NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN I. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng ( ) 1 1 1 1 ax b ax b dx c , a α + α +   + = + α ≠ −  ÷ α +   ∫ ( ) ( ) 1 cos ax b dx sin ax b a + = + ∫ + c 1dx ln ax b c ax b a = + + + ∫ + c ( ) ( ) 1 sin ax b dx cos ax b c a − + = + + ∫ 1 ax b ax b e dx e c a + + = + ∫ ( ) ( ) 1 tg ax b dx ln cos ax b c a + = − + + ∫ 1 ax b ax b m dx m c a ln m + + = + ∫ ( ) ( ) 1 cotg ax b dx ln sin ax b c a + = + + ∫ 2 2 1dx x arctg c a a a x = + + ∫ ( ) ( ) 2 1dx cotg ax b c a sin ax b − = + + + ∫ 2 2 1 2 dx a x ln c a a x a x + = + − − ∫ ( ) ( ) 2 1dx tg ax b c a cos ax b = + + + ∫ ( ) 2 2 2 2 dx ln x x a c x a = + + + + ∫ 2 2 x x arcsin dx x arcsin a x c a a = + − + ∫ 2 2 dx x arcsin c a a x = + − ∫ 2 2 x x arccos dx x arccos a x c a a = − − + ∫ 2 2 1dx x arccos c a a x x a = + − ∫ ( ) 2 2 2 x x a arctg dx x arctg ln a x c a a = − + + ∫ 2 2 2 2 1dx a x a ln c a x x x a + + = − + + ∫ ( ) 2 2 2 x x a arc cotg dx x arc cotg ln a x c a a = + + + ∫ ( ) ( ) b ln ax b dx x ln ax b x c a   + = + + − +  ÷   ∫ ( ) 1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a + = + + ∫ 2 2 2 2 2 2 2 x a x a x a x dx arcsin c a − − = + + ∫ ( ) 1 2 dx ax b ln tg c sin ax b a + = + + ∫ ( ) 2 2 ax ax e a sin bx b cos bx e sin bx dx c a b − = + + ∫ ( ) 2 2 ax ax e a cos bx b sinbx e cos bx dx c a b + = + + ∫ 1 II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12 Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm 1. Ví dụ 1: Chứng minh: 2 2 dx 1 x a ln c 2a x a x a − = + + − ∫ ; 2 2 dx 1 a x ln c 2a a x a x + = + − − ∫ Chứng minh: 2 2 dx 1 1 1 1 dx dx 1 x a dx ln c 2a x a x a 2a x a x a 2a x a x a −     = − = − = +  ÷  ÷ − + − + +     − ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 2 2 dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x dx ln c 2a a x a x 2a a x a x 2a a x a x   − +   = + = − = +  ÷  ÷ + − + − −     − ∫ ∫ ∫ ∫ 2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 2 dx ln x x a x a = + + + ∫ + c Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 x a ln x x a c x x a ′ ′ + +   + + + =   + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x x a 1 1 x x a x a x x a x a x a + +   = + = × =  ÷ + + + + + + +   3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: 2 2 dx 1 u c a a x = + + ∫ (với x tg u a = ) Đặt x tg u a = , ( ) u , 2 2 π π ∈ − ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 2 d a tg u dx 1 1 du u c a a a x a 1 tg u = = = + + + ∫ ∫ ∫ 4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: 2 2 dx u c a x = + − ∫ (với x sin u a = , a > 0) Đặt x sin u a = ,u∈ , 2 2 π π   −     ⇒ ( ) ( ) 2 2 2 2 dx d a sin u du u c a x a 1 sin u = = = + − − ∫ ∫ ∫ Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm 2 2 dx 1 x arctg c a a a x = + + ∫ và 2 2 dx x arcsin c a a x = + − ∫ (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này. III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN: 1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc: 2 = 1 n n x x ; = = m m n n k m m n nk x x ; x x − − = = 1 n n n n 1 1 x ; x x x ; − = m n n m 1 x x ; − = m nk n k m 1 x x 2. Biến đổi vi phân: dx = d(x ± 1) = d(x ± 2) = … = d(x ± p) adx = d(ax ± 1) = d(ax ± 2) = … = d(ax ± p) ( ) ( ) x p1 x 1 x 2 dx d d d a a a a ±   ± ± = = = =  ÷   L III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ 1. 3 dx 1 x x − ∫ ( ) 3 2 1 1 1 dx 1 dx 1 1 x x x x x − +   = = + + +  ÷ − −   ∫ ∫ = ( ) ( ) 2 3 2 1 1 1 1 dx ln 1 1 3 2 d x x x x x x x c x − + + + = + + + − + − ∫ ∫ 2. ( ) 1 4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx 4 x x x x+  + −  +   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 5 3 1 2 2 2 2 1 1 2 2 4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7 16 16 5 3 x x d x x x c     = + − + + = + − × + +       ∫ 3. ( ) ( ) ( ) 17 2 2 2 d 2 d 1 2 5 2 2 5 x x I x x = = + + ∫ ∫ 1 10 arctg 5 10 x c   = +  ÷   4. ( ) ( ) ( ) x dx 1 2 1 1 1 1 2 2 ln ln 2 5ln 2 5ln 2 2 + 5 2 2 5 2 5 2 2 5 x x x x x x x x d d c   = = − = +  ÷ + +   + ∫ ∫ ∫ 5. ( ) ( ) 5 3 2 3 cos cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx 1 sin x dx x x dx x x x x x   = + = − +   − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 sin cos 1 sin sin cos cos sin 3 4 x x x d x xd x x c= − − = − − + ∫ ∫ III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI ( ) ( ) ( ) ( ) 1 x 1 x 2 x 3 x 4 J dx x x + + + + = ∫ ; 2 7x 3 J dx 2x 5 − = + ∫ ; 2 3 3x 7x 5 J dx x 2 − + = − ∫ ( ) 3 2 2 2 4 5 6 10 2x 5x 7x 10 4x 9x 10 2x 3x 9 J dx ;J dx ; J dx x 1 2x 1 x 1 − + − − + − + = = = − − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 3 2 3 2 7 8 15 30 x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4 J dx ; J dx x 2 x 1 − + − + − + = = − + ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫ −−+=+−=−+= dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ 33 2 11 152 10 3100 9 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 3 2 4 5 5 9 12 13 14 4 7 x 3x 5 J 2x 3 . x 1 dx ; J dx ; J x . 2x 3 dx 2x 1 − + = + − = = + + ∫ ∫ ∫ ( ) 9 3 15 16 17 4 2 2 10 5 x x x J dx ; J dx ; J dx x x 1 x x 1 2 3x = = = + − − − − ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18 19 20 2 2 2 2 dx dx dx J ; J ; J x 2 x 5 x 2 x 6 x 2 x 3 = = = − + + + − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 23 2 2 2 2 2 2 x dx dx dx J ; J ; J x 3 x 7 3x 7 x 2 2x 5 x 3 = = = − − + + + − ∫ ∫ ∫ ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 2x x x 24 25 26 27 x x x 1 0 0 0 dx e dx 1 e J ; J ; J e 1dx ; J dx 1 e e 1 e 1 − = = = + = + − + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 x x 1 1 1 1 x 28 29 30 31 x 2x 2x x 3x 0 0 0 0 1 e dx 1 e e