b Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy.
Trang 1Chuyên đề 1: DÃY CÁC SỐ NGUYÊN – PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
= = = = = = = = = = = = &*&*& = = = = = = = = = = = = =
(1) Dãy 1 : Sử dụng công thức tổng quát
n a
1 a
1 n) a.(a
n
+
−
= +
Chứng minh
-n a a n a a
a n
a a
n a n
a a
a n a n a a
n
+
−
= +
− +
+
= +
− +
= +
1 1 ) (
) (
) (
) ( ) (
∗ Bài 1.1 : Tính
a)
2009 2006
3
14 11
3 11 8
3 8
5
=
406 402
1
18 14
1 14 10
1 10 6
=
B
c)
507 502
10
22 17
10 17 12
10 12
7
10
+ + +
+
=
258 253
4
23 18
4 18 13
4 13 8
4
+ + +
+
=
D
∗ Bài 1.2 : Tính:
a)
509 252
1
19 7
1 7 9
1 9
2
=
405 802
1
17 26
1 13 18
1 9 10
=
B
c)
405 401
3 304
301
2
13 9
3 10 7
2 9 5
3 7
4
=
C
∗ Bài 1.3 : Tìm số tự nhiên x, thoả mãn:
a)
8
5 120
1
21
1 15
1 10
1
45
29 45 41
4
17 13
4 13 9
4 9 5
4
x
c)
93
15 ) 3 2 )(
1 2 (
1
9 7
1 7
5
1
5
3
+ +
+ + +
+
x x
∗ Bài 1.4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta đều có:
a)
4 6 ) 2 3 )(
1 3 (
1
11 8
1 8 5
1 5
2
1
+
= +
− + + + +
n
n n
n
b)
3 4
5 ) 3 4 )(
1 4 (
5
15 11
5 11 7
5 7
3
5
+
= +
− + + +
+
n
n n
n
∗ Bài 1.5 : Chứng minh rằng với mọi n∈N;n≥2 ta có:
15
1 ) 4 5 )(
1 5 (
3
24 19
3 19 14
3 14 9
+
− + + +
+
n n
∗ Bài 1.6 : Cho
403 399
4
23 19
4 19 15
=
80
16 81
16 < A<
∗ Bài 1.7 : Cho dãy số : ;
25 18
2
; 18 11
2
; 11 4 2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy Tính S
∗ Bài 1.8 : Cho 2 2 2 2
9
1
4
1 3
1 2
=
9
8 5
2 < A<
2007
2
7
2 5
2 3
=
2008
1003
<
A
2006
1
8
1 6
1 4
=
2007
334
<
B
∗ Bài 1.11 : Cho 2 2 2
409
1
9
1 5
1 + + +
=
12
1
<
S
305
9
17
9 11
9 5
=
4
3
<
A
Trang 2∗ Bài 1.13 : Cho 2
201
202 200
49
48 25
24 9
=
B Chứng minh: B>99,75
∗ Bài 1.14 : Cho
1764
1766
25
27 16
18 9
11+ + + +
=
21
20 40 43
20
40 < A<
∗ Bài 1.15 : Cho
100 98
99
6 4
5 5 3
4 4 2
3 3 1
+ + + + +
=
∗ Bài 1.16 : Cho
2500
2499
16
15 9
8 4
3+ + + +
=
∗ Bài 1.17 : Cho
59
3 2 1
1
4 3 2 1
1 3
2 1
1
+ + + + + + + + +
+ + +
=
3
2
<
M
∗ Bài1.18 : Cho
100 99
101 98
5 4
6 3 4 3
5 2 3 2
4
=
• Mở rộng với tích nhiều thừa số:
) 2 )(
(
1 )
(
1 )
2 )(
(
2
n a n a n a a n a n a a
n
+ +
− +
= + +
Chứng minh:
) 2 )(
(
1 )
(
1 )
2 )(
( ) 2 )(
(
2 )
2 )(
(
) 2 ( ) 2
)(
(
2
n a n a n a a n a n a a
a n
a n a a
n a n
a n a a
a n a n
a
n
a
a
n
+ +
− +
= + +
− + +
+
= + +
− +
= +
+
) 3 )(
2 )(
(
1 )
2 )(
(
1 )
3 )(
2 )(
(
3
n a n a n a n a n a a n a n a n a a
n
+ +
+
− + +
= + +
+
∗ Bài 1.19 : Tính
39 38 37
2
4 3 2
2 3 2 1
2
+ + +
=
S
∗ Bài 1.20 : Cho
20 19 18
1
4 3 2
1 3 2 1
=
4
1
<
A
∗ Bài 1.21 : Cho
29 27 25
36
7 5 3
36 5 3 1
36
+ + +
=
∗ Bài 1.22 : Cho
308 305 302
5
14 11 8
5 11 8 5
=
48
1
<
C
∗ Bài 1.23 : Chứng minh với mọi n ∈N; n > 1 ta có:
4
1 1
4
1 3
1 2
1
3 3
3
3 + + + + <
=
n A
∗ Bài 1.24 : Tính
