BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Theo nhà toán học Khinsin : “ không có khái niệm nào khác có thể phán ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và thực tại như khái niệm tương quan hàm ,không có một khái niệm nào có thể thể hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy khái niệm toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm.Thật vậy bản chất của vật chất là vận động,và sự vận động diễn ra trong những mối tương quan nhất định. Với khái niệm hàm ,người ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của nó chứ không phải trong trạng thái tĩnh tại ,trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời nhau.Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tư duy biện chứng chính là ở chỗ đó .Chính vì vậy khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học;nó giữ vị trí trung tâm của môn toán ở trường phổ thông ,toàn bộ việc giảng dạy toán ở nhà trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm này ” Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được hàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán .Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái niệm khác .Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị ,.....Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp . Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán ,các em luôn đặt ra câu hỏi “ Tại sao nghĩ và làm được như vậy’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy ,việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết .Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toán học.Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toánmôn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên. Khi còn là học sinh, mỗi khi suy tư những bài toán nhỏ ,nhờ sự tư duy của người Thầy giúp tôi có những bài toán mới , lời giải mới .Và giúp tôi có những phân tích hay , sâu sắc trên bục giảng , có thêm kinh nghiệm , sự sáng tạo ,có niềm tin vào chính mình .Vì vậy song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh trong các giờ lên lớp ,tôi luôn luôn coi việc bồi dưỡng năng lực tư duy toán cho học sinh một cách trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua giải toán. Đặc biệt là bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của việc giảng dạy toán . Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất ,các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức .Thầy đóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải.Chính vì lẽ đó trong hai năm học 20082009 và 20092010 Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề này. Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề ,các em không còn lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số ,hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói chung và liên quan đến Hàm số nói riêng.Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ lên lớp,trả lời thoả đáng Câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”. Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian có hạn ,rất mong được sự Đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường .Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các em có phương pháp kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán cao cấp trong những năm đầu học đại học. Cùng với các đề tài : Ứng dụng nhị thức Newton vào giải toán ,các phương pháp và kỹ thuật điển hình trong tính tích phân ,đã được Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội xếp loại B trong hai năm học 20072008,20082009 . Năm học 20092010 Tôi xin giới thiệu đến các bạn đồng nghiệp và những người yêu toán đề tài : Bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua giải phương trình A Lý thuyết 1. y = f(x) đồng biến trên (a, b) với mọi x (a, b). 2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b) với mọi x (a, b). 3. y = f(x) đồng biến trên thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b) 4. y = f(x) nghịch biến trên thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a). Chú ý: Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(x) với đồ thị y = g(x). Nếu hàm số , (a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì . Bất phương trình đúng Min f(x) Bất phương trình đúng Max f(x) BPT có nghiệm max f(x) BPT có nghiệm Max f(x) Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D thì phương trình f(x)= k nếu có nghiệm x=x0 thì x=x0 là nghiệm duy nhất Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D,u(x),v(x) là các hàm số nhận giá trị thuộc D thì ta có Nếu f(x) là hàm số đồng biến ( nghịch biến ) thì y = đồng biến (nghịch biến ), với f(x) >0 là nghịch biến ( đbiến) y=f(x) nghịch biến (đồng biến ) Tổng các hàm đồng biến ( nghịch biến ) trên D là đồng biến (nghịch biến ) trên D Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến )trên D là một hàm đồng biến (nghịch biến ) trên D Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m.Nếu trên tập D hàm số y=f(x) đạt GTLN là L,GTNN là n thì phương trình f(x)=m có nghiệm khi khi Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình,ta cần thực hiện : Tìm tập xác định của phương trình.Biến đổi phư
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TƯ DUY HÀM CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Theo nhà toán học Khinsin : “ không có khái niệm nào khác có thể phán ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và thực tại như khái niệm tương quan hàm ,không có một khái niệm nào có thể thể hiện được ở trong nó những nét biện chứng của tư duy khái niệm toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm.Thật vậy bản chất của vật chất là vận động,và sự vận động diễn ra trong những mối tương quan nhất định. Với khái niệm hàm ,người ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của nó chứ không phải trong trạng thái tĩnh tại ,trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời nhau.Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tư duy biện chứng chính là ở chỗ đó .Chính vì vậy khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản nhất của toán học;nó giữ vị trí trung tâm của môn toán ở trường phổ thông ,toàn bộ việc giảng dạy toán ở nhà trường phổ thông đều xoay quanh khái niệm này ” Liên hệ với khái niệm hàm là Tư duy hàm ,một loại hình tư duy được hàng loạt các công trình nghiên cứu đánh giá cao và kiến nghị phải được phát triển mạnh mẽ trong hoạt động giảng dạy các bộ môn trong nhà trường đặc biệt là môn toán .Ngày nay trong chương trình môn toán ở trường phổ thông khái niệm hàm đã ,đang được thể hiện rõ vai trò chủ đạo của mình trong việc ứng dụng và xây dựng các khái niệm khác .Trong các kỳ thi cấp quốc gia ngoài các câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có những câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một công cụ đắc lực để giải toán như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi này cũng thường gây khó khăn cho cả thày và trò trong các giờ lên lớp . Trong các giờ giảng các em thường bị động trong nghe giảng và rất lúng túng vận dụng vào việc giải toán. Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề ,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán ,các em luôn đặt ra câu hỏi “ Tại sao nghĩ và làm được như vậy’’. Để trả lời được câu hỏi đó trong các giờ dạy ,việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua các bài toán là một điều rất cần thiết .Muốn làm tốt được điều đó người thầy không chỉ có phương pháp truyền thụ tốt mà còn phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu,dẫn dắt học sinh tìm hiểu một cách logíc bản chất của toán học.Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc học môn Toán-môn học được coi là ông vua của các môn tự nhiên. 1 Khi còn là học sinh, mỗi khi suy tư những bài toán nhỏ ,nhờ sự tư duy của người Thầy giúp tôi có những bài toán mới , lời giải mới .Và giúp tôi có những phân tích hay , sâu sắc trên bục giảng , có thêm kinh nghiệm , sự sáng tạo ,có niềm tin vào chính mình .Vì vậy song song với việc giảng dạy kiến thức cho học sinh trong các giờ lên lớp ,tôi luôn luôn coi việc bồi dưỡng năng lực tư duy toán cho học sinh một cách trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua giải toán. Đặc biệt là bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của việc giảng dạy toán . Qua nhiều năm đứng trên bục giảng, khi dạy tới chuyên đề này, tôi luôn băn khoăn làm thế nào để cho giờ dạy của mình đạt kết quả cao nhất ,các em chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức .Thầy đóng vai trò là người điều khiến để các em tìm đến đích của lời giải.Chính vì lẽ đó trong hai năm học 2008-2009 và 2009-2010 Tôi đã đầu tư thời gian nghiên cứu Chuyên đề này. Một mặt là giúp học sinh hiểu được bản chất của vấn đề ,các em không còn lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số ,hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói chung và liên quan đến Hàm số nói riêng.Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có một phương pháp giảng dạy có hiệu quả cao trong các giờ lên lớp,trả lời thoả đáng Câu hỏi “Vì sao nghĩ và làm như vậy”. Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian có hạn ,rất mong được sự Đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường .Góp phần nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các em có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toán liên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp, đồng thời bước đầu trang bị cho các em kiến thức về toán cao cấp trong những năm đầu học đại học. Cùng với các đề tài : Ứng dụng nhị thức Newton vào giải toán ,các phương pháp và kỹ thuật điển hình trong tính tích phân ,đã được Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội xếp loại B trong hai năm học 2007-2008,2008-2009 . Năm học 2009-2010 Tôi xin giới thiệu đến các bạn đồng nghiệp và những người yêu toán đề tài : Bồi dưỡng năng lực tư duy hàm cho học sinh thông qua giải phương trình A- Lý thuyết 1. y = f(x) đồng biến trên (a, b) ( ) ' 0f x⇔ ≥ với mọi x ∈ (a, b). 