TRNG THCS VINH THANH Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Nga- Pháp) Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (1,5 điểm): Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2 32 2 2 + ++ = x xx y Gii : Biểu thức xác định với mọi x thuộc R. Ta có 0 )2(2 )2( 2 1 2 32 2 1 2 2 2 2 + + = + ++ = x x x xx y , vậy 2 1 y , dấu bằng xảy ra khi x=-2, suy ra y min 2 1 khi x=-2. Mặt khác ta có 0 2 )1( 2 2 32 2 2 2 2 2 + = + ++ = x x x xx y , vậy y< 2, dấu bằng xảy ra khi x=1, suy ra y max =2 tại x=1. Câu 2 (2 điểm): Cho phơng trình (k-1)x 2 -(2k+3)x+k+4=0. 1. Giải phơng trình khi k=2. 2. Tìm k để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn x 1 2 +x 2 2 =2. Gii : 1. Khi k=2, ta có phơng trình : x 2 -7x+6=0. Phơng trình có tổng các hệ số bằng không nên có hai nghiệm là x 1 =1 và x 2 =6. 2. Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khi k khác 1 và >0. Nhng tổng các hệ số bằng không đã cho có hai nghiệm x 1 =1 và 1 4 2 + = k k x . Từ x 1 2 +x 2 2 =2, suy ra x 2 =-1. Suy ra 1 1 4 = + k k , suy ra 2 3 =k . Câu 3 (1,5 điểm): Cho parabol (P): y=x 2 và đờng thẳng (d): y=x+b. Xác định b sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B với AB= 34 . Gii : Parabol cắt (d) tại hai điểm A, B có hoành độ là nghiệm phơng trình x 2 =x+b hay x 2 -x-b=0. Điều kiện: =1+4b>0 hay 4 1 >b . Giả sử A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ; y 2 ), trong dó x 1 , x 2 là nghiệm phơng trình trên. Khi đó AB 2 =(x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 = 2(x 2 -x 1 ) 2 =2[(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 ]. Theo Viet suy ra AB 2 =2(1+4b) mà theo giả thiêt AB 2 =48 vậy 1+4b=24, hay b= 4 23 . Câu 4 ( 3 điểm): Cho điểm M cố định nằm ngoài đờng tròn (O;R). Một đờng thẳng thay đổi luôn đi qua M cắt (O;R) tại A và B. Các tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt nhau ở điểm P. Kẻ PH vuông góc với OM. 1. Chứng minh 5 điểm O, A, P, B, H cùng nằm trên một đờng tròn. 2. Khi đờng thẳng MAB thay đổi, chứng minh điểm P luôn nằm trên một đ- ờng thẳng cố định. GV: KIM THCH ST 1 K B C A S H I TRNG THCS VINH THANH 3. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, K là giao điểm của PH với AB. Chứng minh MA.MB=MI.MK. Gii : K I H C D P O A B M 1. Các góc PAO, PBO, PHO cùng bằng 90 0 , vậy 5 điểm O, A, P, B, H cùng nằm trên đờng tròn đờng kính PO. 2. MO cắt đờng tròn tại hai điểm C, D. Ta có tam giác MBC đồng dạng với tam giác MDA (dễ thấy). Từ đó suy ra MA.MB=MC.MD. Tơng tự, tam giác MBH đồng dạng với tam giác MOA, suy ra MH.MO=MA.MB, vậy ta có MC.MD=MH.MO, suy ra MO MDMC MH . = không đổi. Vậy H cố định, từ đó suy ra P nằm trên đờng thẳng (d) cố định, vuông góc với OM và đi qua điểm H. 3. Ta có MHK đồng dang với MIO, suy ra MI.MK=MO.MH. Sử dụng kết quả ý 2, suy ra MA.MB=MI.MK Câu 5 (1 điểm): Cho đờng tròn đờng kính BC nằm trong mặt phẳng (P). Điểm A thuộc đờng tròn (A khác B và C). Trên đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy điểm S. Gọi H là trực tâm tam giác SBC. Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng (SBC). Gii : SH cắt BC tại I, CH cắt SB tại K, Ta có SIBC, SABC nên BC(SAI), suy ra BCAH. Mặt khác ACAB, SAAC Vậy ACSB, mà CKSB, nên SB(AKC). Vậy SBAH. Do đó AH (SBC). Câu 6 (1 điểm): Chứng minh 2006 1 2 2006 1 3 1 2 1 1 222 <++++ . Gii : Với mọi số nguyên dơng n>2, ta có: nnnn n 1 1 1 )1( 11 2 = < . GV: KIM THCH ST 2 TRƯỜNG THCS VINH THANH Khi n ch¹y tõ 2 ®Õn 2006, ta cã: 2006 1 2 2006 1 2005 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2006 1 3 1 2 1 1 222 −=−++−+−+<++++ , suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 3 . THANH Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Nga- Pháp) Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006 Thời gian. x 2 -x-b=0. Điều kiện: =1+4b>0 hay 4 1 >b . Giả sử A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ; y 2 ), trong dó x 1 , x 2 là nghiệm phơng trình trên. Khi đó AB 2 =(x 2 -x 1 ) 2 + (y 2 -y 1 ) 2 = 2(x 2 -x 1 ) 2 . trình (k-1)x 2 -( 2k+3)x+k+4=0. 1. Giải phơng trình khi k=2. 2. Tìm k để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thoả mãn x 1 2 +x 2 2 =2. Gii : 1. Khi k=2, ta có phơng trình : x 2 -7 x+6=0.