dx dx J ; J ; J ; J dx 1 e 1 e e e e − − + + = = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ln 2 ln 4 1 e 3x 32 33 34 35 x 3 x x x 0 0 0 1 dx dx e dx 1 ln x J ; J ; J ; J dx x e e 4e 1 e − + − − + = = = = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 3 1 1 6 5 2 5 3 3 2 36 37 38 0 0 0 J x 1 x dx ; J x 1 x dx ; J x 1 x dx= + = − = − ∫ ∫ ∫ ( ) 2 x 1 1 1 1 2x x 39 40 41 42 x x x x 0 0 0 0 2 1 dx dx dx J ; J ; J ; J e 1 e dx 4 3 4 2 4 − − + = = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI 1. = + + ∫ 2 2 du 1 u arctg c a a u a 4. = + ∫ du 2 u c u 2. − = + + − ∫ 2 2 du 1 u a ln c 2a u a u a 5. ( ) = + > − ∫ 2 2 du u arcsin c a 0 a a u 3. + = + − − ∫ 2 2 du 1 a u ln c 2a a u a u 6. = + ± + ± ∫ 2 2 du ln u u p c u p Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2: 1.   −   + + = + −    ÷       2 2 2 2 b b 4ac ax bx c a x 2a 4a 2. ( ) + + = ± + ± 2 2 2 ax bx c mx n p B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN 4 I. Dạng 1: ∫ 2 dx A = ax + bx + c 1. Phương pháp: ( ) + = = + + + + + ∫ ∫ 2 2 2 dx dx 1 mx n arctg c mp p ax bx c mx n p ( ) + − = = + + + + + + − ∫ ∫ 2 2 2 mx n pdx dx 1 ln c 2mp mx n p ax bx c mx n p 2. Các bài tập mẫu minh họa • ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 d d 1 d 2 2 1 2 2 3 ln 2 4 8 1 4 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 x x x x A c x x x x x + + − = = = = + + + + + + − + − ∫ ∫ ∫ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 2 dx A 3x 4x 2 = − − ∫ ; 2 3 2 2 dx dx A ; A ; 4x 6x 1 5x 8x 6 = = − + + − + ∫ ∫ 2 1 1 4 5 6 2 2 2 1 0 0 dx dx dx A ; A ; A 7x 4x 3 6 3x 2x 4x 6x 3 = = = − + − + − + ∫ ∫ ∫ II. Dạng 2: ( ) ∫ 2 mx + n B = dx ax + bx + c 1. Phương pháp: ( ) ( ) ( ) + + − + = = + + + + ∫ ∫ 2 2 m mb 2ax b n mx n 2a 2a B dx dx ax bx c ax bx c = = ( ) + +   + −  ÷ + +   ∫ 2 2 d ax bx c m mb n A 2a 2a ax bx c =   + + + −  ÷   2 m mb ln ax bx c n A 2a 2a Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm) • Nếu mẫu có nghiệm kép 0 x x= tức là 2 2 0 ( )ax bx c a x x+ + = − thì ta giả sử: ( ) + = + ∀ − + + − 2 2 0 0 mx n x x x ax bx c x x α β Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm α, β. Với α, β vừa tìm ta có: ( ) + = + + ∫ 2 mx n B dx ax bx c = ln − − + − 0 0 x x c x x β α • Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x : 2 1 2 ( )( )ax bx c a x x x x+ + = − − thì ta giả sử + = + ∀ − − + + 2 1 2 mx n x x x x x ax bx c α β 5 Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm α, β. Với α, β vừa tìm ta có: ( ) dx + = + + ∫ 2 mx n B ax bx c = ln ln− + − + 1 2 x x x x c α β 2. Các bài tập mẫu minh họa: • − ∫ 1 2 2x + 3 B = dx 9x 6x + 1 ( ) ( ) 2 2 2 1 11 18 6 1 18 6 d 11 d 9 3 d 9 3 9 6 1 9 6 1 9 6 1 x x x x x x x x x x x − + − = = + − + − + − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 9 6 1 11 3 1 2 11 ln 3 1 9 9 9 9 3 1 9 