Chương 1 - Đại số mệnh đề ppsx

Chương 1. Đại số mệnh đề Trần Thọ Châu Logic Toán. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Tr 7-38. Từ khoá: Logic toán, Đại số mệnh đề, Hàm đại số logic. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Chu . o . ng 1 Da . isˆo ´ mˆe . nh dˆe ` 1.1 C´ac ph´ep to´an v`a ba ’ ngchˆanl´y 8 1.1.1 Ph´ep phu ’ di . nh (¬, not) 10 1.1.2 Ph´ep v`a (∧, and, hˆo . i) 10 1.1.3 Ph´ep hay l`a (∨, or, tuyˆe ’ n) 10 1.1.4 Ph´ep k´eo theo (→) 11 1.1.5 Ph´ep tu . o . ng du . o . ng (↔ ↔ ↔) 12 1.2 Cˆong th´u . cmˆe . nh dˆe ` 12 1.3 Mˆo . tsˆo ´ di . nhngh˜ıa 16 1.3.1 H`am da . isˆo ´ logic 16 1.3.2 Su . . dˆo ` ng nhˆa ´ t d´ung - dˆo ` ng nhˆa ´ tsai 18 1.4 Mˆo . tsˆo ´ t´ınh chˆa ´ t 22 1.5 Da . ng chuˆa ’ nt˘a ´ ccu ’ a cˆong th´u . cmˆe . nh dˆe ` 23 1.5.1 Da . ng chuˆa ’ nt˘a ´ c tuyˆe ’ n v`a chuˆa ’ nt˘a ´ chˆo . i 23 1.5.2 Da . ng chuˆa ’ nt˘a ´ cho`anto`an 24 1.6 C´ac hˆe . dˆa ` y du ’ cu ’ a c´ac ph´ep to´an . . . . . . . . . 25 1.7 B`ai tˆa . p chu . o . ng1 34 8Chu . o . ng 1. Da . isˆo ´ mˆe . nh dˆe ` Thˆong thu . `o . ng ch´ung ta th`anh lˆa . pc´acmˆe . nh dˆe ` ph´u . cho . . pt`u . c´ac mˆe . nh dˆe ` do . n gia ’ n. Trong chu . o . ng n`ay, ch´ung ta s˜e di sˆau nghiˆen c´u . u dˆa ` y du ’ ba ’ n chˆa ´ tcu ’ a da . isˆo ´ mˆe . nh dˆe ` v`a tu . duy suy diˆe ˜ ncu ’ an´omˆo . t c´ach ch˘a . t ch˜e, logic v`a mang t´ınh thu . . ctiˆe ˜ n. 1.1 C´ac ph´ep to´an v`aba ’ ng chˆan l´y Ch´ung ta dˆe ` ubiˆe ´ t con ngu . `o . i c´o kha ’ n˘ang pha ’ n ´anh mˆo ´ i quan hˆe . hiˆe . n thu . . c gi˜u . a c´ac su . . vˆa . tb˘a ` ng nh˜u . ng mˆe . nh dˆe ` . C´ac mˆe . nh dˆe ` d´o du . o . . c du . a ra du . ´o . i nhiˆe ` u h`ınh th´u . c kh´ac nhau, ch˘a ’ ng ha . nnhu . mˆo . tl`o . i n´oi, mˆo . t cˆau v˘an, mˆo . t cˆong th´u . c To´an, L´y, Ho´a, hay su . . mˆo pho ’ ng cu ’ amˆo . tb´u . c tranh v.v , nhu . ng co . ba ’ n trong d´o l`a c´ac mˆe . nh dˆe ` n`ay c´o mang dˆa ` y du ’ ´y ngh˜ıa nhˆa ´ t di . nh hay khˆong, ngh˜ıa l`a c´ac mˆe . nh dˆe ` d´o c´o mang theo t´ınh chˆa ´ thiˆe . n thu . . cdu . ´o . imˆo . t h`ınh th´u . c nhˆa ´ t di . nh, ch´u . khˆong pha ’ il`amˆo . tmˆe . nh dˆe ` suˆong, vˆo ngh˜ıa, v`a c˜ung khˆong pha ’ il`anh˜u . ng l`o . in´oich´u . a du . . ng mˆo . t ´y ngh˜ı khˆong nghiˆem t´uc. Mˆo . tmˆe . nh dˆe ` pha ’ n ´anh mˆo . tsu . . viˆe . c n`ao d´o theo mˆo . t c´ach th´u . c nhˆa ´ t di . nh v`a su . . viˆe . c d´o pha ’ n ´anh t´ınh chˆan thu . . c theo c´ach trˆen th`ı du . o . . cgo . i l`a mˆo . t mˆe . nh dˆe ` d´ung; Tr´ai la . imˆe . nh dˆe ` d´o du . o . . cgo . il`amˆo . t mˆe . nh dˆe ` sai. Thu . . cchˆa ´ tvˆa ´ n dˆe ` ch´ung ta quan tˆam d˘a . cbiˆe . t trong To´an ho . cl`ao . ’ chˆo ˜ : “Mˆo ˜ imˆo . tmˆe . nh dˆe ` ho˘a . cl`ad´ung ho˘a . c l`a sai, v`a khˆong c´o mˆo . tmˆe . nh dˆe ` n`ao v`u . a d´ung la . iv`u . a sai”. Dˆay ch´ınh l`a nˆo . i dung cu ’ a di . nh l´y 2 - gi´a tri . . Bo . ’ ivˆa . y, l´o . ptˆa ´ tca ’ c´ac mˆe . nh dˆe ` du . o . . c chia th`anh hai l´o . p con: mˆo . tl´o . p gˆo ` mtˆa ´ tca ’ c´ac mˆe . nh dˆe ` d´ung v`a mˆo . tl´o . pgˆo ` mtˆa ´ tca ’ c´ac mˆe . nh dˆe ` sai. Mˆo ˜ i mˆe . nh dˆe ` thuˆo . cmˆo . t trong c´ac l´o . p d´o s˜e nhˆa . nmˆo . t gi´a tri . chˆan l´y d´ung (True, viˆe ´ tt˘a ´ t l`a T) ho˘a . c sai (False, viˆe ´ tt˘a ´ t l`a F). Ta k´yhiˆe . u c´ac mˆe . nh dˆe ` b˘a ` ng c´ac ch˜u . c´ai hoa A, B, C, c`on c´ac biˆe ´ n mˆe . nh dˆe ` b˘a ` ng c´ac ch˜u . c´ai A, B, C, v`a ch´ung c´o kha ’ n˘ang nhˆa . n c´ac gi´a tri . chˆan l´y {T, F } ho˘a . c {1, 0}. Th´ı du . 1.1.1 1.1. C´ac ph´ep to´an v`a ba ’ ng chˆan l´y 9 1. “Trˆen m˘a . t tr˘ang khˆong c´o ngu . `o . i” (T) 2. “35 chia hˆe ´ t cho 6” (F) 3. “B´ac Hˆo ` sinh ng`ay 19 th´ang 5 n˘am 1890” (T) Ch´u´yr˘a ` ng trong di . nh l´y 2 - gi´a tri . , ngu . `o . i ta chı ’ ph´at biˆe ’ ur˘a ` ng: mˆo ˜ i mˆo . tmˆe . nh dˆe ` ho˘a . cl`ad´ung, ho˘a . c l`a sai, nhu . ng khˆong kh˘a ’ ng di . nh du . o . . cr˘a ` ng mˆo ˜ imˆo . tmˆe . nh dˆe ` ta c´o thˆe ’ quyˆe ´ t di . nh du . o . . cliˆe . un´od´ung hay khˆong, ch˘a ’ ng ha . n di . nh l´y cuˆo ´ ic`ung cu ’ a Fermat [1], gia ’ thuyˆe ´ t Continuum [5]. Tˆa ´ t nhiˆen, mˆo ˜ imˆo . tmˆe . nh dˆe ` n`ay ho˘a . cl`ad´ung, ho˘a . c l`a sai. Di . nh l´y cuˆo ´ ic`ung cu ’ a Fermat d˜a tˆo ` nta . i trˆen 350 n˘am, v`a m˜ai cho dˆe ´ n n˘am 1986, G. Faltings [1], mˆo . t nh`a To´an ho . c tre ’ 26 tuˆo ’ i ngu . `o . i D´u . c d˜a du . o . . c nhˆa . n gia ’ ithu . o . ’ ng Fields vˆe ` mˆo . t cˆong tr`ınh trong h`ınh ho . c da . isˆo ´ . Gia ’ i thu . o . ’ ng Fields l`a gia ’ ithu . o . ’ ng d`anh cho c´ac nh`a To´an ho . c tre ’ tuˆo ’ idu . ´o . i40 tuˆo ’ i, 4 n˘am m´o . icˆa ´ pmˆo . tlˆa ` n v`a mˆo ˜ ilˆa ` n khˆong qu´a 4 ngu . `o . i. Nhu . ch´ung ta d˜a biˆe ´ t gia ’ ithu . o . ’ ng Nobel khˆong gi`anh