Ch­uong 4. Chuoi so - chuoi luy thua.ppt

Tích phân

Chương 4: Chuỗi số Chuỗi luỹ thừa 4.1 Chuỗi số: 4.1.1 Đại cương chuỗi số: a) Các khái niệm n ã ĐN: u n ; S n  u k n 1 • k 1  Chuỗi hội tụ:Sn S n ; S un n ã Phần dư: R n   uk k n 1  Chó ý:  u n 1 n ht : * Limun 0 n  * Lim R n 0 n   VÝ dô 1:  aq n n 1 * ht q 1 * pk q  b) §iỊu kiện để chuỗi hội tụ u ht Limu kiện cần: Ví dụ 2: chuỗi n ;Limu 0; Nhưng chuỗi phân kỳ Điều kiện cần đủ: Điều n n n n 0  n 1  u n 1 n n  n héi tơ   Sn n lµd· y Cauchy p  >0; no  : p  q n o th ×  un   n=q+1 c) Tính chất chuỗi hội tụ TC1:  u ;  v n 1 n  TC2: n 1 n ht    (u n 1  n  v n );  ku n (u n 0) n 4.1.2 Chuỗi số dương a) Định nghÜa:  u n 1 n ch(  ) u n  n b) C¸c dÊu hiƯu héi tụ: Dấu hiệu so sánh: Cho chuỗi (+) u ;  v Gs u  v n n  N*  n 1 n  n 1 n n n   n 1 n 1   n 1 n 1 * ch  v n ht  ch  v n ht * ch  v n pk  ch  v n pk o   sin n n 1  VÝ dô : sin n Chuỗi có n n Mà chuỗi ht n n sin n chuỗi n 1  héi tơ nªn héi tơ theo tiªu chn so sánh Hệ quả: Cho chuỗi (+): u ;  n n 1   n 1 un  Lim k  R n  v n Thì chuỗi tính chất  Dấu hiệu D’Alembert u n 1 k  u n ; u n  0(n ) Lim n  u n 1 n  * k  1: ch ht * k  1: ch pk * k 1: (n! ) VÝ dơ:  n héi tơ v× n 1 n u n1 1 Lim Lim 0  1 / n  u n  e (n  1) n   DÊu hiÖu Cauchy:  n u k  u ; u  Lim  n n n n 1 * k  1: * k  1: * k 1: n  VÝ dô:  n     v×: n 1 2n  1  n n Lim u n   n hội tụ 4.1.3 Chuỗi có dấu bất kỳ: a) Hội tụ tuyệt đối Bán hội tụ: Định nghĩa: un n  un n 1  ng u  n 1 un hội tụ tđnếu n un bán ht  nÕu n 1 n ph©n kú héi tơ Các tính chất: TC1: TC2: b) Chuỗi đan dấu Định nghĩa: (u u  u  .)  (  1) u n ; u n  0n n n 1  DÊu hiƯu Leibnitz: {un } gi¶m  n 1) u htụ hội (vỊ n n 1 tơ vµ cã tỉng < u1 ( 1) 1n1 Ví dụ: chuỗi n pk ng héi tô nnh­  n 1 ht n 3.2 Chuỗi hàm số 3.2.1 Hội tụ hội tụ đều: a) Các khái niệm: DÃy hàm {un(x) } xác định D Các tổng thøc sau: ( x)  u nh×nh n 1 n Sn (x)  u k (x) k 1 R n ( x)    u k ( x) k n 1  MiỊn héi tơ: xo  T   TÝnh  u n ( xo ) ht n 1 chÊt: x o  T : * LimS n ( x o ) S( x o ) * LimR n ( x o ) 0 * Limu n ( x o ) Tổng chuỗi: S(x)/ T ... ht    (u n 1  n  v n ); ku n (u n 0) n 4.1 .2 Chuỗi số dương a) Định nghĩa: u n n ch(  ) u n  n b) C¸c dÊu hiƯu héi tơ:  DÊu hiƯu so s¸nh: Cho chuỗi (+) u ; v Gs u  v n n  N*...  n Chuỗi có n n Mà chuỗi  ht n 1 n    sin n chuỗi n hội tụ nên hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh Hệ quả: Cho chuỗi (+): u ; n n  n 1 un  Lim k  R n v n Thì chuỗi tính chÊt ... 1: * k  1: * k 1: n  VÝ dơ:  n     v×: n 1 2n  1  n n Lim u n   n  héi tô 4.1 .3 Chuỗi có dấu bất kỳ: a) Hội tụ tuyệt đối Bán hội tụ: Định nghĩa: un n 1   un n 1