Tốn học phổ thơng nước ta, cụ thể chương trình Đại số, phương trình bất phương trình nội dung quan trọng, phổ biến nhiều dạng toán xuyên suốt cấp học, phận thường thấy kỳ thi kiểm tra chất lượng học kỳ, thi tuyển sinh lớp 10 THPT, thi học sinh giỏi mơn Tốn cấp kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng với hình thức phong phú, đa dạng Mặc dù đề tài quen thuộc, thống khơng mà giảm phần thú vị, nhiều tốn tăng dần đến mức khó chí khó, với biến đổi đẹp kết hợp nhiều kiến thức, kỹ làm khó nhiều bạn học sinh THCS, THPT Ngồi phương trình đại số bậc cao, phương trình phân thức hữu tỷ phương trình chứa (cịn gọi phương trình vơ tỷ) đông đảo bạn học sinh, thầy cô giáo chun gia Tốn phổ thơng quan tâm sâu sắc Chương trình Tốn Đại số lớp THCS bước đầu giới thiệu phép toán với thức, kể từ thức xuất hầu hết vấn đề đại số, hình học, lượng giác xuyên suốt chương trình Tốn THPT Sự đa dạng hình thức lớp toán thức đặt yêu cầu cấp thiết làm để đơn giản hóa, thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vơ tỷ ưu tiên khử giảm thức phức tạp toán Phép sử dụng ẩn phụ phương pháp nhằm mục đích đó, ngồi tốn cịn trở nên gọn gàng, sáng sủa giúp định hình hướng cách ổn định Đơi phương pháp tối ưu cho nhiều toán cồng kềnh Tiếp theo lý thuyết sử dụng ẩn phụ thức (các phần đến 3), kết thúc ý tưởng sử dụng thức nhất, tác giả xin trình bày tới quý độc giả lý thuyết sử dụng ẩn phụ thức (phần 4), chủ yếu xoay quanh lớp toán chứa thức giải thông ý tưởng sử dụng hai ẩn phụ đưa phương trình đồng bậc – đẳng cấp bậc hai kết hợp phân tích nhân tử – phương trình tích Kỹ đồng hành việc giải hệ phương trình hữu tỷ đồng bậc – đẳng cấp, hệ phương trình chứa quy đẳng cấp, ngày nâng cao kỹ giải phương trình – hệ phương trình cho bạn học sinh Mức độ toán nâng cao chút, độ khó tăng dần so với phần đến 3, đồng nghĩa đòi hỏi tư logic, nhạy bén kết hợp với vốn kiến thức định độc giả Tài liệu nhỏ phù hợp với bạn học sinh lớp THCS ôn thi vào lớp 10 THPT đại trà, lớp 10 hệ THPT Chuyên, bạn chuẩn bị bước vào kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp dự thi kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng mơn Tốn toàn quốc, cao tài liệu tham khảo dành cho thầy cô giáo bạn trẻ yêu Toán khác I KIẾN THỨC – KỸ NĂNG CHUẨN BỊ I Nắm vững phép biến đổi đại số (nhân, chia đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, biến đổi phân thức đại số thức) Kỹ biến đổi tương đương, nâng lũy thừa, phân tích đẳng thức, thêm bớt Nắm vững lý thuyết bất phương trình, dấu nhị thức bậc nhất, dấu tam thức bậc hai Nắm vững kiến thức đa thức đồng bậc, thao tác với phương trình ẩn phụ Bước đầu thực hành giải biện luận toán phương trình bậc hai, bậc cao với tham số Sử dụng thành thạo ký hiệu logic phạm vi tốn phổ thơng LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ II MỘT SỐ BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC Bài tốn Giải phương trình x  x   x x  x  Lời giải 1 Điều kiện x  Nhận xét x  x  x  3  0, x  Phương trình cho tương đương với x  30 x  12 x3  36 x   16 x  x  1  x  20 x  46 x  36 x   2  x  x  1  18 