Ch ơng 1. Hàm số 1.1. Tập hợp. Tập hợp là một khái niệm nguyên thuỷ của toán học và không có định nghĩa tập hợp mà chỉ thông qua các ví dụ ta hiểu đợc thế nào là tập hợp. 1.1.1. Các ví dụ về tập hợp. Ví dụ 1.1: Tập hợp các số thực x sao cho 1 x 10. Ví dụ 1.2: Tập hợp các số {1, 3, 5, 7, 9}. Ví dụ 1.3: Tập hợp các Sinh viên hệ dài hạn của Học viện Tài chính. Ví dụ 1.4: Tập hợp các lễ khai giảng năm học đợc diễn ra tại Hà Nội trong năm 2006. Nhận xét 1.1. Thông qua các ví dụ trên ta thấy: Một nhóm các sự vật, sự việc có cùng chung một tính chất nào đó là một tập hợp. Ngời ta ký hiệu tập hợp bởi các chữ in hoa: A, B, C, và các phần tử cấu thành lên một tập hợp bởi các chữ in thờng: a, b, c, Cho tập hợp A, a là một phần tử của A thì ký hiệu là a A; a không phải là một phần tử của A thì ký hiệu là a A. Tập rỗng (tập trống, ký hiệu là: ) là một tập hợp không có một phần tử nào cả. Chẳng hạn tập các nghiệm của phơng trình: x 2 x + 1 = 0 là một tập rỗng. 1.1.2. Cách cho tập hợp . Có hai cách cho một tập hợp. Cách 1: Liệt kê danh sách các phần tử của tập hợp (Ví dụ 1.2). Cách 2: Nêu tính chất chung của các phần tử có trong tập hợp (Ví dụ 1.2 có thể cho nh sau: Tập hợp các số nguyên, dơng, lẻ từ 1 đến 9). 1.1.3. Mối liên hệ giữa các tập hợp . Tập hợp A đợc gọi là tập hợp con của tập hợp B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B (ký hiệu là: A B).(Mô tả hình học). Nếu A là tập hợp con của B và B là tập hợp con của A thì A = B. 1 1.1.4. Các phép tính về tập hợp. Cho hai tập hợp A và B. Phép giao của hai tập hợp: Tập hợp A giao với tập hợp B là một tập hợp (ký hiệu là: A B) gồm các phần tử chung của A và B. (Mô tả hình học). Phép hợp của hai tập hợp: Tập hợp A hợp với tập hợp B là một tập hợp (ký hiệu là: A B) gồm các phần tử của cả A và B. (Mô tả hình học). Phép trừ của hai tập hợp: Tập hợp A trừ tập hợp B là một tập hợp (ký hiệu là: A \ B) gồm các phần tử của A mà không phải của B. (Mô tả hình học). Phép lấy phần bù: Trong không gian X cho tập hợp A. Phần bù của A đợc ký hiệu và xác định nh sau: A = X\A). (Mô tả hình học). Nhận xét 1.2. Ta luôn có: A B = (A \ B) (A B) (B\A) và A = A. Ví dụ 1.5: Trong tập hợp các số thực R =(, +) cho A = [0; 4); B = [3;6]. Khi đó: A B = [0; 6]; A B = [3;4); A\B = [0; 3); B\A = [4; 6]; A = (; 0)[4; +); B = (; 3)(6; +). 1.1.5. Lân cận và khoảng số. Cho các số a, hữu hạn ( > 0). Lân cận của điểm a đợc ký hiệu và xác định nh sau: V (a) = {x R:| x a| < } = (a ; a+ ). (Mô tả hình học). Nhận xét 1.3. Giao của hai lân cận của điểm a cũng là một lân cận của điểm a và là tập . Cụ thể là: V (a) V (a) = V (a) với = min( , ). Cho số > 0. Lân cận của điểm đợc ký hiệu và xác định nh sau: 2 V ( ) = {x R: x < } = (; ). (Mô tả hình học). Cho số > 0. Lân cận của điểm + đợc ký hiệu và xác định nh sau: V (+) = {x R: x > } = (; +). (Mô tả hình học). Cho số > 0. Lân cận của điểm đợc ký hiệu và xác định nh sau: V ( ) = {x R: |x| > } = (; )(; +). (Mô tả hình học). Nhận xét1.4. (i) Giao của hai lân cận của điểm (+, hoặc ) cũng là một lân cận của điểm (+, hoặc ) và là tập . Cụ thể, nếu M, N > 0 thì: V M ( ) V N ( ) = V P ( ) với P = max(M, N). V M () V N () = V P () với P = max(M, N). (ii) ứng với mỗi lân cận của một điểm thì có một khoảng số và ngợc lại. Chẳng hạn: V (+) =(; +) với > 0; (5; +) = V 5 (+); V 2 (7) =(5; 9); (3; +) = (3; 3) {3}(3; +). 