CHUỔI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA

bài tập chuổi số thường gặp

CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA

Chương 5:

Phần 1: CHUỖI SỐ

ĐỊNH NGHĨA

S  a  a    a n N 

Cho dãy số {an}, định nghĩa dãy số mới

{Sn} được gọi là chuỗi số, ký hiệu:

n n



Vậy chuỗi hội tụ và có tổng là 1/3

• Tổng 2 chuỗi hội tụ là hội tụ

• Tổng 1 chuỗi hội tụ và 1 chuỗi phân kỳ là phân kỳ

Điều kiện cần của sự hội tụ

n n

n a

Ví dụ

3/ Ks sự hội tụ và tính tổng nếu có:

1

n n

1 2 1

CHUỖI KHÔNG ÂM.

Tiêu chuẩn tích phân Maclaurin - Cauchy

Ví dụ

2 2

1 /

Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

f(x) dương, ltục và giảm nên



  h tụ

1 1

2 2

Dạng 2: an, bn > 0, lim n

a K

n n

K n

 

   

khi n  

1 3

a

K n

 

   

Chuỗi đã cho cùng bản chất với chuỗi điều hòa

3/2 3

1 ln( !

2 2 2

1

1

n n

n n

Tiêu chuẩn D’Alembert

n

a D

• Dn  1 : chuỗi phân kỳĐặt :

Tiêu chuẩn Cauchy

• Cn  1 : chuỗi phân kỳĐặt :

Tiêu chuẩn Rapb(sử dụng khi D = 1 và Dn < 1)

1

1 lim

n n

n

n n

Ví dụ-Khảo sát sự hội tụ

1

2 ( 1)!

e n n

n

a D

  Không KL

1 1

n n

n

n

n n





.2 ( 1)

n

n

n n





2 1 1

e

   chuỗi ht

(2 1)!! 1 (2 )!

6 5 (2 2)(2 3)

n n

n n

Nên dùng điều kiện cần để có kết quả

nhanh hơn(đối với VD này)

ln 1

Chuỗi đan dấu – Tiêu chuẩn Leibnitz

Mẫu số thay đổi dấu

 không phải chuỗi đan dấu

n n

n n

2 1

n

n n

CHUỖI CÓ DẤU TÙY Ý

Sự hội tụ tuyệt đối

Tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert

 hội tụ hay phân kỳ theo tc

Cauchy hoặc D’Alembert thì

n a

n

n a

  chuỗi ht tuyệt đối

n a

1 n 1 3n

n b

Bài tậpKhảo sát sự hội tụ của các chuỗi sau:

  1

1

11)

1cos

n n

15)

a a

17)

  2

2 1

7 !10)

n

n n

n n

1

1

n n

n e

n n

n n

3 3 1

n n