6 1 3 1 d x x d x x c x x x x − + − = + = − − + − − + − ∫ ∫ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 2 2 7 3x dx 3x 4 dx 2 7x dx B ; B ; B 4x 6x 1 2x 7x 9 5x 8x 4 − − − = = = − − − + − − ∫ ∫ ∫ ; III. Dạng 3: ∫ 2 dx C = ax + bx + c 1. Phương pháp: Bổ đề: ln 2 2 du u u k c u k = + + + + ∫ Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 dx dx 1 lnC mx n mx n k c m ax bx c mx n k = = = + + + + + + + + + ∫ ∫ ( ) ( ) 2 2 2 dx dx 1 arcsin 0 mx n C p m p ax bx c p mx n + = = = > + + − + ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ( ) 2 3 2 2 d 1 d 5 5 45 ln 4 16 2 4 45 4 10 5 5 4 16 x x C x x c x x x = = = − + − − + − − − − ∫ ∫ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 2 3 2 2 2 dx dx dx C ; C ; C 3x 8x 1 7 8x 10x 5 12x 4 2 x = = = − + − − − − ∫ ∫ ∫ IV. Dạng 4: ( ) ∫ 2 mx + n dx D = ax + bx + c 1. Phương pháp: ( ) 2 2 2 dx dx 2 2 ax b m mb D a a ax bx c ax bx c + = − + + + + ∫ ∫ = ( ) 2 2 2 2 d ax bx c m mb C a a ax bx c + + − × + + ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: 6 • D 1 = ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 4 d 2 d d 2 4 5 4 5 4 5 x x x x x x x x x x x + + = + + + + + + + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 1 d 4 5 d 2 4 5 2ln 2 4 5 2 4 5 2 1 x x x x x x x x x x x + + = + = + + + + + + + + + + + ∫ ∫ ( ) ( ) 3 10 10 5 2 ln 3 10 2ln 2 5 10 5 2 ln 2 5 + = − + + − + = − + + 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 2 2 5 4x dx 3x 7 dx 8x 11 dx D ; D ; D 3x 2x 1 2x 5x 1 9 6x 4x − + − = = = − + − − − − ∫ ∫ ∫ V. Dạng 5: ( ) ∫ 2 dx E = px + q ax + bx + c 1. Phương pháp: Đặt 2 1 dt 1 1 dx ;px q p x q t p t t −   + = ⇒ = = −  ÷   . Khi đó: ( ) 2 2 2 2 2 dt pt dx dt E px q ax bx c t t 1 a 1 b 1 q q c t t p t p − = = = ± + + + α + β + γ     − + − +  ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ∫ 3 1 2 2 dx E = x - 1 x - 2x + 2 . Đặt 2 2 1 1 1 1 3 1 ; 2 dx x t t x t x x t t dt t = ⇒ =   +  = ⇒ = − = ⇒ =  − =   Khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 1 2 2 2 1 dt t dx E 1 x-1 x 2x 2 t 1 t 1 2 2 t t t − = = − + + + − + ∫ ∫ ( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 dt 1 5 2 2 2 ln t t 1 ln 1 2 ln ln 2 1 5 t 1 + + = = + + = + − = + + ∫ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) ( ) 2 3 3 1 2 3 2 2 2 1 2 2 dx dx dx E ; E ; E 2x 3 x 3x 1 3x 4 2x 3x 7 x 1 x 1 = = = + + − − + + − + ∫ ∫ ∫ VI. Dạng 6: ( ) ( ) ∫ 2 mx + n dx F = px + q ax + bx + c 7 1. Phương pháp: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 dx dx mq m px q n mx n p p F px q ax bx c px q ax bx c   + + −  ÷ +   = = + + + + + + ∫ ∫ ( ) 2 2 dx dxmq mqm m F n C n E p p p p ax bx c px q ax bx c     = + − = + −  ÷  ÷     + + + + + ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: ( ) ( ) 1 1 2 0 2 3 d 1 2 2 x x F x x x + = = + + + ∫ ( ) 1 1 2 2 0 0 dx dx 