Chương 7: Hàm số liên tục trong Rn pot

1 1 Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Hàm liên tục, Điểm trong, điểm biên, điểm tụ, Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục Chương 7 Hàm số liên tục trong n \ 4 7.1 Tập hợp trong n \ 4 7.1.1 Khoảng cách trong n \ 4 7.1.2 Lân cận của một điểm 5 7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp 6 7.1.4 Tập mở, tập đóng 8 7.1.5 Tập liên thông 8 7.2 Sự hội tụ trong n \ , các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số 9 Chương 7. Hàm số liên tục trong n \ Lê Văn Trực 2 7.2.1 Sự hội tụ trong n \ 9 7.2.2 Dãy cơ bản 10 7.2.3 Nguyên lí Canto 11 7.2.4 Chú ý 11 7.2.5 Tập hợp compact 12 7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số 12 7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số 12 7.2.8 Đường mức và mặt mức 13 7.3 Giới hạn của hàm số trong n \ 14 7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 14 7.3.2 Giới hạn lặp 15 7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 16 7.3.1 Chú ý 17 7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục 19 7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm 19 7.4.2 Hàm số liên tục đều 20 7.4.3 Liên tục theo từng biến 21 7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số 22 7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một 22 7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao 28 7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn 31 7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số 31 7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số 33 7.7 Đạo hàm theo hướng 35 7.7.1 Đạo hàm theo hướng 35 7.7.2 Gradien 36 7.8 Công thức Taylor. Cực trị của hàm số nhiều biến số 37 7.8.1 Công thức Taylor 37 7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số 39 7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac 42 7.9 Cực trị có điều kiện 43 7.9.1 Định nghĩa: 43 3 3 7.9.2 Phương pháp tìm cực trị 43 7.10 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 48 7.10.1 Tiếp tuyến của đường cong 48 7.10.2 Mặt phẳng tiếp xúc của mặt cong 49 7.10.3 Độ cong 51 7.10.4 Bao hình của một họ đườngcong 53 7.11 Bài tập chương 7 56 7.12 Hướng dẫn giải bài tập và đáp số 60 4 Chương 7 Hàm số liên tục trong n \ 7.1 Tập hợp trong n \ 7.1.1 Khoảng cách trong n \ a) Khoảng cách giữa hai điểm trong n \ Cho không gian n \ và điểm M ∈ n \ . Nếu 12 n , , , x xx là các toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ Descartes vuông góc, ta thường viết 12 n (, , , ) M xx x Cho n \ và một hàm số nn : ρ ×→\\ \. Ta nói rằng ρ là khoảng cách trong n \ nếu thoả mãn các tính chất sau: i) ()0 ρ ≥M,N n ∀∈\M,N ii) ( )= ( ) ρ ρ M ,N N,M n ∀∈\M,N iii) ( ) ( )+ ( ) ρ ρρ ≤ M ,P M,N N,P ∀ M ,N,P ∈ n \ Giả sử 12 n ( , , , ) M xx x và 12 n ( , , , )Ny y y là hai điểm