Bài giảng Chương 1. HÀM SỐ

Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương HÀM SỐ Các đối tượng mà xem xét gi ải tích hàm Ch ương khởi nguồn cách thảo luận ý tưởng liên quan đ ến hàm, đ th ị c chúng, cách biến đổi kết hợp chúng Chúng ta nhấn mạnh m ột hàm có th ể đ ược biểu thị nhiều cách khác nhau: phương trình, m ột b ảng, b ằng m ột đồ thị, hay lời Chúng ta xem xét kiểu c c hàm xu ất hi ện tính toán mô tả trình sử dụng hàm mô hình toán h ọc c hi ện t ượng giới thực Chúng ta thảo luận vi ệc sử dụng máy tính đ h ọa ph ần mềm đồ họa cho máy tính 1.1 Bốn cách để biểu thị hàm số 1.1.1 Các cách biểu thị hàm số  Đại số  Số  Trực quan  Lời nói A Diện tích A (Bằng công thức tường minh) (Theo giá trị bảng) (Dựa vào đồ thị) (Mô tả lời nói) hình tròn phụ thuộc vào bán kính r c Mối liên h ệ gi ữa A r cho phương trình A = πr Với giá trị dương r có giá trị A tương ứng, ta nói A hàm r B Dân số giới P phụ thuộc thời gian t cho Bảng với s ố năm nh ất định Ví dụ, P(1950) ≈ 560 000 000 (người) V ới m ỗi giá tr ị c t có m ột giá tr ị c P tương ứng, ta nói P hàm t C Dao động dọc a bề mặt Trái đất đo địa chấn k ế tr ận đ ộng đất hàm thời gian t Hình cho thấy đồ th ị đ ược t ạo b ởi ho ạt đ ộng địa chấn trận động đất Northridge làm rung chuy ển Los Angeles vào năm 1994 Đối với giá trị định t đồ thị cung cấp giá trị tương ứng a D Giá tiền C thư phụ thuộc vào trọng lượng w c M ặc dù công thức đơn giản liên hệ w C, bưu điện có quy tắc để xác định C biết w Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc 1.1.2 Các hàm định nghĩa theo khoảng Có hàm xác định công thức khác nh ững kho ảng khác Ví dụ Cho hàm số xác định Đánh giá f(-2), f(-1) f(0), phác thảo đồ thị hàm số Lời giải Ta phải dựa vào quy luật sau đây: Nếu x ≤ -1 f(x) = – x, trái lại x > -1 f(x) = x2 Vì -2 ≤ -1 nên f(-2) = – (-2) = Vì -1 ≤ -1 nên f(-1) = – (-1) = Vì > -1 nên f(0) = 02 = Đồ thị Hình Ví dụ Vẽ đồ thị hàm trị tuyệt đối f(x) = |x| Lời giải Theo định nghĩa trị tuyệt đối, ta có Vì vậy, bên trái gốc tọa độ, đồ thị |x| trùng với đồ thị hàm f(x) = -x, bên phải gốc t ọa độ đồ thị c |x| trùng với đồ thị hàm f(x) = x Đồ thị Hình 1.2 Các hàm (a) Các hàm tuyến tính (Linear functions) Là hàm có dạng f(x) = ax + b, với a b h ằng s ố Đ th ị c hàm đường thẳng (b) Các hàm đa thức (Polynomial functions) Các số ak gọi hệ số đa thức, a n ≠ 0, n gọi bậc đa thức P(x) Người ta thường dùng ký hiệu Pn(x) để biểu thị đa thức bậc n x Miền xác định hàm toàn trục thực (-∞, +∞) Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc (c) Các hàm lũy thừa (Power functions) Là hàm có dạng f(x) = x α, α số thực Sau ta xem xét m ột s ố trường hợp riêng α  α số nguyên dương Miền xác định (-∞, +∞) Miền giá trị [0, +∞) n chẵn (-∞, +∞) n lẻ  α = 1/n với n số nguyên dương Miền xác định miền giá trị trùng nhau, tức [0, +∞) n s ố ch ẵn (-∞, +∞) n số lẻ  α = -1 Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Khi f(x) = x-1 = 1/x, gọi hàm nghịch đảo (ciprocal function), đ th ị c có dạng hyperbol đối xứng