x  x  1   x  1     x  18 x    x  1   x   2;1;9     Đối chiếu điều kiện thu nghiệm S   2;1;9  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với   x x  x   3x  x     x  1  x  x  1   x  1 x  2x 1 x  2x 1  x     x  2x 1     x  Ta có      x   2;9  Đối chiếu điều kiện ta thu ba nghiệm x  18 x    Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x  x x    x  1   x 1  y Đặt  y   thu  x  xy  y   x  x  y   y  x  y     x  y  x  y    x  x  x  y   x  2x 1     x   x  1   x  2x    x   x  3y   x  2x 1    x   2;9   x  18 x   Đối chiếu với điều kiện x  , kết luận tập nghiệm S   2;1;9  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với     x  x x    x  1  x   x  2 x      x   Với x  x     x   2;9   x  18 x      2x 1   x  x 1   x  2x 1  LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ x  x    Với x  x      x 1  x  1  x  2x 1   Đối chiếu với điều kiện x  , kết luận tập nghiệm S   2;1;9    Nhận xét  Lời giải sử dụng phép biến đổi tương đương túy, lời giải nâng lũy thừa trực tiếp có kèm theo điều kiện hai vế không âm thông qua nhận xét dựa điều kiện Lời giải thêm bớt hạng tử đưa hiệu hai bình phương cho kết nhanh chóng  Lời giải dựa phép nhẩm nghiệm, sử dụng đẳng thức liên hợp đưa phương trình cho dạng tích, tác giả trình bày Lý thuyết sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời  Lời giải hướng trọng tâm tài liệu, sử dụng ẩn phụ y thực tế đưa phương trình cho phương trình hai ẩn x y Các bạn thấy đa thức hai ẩn x  xy  y dễ dàng phân tích thành hai nhân tử, cụ thể  x  y  x  y   Sở dĩ dạng phương trình hai ẩn đồng bậc hai x  xy  y  Ngồi cách giải trên, bạn tham khảo thêm cách trình bày chất sau Biến đổi x  xy  y  Xét y   x  , khơng nghiệm phương trình ban đầu 2 x x Xét trường hợp y  ta có x  xy  y           y  y  x  x 1 t  x Đặt  t ta có t  4t     t  1 t  3     y t   x  2x 1  2 Bài toán Giải phương trình  x  1  x  x x  x  Lời giải Phương trình cho tương đương với x  x   x x  x  y Đặt x   y  y   thu x  xy  y    x  y  x  y     3x  y x   x  y  x  4x     x  1;3  x  4x   Điều kiện x  x  (Hệ vô nghiệm) 3x  y  3x  x    9x  4x    So sánh điều kiện x  ta thu tập nghiệm S  1;3 Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với   3x2  x   x x   x  x x   x   x  x  x   x  4x   x2   3 x  x   LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ x   x  4x     x  1;3 x  4x    x   3x  x    (Hệ vô nghiệm) 9 x  x   So sánh điều kiện ta thu tập nghiệm S  1;3 Lời giải Điều kiện x  3 Nhận xét x    x  x  3 x  Phương trình cho tương đương với 4 x  24 x  x  24 x   16 x  x  3  x  40 x  46 x  24 x   x    x  1 x  3  x  x      x  Kết hợp điều kiện thu hai nghiệm, S  1;3 Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với 4 x  x  x  3 4x x  4x   x  4x    x  x    x  x  3 x  4x  x   x2  4x     x      x   3x  x  (Hệ vô nghiệm) 3x  x    9 x  x   Đối chiếu điều kiện ta thu tập nghiệm S  1;3  Bài toán Giải bất phương trình x  3x   x x  x  Lời giải Điều kiện x  Đặt x   t  t   , ta thu x  t  xt  x  x  t   t  x  t     x  t  x  t   (*)  x  Ta có x  ; t   x  t  Do    x  t   x  3x     1 x  3  x  3x    Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với x  12 x   x x   x  x  x x    x      x   x  3x     x  3x   x  3 x   x  3x      1 x   x  3x    3x   LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Lời giải Điều kiện x  Nhận xét x    x  3x   x  Bất phương trình cho tương đương với x   3x    x  x    x  x    x4  x2  3x     3x      x  3x   x  x    1  23  Ta có x  3x    x     0, x  nên 1  x  3x     x   16  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Lời giải Điều kiện x  Bất phương trình cho tương đương với   x x  x   x  3x     x   3x   x  3x  x  3x  0 x  x  3x   x  3x   x  3x    2  x  x   0; x  3x   Do    x  3x     x  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm S  1; 2 Nhận xét x  Bài toán Giải bất phương trình x  x   x x   x  Lời giải Điều kiện x  1 Bất phương trình cho tương đương với x  x x    x  1  x   y  y   thu x  xy  y   x  x  y   y  x  y     x  y  x  y   Đặt   x  2 x  x  2 x  y      4 x  x   (Hệ vô nghiệm)  2 x  y  2 x  x  4 x  x     x  2 x  x  2 x  y   17     4 x  x     x   2 x  y  2 x  x  4 x  x     1  17  Kết luận tập nghiệm S   ;3   Lời giải Điều kiện x  1 Bất phương trình cho tương đương với LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _    x  x x    x  1  x   x  x   x 1      2x  x 1 2x  x 1  Xét hai trường hợp x  2 x  x       4 x  x   (Hệ vô nghiệm) 2 x  x  4 x  x     x  2 x  x  1  17      4 x  x     x  2 x  x  4 x  x     1  17  Kết luận tập nghiệm S   ;3   Lời giải Điều kiện x  1 Nhận xét x  x   0, x  Bất phương trình cho tương đương với x  x      2 2 16 x   x  1  24 x  x  1  64 x  x  1 16 x  40 x  x  1   x  1    x    17  x   17     x      x3 8  x  x  1 x  x        1  17  x    1  17  So sánh điều kiện, kết luận tập nghiệm cần tìm S   ;3    2x Bài tốn Giải bất phương trình  x  x  x  x Lời giải Điều kiện  x  Bất phương trình cho tương đương với    x 2 x x2 2 x x2  x  x    x  0 0 x x   Xét hai trường hợp 0  x   x   x  2  x  Khi    x   x     1 x  x  x   x   x   x   x  ;    x  2  x   2  x   x    2   x  x  4x    Kết luận nghiệm S   2  3;  1;     Bài tốn Giải bất phương trình x  x    x  1 x  Lời giải x  LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với  x  1   x  1 x    x  3  Đặt x   a; x   b  b   Phương trình trở thành a  b a  3ab  2b   a  a  b   2b  a  b     a  b  a  2b      a  2b  x  1  a  b  x 1  x2     x 1  x  2x 1  x   x  1  x  1  a  2b  x   x    (Hệ vô nghiệm)  2  x  x   x  12 3 x  x  11  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với    x  1   x  1 x   x    x  1 x   x    x  1 x    x  1   x  1 x   x     x   x2   x 1  x    x  1  x  1 Với x   x    (Hệ vô nghiệm)  2  x  x   x  12 3x  x  11  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với   x  1 x  1   12 x  x  28  12  x  1 x    x  x  1  12  x  1 x    x  3  x   x   x2   2x   x   x     x   x2    x  1  x  1 (Hệ vô nghiệm) x   x2     2  x  x   x  12 3x  x  11    2     x  1 x   x2     x  x  2x 1  x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Lời giải Điều kiện x   Nhận xét x  x   x   x  1   0, x  Phương trình cho tương đương với x 1    2 9 x  12 x  46 x  28 x  49   x  1  x  3   x  1 x  1      x 1 2 3x  x  13x  11   x  1  x  x  11   Vậy phương trình cho có nghiệm x  LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ Bài toán Giải phương trình x    x2  x  x x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x2  x   x x2  x   x  x   x x  x   x  Đặt (1) x  x   t  t   , phương trình (1) trở thành t  xt  x   t  t  x   x  t  x     t  x  t  x        x   2 x2  x   x  281  x  x   x  x 70 x0 x2  x   x     x  x   36 x  1  281    Kết luận phương trình cho có tập nghiệm S     70    Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x  x   x x  x   28 x  x   28 x x  x     x  x    28 x x  x   49 x  25 x  x  x   x       5x   x   2 x2  x   x  281  x  x   x   x 70 x  x2  x   x    x  x   36 x  1  281    Vậy phương trình cho có nghiệm nhất, hay S     70    Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x  x   x x  x  (*) Nhận xét x  x   0x  nên x       2 49 x  14 x  29 x  x   49 x  x  x    x  x   281    x 70 35 x  69 x  x    x    35 x  x     1  281    Kết luận phương trình cho có tập nghiệm S     70    Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 10 x2 x  x  2  x  2  x  2  x  2 x2      x    x   281 x x  x2  x  x  x   6x   35 x  x    70   1  281    Thử lại nghiệm, kết luận S     70    x2  x2  x x2  x   x Bài tốn Giải phương trình   x2  x   x  x2  x   x2  x 1 x  Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với x  x    x  1 x    x  x  1   x  1 x    x  3    x  1   x  1 x    x    Đặt x   u; x   v  v   thu  u  2v 2u  5uv  2v    u  2v  2u  v     v  2u Xét trường hợp  x  1  x  1  u  2v   (Hệ vô nghiệm)  2  x  x   x  12 7 x  x  11   x  1  x  1 4  14   v  2u    x 2 2 x  x   2 x    x  x  1  4  14 Đối chiếu điều kiện kết luận phương trình đề có nghiệm x  Bài tốn Giải phương trình x  x x    x  3  Lời giải Điều kiện x  Đặt x   y  y   phương trình cho trở thành x  x  y x  xy  y    x  y  x  y     x  y x  x    x  y  x  2x     (Vô nghiệm)  x  1  2  x  2x    x   x  y  x  2x     x  16  13;16  13  x  32 x  48  Đối chiếu điều kiện ta thu hai nghiệm kể   LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 101 Lời giải 3x  Điều kiện  5x  Đặt x   u;5 x   v  3x   u  4;5 x   v  Với u4  , phương trình cho trở thành v 1 u4 u 2   u  8u  16  v  4u  v  2v  1  u 2v  4uv  4u  16v v 1 v uv   uv  u  4v    u  4v    uv   u  4v      u  4v  uv    3x  1  x  3   15 x  x  x     x  1 15 x  x  1   x  10  67 10  67 ;x  3 10  67 10  67 Đối chiếu điều kiện suy phương trình cho có nghiệm x  1; x  ;x  3  u  4v  x    x  3  x  20 x  11   x  Bài tốn 157 Giải phương trình x  14 x3  3x  2 3 2 x 1 x x  Lời giải  x  3x  0  Điều kiện   x  x  2  x  14 x3  3x  x3  3x  x3  3x  Phương trình cho tương đương với 3   2 2 x 1 x 2 x 1 x u4 Đặt x  x   u;1  x  v  x3  3x   u  4;  x  v  Với  (*) trở thành v 1 u4 u 2   u  8u  16  v  4u  v  2v  1  u 2v  4uv  4u  16v v 1 v uv   uv  u  4v    u  4v    uv   u  4v      u  4v  uv    x3  3x   1  x    x  x  x  x   x  x  1  x  x  1   x  0; x  1; x  1  2; x  1   u  4v  x  x   1  x   x  x   x  0; x   7; x    Kết hợp điều kiện ta thu tập nghiệm S  0;1; 1  2; 1  2;  7; Bài toán 158 Giải phương trình x  