trong n \ . Khoảng cách giữa hai điểm M,N được cho bởi công thức: 1 n 2 2 i=1 ()=( ) ρ ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ ii M,N x y (7.1.1) Có thể chứng minh được rằng khoảng cách cho bởi công thức (7.1.1) thoả mãn 3 tính chất nói trên. Thật vậy tính chất i) và ii) hiển nhiên được thoả mãn. Ta chứng minh tính chất iii). Giả sử n 12 n ( , , , )∈\Pz z z , ta có theo công thức (7.1.1): nn 22 2 i=1 i=1 ()= ( )( ) ρ −= −+− ∑∑ ii i i ii M ,P x z x y y z n 2 i=1 () ii ii x yyz≤−+− ∑ nn n 22 i=1 i=1 i=1 2 ii iiii ii x yxyyzyz=−+ −−+− ∑∑ ∑ 5 5 11 nnnn 22 2222 i=1 i=1 i=1 i=1 2 ii ii ii ii x yxyzyyz ⎛⎞⎛⎞ ≤−+ − − +− ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ∑∑∑∑ theo công thức (7.1.1) [] 22 2 ()+2().()+() =( )+( ) ρρρρ ρρ = M ,N M,N N,P N,P M,N N,P suy ra: ()( )+() ρ ρρ ≤ M ,P M,N N,P . Ví dụ như khoảng cách ρ giữa những điểm M(1,0,1) và N(2,1,0) trong không gian 3 \ là: 222 (1 2) (0 1) (1 0) 3 ρ =−+−+−=. b) Khoảng cách giữa hai tập hợp Cho n ,,⊂≠∅≠∅\A,B A B . Ta gọi số: { } ( )=inf ( , ); , ρρ ∈∈ A ,B x y x A y B (7.1.2) là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B. Từ định nghĩa ta thấy ( ) 0 ρ ≥A,B , ()=(). ρ ρ A ,B B,A Hiển nhiên nếu ∩≠∅AB thì ρ (A,B)=0. Tuy nhiên có những trường hợp ∩≠∅AB , nhưng ρ (A,B)=0. Ví dụ như =( ,0), =(0,+ )−∞ ∞AB, ta thấy = ∩ ∅AB và ρ (A,B)=0. Thật vậy: { } 0()=inf(,); ρρ ≤∈∈A,B x y x A, y B * * 11 1 1 inf ( , ); , , 2 inf , 0 ρ ⎧⎫ ≤−−∈∈∈ ⎨⎬ ⎩⎭ ⎧⎫ =∈= ⎨⎬ ⎩⎭ ` ` ABn nn n n n n c) Đường kính của tập hợp Cho n ,⊂≠∅\AA. Đường kính của tập hợp A là số: { } ()=sup (,); , δρ ∈∈AxyxAyA . (7.1.3) Nếu A là tập hợp một điểm thì ( )=0 δ A . Ví dụ như đường kính của khoảng (−1,1) là 2. Giả sử n , ⊂≠∅\AA. Ta nói rằng A là tập hợp bị chặn nếu ( ) δ ∈\A , nói cách khác tập A được gọi là bị chặn nếu như A được chứa trong một hình cầu nào đó. 7.1.2 Lân cận của một điểm a) ε - lân cận Cho n 0 ∈\M . Người ta gọi ε -lân cận của điểm 0 M , kí hiệu là 0 O( ) ε M , là tập hợp tất cả những điểm n ∈\ M sao cho khoảng cách từ M tới 0 M bé hơn ε , tức là: 6 { } n 00 O( ) ; ( , ) ε ρ ε = ∈<\MM MM . Ví dụ 1 a) Với n=1. Cho 1 0 ∈\x . Các điểm x sao cho 00 0 0 (, )xx x x x x x ρ εε ε = −<↔−<<+. Vậy 0 O( ) x ε là khoảng () 00 ,xx ε ε −+ b) Với n=2. Cho 2 000 (, )∈\Mxy , xét các điểm M(x,y) sao cho () 2 2 00 0 (, )= ( ) ρ ε − +− <MM x x y y () 2 22 00 ()xx yy ε ↔− +− <. Vậy 0 O( ) ε M là hình tròn tâm M 0 (x 0 ,y 0 ) bán kính ε . c) Với n=3. Cho 3 0000 (, ,)∈\Mxyz , xét các điểm M(x.y.z) sao cho () 2 22 00 00 (, )= ( ) ( ) ρ ε − +− +− <MM x x y y z z () 2 222 000 ()()xx yy zz ε −+−+−<. Vậy 0 O( ) ε M là hình cầu tâm 0 M bán kính ε . b) Lân cận của một điểm Ta gọi lân cận của một điểm 0 M là mọi tập hợp chứa một ε - lân cận nào đó của 0 M , tức là tập con n U ⊂ \ là lân cận của điểm 0 M