cho c´ac nh`a To´an ho . c, nˆen gia ’ i thu . o . ’ ng Fields du . o . . c xem nhu . l`a gia ’ i “Nobel” cho To´an ho . c v`a gia ’ ithu . o . ’ ng du . o . . c coi l`a mˆo . t trong nh˜u . ng vinh du . . l´o . n nhˆa ´ t dˆo ´ iv´o . imˆo . t ngu . `o . i l`am To´an ho . c. Ngo`ai ra G. Falting c`on du . a ra nh˜u . ng ´y tu . o . ’ ng co . ba ’ nvˆe ` ch´u . ng minh di . nh l´y cuˆo ´ ic`ung cu ’ a Fermat v`ao th´ang 9 n˘am 1994 (xem Gerd Falting the Proof of Fermat’s Last Theorem by R. Taylor and A. Wiles Notices of the AMS, July 1995, p. 743 - 746),nhu . ng v`ao n˘am 1997, nh`a To´an ho . c ngu . `o . i Anh l`a A. Weil sinh n˘am 1953 d˜a ch´u . ng minh tro . nve . n di . nh l´y n`ay b˘a ` ng mˆo . tphu . o . ng ph´ap kh´ac v`a ˆong du . o . . c nhˆa . n gia ’ ithu . o . ’ ng rˆa ´ t d˘a . cbiˆe . t, n˘am ˆa ´ y ˆong d˜a ngo`ai 40 tuˆo ’ i nˆen khˆong thˆe ’ trao gia ’ ithu . o . ’ ng Fields. C`on gia ’ thuyˆe ´ t Continuum d˜a du . o . . c nh`a To´an ho . c M˜y l`a P.J Cohen [5] gia ’ i quyˆe ´ t v`ao n˘am 1966 v`a ˆong d˜a du . o . . c nhˆa . n gia ’ ithu . o . ’ ng Fields. Mˆo . t diˆe ` urˆa ´ thiˆe ’ n nhiˆen l`a ch´ung ta c´o thˆe ’ di t`u . mˆo . tsˆo ´ mˆe . nh dˆe ` d˜a cho dˆe ´ nmˆo . tmˆe . nh dˆe ` m´o . i nh`o . mˆo . tsˆo ´ t`u . nˆo ´ i, ch˘a ’ ng ha . n dˆo ´ iv´o . imˆe . nh dˆe ` A, ch´ung ta c´o thˆe ’ lˆa ´ yphu ’ di . nh cu ’ an´o“khˆong A” (viˆe ´ tt˘a ´ tl`a¬A), ho˘a . c dˆo ´ i v´o . i hai mˆe . nh dˆe ` d˜a cho A v`a B, ta c´o thˆe ’ nˆo ´ ic´acmˆe . nh dˆe ` d´o v´o . i nhau “A v`a B” (viˆe ´ tt˘a ´ tl`aA∧B), “A hay l`a B” (viˆe ´ tt˘a ´ tl`aA∨B), “Nˆe ´ u A th`ı B” 10 Chu . o . ng 1. Da . isˆo ´ mˆe . nh dˆe ` (viˆe ´ tt˘a ´ tl`aA→B), v`a “A khi v`a chı ’ khi B” (viˆe ´ tt˘a ´ tl`aA↔B). C´ac k´y hiˆe . u ¬, ∧, ∨, →, ↔ du . o . . cgo . il`ac´ac ph´ep to´an logic. C´ac ph´ep to´an n`ay du . o . . c x´ac di . nh du . . a theo c´ac ba ’ ng chˆan l´ydu . ´o . i dˆay. 1.1.1 Ph´ep phu ’ di . nh (¬, not) A ¬A T F F T Nhu . vˆa . y ngh˜ıa l`a khi A nhˆa . n gi´a tri . Tth`ı¬ A nhˆa . n gi´a tri . F, v`a khi A nhˆa . n gi´a tri . Fth`ı¬A nhˆa . n gi´a tri . T. 1.1.2 Ph´ep v`a (∧, and, hˆo . i) ABA∧B TT T TF F FT F FF F Vˆa . ymˆe . nh dˆe ` A ∧ B nhˆa . n gi´a tri . T, khi v`a chı ’ khi A v`a B dˆe ` u nhˆa . n gi´a tri . T. 1.1.3 Ph´ep hay l`a (∨, or, tuyˆe ’ n) ABA∨B TT T TF T FT T FF F Vˆa . ymˆe . nh dˆe ` A ∨ B nhˆa . n gi´a tri . F, khi v`a chı ’ khi A v`a B