TRƯỜNG THCS VINH THANH KÌ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008-2009 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1:(1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4 x +2009 2 x +2008 x +2009 Giải : 4 x +2009 2 x +2008 x +2009 = ( 4 x + 2 x +1) +2008( 2 x + x +1) = ( 2 x + x +1)( 2 x - x +1)+ 2008( 2 x + x +1) = ( 2 x + x +1)( 2 x - x +2009) Câu 2:(1 điểm) Giải phương trình sau: 13 2+x + 15 452 +x = 37 83 +x + 9 694 +x Giải : 13 2+x + 15 452 +x = 37 83 +x + 9 694 +x ⇔ ( 13 2+x +1)+( 15 452 +x -1)=( 37 83 +x +1)+( 9 694 +x -1) ⇔ + + 13 15x 15 )15(2 +x = 37 )15(3 +x + 9 )15(4 +x ⇔ 0) 9 4 37 3 15 2 13 1 )(15( =−−++x ⇔ x=-15 Câu 3: (2 điểm) a/ Chứng minh rằng 2 44 ba + 2233 babaab −+≥ b/ Cho hai số dương a,b và a=5-b. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng P= ba 11 + Giải : a/ 2 44 ba + 2233 babaab −+≥ ≥+⇔ 44 ba 2233 222 babaab −+ −+⇔ 44 ba 2233 222 babaab +− 0 ≥ GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 1 TRƯỜNG THCS VINH THANH )2()2( 22342234 baabbbabaa +−++−⇔ 0)()( 2222 ≥−+−⇔ abbaba b/ P= ba 11 + = ab ba + = ab 5 P= 2 )( 20 4 20 baab + ≥ = 5 4 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5 4 khi a=b= 2 5 Câu 4:(2 điểm) a/ Cho a và b là hai số thực dương thõa mãn điều kiện: 200820082007200720062006 bababa +=+=+ Hãy tính tổng: S= 20092009 ba + b/ Chứng minh rằng :A= 26 4813532 + +−+ là số nguyên Giải : a/ Ta có: =+ 20082008 ba ( )())( 2006200620072007 baabbaba +−++ ⇔ 1= abba −+ ⇔ 0)1)(1( =−− ba ⇒ 1,1 == ba Vậy S=1+1=2 b/ A= 26 4813532 + +−+ A= 26 )132(532 2 + +−+ = 26 )13(32 2 + −+ = 26 322 + + = 26 )26( 2 + + =1 ∈ Z Câu 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên dương x,y thõa mãn phương trình sau: xy-2x-3y+1=0 GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 2 TRƯỜNG THCS VINH THANH Giải : xy-2x-3y+1=0 ⇒ xy-3y=2x-1 ⇒ y(x-3)=2x-1 Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x ≠ 3 thì y=2+ 3 5 −x Để y nguyên thì x-3 phải là ước của 5 Suy ra: (x,y) là (4,7) ;(8,3) Câu 6: (3điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC>AB ,đường cao AH (H thuộc BC).Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD=HA.Đường vuông góc với với BC tại D cắt AC tại E. a)Chứng minh hai tam giác BEC và ADC đồng dạng b)Chứng minh tam giác ABE cân. c)Gọi M là trung điểm của BE và vẽ tia AM cắt BC tại G. Chứng minh rằng: HCAH HD BC GB + = Giải : M G E D H A C B a) Tam giác ADC và tam giác BEC: CD CA CE CB = ( vì hai tam giác CDE và CAB đồng dạng) GócC:chung Suy ra: Tam giác ADC đồng dạng với tam giác BEC (c-g-c) b) Theo câu ta suy ra: ADCBEC ∠=∠ có: 0 135=∠+∠=∠ ADEEDCADC Suyra: 0 135=∠BEC Suyra: 0 45=∠AEB Do đó: Tam giác ABE cân( tam giác GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 3 TRƯỜNG THCS VINH THANH vuông có một góc bằng 45 0 ) c)Tam giác ABE cân tại E nên AM còn là phân giác của góc BAC Suy ra: GB AB GC AC = , mà ( ) ( ) // AB ED AH HD ABC DEC ED AH AC DC HC HC = ∆ ∆ = =: Do đó: GB HD GB HD GB HD GC HC GB GC HD HC BC AH HC = ⇒ = ⇒ = + + + GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 4 . THANH KÌ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 200 8-2 0 09 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1:(1 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4 x +20 09 2 x +200 8 x +20 09 Giải : 4 x +20 09 2 x +200 8 x +20 09 . 200 8200 8200 7200 7200 6200 6 bababa +=+=+ Hãy tính tổng: S= 20 092 0 09 ba + b/ Chứng minh rằng :A= 26 4813532 + +−+ là số nguyên Giải : a/ Ta có: =+ 200 8200 8 ba ( )())( 200 6200 6200 7200 7 baabbaba. sau: xy-2x-3y+1=0 GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 2 TRƯỜNG THCS VINH THANH Giải : xy-2x-3y+1=0 ⇒ xy-3y=2x-1 ⇒ y(x-3)=2x-1 Ta thấy x=3 không thõa mãn,với x ≠ 3 thì y=2+ 3 5 −x Để y nguyên thì x-3 phải