TRNG THCS VINH THANH Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Nga- Pháp) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (1,5 điểm): Cho biểu thức 86 1 : 1 1 1 2 1 + + + ++ = a aaa a aa a M . 1. Rút gọn biểu thức M. 2. Tính M khi 627 =a . Gii : 1. Điều kiện của a: a>0 và a1. 1 86 . 1)( )1(2)1( 3 ++++ = aa aaaaa M = 1 86 )1()1( 86)12( 2 ++ = ++ + aaaaa aa 2. 16)16(627 2 === aa . )67(2 67 86 116627 86 += = ++ =M Câu 2 (2 điểm): 1. Giải phơng trình 224222 2 +=+ xxxx . Gii : - Điều kiện x>2 - Phơng trình tơng đơng với: 022222222 =+++++ xxxxxx . ( ) 022222 2 =+++ xxxx . Đặt t= 22 + xx , có phơng trình t 2 +t-2=0 = = 2 1 t t - Với t=1: 122 =+ xx 212 ++= xx 2232 +++= xxx 522 =+x , ph- ơng trình này vô nghiệm. - Với t=-2 222 =+ xx 222 +=+ xx 2242 +=++ xxx 02 =x , hay x=2, thoả mãn điều kiện. Câu 3 (1,5 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ cho parabol (P) 4 2 x y = , điểm M(0;-2) và đờng thẳng d qua I, có hệ số góc k. 1. Chứng minh rằng đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi k, 2. Tìm k để đoạn AB ngắn nhất. Gii : 1. Đờng thẳng d có phơng trình: y=kx-2. GV: KIM THCH ST 1 TRNG THCS VINH THANH d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B có hoành độ x 1 , x 2 là nghiệm phơng trình 4 2 2 x kx = , tơng đơng với x 2 +4kx-8=0, phơng trình này có =4k 2 +8>0 với mọi k, suy ra phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là A, B là ghai điểm phân biệt. 2. Giả sử A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2 ), với y 1 =kx 1 -2, y 2 =kx 2 -2, khi đó AB 2 =(x 2 -x 1 ) 2 +(y 2 -y 1 ) 2 =(x 2 -x 1 ) 2 +k 2 (x 2 -x 1 ) 2 =(k 2 +1) (x 2 -x 1 ) 2 = (k 2 +1) [(x 2 -x 1 ) 2 -4x 1 x 2 ]. Theo định lí Viet, x 1 +x 2 =-4k, x 1 x 2 =-8 AB 2 =(k 2 +1)(16k 2 +32)>32. Dấu (=) xảy ra khi k=0, vậy AB lớn nhất bằng 24 khi k=0. Câu 4 ( 3 điểm): Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên cạnh Ox (OA<OB), điểm M bất kỳ trên cạnh Oy, M khác O. Đờng tròn tâm I đờng kính AB cắt các tia MA, MB lần lợt tại điểm thứ hai là C, D. Tia OD cắt đờng tròn (I)tại điểm thứ hai E. 1. Chứng minh tứ giác OCEM là hình thang. 2. Chứng minh OD.OE+BD.BM=OB 2 . 3. Tìm vị trí điểm M để tứ giác OCEM là hình bình hành. Gii : K E D C I O x y A B M 1. Tứ giác OADM có MOA=MDA=90 0 , suy ra tứ giác OADM nội tiếp đờng tròn đ- ờng kính MA, suy ra OMA=ODA. Tứ giác ACED nội tiếp đờng tròn tâm I, suy ra ODA=ACE, suy ra OMA=ACE OM//CE tứ giác OCEM là hình thang, 2. Ta có: OAEODB OB OE OD OA = OA.OB=OD.OE (1) OBMDBA BA BM DB OB = BD.BM=OB.OA (2) Từ (1) và (2) suy ra OD.OE+BD.BM=OA.OB+OB.OA= OB(OA+AB)=OB 2 . 3. CM cắt OE tại H, CE cắt AB tại K. Tứ giác OCEM là hình bình hành , suy ra OH=HE. Từ OM//CE, suỷa CEAB , suy ra CK=KE A là trọng tâm OCE. Suy ra OK=3AK. Ta xác định M bằng cách : - Xác định K : lấy K thuộc cạnh Ox sao cho OK=3AK. Kẻ đờng thẳng qua K, vuông góc với Ox, đờng thẳng này cắt đờng tròn tâm I tại điểm C (C thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa tia Oy). CA căt Oy tại M, M là điểm cần tìm. Câu 5 (1 điểm): GV: KIM THCH ST 2 TRNG THCS VINH THANH Cho hình chóp OABC, có OA, OB, OC vuông góc với nhau đôi một. Từ O kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng H là trực tâm tam giác ABC. Gii : O A B C H - Ta có OHmp(ABC)BCOH. - OAmp(OBC)BCOA suy ra BCmp(OHA). Vậy AHBC. Chứng minh tơng tự ta có BHAC, vậy H là trực tâm tam giác ABC. Câu 6 (1 điểm): Cho hai số x, y lớn hơn 1, thoả mãn điều kiên xy<4. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 1 + = yx M . Gii : - Nhận xét: với mọi a, b dơng ta có abba 2+ , dấu bằng xảy ra khi a=b. Ta có )1)(1(412 . 12)11)(11(4 =++= yxyxyxxy , vậy 1 )1)(1( 1 yx , vậy M= 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 + yxyx M=2 khi x=y=2, vậy M đạt giá trị min bằng 2 khi x=y=2. GV: KIM THCH ST 3 . y 1 =kx 1 -2 , y 2 =kx 2 -2 , khi đó AB 2 =(x 2 -x 1 ) 2 +(y 2 -y 1 ) 2 =(x 2 -x 1 ) 2 +k 2 (x 2 -x 1 ) 2 =(k 2 +1) (x 2 -x 1 ) 2 = (k 2 +1) [(x 2 -x 1 ) 2 -4 x 1 x 2 ]. Theo định lí Viet, x 1 +x 2 =-4 k,. TRNG THCS VINH THANH Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Nga- Pháp) Thời gian làm bài: 150 phút,. 224222 2 +=+ xxxx . Gii : - Điều kiện x>2 - Phơng trình tơng đơng với: 022222222 =+++++ xxxxxx . ( ) 022222 2 =+++ xxxx . Đặt t= 22 + xx , có phơng trình t 2 +t-2=0 = = 2 1 t t - Với t=1: 122