1.2. Hàm số. 1.2.1. Định nghĩa hàm số. Định nghĩa1.1: Cho hai tập hợp X, Y. Nếu ứng với mỗi x X, theo một quy luật nào đó cho ta một giá trị xác định (và duy nhất) yY thì y đợc gọi là hàm số của đối số x. Thông thờng ngời ta ký hiệu hàm số bởi: y = f(x); y = g(x); y = h(x) Cho hàm số y = f(x). Tập hợp tất cả các giá trị x sao cho f(x) có nghĩa đợc gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm f(x). Nếu x 0 là một điểm thuộc miền xác định của hàm f(x). Thì f(x 0 ) đợc gọi là giá trị riêng của hàm f(x) tại điểm x 0 . 3 Tập hợp tất cả các giá trị f(x 0 ), trong đó x 0 là điểm thuộc miền xác định của hàm f(x), đợc gọi là miền giá trị(MGT) của hàm f(x). Tập hợp tất cả các điểm(x 0 ;f(x 0 )), trong đó x 0 là điểm thuộc miền xác định của hàm f(x), đợc gọi là đồ thị của hàm f(x). Ví dụ 1.6. Cho hàm số y = x 2 . Khi đó: + MXĐ của hàm số là: (;+); + MGT của hàm số là: [0;+); + Đồ thị của hàm số là một parabon quay bề lõm lên trên và có đỉnh tại điểm (0;0). (vẽ đồ thị hàm số). 1.2.2. Cách cho hàm số. + Cho bằng biểu thức giải tích. Chẳng hạn: y = x 2 , y = sgn x, + Cho bằng bảng. Chẳng hạn: bảng kết quả thi môn Toán cao cấp của một lớp nào đó; bảng lơng tháng 9 năm 2006 của một đơn vị nào đó. + Cho bằng đồ thị (giá vàng thế giới dao động trong tháng 2/2006). + Cho bằng biểu đồ hình cột (chẳng hạn: sự trợ giúp của khán giả trong trờng quay của chơng trình Ai là triệu phú?). 1.2.3. Các loại hàm số. a) Hàm chẵn, hàm lẻ. Định nghĩa1.2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X. Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm chẵn trên miền X nếu mọi x X thì: x X và f( x) = f(x). Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm lẻ trên miền X nếu với mọi xX thì: x X và f( x) = f(x). Nhận xét 1.5. (i) Nói đến tính chẵn, lẻ của một hàm số phải nói rõ trên miền nào. Một hàm f(x) là hàm chẵn (hoặc lẻ) trên X thì X phải là miền đối xứng qua 4 điểm 0. Hay X có một trong các dạng sau: (;+); (a;a); [a;a] với a > 0. (ii) Nếu f(x) là hàm vừa chẵn, vừa lẻ trên miền X thì f(x) = 0 trên X. Ví dụ 1.7: (i) Hàm f(x) = x 2 là hàm chẵn trên (a; a) (a > 0). Nhng không chẵn, không lẻ trên (a; b) (a b). (ii) f(x) = x 3 là hàm lẻ trên (a; a) (a > 0). Nhng không chẵn, không lẻ trên (a; b) (a b). Ví dụ 1.8: f(x) = ( ) a x log a x < + 1 0 1 1 là hàm lẻ trên (1; 1). b) Hàm đơn điệu. Định nghĩa 1.3. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X. Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm tăng trên miền X nếu với mọi x 1 , x 2 X; x 1 < x 2 thì f(x 1 ) < f(x 2 ). Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm giảm trên miền X nếu với mọi x 1 , x 2 X; x 1 < x 2 thì f(x 1 ) > f(x 2 ). Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm không giảm trên miền X nếu với mọi x 1 , x 2 X; x 1 < x 2 thì f(x 1 ) f(x 2 ). Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm không tăng trên miền X nếu với mọi x 1 , x 2 X; x 1 < x 2 thì f(x 1 ) f(x 2 ). Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm đơn điệu trên miền X nếu f(x) là hàm tăng, giảm, không tăng trên miền X hoặc không giảm trên miền X. Ví dụ 1.9: f(x) = x 2 là hàm giảm trên (; 0), tăng trên (0; +). 5 Ví dụ 1.10: f(x) = sgn x = khi x ; khi x ; khi x . < = > 1 0 0 0 1 0 là hàm không giảm trên (; +). (Bạn đọc tự chứng minh). c) Hàm tuần hoàn. Định nghĩa 1.4. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X. Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm tuần hoàn trên miền X nếu tồn tại hằng số k 0 sao cho: f(x + k) = f(x) ( x mà x, x + k X). Hằng số k dơng nhỏ nhất thoả mãn điều kiện trên đợc gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn. Ví dụ 1.11: (i) Các hàm y = sin x, y = cos x là các hàm tuần hoàn trên (;+) với chu kỳ 2. (ii) Các hàm y = tg x, y = cotg x là các hàm tuần hoàn trên miền xác định của mỗi hàm với chu kỳ . (iii) Hàm y = sin (3x +/4) là hàm tuần hoàn trên (;+) với chu kỳ 2/3. (iiii) Hàm y = c R là hàm tuần hoàn trên (;+) nhng không có chu kỳ. d) Hàm bị chặn. Định nghĩa 1.5. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X. Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm bị chặn trên trên miền X nếu tồn tại hằng số M sao cho: f(x) M ( xX). Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm bị chặn dới trên miền X nếu tồn tại hằng số m sao cho: f(x) m ( xX). Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm bị chặn trên miền X nếu f(x) vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dới trên miền X. 6 Nhận xét 1.6. (Phơng pháp chứng minh một hàm bị chặn trên một miền). Để chứng minh một hàm bị chặn trên một miền nào đó, ta tìm miền giá trị của hàm số trên miền đó rồi dùng định nghĩa 1.5 để kết luận. Ví dụ 1.12.: (i) Các hàm y = sin x, y = cos x là các hàm bị chặn trên (;+) vì: MGT của mỗi hàm là: [1;1]. Suy ra: ( ) ( ) sin x , cos x x ; + 1 1 . (ii) Hàm y = x 2 là hàm bị chặn dới trên (;+) vì: MGT của hàm là: [0;+) x 2 0 ( x(;+)) và là hàm bị chặn trên [a;b] (a, b hữu hạn) vì: M = max {a 2 , b 2 } x 2 0 ( x[a;b]). 1.2.4. Các phép tính về hàm số. Định nghĩa 1.6. Cho các hàm số f(x) và h(x) xác định trên miền X . Thì các hàm tổng, hiệu, tích, thơng của f(x) và h(x) đợc ký hiệu và xác định nh sau: (f h)(x) = f(x) h(x); (f ì h)(x) = f(x)h(x); ( ) ( ) ( ) f x f x h h x = (x X) với phép chia thì thêm giả thiết h(x) 0. Định nghĩa 1.7. Cho hàm số u = f(x) xác định trên miền X, có miền giá trị U và hàm y- h(u) xác định trên miền U, có miền giá trị Y. Thì hàm h f xác định trên X có miền giá trị Y cho bởi: [h f](x) = h[f(x)] (x X), đợc gọi là hàm hợp (hay hàm kép) của các hàm f(.) và h(.). Định nghĩa 1.8. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X, có miền giá trị Y và hàm x = h(y) xác định trên miền Y, có miền giá trị X . Hàm 7 số x = h(y) đợc gọi là hàm ngợc của hàm số y = f(x) nếu: h[f(x)] = x (x X). Ví dụ 1.13. (i) Hàm số y = 2 x xác định trên (;+), có miền giá trị (0;+) và hàm x = log 2 y xác định trên (0;+), có miền giá trị (;+) là các hàm ngợc của nhau . Vì: log 2 (2 x ) = x log 2 2 = x (x (;+)). (ii) Hàm y = f(x) = x xác định trên [0;+), có miền giá trị [0;+); x = h(y) = y 2 xác định trên [0;+), có miền giá trị [0;+); x = g(y) = (y) 2 xác định trên [0;+), có miền giá trị [0;+). Thì hàm f(x) có hai hàm ng- ợc là h(y) và g(y). Nhận xét 1.7. (i) Hai hàm số y = f(x) và x = h(y) là các hàm ngợc của nhau. Khi đó, nếu vẽ đồ thị của cả hai hàm số này trên cùng một hệ trục toạ độ thì đồ thị của chúng trùng nhau. Nhng nếu vẽ đồ thị của cả hai hàm y = f(x) và y = h(x) trên cùng một hệ trục toạ độ thì đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đờng thẳng y = x. (ii) Một hàm số có thể không có hàm ngợc, có thể có hàm ng- ợc.Vấn đề đặt ra là: Một hàm số phải thoả mãn điều kiện gì thì nó có duy nhất một hàm ngợc? Định lý sau đây sẽ khẳng định điều đó. Định lý 1.1. Nếu hàm y = f(x) xác định, tăng (hoăc giảm) trên miền X, có miền giá trị Y. Thì tồn tại và duy nhất hàm ngợc x = h(y) xác định, tăng (hoăc giảm) trên miền Y, có miền giá trị X. Ví dụ 1.14. Xét hàm y = sin x trên ; 2 2 . Thì hàm y = sin x xác định, tăng trên ; 2 2 , có miền giá trị [1; 1]. Theo định lý 1.1, tồn 8 tại duy nhất hàm ngợc của hàm y = sin x và ký hiệu là x = arcsiny; xác định, tăng trên [1; 1]; có miền giá trị ; 2 2 . Nếu đổi vai trò của x và y trong hàm số x = arcsiny cho nhau thì ta đợc hàm số: y = arcsinx. Vậy hàm số y = arcsinx xác định và tăng trên [1; 1]; có miền giá trị ; 2 2 . Đồ thị của hàm y = arcsin x đối xứng với đồ thị hàm y = sin x (trên ; 2 2 ) qua đờng y = x. (vẽ đồ thị) Tơng tự, chúng ta xây dựng đợc các hàm lợng giác ngợc y = arccos x, y = arctg x và y = arccotg x. 1.2.5. Hàm số sơ cấp cơ bản. Gồm các hàm số sau: y = c với c là hằng số. y = x với là hằng số. y = log a x với a là hằng số 1 a > 0. y = a x với a là hằng số 1 a > 0. Các hàm lợng giác và các hàm lợng giác ngợc: y = arcsinx, y = arccos x, y = arctg x, y = arccog x. Đối với mỗi hàm số trên ta đều xét đầy đủ các tiêu thức sau: MXĐ, MGT, tính tăng giảm, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn, bị chặn, đồ thị và hàm ngợc. 1.2.6. Hàm số sơ cấp. Định nghĩa 1.9: Hàm số sơ cấp là một hàm số đợc xây dựng từ các hàm số sơ cấp cơ bản thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các hàm số; phép lấy hàm kép và hàm ngợc. 9 Ví dụ 1.13: y = 2 sin x + log 3 (4x1) là hàm số sơ cấp đợc xây dựng từ các hàm số sơ cấp cơ bản: y = sin x, y = a x , y = log 3 x, y = x , y = c; thông qua các phép toán: cộng, trừ, phép lấy hàm kép. Chú ý 1.1 . Một hàm số đợc cho bởi hai hay nhiều biểu thức khác nhau trên các miền khác nhau thì không đợc gọi là hàm số sơ cấp. Ví dụ 1.14: Các hàm số sau đây không phải là hàm số sơ cấp: x khi x ; y x khi x . = + > 2 2 1 3 4 3 x khi x , y khi x . = + = 3 1 0 2 5 1 0 y = sgn x = khi x , khi x , khi x . < = > 1 0 0 0 1 0 Câu hỏi ôn tập chơng 1 Câu 1: Nêu các phơng pháp cho tập hợp; các phép tính về tập hợp. Câu 2: Định nghĩa lân cận của hàm số tại điểm a (a hữu hạn hoặc vô hạn). Câu 3: Định nghĩa hàm số; trình bầy cách cho một hàm số, các loại hàm số. Câu 4: Nêu các hàm số sơ cấp cơ bản(trình bầy các nội dung: miền xác định; miền giá trị; tính tăng giảm,tuần hoàn, chẵn lẻ, bị chặn; đồ thị và hàm ngợc. Câu 5: Định nghĩa hàm số sơ cấp. Hàm số nào không phải là hàm sơ cấp? 10 . và hàm ngợc. 1.2.6. Hàm số sơ cấp. Định nghĩa 1.9: Hàm số sơ cấp là một hàm số đợc xây dựng từ các hàm số sơ cấp cơ bản thông qua các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các hàm số; phép lấy hàm. loại hàm số. a) Hàm chẵn, hàm lẻ. Định nghĩa1.2. Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền X. Hàm số y = f(x) đợc gọi là hàm chẵn trên miền X nếu mọi x X thì: x X và f( x) = f(x). Hàm số y. 1.6. Cho hàm số y = x 2 . Khi đó: + MXĐ của hàm số là: (;+); + MGT của hàm số là: [0;+); + Đồ thị của hàm số là một parabon quay bề lõm lên trên và có đỉnh tại điểm (0;0). (vẽ đồ thị hàm số) . 1.2.2.