2. y = f(x) nghịch biến trên (a, b) ( ) ' 0f x⇔ ≤ với mọi x ∈ (a, b). 3. y = f(x) đồng biến trên [ ] ;a b thì Min f(x) = f(a); Max f(x) = f(b) 4. y = f(x) nghịch biến trên [ ] ;a b thì Min f(x) = f(b); Max f(x) = f(a). Chú ý: Nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị y = f(x) với đồ thị y = g(x). Nếu hàm số 0y ≥ , ∀∈ (a, b) mà f(x) liên tục tại a và b thì 0y ≥ ∀∈ [ ] ;a b . 2 Bất phương trình ( )f x m≥ đúng x I∀ ∈ ⇔ Min f(x) m≥ x I∀ ∈ Bất phương trình ( )f x m≤ đúng x I∀ ∈ ⇔ Max f(x) m≤ x I∀ ∈ BPT ( )f x m≥ có nghiệm x I∈ ⇔ max f(x) m≥ x I∀ ∈ BPT ( )f x m≤ có nghiệm x I∈ ⇔ Max f(x) m≤ x I∀ ∈ • Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D thì phương trình f(x)= k nếu có nghiệm x=x 0 thì x=x 0 là nghiệm duy nhất • Nếu hàm số y=f(x) đơn điệu trên D,u(x),v(x) là các hàm số nhận giá trị thuộc D thì ta có [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( )f u x f v x u x v x= ⇔ = • Nếu f(x) là hàm số đồng biến ( nghịch biến ) thì y = ( ) n f x đồng biến (nghịch biến ), 1 ( )f x với f(x) >0 là nghịch biến ( đbiến) y=-f(x) nghịch biến (đồng biến ) • Tổng các hàm đồng biến ( nghịch biến ) trên D là đồng biến (nghịch biến ) trên D • Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến )trên D là một hàm đồng biến (nghịch biến ) trên D • Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m.Nếu trên tập D hàm số y=f(x) đạt GTLN là L,GTNN là n thì phương trình f(x)=m có nghiệm khi khi n m l≤ ≤ • Để sử dụng phương pháp hàm số vào giải phương trình,ta cần thực hiện : Tìm tập xác định của phương trình.Biến đổi phương trình (nếu cần) để đặt f(x) bằng một biểu thức nào đó. • Tính đạo hàm f(x), rồi dựa vào tính đồng biến (nbiến) của hàm số để kết luận nghiệm của phương trình. • Để học sinh có kiến thức vững để giải các bài toán dạng này yêu cầu học sinh nắm vững một số kiến thức cơ bản sau: Phương trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi m thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m • Để giải các bài toán Tìm giá trị của tham số để phương trình (hoặc bất phương trình ) có nghiệm ta thực hiện các bước sau - Biến đổi phương trình về dạng f(x) =g(m) 3 - Tìm tập xác định của hàm số f(x) -Tính f ’ (x) Lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D Tìm ( ), ( ) x D x D Maxf x Minf x ∈ ∈ • Đối với những phương trình có những biểu thức phức tạp ,ta có thể đặt ẩn phụ thích hợp ( )t x= ϕ ,từ điều kiện ràng buộc của x ta tìm điều kiện của t ( với bài toán chứa tham số ta cần đặt điều kiện nghiêm ngặt cho ẩn phụ,ta thường dùng là đánh giá bằng bất đẳng thức,hoặc đôi khi phải khảo sát hàm ( )t x= ϕ ) để có thể tìm được điều kiên chính xác của biến mới t) • Sau đó đưa phương trình đã cho về phương trình theo t và lại sử dụng phương pháp hàm số như trên 4 B-Ứng dụng I. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC VD1: Giải phương trình : 3 3 5 1 2 1 4x x x− + − + = (1) Nhận xét Quan sát vế trái của phương trình (1), ta thấy khi x tăng thì giá trị của biểu thức trong căn cũng tăng .Từ đó ta thấy vế trái là hàm đồng biến ,vế phải bằng 4 là hàm hằng ,đây là điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu Lg: Đk: 3 1 5 x ≥ ,Đặt f(x)= 3 3 5 1 2 1x x x− + − + f ’ (x)= 2 3 2 3 15 2 1 2 5 1 3 (2 1) x x x = + + − − >0 ∀ x 3 1 ( ; ) 5 ∈ +∞ nên hàm số đồng biến trên 3 1 [ ; ) 5 ∈ +∞ . Mà f(1)=4 nên x=1 là nghiệm . VD 2 : Giải phương trình : 3 2 2 3 6 16 4 2 3x x x x+ + + − − = Nhận xét : Bài toán này gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện Đk: 3 2 2 2 3 6 16 0 ( 2)(2 8) 0 2 4 4 0 4 0 x x x x x x x x x + + + ≥ + + − ≥ ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − ≥ − ≥ Đặt f(x) = 3 2 2 3 6 16 4x x x x+ + + − − , f ’ (x)= 2 3 2 3( 1) 1 0, ( 2;4) 2 4 2 3 6 16 x x x x x x x + + + > ∀ ∈ − − + + + Nên hàm số đồng biến ,f(1)= 2 3 nên x=1 là nghiệm VD3 : Giải phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2x x x x x x + − − + = − + − + + Đk: 1 2 x ≥ Viết lại phương trình dưới dạng như sau ( ) ( ) 2 1 3 2 6 4x x x− − + + + = Nhận thấy 2 1 3x − − >0 x⇔ >5 hơn nữa hàm g(x)= 2 1 3x − − , h(x) = 2 6x x+ + + dương đồng biến với x>5 mà f(7) =4 nên x=7 là nghiệm . VD 4 : Giải phương trình 5 3 1 3 4 0x x x+ − − + = ( ĐH Ngoại thương 2000) Lg: Đặt f(x) = 5 3 1 3 4x x x+ − − + , 1 3 x ≤ ta có ' 4 2 3 1 ( ) 5 3 0 3 2 1 3 f x x x x x = + + > ∀ < − 5 Vậy f(x) đồng biến với 1 3 x ≤ ,f(-1) =0 nên x=-1 là nghiệm VD5: Giải phương trình : 2 2 3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0x x x x x+ + + + + + + = (3) Lg: Trước khi vận dụng phương pháp hàm số ,ta xét cách giải sau của Thầy : Nguyễn tất Thu :Gv THPT Lê Quý Đôn –Biên Hoà đồng Nai (Đăng trên báo toán học và tuổi trẻ với chủ đề :Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đánh giá) Viết lại phương trình dưới dạng 2 2 3 (2 (3 ) 3) (2 1)(2 [ (2 1) ] 3x x x x+ + = − + + − + + Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn 3x.(2x+1)<0 hay 1 ;0 2 x ∈ − ÷ nhận thấy nếu 3x= -(2x+1) 1 5 x⇔ = − thì hai vế của phương trình bằng nhau .Vậy 1 5 x = − là nghiệm của phương trình .Hơn nữa ta thấy nghiệm 1 1 ;0 5 2 x = − ∈ − ÷ Ta chứng minh 1 5 x = − là nghiệm duy nhất . • với ( ) ( ) 2 2 1 1 3 2 1 0 3 2 1 2 5 x x x x x− < < − ⇒ < − − < ⇒ > + nên ta có 2 2 2 2 2 (3 ) 3) 2 (2 1) 3 3 (2 (3 ) 3) (2 1)(2 [ (2 1) ] 3x x x x x x+ + > + + + ⇒ + + > − + + − + + hay 2 2 3 (2 (3 ) 3) (2 1)(2 [ (2 1) ] 3 0x x x x+ + + + + − + + > suy ra phương trình vô nghiệm trên khoảng 1 1 ; 2 5 − − ÷ . • với 1 0 5 x− < < làm tương tự như trên ta thấy phương trình vô nghiệm trên 1 ;0 5 − ÷ Vậy nghiệm của phương trình là 1 5 x = − Cách giải trên sử dụng phương pháp đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất Ta xét cách giải khác sau bằng phương pháp hàm số Viết lại phương trình dưới dạng: 2 2 3 (2 (3 ) 3) (2 1)(2 [ (2 1) ] 3x x x x+ + = − + + − + + Xét hàm số f(t)= 2 2 ' 2 2 (2 3), ( ) 2 3 0 3 t t t f t t t + + = + + + > ⇒ + hàm số luôn đồng biến Do đó (3) ⇔ f(3x)=f [ (2 1)]x− + ⇔ 3x=-2x-1 ⇔ x= 1 5 − Bình luận : 6 Qua hai cách giải trên chắc các thầy cô đều đồng ý với tôi là cách giải thứ hai hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu .Tôi đã kiểm nghiệm phương trình này trên hai lớp ôn thi đại học và không có học sinh nào giải theo cách giải của thày Thu vì nó thiếu sự tự nhiên không có ‘ Manh mối ’ để tìm lời giải . Đây là bài toán khó đối với học sinh,các em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương Pháp khác để giải phương trình này .Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy hàm là một việc làm rất cần thiết của người thày .Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán ,để học sinh có đủ ‘sức đề kháng’ trước các bài toán lạ. VD6 :Giải phương trình : 3 2 3 2 3 3 2 2 3 1 3 1 2x x x x x x− + − + = + + + (1) Lg: Biến đổi (1) 3 33 3 2 2 2 3 1 2 3 1 2 2x x x x x x⇔ − + + − + = + + + (*) Xét hàm số f(t)= 3 t t+ f ’ (t)= { } 23 1 1 1, \ 0 3 t R t + > ∀ ∈ ⇒ hàm số đồng biến trên { } \ 0R (*) ⇔ f(2x 3 -3x+1)=f(x 2 +2) ⇔ 2x 3 -3x+1= x 2 +2 ⇔ (2x+1)(x 2 -x-1)=0 1 1 5 ; 2 2 x ± ⇔ ∈ − VD7:Giải phương trình 2 2 3 3 3 3 2 2 1 2 1x x x x+ − + = − + Lg: Ta có 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x+ − + = − + ⇔ + + + = + + (*) Xét hàm số f(t) = 3 3 1t t+ + dễ thấy hàm số f(t) đồng biến trên { } \ 0; 1R − nên (*) ↔ f(2x 2 )=f(x+1) ↔ 2x 2 =x+1 ↔ x=1 hoặc x= 1 2 − VD8: Giải phương trình 3 3 6 1 8 4 1x x x+ = − − Lg: Biến đổi phương trình tương đương với 3 3 3 3 6 1 8 4 1 6 1 6 1 (2 ) 2x x x x x x x+ = − − ⇔ + + + = + (*) Xét hàm số f(t)=t 3 +t dễ thấy f(t) đồng biến nên (*) ⇔ f( 3 6 1x + )=f(2x) 3 3 3 1 6 1 2 8 6 1 4 3 2 x x x x x x⇔ + = ⇔ = + ⇔ − = (1) Nếu |x|>1 thì | 3 4 3x x− |=|x|| 4 3x − | > 1 2 (1) vô nghiệm Nếu 1x ≤ đặt x=cost [ ] 0;t π ∈ phương trình trở thành 7 4cos 3 t-3cost = 1 2 ⇔ cos3t = 1 2 2 9 3 t k π π ⇔ = ± + chọn các nghiệm trong khoảng [ ] 0;t π ∈ ta có nghiệm 5 7 , , 9 9 9 t t t π π π = = = từ đó suy ra các ngiệm của phương trình là 5 7 cos ; cos ; cos 9 9 9 x x x π π π = = = Bình Luận: Bài toán trên được giải dựa vào tính chất sau của hàm số : f(t) đơn điệu thì f(t 1 )=f(t 2 ) ⇔ t 1 =t 2 .Tuy nhiên mỗi bài toán trước khi áp dụng được tính chất trên vào giải phương trình thì người giải toán cần phải biến đổi ,lột bỏ được cái nguỵ trang của bài toán ,đưa về dạng thích hợp có lợi cho việc sử dụng công cụ giải toán .Muốn làm tốt được điều đó người thầy phải thường xuyên chú trọng việc bồi dưỡng tư duy hàm cho học sinh VD9: Giải phương trình 2 2 15 3 2 8x x x+ = − + + Lg: xét f(x)= 2 2 3 2 8 15 0x x x− + + − + = Nếu 2 2 2 3 2 0, 8 15 0 3 x x x x≤ ⇒ − ≤ + − + < Vì vậy 2 3 x∀ ≤ đều không là nghiệm Nếu ' 2 2 2 1 1 , ( ) 3 0 3 8 15 x f x x x x > = + − > ÷ + + Vậy f(x) đồng biến khi 2 3 x > ,f(1)=0 Nên x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình VD10 :Giải phương trình: 4 4 x 2 4 x 2− + − = Đặt ( ) 4 4 f x x 2 4 x= − + − với 2 x 4≤ ≤ ⇒ ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 f x 4 x 2 4 x ′ = − − − Ta có: ( ) f x 0 x 2 4 x x 3 ′ = ⇔ − = − ⇔ = . Nhìn bảng biến thiên suy ra: ( ) ( ) [ ] f x f 3 2 x 2,4≥ = ∀ ∈ ⇒ Phương trình ( ) 4 4 f x x 2 4 x 2= − + − = có nghiệm duy nhất x = 3 VD 11 : Giải phương trình sau: 3 3 3 2 1 2 2 2 3 0x x x+ + + + + = (1) Lg: 8 x−∞ 0x 0 1+∞f ′ −0+ f ƒ(x 0 ) Xét phương trình 3 3 3 2 1 2 2 2 3 0x x x+ + + + + = Tập xác định: D = R. Đặt f(x) = 3 3 3 2 1 2 2 2 3 0x x x+ + + + + = Ta có: 2 3 ,1, 2 1 ;0 )32( 2 )22( 2 )12( 2 )(' 3 2 3 2 3 2 −−−≠∀> + + + + + = x xxx xf Suyra hàm số f(x) đồng biến trên tập M= +∞−∪ −−∪ −−∪ −∞− , 2 3 2 3 ,11, 2 1 2 1 , Ta thấy f(-1)=0 ⇒ x=-1 là một nghiệm của (1). Ta có: 3) 2 3 (;3) 2 1 ( −=−=− ff Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x): x -∞ 2 3 − -1 2 1 − +∞ f’(x) F(x) +∞ 0 3 -∞ -3 Từ bảng biến thiên ta thấy f(x) = 0 ⇔ x = -1. vậy phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm Bình luận : Nhiều phương trình vô tỷ được giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ thích hợp sau đó đưa về hệ phương trình ,từ đó vận dụng hàm số để giải . VD12: Giải phương trình : 33 2 2 4 5 6 7 9 4x x x x x− − + = + − Lg: Đặt y= 3 2 7 9 4x x+ − Ta có 3 2 3 2 2 3 3 3 4 5 6 4 5 6 7 9 4 ( 1) 1 x x x y x x x y x x y x x y y − − + = − − + = ⇔ + − = + + + = + Xét hàm số f(t)=t 3 +t, f ’ (t)=3t 2 +1>0 t R ∀ ∈ hàm số đồng biến .nên ta có y=x+1 ⇔ 3 2 1 5 4 6 5 5; 2 x x x o x − ± − − + = ⇔ ∈ Bình Luận : Một trong những ứng dụng mạnh và lý thú của hàm số là vận dụng vào việc tìm Đk của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước.Đây cũng là một trong những dạng toán quen thuộc mà học sinh hay gặp trong câu V của các đề thi vào các trường đại học trong những năm gần đây . 9 VD 13 ( ĐH KA-08) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt 4 4 2 2 2 6 2 6x x x x m+ − + − + − = Lg: Đặt f(x) = 4 4 2 2 2 6 2 6x x x x+ − + − + − , [ ] 0;6x ∈ 3 3 4 4 ' 3 3 3 3 4 4 4 4 (6 ) (2 ) 1 1 1 1 6 2 ( ) 2 6 2 6 2 (2 ) 2 (6 ) 2 (6 ) (2 ) x x x x f x x x x x x x x x − − − − = − + − = + − − − − Nhận thấy hai số hạng của f ’ (x) cùng dấu với nhau nên f ’ (x) =0 khi 6-2x=2x hay x=2 Bảng biến thiên : x 0 2 6 f ’ (x) + 0 - f(x) 9 3 2 2 + 4 2 6 2 6+ 4 12 2 3+ Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai ghiệm thực phân biệt Khi 4 4 2 6 2 6 12 2 3m+ ≤ ≤ + Bình luận Đây là bài toán khó về ứng dụng của hàm số trong việc giải phương trinh Việc tính đạo hàm đã gây nhiều khó khăn cho học sinh,nhưng việc xét dấu của dạo hàm còn phức tạp hơn .Mặt khác bài toán đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và kỹ năng vững vàng mới giải được .Đây là câu khó khăn nhất của đề Khối A năm 2008.Ta xét thêm một số ví dụ khác VD 14 : Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương 2 11 7 4 1 2 x x x + + + ÷ =m Lg: Đặt y= 2 11 7 4 1 2 x x x + + + ÷ ta có ' 2 2 2 11 28 1 2 4 28 y x x x = − − + ' 2 2 2 11 28 0 ( ) 1 2 4 28 y g x x x x = ⇔ = − = + Lại có g(x) nghịch biến với x>0 ; g(3)=1 nên x=3 là nghiệm duy nhất mà ' ' 3 ( ) 1 0 3 ( ) 1 0 x g x y x g x y > ⇒ < ⇒ > < ⇒ > ⇒ < 10 [...]... 21x 7 x3 = x 2 + 3x Lg: k D = R | { 0; 3} , Bin i phng trỡnh nh sau 7+ x2 x2 47 x + 21 x3 +3 x 2 7 7 40 +1 + 2 280 21x 7 x 3 2 2 40 71 3 71 3 = 71 3 x 71 3 x x +3 x = 7 2 1ữ 2 x + 3x x + 3x 7 7 40 +1 + 2 40 2 2 7 7 71 3 x + 7 2 + 1ữ = 71 3 x x +3 x + 7 2 + 2 ữ (*) x + 3x x x Xột hm s f (t ) = 71 3t + 7t , f ' (t ) = 71 3t ln 71 3 > 0, t R nờn hm f(t) ng bin trờn R (*) f 2 + 1ữ = x 7. .. 2x 2 +3cos x = 7cos3 x 2 x + 7 ( x 2 + 3cos x ) = 2 x 2 2 2x +3cos x + 4cos3 x 2 + 4cos3 x 2x 2 = 7cos3 x + 4cos3 x = 7( 4cos3 x 3cos x) + 7 ( x 2 + 4cos3 x ) (*) xột hm s f (t ) = 2t + 7t , t R, f ' (t ) = 2t ln 2 + 7 > 0 Hm f(t) ng bin trờn R (*) f ( x 2 + 3cos x) = f ( x 2 + 4cos 3 x) x 2 + 3cos x = x 2 + 4cos 3 x cos3 x = 0 x = 37 : Gii phng trỡnh sau 71 3 7+ x2 x2 71 3 47 x + 21 x3 + 3... tip cn bi toỏn trờn theo cỏh khỏc nh sau : 11 7 11 7 lim y = lim ( x + + 4 1 + 2 ữ) = + , lim y = lim ( x + + 4 1 + 2 ữ) = + x +0 x +0 x + x + 2x x 2x x Li cú theo bt ng thc Bunhiacopki 2 2 2 2 7 7 7 7 ữ ( 9 + 7 ) 1 + 2 ữ = 16 1 + 2 ữ 3 + ữ = 3.1 + 7 x x x x 2 3 x 7 7 1 7 x=3 4 1 + 2 ữ 3 + ữ Du = xy ra khi = 1 x 2 x x 11 1 7 3 9 + 3 + ữ= + x + ữ 2x 2 x 2 x 3 