TRNG THCS VINH THANH Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin) Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2 điểm): Cho phơng trình: 2x 2 -5mx-m 2 +5m=0. 1. Giải phơng trình khi 2=m . 2. Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu. Gii : 1. Với 2=m phơng trình đã cho trở thành 0252.252 2 =+ xx . Do tổng các hệ số bằng không nên pt có hai nghiệm là x 1 =1 và 2 225 2 =x . 2. Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi a.c<0 suy ra 2(-m 2 +5m)<0 vậy < > 0 5 m m Câu 2 (2 điểm): 1. Giải hệ phơng trình: =+ =+ 1154 543 2 2 yxy xyx 2. Giải phơng trình: 22 2 84 4 xx x =+ . Gii : 1. Cộng từng vế hai pt của hệ ta đợc hệ tơng đơng : =+ =+ 1154 169)2( 2 2 yxy yx =+ =+ 1154 132 2 yxy yx . Thay yx 213 = vào phơng trình thứ 2 của hệ, ta đợc: = =+ 0115132 0115132 2 2 yy yy . Từ đó suy ra hệ đã cho có 4 nghiệm là (3;5), 2 23 ;36 , (-5;-3), 36; 2 23 , 2. Điều kiện: 4<x 2 <8 2 4 1 2 x . Đặt 1 4 2 2 += y x , do 2 4 2 x nên y 2 <1. Từ đó suy ra x 2 =4y 2 +4. Thay vào phơng trình đã cho ta có: 22222 44214484441 yyyyyy =++=+++ . hay 1+|y|=4-4y 2 hay 4y 2 +|y|-3=0. Giải phơng trình này ta đợc 4 3 =y . Suy ra 4 25 2 =x , 2 5 =x . Câu 3 (1 điểm): GV: KIM THCH ST 1 TRNG THCS VINH THANH Cho x, y, z là ba số dơng thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng nếu zyx zyx 111 ++>++ thì có một và chỉ một số lớn hơn 1. Gii : Xét biểu thức A=(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1. Vì xyz=1 nên A=x+y+z- xyz zxyzxy ++ = 0 111 > ++++ zyx zyx . Theo giả thiết, ++>++ zyx zyx 111 suy ra A>0. Nếu cả ba nhân tử (x-1), (y-1), (z-1) đều dơng thi x, y, z đồng thời lớn hơn 1, trái với với giả thiết xyz=1. Vậy chỉ xảy ra trờng hợp có đúng một nhân tử dơng, tức là có đúng một số trong ba số x, y, z lớn hơn 1. Câu 4 ( 2 điểm): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai điểm A(2;3) và B(-1;1). 1. Tìm trên trục hoành Ox điểm M sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng. 2. Tìm trên trục hoành Ox điểm P sao cho PA+PB nhỏ nhất. Gii : 1. Phơng trình đờng thẳng AB có dạng: y=ax+b (vì x A x B ). Thay các toạ độ vào ta có: = = =+ =+ 3 5 3 2 1 32 b a ba ba , vậy đờng thẳng AB có phơng trình: 3 5 3 2 += xy . Giao của đờng thẳng AB với trục hoành là điểm ).0; 2 5 (M 2. Gọi A 1 là điểm đối xứng với A qua Ox, suy ra A 1 (2;-3). Gọi P là giao của A 1 B với Ox, thế thì P là điểm cần tìm. Thật vậy: Với điểm Q bất kỳ trên Ox, khác P thì QA+QB=QA 1 +QB>A 1 B=PA 1 +PB=PA+PB bé nhất. đờng thẳng A 1 B có phơng trình 3 1 3 4 = xy , P thuộc trục hoành nên y=0, 4 1 =x vậy P có toạ độ )0; 4 1 (P . Câu 5 (2 điểm): Cho đờng tròn tâm O. Từ điểm M nằm ngoài đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến ME và MF đến đờng tròn (E, F là các tiếp điểm). Trên cung nhỏ EF lấy điểm P bất kỳ. Tiếp tuyến với đờng tròn tại P cắt ME, MF lần lợt tại A và B. 1. Chứng minh rằng tam giác MAB có chu vi không đổi. 2. Xác định vị trí điểm P để tam giác MAB có diện tích lớn nhất. Gii : GV: KIM THCH ST 2 TRNG THCS VINH THANH B A M O E F P 1. Vì AE và AP là tiếp tuyến nên AE=AP. Tơng tự, BF=BP. Chu vi tam giác ABM là AB+BM+MA=MA+AE+MB+BF= 2ME không đổi. 2. Trớc hết ta chứng minh ABC có góc A không đổi và đờng cao AH=h không đổi Thì diện tich nhỏ nhất khi nó là tam giác cân. Thật vậy: ta có thể giả sử AC>AB Xét tam giác cân AB 1 C 1 đỉnh A, góc A không đổi, đờng cao h. Trên AC lấy AQ=AB, suy ra tam giác ABB 1 bằng tam giác AQC 1 . Suy ra diện tích AB 1 C 1 bằng diện tích tứ giác ABC 1 Q<diện tích tam giác ABC. Trở lại bài toán ta có: S MAB = S MEOF S AEOFB =S MEOF -2S OAB . Do diện tích S MEOF không đổi nên S MAB lớn nhất khi S OAB nhỏ nhất. Do góc AOB không đổi, đờng cao OP=R không đổi, vậy theo chứng minh trên, diện tích tam giác MAB lớn nhất khi OAB là tam giác cân, tức là P là điểm chính giữa cung EF. Câu 6 (1 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm K sao cho AK=2AB. Từ B và K vẽ các tia Bx//CK và Ky//CB, Bx cắt Ky tại điểm P. Chứng minh rằng cos 2 KBC+sin 2 KAP> 2007 2006 . Gii : GV: KIM THCH ST A B 1 C B C 1 Q 3 TRƯỜNG THCS VINH THANH P K H A B C Gäi H lµ trung ®iÓm cña AK, ta cã HK=AB, BP//CK, KP//CB, vËy BP=CK. Gãc ABP =gãc HKC suy ra ∆ABP=∆HKC. VËy CH=PA. L¹i do CH=CB nªn PA=CB. VËy PK=PA, hay gãc PAK b»ng gãc PKA vµ b»ng gãc KBC. Suy ra cos 2 (∠KBC)= 2 2 BC AB . sin 2 (∠KAB)= 2 2 BC AC , suy ra cos 2 (∠KBC)+ sin 2 (∠KAB)=1> 2007 2006 . GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 4 . lớn hơn 1. Gii : Xét biểu thức A=(x-1)(y-1)(z-1)=xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1. Vì xyz=1 nên A=x+y+z- xyz zxyzxy ++ = 0 111 > ++++ zyx zyx . Theo giả thi t, ++>++ zyx zyx 111 . VINH THANH Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin) Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006 Thời gian làm. ++>++ zyx zyx 111 suy ra A>0. Nếu cả ba nhân tử (x-1), (y-1), (z-1) đều dơng thi x, y, z đồng thời lớn hơn 1, trái với với giả thi t xyz=1. Vậy chỉ xảy ra trờng hợp có đúng một nhân tử