15 x  21  x  x   x  1  11 x  Lời giải Điều kiện x  15 Phương trình cho tương đương với x  15 x  21  x  x  x  x  14  LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 102 Đặt x  15  u; x  x   v  x  21  u  6;3x  x  14  3v  Chú ý x  15  u   0;3v   Khi ta có biến đổi u u6 u u  12u  36     9v u  48uv  64u  4u 2v  48uv  144v v 3v  4v 9v  48v  64  9v u  4u v  144v  64u  uv  9v  4u   16  9v  4u    uv  16  9v  4u    uv  16   x  15   x  x    16  x  13x  28 x  14    x  1  x  14 x  14    x  1; x  7  7; x  7  11  499 11  499 ;x  9 11  499 11  499 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  1; x  7  7; x  7  7; x  ;x  9  9v  4u   x  x     x  15  x  22 x  42   x  x  2 x  13 Bài toán 159 Giải phương trình  x 4x 1 8x 1 Lời giải Điều kiện x  x2  2  x  2  Phương trình cho tương đương  x   x  1   Đặt x   u; x   v,  u  0; v   ta thu u 2u  u 4u  36u  81     36uv  36uv  9u  4u v  36uv  81v v 2v  v 4v  4v  2  36uv  4u v  81v  9u  4uv  9v  u    9v  u    4uv   9v  u   o 4uv    x    x  1   16 x  x  32 x  17  2x  1   x  1  x  x  17     x 2  x  1  x  16  o 9v  u   x  1  x   x  36 x  11   x  18  313; x  18  313 1  Kết hợp điều kiện đến đáp số S   ;18  313;18  313  2  Bài toán 160 Giải phương trình x  x  x  x  22   4x 33  x x  Lời giải Điều kiện  x  Đặt x  x   a;9  x  b,  a  0; b    x  3x  22  3a  10;33  x  2b  15 Phương trình cho trở thành a 3a  10 a 9a  60a  100     4ab  60ab  225a  9a 2b  60ab  100b b 2b  15 b 4b  60b  225 2  4ab  9a b  225a  100b   ab  4b  9a   25  9a  4b     ab  25  9a  4b   LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 103  ab  25   x  x     x   25  x3  22 x  25 x  11  x    x  1  x  14 x  11     x  8 x  14 x  11   9a  4b   x  x      x   18 x  x   x  0; x   18   Kết hợp điều kiện đến đáp số S   ; 0;1  18  Bài toán 161 Giải phương trình  x    11 12 x5  x 1 5x  x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với x  x  x  x  19   x 1 x 1 Đặt x2  4x   x  4x      x  1  x 1 x  x   u; x   v,  u  0; v   ta thu u 2u    5uv  2u  2vu  5v  5uv  5v  2vu  2u v 5v  5v  2u  5v  uv  1  2u  uv  1   5v  2u  uv  1    uv  Xét trường hợp  5v  2u  25  x  x     x  1  25 x  96 x  179  (Vô nghiệm)  uv    x  x    x  1   x  x  x    x  1   x   Kết luận phương trình ban đầu có nghiệm x   Bài toán 162 Giải phương trình  x  1 2x  5x   2x  x  5x  x  Lời giải Điều kiện x  1 Phương trình cho tương đương với  x  1  x  1   2 x  x   x  x  5  Đặt x   u; x  x   v,  u  0; v   ta thu 2u 2u    2u  v  6v    v  4u  12u    2uv  4vu  9v  18u v v3  v  2u  2uv  v  2u    v  2u    v  2u  2uv       2uv  Xét trường hợp 1   v  2u  x  x    x  1  x  x    x   ;3 2   2uv    x  x  5  x  1   x3  x   LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 104 1 1 1      x  1  x  x  1   x   ; ;  2  2   1 1 1    Kết luận phương trình ban đầu có tập nghiệm S   ;3; ;  2  2   Bài toán 163 Giải phương trình 3x  2  x   x    x 1   x  1 x  Lời giải 3x   u; x   v,  u  0; v   , phương trình cho trở thành Điều kiện x  Đặt u 2u v    2u  uv3  2u 2v  v  2u  2uv  v  uv v  v3  2u  v  2u 1  uv   v 1  uv    2u  v  1  uv     uv  Xét trường hợp sau   10 