qua trục tọa độ Hàm xuất lĩnh vực vật lý hóa học, liên hệ tới định luật Boyle: Trong môi trường nhiệt độ không đổi, thể tích V chất khí tỷ lệ nghịch với áp suất P: V = C/P, với C – const (d) Các hàm phân thức (Rational functions) Là hàm có dạng , Pm Qn tương ứng đa thức bậc m n x Miền xác định f(x) ểm mà B Qn(x) ≠ (e) Các hàm đại số (Algebraic functions) Là hàm xây dựng đa thức O với cá phép toán đại số (cộng, trừ, nhân, chia A khai căn) Hàm phân thức đương nhiên hàm đại số y Một ví dụ hàm đại số xuất thuyết tương đối: Khối lượng m chất điểm với vận tốc v x x C D Q m0 khối lượng nghỉ (rest mass) chất điểm c = 3.0×105 km/s vận tốc ánh sáng chân không (f) Các hàm lượng giác (Trigonometric functions) P Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc    (g) Các hàm mũ (Exponential Functions) Là hàm có dạng Số a (a > 0, a ≠ 1) gọi số Nếu a > hàm đồng biến, < a < hàm nghịch biến (h) Các hàm logarith (Logarithmic Functions) Là hàm có dạng Số a (a > 0, a ≠ 1) gọi số Đây hàm ngược hàm mũ y = ax , Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc 1.3 Các hàm khác 1.3.1 Sự biến đổi hàm Bằng cách biến đổi đồ thị hàm cho trước, ta nhận đ thị c hàm tương ứng Phép dịch ngang dọc     : dịch đồ thị : dịch đồ thị : dịch đồ thị : dịch đồ thị Với c > 0, để nhận đồ thị của: lên phía khoảng c xuống phía khoảng c sang bên trái khoảng c sang bên phải khoảng c Phép co dãn đối xứng Với c > 1, để nhận đồ thị       : dãn đồ thị theo chiều dọc với hệ số c : co đồ thị theo chiều dọc với hệ số c : co đồ thị theo chiều ngang với hệ số c : dãn đồ thị theo chiều ngang với hệ số c : lấy đối xứng đồ thị qua trục x : lấy đối xứng đồ thị qua trục y Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc 1.3.2 Sự kết hợp hàm Tổng, hiệu, tích, thương Giả sử miền xác định hàm f g tương ứng Df Dg Miền xác định Df∩Dg, {x ∈ Df∩Dg | g(x) ≠ 0} Hàm hợp Giả sử có hai hàm f g, miền giá trị g nằm mi ền xác định f Khi ta định nghĩa hàm hợp f với g, viết , sau: Miền xác định hàm hợp tất x thuộc mi ền xác định c g nh ưng g(x) thuộc miền xác định f: Chú ý Ví dụ, Khi Thậm chí, tồn không tồn Ví dụ, , Nhưng không tồn miền giá trị f không nằm miền xác định g Ví dụ Cho Tìm hàm miền xác định: Lời giải (a) (b) (c) (d) Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc 1.4 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.4.1 Hàm chẵn, hàm lẻ Định nghĩa Giả sử f: A → B Hàm f gọi hàm chẵn , gọi hàm lẻ , ∀x ∈ A Đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục y, đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ Hàm hàm chẵn, hàm hàm lẻ Các hàm chẵn Các hàm lẻ 1.4.2 Hàm tuần hoàn Định nghĩa Nếu ∃T > cho với x, f gọi hàm tuần hoàn Số T0 nhỏ số T nói (nếu tồn tại) gọi chu kỳ Các hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π, hàm tuần hoàn chu kỳ π Hàm số f(x) = C tuần hoàn chu kỳ 1.4.3 Hàm đơn điệu Định nghĩa Hàm f gọi đơn điệu tăng [hay giảm] miền (a, b) [hay ] với cặp 1.5 Hàm ngược 1.5.1 Một số định nghĩa Định nghĩa Hàm f: A → B gọi đơn ánh (hay 