Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2 điểm): Cho 20052003 1 75 1 53 1 31 1 + + =A . 1. Rút gọn A. 2. Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và nhận x=A là nghiệm. Gii : 1. Ta có ( ) ( ) .20051 2 1 20052003 7755331 2 1 2 20052003 2 75 2 53 2 31 + =+++++ = + + + + + + =A 2. Phơng trình bậc hai có hệ số nguyên và nhận x=A là nghiệm cho nên 2x+1= 2005 , hay 4x 2 +4x-2004=0, hay x 2 +x-501=0. Câu 2 (2 điểm): Giải các phơng trình sau: 1. .04 5 35 2 2 =+ + + + xx x x xx 2. 2(x 2 +x+1) 2 -7(x-1) 2 =13(x 3 -1). Gii : 1. Điều kiện: x0 2 201 x . Đặt t= x xx 5 2 + , phơng trình trở thành t 2 +4t+3=0, suy ra t=-1 và t=-3. Với t=-1, suy ra 61=x . Với t=-3, suy ra ,1=x x=-5. Cả 4 nghiệm đều thoả mãn điều kiện trên. 2. Đặt v=x 2 +x+1 và u=x-1, phơng trình trở thành 2v 2 -7u 2 =13uv. Do v>0 với mọi x, chia hai vế cho v 2 ta đợc: v u v u 1372 2 = . Lại đặt v u t = , ta có phơng trình 7t 2 +13t-2=0. Suy ra 2, 7 1 == tt , - Với 7 1 =t , suy ra 7 1 1 1 2 = ++ xx x , giải phơng trình này ta đợc x=2 và x=4. - Với 2=t , suy ra 2 1 1 2 = ++ xx x , giải phơng trình này ta đợc 2 1 ,1 == xx . Cả 4 nghiệm đều thoả mãn điều kiện bài toán. Câu 3 (1,5 điểm): Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình 024 22 =+ mmmxx nhận giá trị nhỏ nhất. Gii : Điều kiện đối với m là m 2 -4m>0, suy ra m<0 hoặc m>4. Ta có =m 2 +8>0 với mọi m, nên phơng trình luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 . Ta có B=x 1 2 +x 2 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 x 2 =m 2 -2m+4=(m-1) 2 +3. B>3, dấu bằng xảy ra khi m=1 (loại do điều kiện). Xét m<0, ta có B>4, có dấu bằng khi m=0. Xét m>4, suy B>12, có dấu bằng khi m=4, vậy B nhỏ nhất bằng 4 khi m = 0. Câu 4 (1 điểm): Cho x, y là hai số dơng thoả mãn x+y=1. Chứng minh rằng 2 2511 2 2 ++ + y y x x . Khi nào xảy ra dấu bằng. Gii : - Từ bất đẳng thức (a-b) 2 >0, suy ra 2 22 22 + + baba , dấu bằng xảy ra khi a=b. áp dụng với y yb x xa 1 , 1 +=+= ta đợc 4 25 2 41 2 1 1 2 11 11 2 1 2 22 2 2 = + + = +++ ++ + xyy y x x y y x x . Do 4 1 xy , dấu bằng xảy ra khi x=y= 2 1 . Câu 5 (2 điểm): Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh AB và AC lần lợt lấy các điểm D và E sao cho BD=AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. 1. Chứng minh DKE+DAE=180 0 . 2. Chứng minh nếu 3BD=AB thì AK vuông góc với DC. Gii : F K A B C D E 1. Ta có tam giác ABE và tam giác BCD bằng nhau (cgc). Vậy AEB=BDC, vậy suy ra AEB+ADK=180 0 . 2. Theo ý 1, tứ giác ADKE nội tiếp Gọi F là trung điểm của AD, vậy AF=FD=DB=AE, chứng tỏ tam giác AED vuông tại E, vậy suy ra AKD=90 0 , suy ra AKDC Câu 6 (1,5 điểm): Cho tam giác ABC cố định có diện tích S. Trên các cạnh AB, BC và CA lần lợt lấy các điểm M, N, P sao cho k PA CP NC BN MB AM === . Tìm k để diện tích tam giác MNP nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy. Gii : A B C M N P Goi S 1 , S 2 , S 3 lần lợt là diệntích các tam giác AMP, BMN, CPN và S là diện tích tam giác ABC. Ta có ACAB APAM S S . . 1 = . Theo giả thiết ta có 1+ = + = k k MBAM AM k MB AM , vậy 1+ = k k AB AM , tơng tự, 1 1 + = kAC AP , vậy 2 1 )1( + = k k S S . Tơng tự 2 2 )1( + = k k S S , 2 3 )1( + = k k S S . Lại có diện tích tam giác MNP=S- (S 1 +S 2 +S 3 )= + 2 )1( 3 1 k k S . Vậy diện tích tam giác MNP nhỏ nhất khi 2 )1( 3 +k k lớn nhất. Lại có (k+1) 2 >4k, suy ra ( ) 4 1 1 2 +k k , dấu bằng xảy ra khi k=1, vậy M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA thì diện tích tam giác MNP bé nhất và bằng 4 S . . GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi chính thức Môn thi: Toán (dùng cho thí sinh thi vào chuyên Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu. t 2 +4t+3=0, suy ra t =-1 và t =-3 . Với t =-1 , suy ra 61=x . Với t =-3 , suy ra ,1=x x =-5 . Cả 4 nghiệm đều thoả mãn điều kiện trên. 2. Đặt v=x 2 +x+1 và u=x-1, phơng trình trở thành 2v 2 -7 u 2 =13uv. Do. 2x+1= 2005 , hay 4x 2 +4x-2004=0, hay x 2 +x-501=0. Câu 2 (2 điểm): Giải các phơng trình sau: 1. .04 5 35 2 2 =+ + + + xx x x xx 2. 2(x 2 +x+1) 2 -7 (x-1) 2 =13(x 3 -1 ). Gii : 1. Điều kiện: