Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh thi chuyên Toán) Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (1,5 điểm): Tìm 3 số x,y,z thoả mãn điều kiện: 44175026 1750 256 2 4 6 16 =+++ + + zyx zyx . Gii : Điều kiện để đẳng thức có nghĩa là x>6; y>2 và z>1750. Ta có: 6 )64( 6 6 6 6 4 2 6 16 2 = + x x x x x xx . Từ đó đẳng thức đã cho tơng đơng với: ( ) ( ) ( ) 0 1750 175016 2 22 6 64 2 2 2 = + + z z y y x x . Suy ra { 161750 22 46 = = = z y x = = = 2006 6 22 z y x . Câu 2 (1,5 điểm): Cho biểu thức: A=x 2 +xy+y 2 -3x-3y+2009. Với giá trị nào của x, y thì A đạt giá trị bé nhất, hãy tìm giá trị bé nhất đó. Gii : Ta có : A=x 2 -2x+1+y 2 -2y+1+xy-x-y+1+2006. A=(x-1) 2 +(y-1) 2 +(x-1)(y-1)+2006. A=[(x-1)+ 2 1 (y-1)] 2 + 4 3 (y-1) 2 +2006. A min =2006 khi x=1, y=1. Câu 3 (1,5 điểm): Giải hệ phơng trình sau: =++ =+ =++ 14 7 6 222 zyx zxyzxy zyx Gii : Hệ đã cho tơng đơng với TRNG THCS VINH THANH =++++ =+ =++ 14)(2)( 7 6 2 zxyzxyzyx zxyzxy zyx =++ =+ =++ 11 7 6 zxyzxy zxyzxy zyx (3) 7 (2) 9)( (1) 6 =+ =+ =++ zxyzxy zxy zyx Từ (1) và (2) suy ra xy và x+z là nghiệm của phơng trình bậc hai: t 2 -6t+9=0, phơng trình này có hai nghiệm t 1 =t 2 =3. Thay vào trên ta có: = =+ = 2 3 3 zx zx y x, z là nghiệm của phơng trình m 2 -3m+2=0, m 1 =1, m 2 =2 Vậy hệ có nghiệm là (1;3;2) và (2;3;1) Câu 4 (2 điểm): Tìm các cặp số nguyên x; y thoả mãn điều kiện : (x-2006) 2 =y(y+1)(y+2)(y+3). Gii : Ta có (x-2006) 2 = (y 2 +3y)(y 2 +3y+2). Đặt t= y 2 +3y, ta đợc (x-2006) 2 = t 2 +2t. Nếu t>0 thì t 2 <t 2 +2t<t 2 +2t+1=(t+1) 2 nên (x-2006) 2 không phải là số chính phơng. Vậy t<0, hay y 2 +3y=y(y+3)<0, hay y chỉ có thể bằng 0,-1, -2 hoặc -3 (do y` nguyên). Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (2006 ;-3), (2006 ;-2), (2006 ;-1), (2006 ;0). Câu 5 (2,5 điểm): Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm E và F (E gần A hơn); P là giao điểm của CE và DF. Hai đờng tròn ngoại tiếp hai tam giác APE và BPF cắt nhau ở điểm thứ hai Q. Chứng minh rằng PQ||AD. Gii : Q P C A B D E F K M Kéo dài PQ căt AB tại K, cắt CD tại M, ta chứng minh KM//AD hay ta chứng minh MC MD KB KA = là đủ. Thật vậy: tứ giác AQPE nội tiếp , suy ra KAQ đồng dạng với KPE, suy ra KE.KA=KP.KQ, tơng tự ta có KF.KB=KP.KQ, từ đó suy ra KE.KA=KF.KB hay KE KF KB KA = (1) GV: KIM THCH ST 2 TRNG THCS VINH THANH Theo giả thiết PKF đồng dạng với PMD nên PM KP MD KF = (2) và PKE đồng dạng với PMC nên PM KP MC KE = (3) Từ (2) và (3) suy ra MC KE MD KF = hay MC MD KE KF = (4). Từ (1) và (4) suy ra MC MD KB KA = (điều phải chứng minh) Câu 6 (1 điểm): Cho hình tứ diện ABCD có AD=BC, AC=BD. Gọi E và F lần lợt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng EF vuông góc với AB và CD. Gii : F E A B C D Từ giả thiết ta có ACD=BCD (ccc). Suy ra hai trung tuyến tơng ứng AF và BF bằng nhau, vậy tam giác AFB cân, Do đó trung tuyến FE cũng là đờng cao, vậy FE vuông góc vớiAB. Chứng minh tơng tự, tam giác CED cân, suy ra EF vuông góc với CD, từ đó suy ra điều cần phải chứng minh. GV: KIM THCH ST 3 . A=x 2 +xy+y 2 -3 x-3y+20 09. Với giá trị nào của x, y thì A đạt giá trị bé nhất, hãy tìm giá trị bé nhất đó. Gii : Ta có : A=x 2 -2 x+1+y 2 -2 y+1+xy-x-y+1+2006. A=(x-1) 2 +(y-1) 2 +(x-1)(y-1)+2006. A=[(x-1)+ 2 1 (y-1)] 2 + 4 3 (y-1) 2 +2006. . Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh thi chuyên Toán) Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006 Thời gian làm bài: 150. đợc (x-2006) 2 = t 2 +2t. Nếu t>0 thì t 2 <t 2 +2t<t 2 +2t+1=(t+1) 2 nên (x-2006) 2 không phải là số chính phơng. Vậy t<0, hay y 2 +3y=y(y+3)<0, hay y chỉ có thể bằng 0 ,-1 , -2