dˆe ` u nhˆa . n gi´a tri . F. 1.1. C´ac ph´ep to´an v`a ba ’ ng chˆan l´y 11 1.1.4 Ph´ep k´eo theo (→) AB(A→B) TT T TF F FT T FF T Vˆa . ymˆe . nh dˆe ` A → B nhˆa . n gi´a tri . F, khi v`a chı ’ khi A (gia ’ thiˆe ´ t) nhˆa . n gi´a tri . Tv`aB (kˆe ´ t luˆa . n) nhˆa . n gi´a tri . F. Trong mˆo . t v`ai tru . `o . ng ho . . p, mˆe . nh dˆe ` “Nˆe ´ u A th`ı B” du . o . . csu . ’ du . ng nhu . ng khˆong quan tˆam dˆe ´ n c´ac gi´a tri . chˆan l´ycu ’ a c´ac mˆe . nh dˆe ` mˆo . t c´ach dˆa ` y du ’ , ch˘a ’ ng ha . nnhu . c´ac mˆe . nh dˆe ` sau: 1. Nˆe ´ u 1+1=2 th`ı Paris l`a Thu ’ dˆo cu ’ anu . ´o . c Ph´ap. 2. Nˆe ´ u 1+1=2 th`ı Paris l`a Thu ’ dˆo cu ’ anu . ´o . c Ph´ap. 3. Nˆe ´ u 1+1=2 th`ı Rome l`a Thu ’ dˆo cu ’ anu . ´o . c Ph´ap. Ta dˆe ˜ d`ang nhˆa . n thˆa ´ yca ’ 3mˆe . nh dˆe ` trˆen dˆe ` u nhˆa . n gi´a tri . chˆan l´y l`a T, nhu . ng mˆo ´ i liˆen hˆe . gi˜u . a gia ’ thiˆe ´ t A v`a kˆe ´ t luˆa . n B khˆong ˘an kh´o . pv´o . i nhau. Do d´o dˆe ’ da ’ mba ’ o t´ınh logic v`a ch˘a . t ch˜e cua ’ mˆo . tmˆe . ng dˆe ` ,ch´ung ta pha ’ i su . ’ du . ng mˆo ´ i quan hˆe . d´o sao cho gi˜u . a gia ’ thiˆe ´ t A v`a kˆe ´ t luˆa . n B pha ’ ic´omˆo ´ i quan hˆe . x´ac di . nh, thu . `o . ng l`a nguyˆen nhˆan. Ngo`ai ra, n´oi riˆeng trong thu . . ctˆe ´ , ngu . `o . itahayd`ung mˆe . nh dˆe ` “Nˆe ´ u A th`ı B”du . ´o . imˆo . th`ınh th´u . c kh´ac, khˆong mˆau thuˆa ˜ nv`ahaydu . o . . csu . ’ du . ng rˆo . ng r˜ai, ch˘a ’ ng ha . n: “Nˆe ´ uba . n c´o th`o . i gian th`ı ba . n dˆe ´ n th˘am tˆoi”, c˜ung du . o . . chiˆe ’ u theo ngh˜ıa l`a: “Nˆe ´ uba . n khˆong dˆe ´ n th˘am tˆoi th`ıba . n khˆong c´o th`o . i gian”. Diˆe ` u n`ay luˆon luˆon d´ung v`ı theo luˆa . t logic sau dˆay: Mˆe . nh dˆe ` :“A→B”tu . o . ng du . o . ng v´o . i“¬B → ¬A” 12 Chu . o . ng 1. Da . isˆo ´ mˆe . nh dˆe ` 1.1.5 Ph´ep tu . o . ng du . o . ng (↔ ↔ ↔) AB(A↔B) TT T TF F FT F FF T Vˆa . ymˆe . nh dˆe ` A ↔ B nhˆa . n gi´a tri . T, khi v`a chı ’ khi A v`a B nhˆa . nc`ung gi´a tri . . 1.2 Cˆong th´u . cmˆe . nh dˆe ` Di . nh ngh˜ıa 1.2.1 Cˆong th´u . cmˆe . nh dˆe ` l`a mˆe . nh dˆe ` du . o . . clˆa . pnˆent`u . c´ac ch˜u . c´ai La-tinh A, B, C, v`a kˆe ’ ca ’ c´ac ch˜u . c´ai La-tinh c´o chı ’ sˆo ´ A 1 ,B 1 ,C 1 , nh`o . c´ac ph´ep to´an logic. Mˆo . t c´ach ch´ınh x´ac ho . n, ch´ung ta di . nh ngh˜ıa cˆong th´u . cmˆe . nh dˆe ` b˘a ` ng c´ach dˆe . quy nhu . sau: (1) Tˆa ´ tca ’ c´ac ch˜u . c´ai La-tinh , kˆe ’ ca ’ c´ac ch˜u . c´ai La-tinh c´o chı ’ sˆo ´ dˆe ` ul`a cˆong th´u . c (2) Nˆe ´ u A v`a B l`a c´ac cˆong th´u . cth`ı(¬A), (A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B)c˜ung l`a cˆong th´u . c (3) Mˆo . tbiˆe ’ uth´u . c l`a mˆo . t cˆong th´u . c, nˆe ´ un´odu . o . . clˆa . pnˆent`u . co . so . ’ (1) v`a (2). Mˆo ˜ imˆo . t phˆan bˆo ´ c´ac gi´a tri . chˆan l´y cu ’ a c´ac biˆe ´ n c´o m˘a . t trong cˆong th´u . c cho ta mˆo . t gi´a tri . chˆan l´ycu ’ a cˆong th´u . c. Do vˆa . y, mˆo ˜ imˆo . t cˆong th´u . cmˆe . nh dˆe ` x´ac di . nh mˆo . t h`am da . isˆo ´ logic n`ao d´o. H`am n`ay du . o . . c x´ac di . nh du . . a v`ao ba ’ ng chˆan l´ycu ’ a cˆong th´u . c d˜a cho. 1.2. Cˆong th´u . cmˆe . nh dˆe ` 13 Th´ı du . 1.2.1 Cho cˆong th´u . c A = (((¬A) ∨B) → C). T`ım h`am da . isˆo ´ logic tu . o . ng ´u . ng cu ’ a cˆong th´u . c A? Tru . ´o . chˆe ´ t ta lˆa . pba ’ ng chˆan l´y dˆa ` y du ’ cu ’ a A. Mˆo ˜ i d`ong l`a mˆo . tbˆo . phˆan bˆo ´ c´ac gi´a tri . chˆan l´ycu ’ a c´ac biˆe ´ n A, B, C v`a tu . o . ng ´u . ng l`a mˆo . t gi´a cu ’ a cˆong th´u . c A. ABC¬A (¬A) ∨ B A TTT F T T TTF F T F TFT F F T TFF F F T FTT T T T FTF T T F FFT T T T FFF T T F Vˆa . ych´ung ta dˆe ˜ d`ang x´ac di . nh du . o . . cmˆo . t h`am da . isˆo ´ logic 3 biˆe ´ n f : {T, F} 3 →{T, F} du . . a v`ao ba ’ ng chˆan l´ycu ’ a A nhu . sau: f(T,T,T) =T f(F, T,T) =T f(T,T,F) =F f(F, T,F) =F f(T,F,T) =T f (F,F,T) =T f(T,F,F) =T f(F, F,F) =F Ch´u ´y 1. Nˆe ´ u cˆong th´u . cmˆe . nh dˆe ` c´o ch´u . a n biˆe ´ nmˆe . nh dˆe ` th`ı ba ’ ng chˆan l´ycu ’ a cˆong th´u . c d˜a cho pha ’ ich´u . a 2 n bˆo . phˆan bˆo ´ c´ac gi´a tri . chˆan l´ycu ’ a n biˆe ´ n d´o. L`am thˆe ´ n`ao dˆe ’ c´o thˆe ’ viˆe ´ t dˆa ` y du ’ 2 n bˆo . phˆan bˆo ´ n`ay? Ch´ung ta chı ’ cˆa ` n thu . . chiˆe . n“thuˆa . t chia dˆoi” du . o . . cdˆa ˜ n ra theo c´ach quy na . pcu ’ abiˆe ´ n n: • n =2: Khi d´o 2 2 =4v`a chia 2 cho kˆe ´ t qua ’ l`a 2.Talˆa . pba ’ ng nhu . sau: 14 Chu . o . ng 1. Da . isˆo ´ mˆe . nh dˆe ` • n =3: Khi d´o 2 3 =8v`a chia 2 cho kˆe ´ t qua ’ l`a 4.Talˆa . pba ’ ng nhu . sau: • Mˆo . t c´ach tu . o . ng tu . . khi ch´ung ta t˘ang bˆa . ccu ’ ahˆe . sˆo ´ n lˆen v`a thu . . c chˆa ´ t khi lˆa . pba ’ ng ch´ung ta viˆe ´ tcˆo . t dˆa ` u tiˆen mˆo . tnu . ’ atrˆen l`a T v`a mˆo . t nu . ’ adu . ´o . i l`a F (ho˘a . c ngu . o . . cla . i theo mˆo . t nguyˆen t˘a ´ c), rˆo ` i dˆe ´ n c´ac cˆo . t tiˆe ´ p theo nhu . ng ch´ung ta chı ’ lˆa . pmˆo . tnu . ’ aba ’ ng trˆen theo thuˆa . t chia dˆoi c´o bˆa . c gia ’ mdˆa ` n, cuˆo ´ ic`ung th`ı thu . . chiˆe . n copy nu . ’ atrˆen xuˆo ´ ng nu . ’ a du . ´o . i l`a ho`an th`anh du ’ 2 n bˆo . phˆan bˆo ´ c´ac gi´a tri . chˆan l´ycu ’ a n biˆe ´ nc´o m˘a . t trong cˆong th´u . c d˜a cho. 2. Phu . o . ng ph´ap lˆa . pba ’ ng chˆan l´y thu go . n Tru . ´o . chˆe ´ tviˆe ´ t cˆong th´u . c d˜a cho th`anh mˆo . t d`ong cu ’ aba ’ ng, tiˆe ´ p dˆe ´ nl`a c´ac d`ong du . o . . c t´ınh lˆa ` nlu . o . . t theo gi´a tri . phˆan bˆo ´ cu ’ a c´ac biˆe ´ n c´o m˘a . t trong cˆong th´u . c v`a tu . o . ng ´u . ng l`a c´ac gi´a tri . cu ’ at`u . ng th`anh phˆa ` nlˆa . p nˆen cˆong th´u . c, v`a cuˆo ´ ic`ung l`a gi´a tri . cu ’ a cˆong th´u . c du . o . . c t´ınh theo t`u . ng th`anh phˆa ` n trˆen du . . a theo ph´ep to´an cuˆo ´ i c`ung cu ’ a cˆong th´u . c. 1.2. Cˆong th´u . cmˆe . nh dˆe ` 15 Th´ıdu . 1.2.2 Lˆa . pba ’ ng chˆan l´y thu go . ncu ’ a cˆong th´u . c A =(A ↔ B) → ((¬A) ∧ B) Ch´ung ta lˆa . pba ’ ng chˆan l´ythugo . nnhu . sau: (A ↔ B) → ((¬ A) ∧ B) T T T F F F T T F F T F F F F F T T T T T F T F F T F F Phu . o . ng ph´ap lˆa . pba ’ ng chˆan l´y thu go . ndu . . a v`ao vi . tr´ı cu ’ a c´ac biˆe ´ n mˆe . nh dˆe ` v`a c´ac ph´ep to´an c´o m˘a . t trong cˆong th´u . c l`am c´ac cˆo . ttu . o . ng ´u . ng, nˆen vˆe ` m˘a . t t´ınh to´an du . o . . ctiˆe ´ tkiˆe . m th`o . i gian nhiˆe ` uho . n v`a ba ’ ng lˆa . p do . n gia ’ nho . n. 3. T´ınh u . utiˆen cu ’ a c´ac ph´ep to´an Ta d˜a biˆe ´ t trong sˆo ´ ho . c dˆe ’ gia ’ m thiˆe ’ uviˆe . cviˆe ´ tdˆa ´ u ngo˘a . c cho mˆo . tbiˆe ’ u th´u . csˆo ´ ho . c thˆong thu . `o . ng l`a nhˆan, chia tru . ´o . c v`a cˆo . ng, tr`u . sau, v`a c´ac ph´ep to´an c´o c`ung m´u . cu . u tiˆen du . o . . c thu . . chiˆe . nt`u . tr´ai qua pha ’ i. Trong c´ac ph´ep to´an logic c˜ung tu . o . ng tu . . , ngu . `o . itad˜a du . aramˆo . t quy u . ´o . cviˆe ´ tdˆa ´ u ngo˘a . c theo th´u . tu . . u . u tiˆen sau dˆay: 1 ¬; 2 ∧; 3 ∨; 4 →; 5 ↔ trong d´o ch´u ´y hai ph´ep to´an cuˆo ´ i c`ung →, ↔ xuˆa ´ thiˆe . n nhiˆe ` ulˆa ` n liˆen tiˆe ´ p th`ı lˆa . p ngo˘a . ct`u . tr´ai qua pha ’ i, ch˘a ’ ng ha . n: A → B → C th`ı pha ’ i lˆa . p ngo˘a . c d´ung l`a ((A → B) → C). Th´ı du . 1.2.3 Ch´ung ta lˆa . p ngo˘a . c cho cˆong th´u . c [...]