uv   u v    3x    x  x  1   12 x  20 x  11x   2u  v   3x    x   10 x   x  x    x  1 12 x  x  3     x  12 x  x   Kết luận phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x  ; x  10 Bài toán 164 Giải phương trình x  3x   x  1 x    x2 x  11 x  Lời giải Điều kiện x  Phương trình cho tương đương với Đặt x2  3x  3 x2  x  3x  x  11 x  3x   u; x   v,  u  0; v   ta thu u u 1   uv  9u  3u 2v  3v  uv  3u 2v  3v  9u  3v v  uv  3  uv  v  3u    v  3u     uv  3 v  3u      v  3u Xét trường hợp xảy  uv  3 (Vơ nghiệm u  0; v  )  v  3u  x    x  x  3  x  28 x  29  (Vơ nghiệm) Kết luận phương trình ban đầu vơ nghiệm LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 105 Bài tốn 165 Giải phương trình x  1   x  1  x  x 2x 1 x  Lời giải Điều kiện x  x  1   x  1  Phương trình cho tương đương với x  x 2x 1 Đặt x   u; x  v,  u  0; v   ta thu u u3    u  u v  u 3v  v  u  v  u v  v  u   v  uv u  v   u  v  1  u 2v     u v  Xét trường hợp  u  v  x 1  x  x  x  u v   u 4v    x  x  1 x    x  1  x  1     x 1  x  1 Kết luận phương trình cho có nghiệm x   Bài tốn 166 Giải phương trình x x x 3  x    x  3 x x  Lời giải Điều kiện x  x x x 3  x    x  3 x Phương trình cho tương đương với Đặt x  u; x   v,  u  0, v   ta thu u u3    u  3u v  u 3v  3v  u  3v  3u 2v  u 3v  v  3v 2u u  3v  u  3v  u 2v  3v  u     u  3v  1  u 2v     u v  Xét trường hợp xảy  u  3v  x   x  3  x  27 35 x   u v   x x    x  x      x  1  x  x  1     x  4x  x 1   Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  Bài tốn 167 Giải phương trình Lời giải x 2 x 1  x x 3 x   x  1 x  LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 106 Điều kiện x  x  u; x   v,  u  0; v   , phương trình cho trở thành Đặt u u3    u  3uv  u 3v  3v  u  3v  uv  u  3v  v u  3v u  3v   u  3v   uv  1    uv  Xét trường hợp xảy x  x    u  3v  x  x      x x   x  1 17 x  17     uv   x  x  1   x  x     x  1  x  x  1   x  Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  Bài tốn 168 Giải phương trình 2x 1  x  1 x    3x  2 x    3x2   x  Lời giải Điều kiện x  x   u; x   v,  u  0; v   , phương trình cho trở thành Đặt u u3    u  3uv  u 3v  3v  u  3v  uv  u  3v  v u  3v u  3v   u  3v   uv  1    uv  Xét trường hợp xảy  2 x  2 x  19  u  3v  x   3x      x 2 23 23x  x  19  4 x  x    3x     uv    x  1  3x     x  x  x    3  33 3  33      x  1  x  x  1   x  1; ;  12 12     19 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  1; x  23 x  3x    x  1 Bài toán 169 Giải phương trình  3x   3x  1 3x   Lời giải Điều kiện x  Đặt x  3x   u, x   v,  u  0; v   Phương trình cho trở thành LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 107 2v 4u  3v   2vu  6v  4u  3v 2u  2u  uv    3v  uv   u u 3  2u  3v   2u  3v   uv      uv  Xét trường hợp xảy 3 x  3 x  12  31  2u  3v   x  1  x     x 2 27 36 x  24 x   x  27 x  24 x    uv   x  1  x  1   3x  x  3x     x  1  x  x     x  Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x  1; x  12  31 27 2x2  x 1 Bài toán 170 Giải phương trình   x2 2  x2 Lời giải Điều kiện   x  2x 1 4x2  x  Phương trình cho tương đương với   x2  x2 2x 1 x  Đặt x   u;  x  v, v  ta