30 29 28 27
1
5 4 3 2
1 4 3 2 1
=
M
∗ Bài 1.25 : Tính
100 99
1
6 5
1 4 3
1 2 1
1
52
1 51 1
+ + + +
+ +
+
=
P
Bài 1.26: Tính:
2007 2005
1004 1002
) 1 2 )(
1 2 (
) 1 )(
1 (
9 7
5 3 7 5
4 2 5 3
3 1
+ + +
−
+
− + + + +
=
n n
n n Q
Bài 1 27: Tính:
2007 2005
2006
5 3
4 4 2
3 3 1
+ + + +
=
R
Bài 1.28: Cho
1 2005
2
1 2005
2
1 2005
2 1
2005
2 1
2005
2
2005
2006
2
1
2
3 2
2
+ +
+ + +
+ +
+ +
+ +
n
S
So sánh S với
1002 1
Hướng dẫn:
1 k
m 2 1 k
m 1 k
m 1
k
m 2 )
1 k )(
1 k (
m mk m mk 1 k
m 1 k
m
2
= +
−
+
− +
= +
−
−
Áp dụng vào bài toán với m ∈ {2; 2 , …., 2 } và k ∈ { 2005, 2005 , …200522006} ta
có:
Trang 31 2005
2 1
2005
2 1
2005
2
2
2
−
−
−
= +
1 2005
2 1
2005
2 1
2005
2
2
2
3 2
2 2
2
−
−
−
= +
………
(2) Dãy 2 : Dãy luỹ thừa
n
a
1
với n tự nhiên.
2
1
2
1 2
1 2
=
A
2
1 2
1
2
1 2
1 2
1 2
=
B
2
1
2
1 2
1 2
=
C
2
1
2
1 2
1 2
1 2
=
D
n
A
3
1 3
27
26 9
8 3
2
1
−
>n A
3
1 3
27
28 9
10 3
=
4
5
4
5 4
5 4
=
3
5
<
C
10 9
19
4 3
7 3
2
5 2
1
=
3
100
3
3 3
2 3
=
4
3
<
E
3
1 3
3
10 3
7 3
4
3 2
+ + + + +
4
11
<
F
3
302
3
11 3
8 3
=
2
1 3 9
5
2 <G<
3
601
3
19 3
13 3
=
9
7
3 <H <
3
605
3
23 3
17 3
11+ + + +
=
3
904
3
22 3
13 3
=
4
17
<
K
3
403
3
15 3
11 3
=
L Chứng minh: L < 4,5
(3 ) Dãy 3 : Dãy dạng tích các phân số viết theo quy luật:
Bài 3.1: Tính:
2500
2499
25
24 16
15 9
8
=
35
1 1 , 24
1 1 , 15
1 1 , 8
1 1 , 3
1 1 a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy
−
−
−
−
−
=
780
1 1
15
1 1 10
1 1 6
1 1 3
1 1
Bài 3.4: Cho
200
199
6
5 4
3 2
1
=
201
1
2 <
C
Trang 4Bài 3.5: Cho
100
99
6
5 4
3 2
1
=
10
1 15
1 <D<
+
+
+
99
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
E
−
−
−
100
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
Bài 3.8: Tính: 2 2 2 2
30
899
4
15 3
8 2
3
=
Bài 3.9: Tính:
64
31 62
30
10
4 8
3 6
2 4
1
=
Bài 3.10: Tính: 101.10001.100000001 100 0001
/ 1 2
s c
n
I
−
=
100
1
1 4
1 1 3
1 1 2
1
2 2
2 2
2
1
−
−
−
−
−
=
20
1 1
4
1 1 3
1 1 2
1 1
21 1
−
−
−
−
=
100
1 1
16
1 1 9
1 1 4
1 1
19 11
Bài 3.14: Tính:
51 49
50
5 3
4 4 2
3 3 1
=
N
−
−
−
−
=
7
10 1
7
3 1 7
2 1 7
1 1
−
−
−
−
=
2007
2 1
7
2 1 5
2 1 3
2 1
Q
−
−
−
−
=
99
1 2
1
7
1 2
1 5
1 2
1 3
1 2
1
T
Bài 3.18: So sánh:
40
23 22 21
39
7 5 3 1
=
1 2
1
20−
=
V
+
+
+
+
=
101 99
1 1
5 3
1 1 4 2
1 1 3 1
1 1
Bài 3.20: Cho
199
200
5
6 3
4 1
2
=
S Chứng minh: 201<S2 <400
Bài 3.21: Cho
210
208
12
10 9
7 6
4 3
1
=
25
1
<
A
Bài 3.22: Tính:
101 100
100
4 3
3 3 2
2 2 1
=
B
Bài 3.23: Tính:
+
+
+
+
+
+
+
+
=
1999
1000 1
3
1000 1
2
1000 1
1
1000 1
1000
1999 1
3
1999 1
2
1999 1
1
1999 1
C
−
−
−
) 1 2 (
1 1
25
4 1 9
4 1 1
4 1
n
+ + + +
−
+ +
−
+
−
=
n
E
3 2 1
1 1
3 2 1
1 1 2 1
1 1
và
n
n
F = +2 với n ∈N*
Tính
F E
+
+
+
+
+
2
1 1
256
1 1 16
1 1 4
1 1 2
1 1
2
1
=
H
Trang 5Tính: G + H.