... T F f7 T F F T f8 T F F F x1x2 \f TT TF FT FF f9 F T T T f10 F T T F f 11 F T F T f12 F T F F f13 F F T T f14 F F T F f15 F F F T f16 F F F F trong d´ c´ mˆt sˆ h`m quen thuˆc nhu sau: o o o o a o ´ f4 (x1 , x2) = x1; f 11( x1 , x2) = x2 ; f13(x1, x2 ) = x1 f5 (x1 , x2) = x1 → x2; f7 (x1, x2 ) = x1 ↔ x2 f8 (x1 , x2) = x1 and x2 ; f2 (x1 , x2) = x1 or x2; f10 (x1, x2 ) = x1 xor x2 ; ` a Ch´ y o dˆy thay... dai sˆ logic o a o f (x1 , x2, , xn) v` σk ∈ {0, 1} v´.i moi k = 1 n ´ Th´ du 1. 6.3 Cho h`m dai sˆ logic f : {0, 1} 3 → {0, 1} nhu sau: ı a o x1 1 1 1 1 0 0 0 0 x2 1 1 0 0 1 1 0 0 x3 1 0 1 0 1 0 1 0 f (x1 , x2, x3) 01+ 1+ 01+ 1+ 0 0- ’ ’ a 1. 6 C´c hˆ dˆy du cua c´c ph´p to´n a e ` e a a 29 ’ ´ ’ ’ a) T`m dang chuˆ n t˘c tuyˆ n, hˆi ho`n to`n cua f (x1 , x2, x3 )? ı a a e o a a b) R´t gon cˆng th´.c... (x1 ∨ x2 ) ∧ (x2 ∨ x3) ∧ [(x1 ∨ x3 ∨ x2 ) ∧ (x1 ∨ x3 ∨ x3)] T ≡ (x1 ∨ x2 ) ∧ (x2 ∨ x3) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3) ≡ (x2 ∨ (x1 ∧ x3)) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ) fH = x1 ∨ x2 ∨ x3 ∧ x1 ∨ x2 ∨ x3 ∧ x1 ∨ x2 ∨ x3 ∧ x1 ∨ x2 ∨ x3 ≡ x1 ∨ x2 ∨ x3 ∧ x1 ∨ x2 ∨ x3 ∧ [(x1 ∨ x2) ∨ (x3 ∧ x3)] F ≡ x1 ∨ x2 ∨ x3 ∧ x1 ∨ x2 ∨ x3 ∧ (x1 ∨ x2) ≡ (x1 ∨ x2 ∨ x3) ∧ [x2 ∨ (x1 ∧ (x1 ∨ x3))] ≡ (x1 ∨ x2 ∨ x3) ∧ [x2 ∨ ((x1 ∧ x1) ∨ x1 ∧ x3 )] F ≡ (x1... x3)] T ≡ x1 ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ x2 ≡ (x1 ∧ x2 ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 ≡ [x2 ∧ (x1 ∨ (x1 ∧ x3 ))] ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 ≡ [x2 ∧ ((x1 ∨ x1) ∧ (x1 ∨ x3 ))] ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 T ≡ [x2 ∧ (x1 ∨ x3 )] ∨ (x1 ∧ x2 ∧ x3 ) ≡ [(x1 ∧ x2 ∧ x3) ∨ x2 ] ∧ [(x1 ∧ x2 ∧ x3) ∨ (x1 ∨ x3 )] ≡ [(x2 ∨ x1) ∧ (x2 ∨ x2 ) ∧ (x2 ∨ x3)] ∧ [(x1 ∨ x3 ∨x1 ) T T ∧((x1 ∨ x3 ) ∨ (x2 ∧ x3))] ≡ [(x2 ∨ x1) ∧ (x2 ∨ x3 )] ∧ [(x1 ∨ x3)... ım a e u ´ a 11 Cho h`m dai sˆ logic f (x1 , x2, x3 ) sau dˆy: a o x1 1 1 1 1 0 0 0 0 x2 1 1 0 0 1 1 0 0 x3 1 0 1 0 1 0 1 0 f (x1 , x2, x3) 0 0 1 1 0 0 1 1 38 ´ ` Chu.o.ng 1 Dai sˆ mˆnh dˆ e o e ’ ´ ’ ’ a) T` dang chuˆ n t˘c tuyˆ n, hˆi ho`n to`n cua f (x1 , x2, x3)? ım a a e o a a b) R´t gon cˆng th´.c v`.a t`m u o u u ı ’ ˜ c) H˜y biˆ u diˆn ch´ng qua 2 ph´p to´n: a e e u e a (1) {¬, ∧}; (2)... ∧ [x2 ∨ (x1 ∧ x3)] ≡ [(x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ x2 ] ∨ [(x1 ∨ x2 ∨ x3 ) ∧ (x1 ∧ x3 ))] ≡ [x2 ∧ x1 ∨ x2 ∧ x2 ∨ x2 ∧ x3] F ∨[(x1∧ x3 ∧x1 ) ∨ ((x1 ∧ x3) ∨ (x2 ∨ x3 ))] F ≡ [x1 ∧ x2 ∨ x2 ∧ x3 ] ∨ [(x1 ∧ x3) ∧ (x2 ∨ x3 )] ’ ’ a 1. 