nếu: 0 ε ∃> sao cho 0 O(M) ε ⊂ U. Ta thấy theo định nghĩa: α ) nếu U là lân cận của điểm 0 M , thì mọi tập hợp n 11 U,UU⊂⊃\ cũng là lân cận của điểm 0 M . β ) Nếu 12 U,U là lân cận của 0 M thì 1212 UU,UU ∩ ∪ cũng là lân cận của điểm 0 M 7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp a) Điểm trong Cho A là một tập hợp trong n \ . Điểm ∈ M A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một ε -lân cận nào đó O ( ) ε M nằm hoàn toàn trong A (Hình 7.1.1). 7 7 Hình.7.1.1 b) Điểm biên Điểm n ∈\N được gọi là điểm biên của tập hợp A mọi ε -lân cận của N đều chứa những điểm thuộc A vừa chứa những điểm không thuộc A. Điểm biên của tập hợp A có thể thuộc A cũng có thể không thuộc A. Tập hợp những điểm biên của A được gọi là biên của tập hợp A. Tập hợp các điểm biên của tập hợp A kí hiệu là ∂A. Ví dụ 2: Cho () { } 2 1212 ,; ,=∈<<≤≤\Axy axabyb (xem hình 7.1.2) Các điểm 11 (, )Nxb với 12 <<axa nằm trên đường thẳng y = 1 b và các điểm 22 (, )Nxb với 12 <<axa nằm trên đường y = 2 b là các điểm biên của tập A. Các điểm biên này thuộc tập hợp A. Các điểm 31 (,)Nay với 12 ≤ ≤byb và các điểm 42 (,)Nay với 12 ≤≤byby cũng là các điểm biên của tập hợp A. Các điểm biên này không thuộc tập hợp A. c) Điểm tụ Cho n ⊂ \A và n ∈\ M . Điểm M gọi là điểm tụ của A nếu mọi lân cận của A đều chứa ít nhất một điểm của A. Tập hợp các điểm tụ của A kí hiệu là A’ và gọi là tập dẫn xuất của A. 8 b 2 y o a 1 a 2 b 1 Hình.7.1.2 Ví dụ 3 Cho n 11 11 11 (1,1),( , ),( , ), ,( , ), ;n 22 33 nn ⎧⎫ =∈ ⎨⎬ ⎩⎭ \A Dễ thấy O(0,0) là điểm tụ của A. Ví dụ 4 Giả sử tập hợp () { } 2 =;1,1∈<≤\Ax,y x y . Ta thấy tất cả các điểm của tập hợp () { } 2 1 ;1,1=∈<<\Ax,y xy ⊂ A đều là điểm trong của tập A. 7.1.4 Tập mở, tập đóng Cho n ⊂ \A , tập A được gọi là mở nếu mọi điểm M của A đều là điểm trong của A. Tập n ⊂ \A được gọi là đóng nếu A chứa mọi điểm biên của A. Hiển nhiên n ⊂ \A là đóng trong n \ , thì n \ \A là tập mở trong n \ . Ví dụ 5: Cho 2 000 (, )∈\Mxy . Tập hợp: () ( ) { } 2 222 000 (,)= , ; ( )∈−+−<\ B Mr Mxy xx y y r là tập mở. Tập hợp: () ( ) { } 2 222 000 (,)= , ; ( )∈−+−≤\KM r M xy x x y y r là tập đóng. 7.1.5 Tập liên thông Tập A gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kì 12 M,M của A bởi một đường cong liên tục hoàn toàn nằm trong A( xem hình 7.1.3). 9 9 Tập hợp đơn liên Tập hợp không liên thông Tập hợp đa liên (2 liên) Hình 7.1.3 Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó được giới hạn bởi một mặt kín, là đa liên nếu nó được giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau. Ví dụ 6: Tập hợp nào trong các tập sau là tập liên thông a) () { } 2 1 ;1=∈+≤\Ex,y xy b) () { } 22 2 2 ;| | | | 1=∈ +≠\Ex,y xy Giải: a) Do 1 E là phần bên trong (kể cả biên) của hình vuông giới hạn bởi các đường ± y= ± x+1, nên 1 E là liên thông. b) 2 E là tâp hợp các điểm của 2 \ , trừ ra các điểm nằm trên đường tròn 22 1+=xy . 