thu u u2 1   uv  u  u v  v  uv  u 2v  u  v  v v 1 uv   uv  v  u   u  v    uv  1 u  v     u  v 2 x  2 x   u  v  x    x2     x  4 x  x    x 5 x  x   2 x    uv    x  1  x    2  x  x  1 x       2 x  x    4 x  x  x  x    x  1  x  x  1   Chú ý phương trình x3  x   có nghiệm  thỏa mãn   Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x  1; x   Lưu ý: Quá trình tìm nghiệm  tốn 170 cần sử dụng cơng thức nghiệm phức tạp, vượt qua khn khổ tốn nhỏ này, tác giả xin trình bày chuyên mục phương trình đại số bậc cao 3x2 Bài tốn 171 Giải phương trình   x  5x 3 x Lời giải Điều kiện x  x  LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 108 Phương trình cho tương đương với Đặt 3x2 3x2   x  5x  3 x 3 x     2 5x 3 x x   x x  t , t  thu 3t  5t     t  1 3t      3 x 3 x   x  1  2 x  x   13  x 2 x  6x   x  x2  x    x  20  19   2   x 9 x  36 x  36  x 20  19  13 Đối chiếu điều kiện ta có hai nghiệm x  ;x   1   Bài toán 172 Giải phương trình x2 8 3 x2 x 43 x   x  Lời giải Điều kiện  x  16 Phương trình cho tương đương với x2 x2  3x   x  43 x 43 x      3x 2 43 x x   x x t   t ta thu t  3t    t  1 t      Đặt  t2 x   x 43 x   Xét trường hợp 0  x  o 1   x  x    x 1  x  x  16  x 0  x  o  2   x  x    x  26  17  x  16 x  64  36 x  Kết luận phương trình ban đầu có hai nghiệm x  1; x  26  17  1  2 LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 109 Bài tập tương tự Giải phương trình bất phương trình sau tập hợp số thực x3 x4  x  2x  x  x  x x 1 2  2x  x  x 4x 1  2 x 1 2x  2x  x3  2 x  x  x  3x  2 x 4 x  x  3x  x  3x   x 13  x  2 x 6 x x x5  x  x4 x  x9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2  3x 17  12 x   4x  4x x 1 x5  2x  x 1 2x  x  x 1 x 1  x  x  x  5x  x  35 x  18  x  21x  x2  x  x x4  x 57  25 x   5x 47  15 x x  3x  x 3  x x2 x2  1  x 1 2x x 1 2x2  x  2x2  4x   x2 x3 x2 2x  1  1 x x3 x 3  x2 x2 x3 5x  x   5x 1 2x 1 LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 110 1  x   x   x3 x5 20 x 1 21 4x2  x 1 4x2  x   2x  2x  3x  x  3x  x  10  2x 1 x 1 2x 1 4x 1 23  x  x  x  3x  5x  5x  24  7x  7x  x 1 2x 1 25  2 x  x  x  x  1 22 x  x2   7x  7x  x3 2x   x  3x  x  x  5x  15 x  2  2x  x  2x  x  8 x  41 4x   10 x  39 2x2  x2 x  13  2x  x  2x  x  26 27 28 29 30 x2   x 5x 1 5x x 2x  32  2x  x  2x  x  31 x  x  x  10 x   2x 1 2x  3x  x  11 34  3x  x  3 x  x  33 x  x  x  12 x   5x 1 x 1 x  41 4x  36  25 x  24 5x  2x 1 5x  37  2 x  x  x  3x  35 10 38 4x 1 5x 1  3x  x   x  1 x  1 LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 111 x  x  25 x  x  39  3x 3x  x  x  x  28 x  17 40  x 1 x8 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 3x  x  21x  28 x  31  3x  x2 x  35 x  10 x 5  x 7x 3x  29  x  x  x  x  x 1 4 x x  33  x  x  x 1  x  6 x x  37  0 x  x5 x  x7 5x 1 15 x  17  2 x  x  10 x  25 x  7x  21x  11  x  x  20 x  35 x  23  3x 41  x  3x  x  15 x  10 x  4 x 35  x  x  10 x  3x  30 x  22  2x 4 x  37  x  x  x  24 x  16 3x 2x   2 x  x  21x  x  13 4x   3x  3x  x x  x  21 6x2  2x 1 53  18 x  x  5x  x  23 x  3x  25  x6 x  27 54 x  15 x  13 55  2x  x  13 x 1 x  23 56 2  x  x  x  12 x  57 5x 1 x5  x  x x  