6 C´c hˆ dˆy du cua c´c ph´p to´n a e ` e a a 31 ≡ (x1 ∧ x2 ∨ x2 ∧ x3) ∨ (x1 ∧ x3 ∧ x2 ∨ x1 ∧ x3 ∧ x3 ) F ≡ (x1 ∧ x2 ) ∨ (x2 ∧ x3 ) ∨ (x1 ∧ x3 ∧ x2) ≡ (x2 ∧ (x1 ∨ x3)) ∨ (x1 ∧ x2 ∧ x3... (x1, x2, x3 ) = x1 ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 fH (x1, x2 , x3) = x1 ∨ x2 ∨ x3 ∧ x1 ∨ x2 ∨ x3 ∧ x1 ∨ x2 ∨ x3 ∧ x1 ∨ x2 ∨ x3 b) R´t gon: u ´ ` Chu.o.ng 1 Dai sˆ mˆnh dˆ e o e 30 ’ ´ Ta ´p dung c´c cˆng th´.c tu.o.ng du.o.ng cho qu´ tr` biˆn dˆ i nhu sau: a a o u a ınh e o fT = x1 ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 ≡ x1 ∧ x2 ∧ x3 ∨ x1 ∧ x2 ∧ x3 ∨ [(x1... u (1) fT (x1, x2 , , xn) = x 1 ∧ xσ2 ∧ ∧ xσn 1 2 n i: f ( 1 , σ2, , σn) = 1 ’ ´ ´ a • Dang chuˆ n t˘c hˆi ho`n to`n cua h`m dai sˆ logic f : {0, 1} n → {0, 1} l` a a o a a ’ a o c cˆng th´ o u x1− 1 ∨ x1−σ2 ∨ ∨ x1−σn 1 2 n fH (x1 , x2, , xn) = (2) i: f ( 1 , σ2, , σn) = 0 ’ a ’ ˜ a ´ ´ ´ ’ o a ’ o o ’ ’ u e e O dˆy chı sˆ i l` chı sˆ d`ng th´ i cua bang biˆ u diˆn h`m dai sˆ logic o a o f (x1 ,... F, v` do d´ ((A ↔ B) → (A1 ↔ B1)) nhˆn gi´ tri T a a a ´ ’ a Tr´i lai, nˆu A v` B nhˆn c`ng gi´ tri, v` v` r˘ ng B1 chı kh´c A1 tai a e a a u a a ı ` a a B, trong khi d´ A ch´.a A, do vˆy trong tru.`.ng ´ u o 1 u a o mˆt sˆ vi tr´ m` B1 ch´ o o ı a p n`y, (A ↔ B) nhˆn gi´ tri T, (A ↔ B ) c˜ng nhˆn gi´ tri T, v` do d´ u a a a o a a a ho 1 1 a a ((A ↔ B) → (A1 ↔ B1 )) nhˆn gi´ tri T .o.c... ∨ (¬B) a ´ ` Chu.o.ng 1 Dai sˆ mˆnh dˆ e o e 36 h) A ∧ (A ∨ B) v` A a i) (A ∧ B) ∧ C v` A ∧ (B ∧ C) a k) (A ∨ B) ∨ C v` A ∨ (B ∨ C) a e) (A ↔ B) ↔ C v` A ↔ (B ↔ C) a 9 R´t gon cˆng th´.c (A ∧ B) ∨ ((C ∨ A) ∧ ¬B) u o u ’ ` ˜ o ´ ’ o e e a e So dˆ vi mach biˆ u diˆn n´ (H .1. 1) v` kˆt qua (H .1. 2) H` 1. 1 ınh ` 10 Cho c´c so dˆ vi mach: a o a) H`nh 1. 2 ı 1. 7 B`i tˆp chu.o.ng 1 a a 37 b) c) ’ ˜ a ´ . Chương 1. Đại số mệnh đề Trần Thọ Châu Logic Toán. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Tr 7-3 8. Từ khoá: Logic toán, Đại số mệnh đề, Hàm đại số logic. Tài liệu. Chu . o . ng 1 Da . isˆo ´ mˆe . nh dˆe ` 1. 1 C´ac ph´ep to´an v`a ba ’ ngchˆanl´y 8 1. 1 .1 Ph´ep phu ’ di . nh (¬, not) 10 1. 1.2 Ph´ep v`a (∧, and, hˆo . i) 10 1. 1.3 Ph´ep hay l`a (∨, or, tuyˆe ’ n) 10 1. 1.4. tuyˆe ’ n) 10 1. 1.4 Ph´ep k´eo theo (→) 11 1. 1.5 Ph´ep tu . o . ng du . o . ng (↔ ↔ ↔) 12 1. 2 Cˆong th´u . cmˆe . nh dˆe ` 12 1. 3 Mˆo . tsˆo ´ di . nhngh˜ıa 16 1. 3 .1 H`am da . isˆo ´ logic 16 1. 3.2 Su . . dˆo ` ng