2 E không phải là tập hợp liên thông. 7.2 Sự hội tụ trong n \ , các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến số 7.2.1 Sự hội tụ trong n \ Trong không gian n \ cho dãy ( ) { } kkk k 12 n , , ,Mxx x , k=1,2, ,n Dãy { } k M được gọi là hội tụ tới 010 20 n0 ( , , , ) M xx x nếu: 0, k( ) 0 ε ε ∀> ∃ > sao cho k 0 O( ) ε ∈ M M , ( ) ε ∀ ≥kk (7.2.1). hay tương đương với k 0 (,) ρ ε < MM , ( ) ε ∀ ≥kk (7.2.1)’, tức là: () 1 2 2 k ii0 1 ε = ⎡⎤ −< ⎢⎥ ⎣⎦ ∑ n i xx , ( ) ε ∀≥kk (7.2.1)”. Khi đó ta viết: k 0 lim →+∞ = k M M hay k 0 → M M khi k →+∞ 10 Định lí 7.2.1 Dãy () { } kkk k 12 n , , ,Mxx x hội tụ tới 010 20 n0 ( , , , ) M xx x khi và chỉ khi dãy các thành phần { } k 1 , x { } { } kk 2n , , x x hội tụ tới 10 20 n0 , , , x xx tương ứng. Chứng minh; Do { } k 0 → M M nên: 0, ( ) ε ε ∀> ∃k sao cho k2k2 k2 110 2 20 n n0 ( ) ( ) ( ) ε −+−++− <xx xx xx , ( ) ε ∀ ≥kk (7.2.2) Cho nên: k 110 k 220 k nn0 ε ε ε ⎧ − < ⎪ ⎪ − < ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ − < ⎪ ⎩ xx xx xx ( ) ε ∀ ≥kk . Từ đấy suy ra { } { } { } kk k 1102 20n n0 , , ,→→ → x xx x x x khi k→+∞. Bạn đọc tự chứng minh phần ngược lại. 7.2.2 Dãy cơ bản Dãy { } kn ⊂ \M được gọi là dãy cơ bản (hay Cauchy) nếu: kp k,p lim ( , ) 0 ρ →+∞ = MM (7.2.3) tức là 0, ( ) ε ε ∀> ∃k sao cho kp (,), () ρ εε <∀ ≥ M Mk,pk(7.2.4) Định lí 7.2.2 Để dãy { } k M hội tụ, điều kiện cần và đủ là nó là dãy cơ bản. Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử dãy { } k M hội tụ tới 0 M , ta hãy chứng minh nó là dãy cơ bản. Thật vậy, theo giả thiết: 0, ( ) ε ε ∀ >∃k >0 sao cho k 0 (,) 2 ε ρ < MM , ( ) ε ∀ ≥kk , Từ đây suy ra: kp k p 00 (,) (,)(,) , 22 ε ε ρ ρρ ε ≤+<+=MM MM MM () ε ∀≥k, p k . Vậy dãy { } k M là dãy cơ bản. b) Điều kiện đủ: [...]... 1 , M 2 ∈ Vậy hàm số liên tục đều trên 2 2 mà ρ (M 1 , M 2 ) < δ thì f (M 1 ) − f (M 2 ) < ε Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm một biến số liên tục Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong tập compac (đóng và bị chặn) thì nó bị chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền ấy, nó liên tục đều trong miền ấy 7.4.3 Liên tục theo từng... → (0, 0) 2 2 Vậy hàm số liên tục tại (0,0) Ví dụ 2: Trong 2 xét hàm số f(x,y) được xác định bởi: ⎧ xy ⎪ nÕ (x,y ) ≠ (0,0) u f ( x,y ) = ⎨ x 2 +y 2 ⎪ u ⎩0 nÕ ( x,y ) = (0,0) n 1 1 Ta thấy dãy ( xn , yn ) = ( , ) → (0,0) khi n→+∞ nhưng f ( xn , yn ) = → +∞ khi 2 n n Vậy hàm số không liên tục tại điểm (0,0) n → +∞ 7.4.2 Hàm số liên tục đều Định nghĩa 4: Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền... Giả sử F ( x0 ,y0 )=0 Nếu hàm số F(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục trong lân cận của điểm M 0 ( x0 ,y0 ) và nếu F' y ( M 0 ) ≠ 0 , thì từ hệ thức (7.6.1) có thể xác định duy nhất một hàm số ẩn y = f(x) xác định trong lân cận nào đó của x0 sao cho F ( x,f ( x)) = 0,y0 =f ( x0 ) Hơn nữa hàm số ẩn đó liên tục và có đạo hàm liên tục trong lân cận nói trên Ví dụ 3: Xét hàm số F ( x,y )=e xy − ln( x+y... ra hàm số liên tục theo biến x tại x0 Tương tự, hàm z = f(x,y) liên tục theo biến y tại y0 Chú ý rằng điều ngược lại chưa chắc đã đúng, tức là nếu hàm f(x,y) liên tục theo từng biến thì chưa thể kết luận nó liên tục theo tập hợp các biến Ví dụ 4: Xét hàm ⎧ xy u 2 2 ⎪ 2 2 nÕ x +y ≠ 0 z=f ( x,y )= ⎨ x +y ⎪0 nÕ x 2 +y 2 =0 u ⎩ Bởi vì f(x,0)=0, ∀x ∈ R nên lim f(x,0) = 0 = f(0,0) , tức là hàm số liên tục. .. lim = x →0 y → 0 x →0 2 2 7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục 7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm Giả sử D ⊂ 2 và f : D → Định nghĩa 1: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục (theo tập hợp các biến) tại M 0 ( x0 , y0 ) ∈ D nếu ∀ε >0, ∃δ >0 sao cho ∀M ∈ D mà ρ (M ,M 0 )1 hàm số liên tục Xét điểm M 0 ( x0 , y0 ) thoả mãn x0 2 +4y0 2 =1 , ta thấy khi M ( x, y) → M 0 ( x0 , y0 ) thì f(x,y) → 1 − x0 2 − 4y0 2 = 0 Do đó để hàm liên tục trên 2 thì c = 0 7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số 7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một 7.5.1.1 Đạo hàm riêng Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền D ⊂ 2 và điểm M 0 ( x0 , y0 ) là một điểm của D Cho x0 một số gia... x′(0, 0) 1 không tồn tại = lim 2 Δy →0 Δy ( Δy ) ′′ Do đó theo định nghĩa đạo hàm f xy (0,0) không tồn tại 7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn 7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số 31 2 Do đó ta có hàm 32 Cho hệ thức giữa hai biến số x, y có dạng F(x,y)=0 trong đó F(x,y) là hàm hai biến số được xác định trong tập D ⊂ (7.6.1) 2 Hàm số y=f(x) gọi là được xác định một cách ẩn bởi hệ thức (7.6.1) nếu khi thế y=f(x)... là f(x,y) liên tục tại M0 Vậy hàm số f(x,y) khả vi tại M 0 thì liên tục tại M0 Chú ý 2: Đối với hàm một biến số y = f(x), nếu tại x = x0 tồn tại đạo hàm hữu hạn f ′(x0 ) , thì ta có: Δy=f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = f ′( x0 )Δx+α Δx , trong đó α → 0 khi Δx → 0 , tức là hàm khả vi tại x = x0 25 Đối với hàm nhiều biến số z = f(x,y) sự tồn tại của các đạo hàm riêng tại M 0 ( x0 , y0 ) chưa đủ để hàm khả... = cũng đúng khi u, v là các hàm số v2 ⎝v⎠ của các biến số khác 7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao 29 7.5.2.1 Đạo hàm riêng cấp cao Cho hàm số hai biến số z = f(x,y) xác định trong miền D ⊂ 2 Các đạo hàm riêng f x′( x, y ), f y′( x, y ) là những hàm của x và y Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một, nếu tồn tại, được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được kí hiệu