n n
I
2
2 2
2
2 ) 1 2 )(
1 2 (
65536
2 257 255 256
2 17 15 16
2 5 3 4
2 3
Chứng minh:
3
4
<
I
3
1 1
; 3
1 1
; 3
1 1
; 3
1 1
; 3
1
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy Chứng minh
A
2 3
1
− là số tự nhiên. c) Tìm chữ số tận cùng của
A
B
2 3
3
−
=
n n
A
2
2 2 4 2
6
2 3
6
97 6
13 6
6
1
−
+
a) Chứng minh :
B
A
M = là số tự nhiên b) Tìm n để M là số nguyên tố
n
A
2
2 4
2
3
1 6
3
1297 3
37 3
=
+
+
+
+
+
B
2 8
4 2
3
1 1
3
1 1 3
1 1 3
1 1 3
1
a) Chứng minh : 5A – 2B là số tự nhiên
b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A – 2B chia hết cho 45
n n
A
2
2 2 4 2
3
2 3
3
97 3
13 3
= ( với n ∈N ) Chứng minh: A < 3
(4) Tính hợp lí các biểu thức có nội dung phức tạp:
Bài 4.1: Tính:
99 98
4 3 3 2 2 1
) 98
3 2 1 (
) 3 2 1 ( ) 2 1 ( 1
+ + + +
+ + + + + + + + + + +
=
A
Bài 4.2: Tính:
99 98
4 3 3 2 2 1
1 98
96 3 97 2 98 1
+ + + +
+ + +
+
=
B
Bài 4.3: Tính:
400 299
1
104 3
1 103 2
1 102 1
1
302 3
1 301 2
1 300 1 1
+ + +
+
+ + +
+
=
C
Bài 4.4: Tính:
100
99
4
3 3
2 2 1
100
1
3
1 2
1 1 100
+ + + +
−
=
D
Bài 4.5: Tính:
100 99
1
6 5
1 4 3
1 2 1
1
53
1 52
1 51 1
+ + + +
+ + +
+
=
E
Bài 4.6: Tính
121
16 11
16 16
121
15 11
15 15 : 27
8 9
8 3
8 8
27
5 9
5 3
5 5
+
−
+
−
− +
−
− +
−
=
F
Trang 6Bài 4.7: Tính
25
2 32 , 0
4
1 1 5
1 1 : 2 , 1 56
43 4 : 4
1 2 7
3 5
2
1 2 : 5
1 15
2 3
+
−
=
G
Bài 4.8: Tính
500
1
55
1 50
1 45
92 11
3 10
2 9
1 92 : 100
1
4
1 3
1 2
99 2
98
97
3 98
2 99 1
+ + + +
−
−
−
−
− +
+ + +
+ + + +
+
=
H
Bài 4.9: Tính
2941
5 41
5 29
5 5
2941
4 41
4 29
4 4 : 1943
3 43
3 19
3 3
1943
2 43
2 19
2 2
− +
−
− +
−
− +
−
− +
−
=
I
Bài 4.10: Tính
91
7 169
7 13
7 7
91
3 169
3 13
3 3 : 85
4 289
4 7
4 4
85
12 289
12 7
12 12
+ + +
+ + +
−
−
−
−
−
−
=
K
Bài 4.11: Tính
20 15 16 12 12 9 8 6 4 3
10 5 8 4 6 3 4 2 2 1
+ +
+ +
+ + + +
=
L
Bài 4.12: Tính
5
2 : 5 , 0 6 , 0 17
2 2 4
1 2 9
5 5
7
4 : 25
2 08 , 1 25
1 64 , 0
25 , 1 5
3 1 : 6 , 1
+
+
−
=
M
Bài 4.13: Tính
43
11 8 : 1517
38 6 1591
94 11 5
1
=
N
=
37 13 11 7 3
4 222222
5 111111
5 10101
P
Bài 4.15: Tính
1 99
1 3 97
1
95 5
1 97 3
1 99 1
1
7
1 5
1 3
1 1
+ + + +
+
+ + + +
+
=
Q
Bài 4.16: Tính
1
199 2
198
197
3 198
2 199
1
4
1 3
1 2 1
+ + + + +
+ + +
+
=
R