10 x  LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 112 58 7x 31  x  7x 17  x 59  x 37  x  5 x 35  x 60  x  x 42  x  x   2x 38  x 61  x  29  x  x  x  x  22  3x  x  23 62 63 64 65 66 67 68 x2   x  27 x3 x  x  x  30 x   7x  21x  11  3x2  x  3 3x32xx2   12 x 2x  2 x  0 2 x  2x  4x  2x 1 16 x  21  4x   2 3x  3x  x  3x  6 x 17  x   6 x x  57  2x 56  x   2x 64  14 x  x2  x  47 4 x x  41 70  x  18    3x2  2x 69  x  43 71 x2 1 3x  20 x   x   x  3 x   3 72  3x    3x    x   x  3x   73 2  x 1 2 x  2 x   x2   x  74 x2  5x   x 1 x   75   3x    3x   3x   3x   x  LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 113 4x2   7x  x 1 1 x 1 2x2 77  9x   x 3 x 4x2 78   x  5x 42 x   3x   x   3x 79   4x 5  x   3x  76   6x2 80   x  7x 3 x 2  x2 2  x   2x  81  3  2x 3  2x   82 83 84 85  2x2 3  2x   2x 1 2   2x 1 3  2x  x  x  10 x  x   2x 1 6x 1  2  x  x 2 x   6x    x2   x2 3x  2 3x   3x   3x   3x  3x2  86 x2  x  4x  1  x 3x  87  x2  1 x   x   2x 1 x    x  1  x  1 3x   x 3x  1 x2  89 2x   x 3x  88 3x  90  x  x  1 x  x   x2  x   x  x  4  x  3x   x  x   91 x 92 93 2x2  6x  3  x 3x   x   3x   3x   2 x  x   x2  x   3x   3  x  1 x   2x 1  3x  x  3   x  x  3 x  LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 114 III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập tốn hay khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Mơn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Tốn bồi dưỡng học sinh phổ thơng trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng tốn điển hình kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng; Tập Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ơn luyện thi mơn Tốn THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các giảng luyện thi mơn Tốn; Tập Phan Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 Hệ phương trình phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ 115 22 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học THPT Chuyên tỉnh thành 23 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà địa phương toàn quốc 24 Đề thi học sinh giỏi mơn tốn khối đến khối 12 cấp 25 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Tốn (chính thức – dự bị) qua thời kỳ 26 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 tỉnh miền Trung Nam (1995 – 2013) 27 Các tạp chí tốn học: Tạp chí Tốn học tuổi trẻ; Tạp chí Tốn tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 28 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 29 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twiter; ...LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN THỨC (PHẦN 4) _ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÝ THUYẾT SỬ DỤNG ẨN PHỤ CĂN... thực tế phương pháp giải, kỹ năng, mẹo mực hình thành, vào hệ thống Về để làm việc với lớp phương trình, bất phương trình vơ tỷ ưu tiên khử giảm thức phức tạp toán Phép sử dụng ẩn phụ phương pháp... Đôi phương pháp tối ưu cho nhiều toán cồng kềnh Tiếp theo lý thuyết sử dụng ẩn phụ thức (các phần đến 3), kết thúc ý tưởng sử dụng thức nhất, tác giả xin trình bày tới quý độc giả lý thuyết sử dụng