1-1) f(x1) ≠ f(x2) với x1 ≠ x2 Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Về mặt hình học, đường nằm ngang cắt đồ thị đơn ánh không điểm Định nghĩa Hàm f: A→ B gọi toàn ánh nếu: ∀y ∈ B, ∃x ∈ A | f(x) = y Về mặt hình học, đường nằm ngang cắt đồ thị c toàn ánh t ại nh ất m ột điểm Định nghĩa Hàm f: A → B gọi song ánh vừa đơn ánh vừa toàn ánh Về mặt hình học, đường nằm ngang cắt đồ thị song ánh điểm Xét hàm f(x) = x2 Là đơn ánh A = [0, 1], B = [0, 1] Không đơn ánh A = [-1, 1], B = [0, 1] Là toàn ánh A = [-1, 1], B = [0, 1] Không toàn ánh A = [-1, 1], B = [0, 2] Là song ánh B = [0, 1], A = [0, 1] (hoặc A = [-1, 0]) Định nghĩa Hàm g: B → A gọi hàm ngược f g(f(x)) = x v ới x ∈ A, ký hiệu f–1 Theo thói quen, ta thường dùng chữ x để biến độc l ập ch ữ y đ ể ch ỉ bi ến ph ụ thuộc, nên hàm ngược f viết y = f–1(x) Dễ thấy rằng, f–1 tồn f: A → B song ánh Ta có ∀x ∈ A, ∀y ∈ B: Các bước tìm hàm ngược (a) Viết y = f(x) (b) Giải x theo y (nếu có thể), nhận x = g(y) (c) Hoán đổi x với y, nhận hàm ngược y = f-1(x) = g(x) Ví dụ Tìm hàm ngược Lời giải (a) Viết: (b) Giải: (c) Hoán đổi x với y: Vậy hàm ngược Nhận xét Đồ thị hàm ngược đối xứng với đồ thị hàm số qua đường phân giác thứ (y = x) 1.5.2 Một số hàm ngược • Hàm mũ hàm logarith : Hàm hàm ngược hàm : logarith tự nhiên (Nature logarithm) 10 Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Đồ thị hàm có độ dốc lớn, chứng tỏ hàm tăng nhanh x tăng Trong đó, hàm tăng r ất chậm, chí chậm hàm • y = : hàm ngược Do tuần hoàn chu kỳ 2π song ánh từ sang [–1, 1] nên đoạn xác định hàm ngược Ta ký hiệu họ tất hàm ngược , hàm ngược nhận giá trị đoạn • y = : hàm ngược Do tuần hoàn chu kỳ 2π song ánh từ [0 ± kπ, π ± kπ] sang [–1, 1] nên đoạn [0 ± kπ, π ± kπ] xác định hàm ngược Ta ký hiệu họ tất hàm ngược , hàm ngược nhận giá trị đoạn [0, π] • : hàm ngược Do tuần hoàn chu kỳ π song ánh từ sang (–∞, +∞) nên khoảng xác định hàm ngược Ta ký hiệu họ tất hàm ngược , hàm ngược xác định (–∞, +∞), nhận giá trị khoảng • : hàm ngược Do tuần hoàn chu kỳ π song ánh từ (0 ± kπ, π ± kπ) sang (–∞, +∞) nên khoảng (0 ± kπ, π ± kπ) xác định hàm ngược Ta ký hiệu họ tất hàm ngược , hàm ngược xác định (–∞, +∞), nhận giá trị khoảng (0, π) 11 Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc Một số ngôn ngữ lập trình hàm , tính theo công thức Một số công thức đặc biệt Hàm dấu: 12 ... đổi x với y: Vậy hàm ngược Nhận xét Đồ thị hàm ngược đối xứng với đồ thị hàm số qua đường phân giác thứ (y = x) 1.5 .2 Một số hàm ngược • Hàm mũ hàm logarith : Hàm hàm ngược hàm : logarith tự... Cho Tìm hàm miền xác định: Lời giải (a) (b) (c) (d) Chương – Toán Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc 1.4 Một số tính chất đặc biệt hàm số 1.4 .1 Hàm chẵn, hàm lẻ Định nghĩa Giả sử f: A → B Hàm f gọi hàm chẵn... Hàm f gọi hàm chẵn , gọi hàm lẻ , ∀x ∈ A Đồ thị hàm chẵn đối xứng qua trục y, đồ thị hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ Hàm hàm chẵn, hàm hàm lẻ Các hàm chẵn Các hàm lẻ 1.4 .2 Hàm tuần hoàn Định nghĩa