9 3... thi th i hc trng Chu Vn An 5-2010) HD: PT x 8 +3 + x 8 3 = x+m 6 +) Nu x 17 , ta cú PT tr thnh : 12 x + 8 x = m PT cú nghim x 17 77 m 100 +) Nu 8 x < 17 , ta cú PT tr thnh 36 x = m PT cú nghim 19 < m 28 19 < m 28 KL: 77 m 100 hoc VD32 : Tỡm m phng trỡnh sau cú ỳng mt nghim 4 4 x 13 x + m + x 1 = 0 (*) (D b B- 07) Lg: x 1 (*) 4 x 4 13x + m = 1 x 3 2 4 x 6 x 9 x 1 = m(1) Yờu... 1+ t2 Nờn ta t 2 1 x = 21 t 1+ t2 Vi t [ 0;1] 12 12t + 8 ( 1 t 2 ) + 1 + t 2 7t 2 12t 9 = = f (t ) (3) Khi ú (2) tr thnh: m = 16t + 6 ( 1 t 2 ) + t 2 + 1 5t 2 16t 7 (1) cú nghim (3) cú nghim t [ 0;1] cú f (t ) = 52t 2 + 8t + 60 ( 5t 2 16t 7 ) 2 < 0t [ 0;1] 7 9 7 9 = f (1) f (t ) f (0) = m 9 7 9 7 2t x+3 = 2 1+ t2 Bỡnh lun :Giỏo viờn nờn gii thớch ti sao ta t ? 2 1 x = 21... 5 ) = f ( x 1 ) x 1 = 2 x 5 x = 2 1 1 1 x x x x 3 2 VD40 :Gii phng trỡnh: 5 + 4 + 3 + 2 = x + x + x 2 x + 5 x 7 x + 17 (1) 2 3 6 27 Lg: Bin i (1) nh sau 5 x + 4 x + 3x + 2 x ( 1 1 1 + x + x ) = 2 x 3 + 5 x 2 7 x + 17 x 2 3 6 1 1 1 + x + x ) ,g(x) = 2 x3 + 5 x 2 7 x + 17 x 2 3 6 d thy f(x) ng bin ,g(x) nghch bin f(1)=g(1) nờn x=1 l nghim x x x x t f(x) = 5 + 4 + 3 + 2 ( VD42 : Gii phng... hp nht cho dng toỏn ny Lg: t f(x)= 1 + x + 8 x + (1 + x)(8 x) f ' ( x) = 1 1 7 2x 8 x 1+ x 7 2x + = + 2 1+ x 2 8 x 2 1+ x 8 x 2 1+ x 8 x 2 1+ x 8 x 1 1 = (7 2 x) + 2 1+ x 8 x( 8 x + 1+ x ) 2 1+ x 8 x 1 1 7 + M >0 nờn f(x)=0 7- 2x=0 x= 2 1+ x 8 x ( 8 x + 1+ x ) 2 1+ x 8 x 2 Bng bin thiờn 13 x -1 7/ 2 f(x) + 8 0 - 9 +3 2 2 f(x) 3 3 9 2 Da vo bng bin thiờn ta thy 3 m < + 3 2 Bỡnh... 12 VD 33 Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: x2 + x + 1 x2 x + 1 = m Lg: Xét hàm số D= R y = x2 + x + 1 x2 x + 1 23 2x + 1 y' = 2x 1 y ' = 0 (2 x 1) x 2 + x + 1 = (2 x + 1) x 2 x + 1 2 x2 + x + 1 2 x2 x + 1 (2 x 1)(2 x + 1) > 0 (vo nghiem) (2 x 1)2 ( x 2 + x + 1) = (2 x + 1)2 ( x 2 x + 1) y(0)=1>0 nên hàm số ĐB Giới hạn 2x lim y = lim = 1; lim y = 1 x x x + x2 + x + 1 x2 x + 1 BBT... x+ t2 + t + 2 t 2 2t 3 ' (t 2), g (t ) = =0t =3 Khi ú (1) tr thnh m = g (t ) = 2 t 1 ( t 1) g(2)=8; g(3) =7; xlim g (t ) = + Min[ 2;+ ) g (t ) = g (3) = 7 + Da vo bng bin thiờn ta thy phng trỡnh cú nghim x>0 khi m 7 VD29 :Tỡm cỏc giỏ tri ca m phng trỡnh sau cú mt nghim thc 4 2 (D b B- 07) x + 2x + 4 x + 1 = m Lg:t t= x + 1 0 ,Phng trỡnh tr thnh 4 t 4 + 3 t = m (*) Nhn thy vi mi nghim khụng... 2 7 7 71 3 x + 7 2 + 1ữ = 71 3 x x +3 x + 7 2 + 2 ữ (*) x + 3x x x Xột hm s f (t ) = 71 3t + 7t , f ' (t ) = 71 3t ln 71 3 > 0, t R nờn hm f(t) ng bin trờn R (*) f 2 + 1ữ = x 7 x = 5 40 7 7 40 7 f 2+ 2 x 2 + 3 x 40 = 0 ữ 2 + 1 = 2 + 2 x + 3x x x x + 3x x x = 8 Tho món iu kin ca bi Bỡnh Lun : Ba phng trỡnh trờn thuc dng phng trỡnh 26 a h ( x )+ f ( x ) a h ( x )+ f ( x ) = K [ f . thuộc tập giá trị của hàm số y = f(x) và số nghiệm phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với đường thẳng y = m • Để giải các bài toán Tìm giá trị của tham số để phương trình. không còn lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm số ,hơn nữa tạo ra cho các em hứng thú trong giải toán nói chung và liên quan đến Hàm số nói riêng.Mặt khác sau khi nghiên cứu. + + + = +∞ ÷ , 2 11 7 lim lim ( 4 1 ) 2 x x y x x x →+∞ →+∞ = + + + = +∞ ÷ Lại có theo bất đẳng thức Bunhiacopki ( ) 2 2 2 2 2 2 7 7 7 7 3 3.1 7 9 7 1 16 1 x x x x