2 2I J x 2x 2 x 1 x 2x 2 + = + + + + + + ∫ ∫ 1 2 0 dx 2 2 I x x = + + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 2 0 dx 2 5 ln 1 1 1 ln 1 2 1 1 x x x + = = + + + + = + + + ∫ ( ) 1 2 0 1 2 2 dx J x x x = + + + ∫ . Đặt 2 0 1 1 1 1 1 2 dx x t x t x t dt t = ⇒ =    = ⇒ = + = ⇒  − =   . Khi đó: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 dt t dt 2 2 2 J ln t t 1 ln 1 5 1 t 1 1 1 1 2 1 2 t t t − + = = = + + = + + − + − + ∫ ∫ ⇒ F 1 = 2I + J = ( ) ( ) ( ) 2 5 2 2 2 2 9 4 5 2ln ln ln 1 2 1 5 1 2 1 5 + + + + = + + + + • ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 5 1 2 1 2 2 2 1 4 3 x dx x x x − − + + = + − − − ∫ ∫ -3 2 2 2 -2 x + 3 dx F = 2x + 1 -x - 4x - 3 ( ) 3 2 3 2 2 2 2 2 1 dx 5 dx 1 5 I J 2 2 2 2 x 4x 3 2x 1 x 4x 3 − − − − = + = + − − − + − − − ∫ ∫ 3 2 2 2 4 3 dx I x x − − = − − − ∫ ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 2 dx arcsin x 2 6 1 x 2 − − − − π = = + = − + ∫ ( ) 3 2 2 2 2 1 4 3 dx J x x x − − = + − − − ∫ . Đặt 2 1 2 3 1 1 3 1 2 1 2 2 2 2 x t t x t x x ; t t dt dx t −  = − ⇒ =  −  − − = ⇒ = + = ⇒ =   − =   8 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 3 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 3 2 2 1 2 1 2 dt 2t dt J 1 5t 6t 1 1 1 1 1 2 1 3 4 t t t 1 dt 1 5t 3 1 2 1 arcsin arcsin arcsin 2 3 4 5 5 5 3 2 t 5 5 − − − − − − − − − = = − − − − − − − − +   = = = −  ÷   − + ∫ ∫ ∫ Vậy ( ) 2 5 5 1 2 1 F I J arcsin arcsin 2 2 12 2 3 4 π = + = + − 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 3 2 2 2 0 0 0 4x 7 dx 6 7x dx 7 9x dx F ; F ; F 8 5x 3x 4x 2 2x 5 x x 4 4x 3 2x x 1 + − − = = = − − + + − + + + + ∫ ∫ ∫ VII. Dạng 7: ( ) ∫ 2 2 xdx G = ax + b cx + d 1. Phương pháp: Đặt 2 2 2 2 2 t d t dt t cx d t cx d x ; x dx c c − = + ⇒ = + ⇒ = = Khi đó: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1t dt dt G A c c at bc ad c a t d b t c = = = ×   + − − +     ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ∫ 1 1 2 2 0 xdx G = 5 - 2x 6x + 1 . Đặt 2 0 1 6 1 1 7 6 x t t x x t x dx t dt = ⇒ =    = + ⇒ = ⇒ =   =   . Khi đó: ( ) ( ) 7 7 7 1 2 2 2 1 1 1 3 4 7 1 t dt 1 dt 1 1 4 t 1 G ln ln 6 2 2 8 4 t 16 4 t 16 t 5 4 7 t 3 + +   = = = =  ÷ −   −   − −  ÷   ∫ ∫ 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 1 1 0 x dx x dx x dx G ; G ; G 4x 3 5 x 5x 11 7 3x 8 7x 2x 1 = = = − − − − − + ∫ ∫ ∫ VIII. Dạng 8: ( ) ∫ 2 2 dx H = ax + b cx + d 1. Phương pháp: Đặt ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 d td.dt xt cx d x t cx d x xdx t c t c − = + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = − − ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 td.dt t c dx xdx dt x xt t c td t c cx d − − − = = = − − + . Khi đó ta có: 9 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 dx dt dt H A ad bt ad bc ax b cx d b t c t c − − = = = =   + − + + + −  ÷ −   ∫ ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ∫ 3 1 2 2 2 dx H = x - 2 x + 3 . Đặt 2 2 2 3 3 3 3 7 2 2 x t x xt x t x x t  = ⇒ = +  = + ⇒ = ⇒   = ⇒ =  và ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3t dt x t x 3 t 1 x 3 x xdx t 1 t 1 − = + ⇒ − = ⇒ = ⇒ = − − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3t dt t 1 dx x dx dt x xt t 1 3t t 1 x 3 − − − = = = − − + . Khi đó ta có: 2 3 1 2 7 2 dt 2 5 H t = = − ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 7 2 1 2 5 1 2 2 15 14 2 5 ln ln 2 10 2 5 2 10 2 2 15 14 2 5 t t − − + = + + − 3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 1 1 1 d d 5 ; ; d 2 3 1 5 2 3 2 3 1 x x x H H H x x x x x x x x + = = = + − − + + + − ∫ ∫ ∫ IX. Dạng 9: ( ) ( ) ∫ 2 2 mx + n dx I = ax + b cx + d 1. Phương pháp: ( ) ( ) 2 22 2 xdx dx I m n mG nH ax b cx d ax b cx d = + = + + + + + ∫ ∫ 2. Các bài tập mẫu minh họa: • ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 3 2 2 2 4 1 7 1 5 3 1 2 x dx x x − + =   − − − +   ∫ ∫ 3 1 2 2 2 4x + 3 dx I = x - 2x - 4 3x - 6x + 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 du udu du 4u 7 4 7 4J 7L u 5 3u 2 u 5 3u 2 u 5 3u 2 + = = + = − − + − + − + ∫ ∫ ∫ Xét ( ) 2 2 2 1 5 3 2 udu J u u = − + ∫ . Đặt 2 2 2 2 3 2 3 3 t tdt t u u udu − = + ⇒ = ⇒ = ( ) ( ) 14 2 14 14 2 2 2 2 1 5 5 5 udu tdt dt 1 t 17 J ln 2 17 t 17t 17 t 17 t u 5 3u 2 − = = = = +− − − + ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 17 14 17 5 1 17 14 17 5 1 ln ln ln 2 17 17 14 17 5 2 17 17 14 17 5 − +   − − = − =  ÷ + + + −   10 [...]... dx 3 ( 3x - 1 ) 4 ; H3 = ∫ ( 3x + 2 ) dx 5 ( 4x - 1 ) 4 BÀI 4 TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A CÔNG THỨC SỬ DỤNG 1 KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON 0 1 k n n ( a + b ) n = Cn a n + Cn a n −1b + + Cn a n −k b k + + Cn −1ab n −1 + Cn b n n! k trong đó Cn = k !( n − k ) ! và m! = 1.2 ( m − 1) m với qui ước 0! = 1 2 CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC 1 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) +... 5 26 − 5  − ln  ln ÷ 2 65  78 − 3 5 26 + 5 ÷   1 ( 78 + 3 5 ) ( 26 + 5 ) 4  3 1  1 − arctg ln  arctg ÷− 13  13 13  2 65 ( 78 − 3 5 ) ( 26 − 5 ) 11 BÀI 3 BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC Các bài tập mẫu minh họa: dx 1 ( x + 5) − ( x − 2 ) 1  1 1  1 x−2 ∫ ( x − 2) ( x + 5) dx = 7 ∫  x − 5 − x + 5 ÷dx = 7 ln x... + h +1 ( sin x ) 2k ∫ ( 1 − sin du = 2 x) k + h +1 u 2k − 2 du ∫ (1 − u ) 2 k + h +1 d ( sin x ) ; ( u = s inx ) − u 2k − 2 du ∫ (1 − u ) 2 k+h Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính được D4.1 2 Các bài tập mẫu minh họa: 24 ( tg3x ) 7 ∫ ( cos3x ) • D1 = = 1 3 ∫ • D2 = 6 7  ∫ ( tg 3x )  2 dx 1  = 2 2 3  ( cos 3 x )  ( cos 3 x ) dx = 1 ∫ (... 1.3 cho số mũ lẻ bé hơn 1.2 Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx ta có: m B = sin m x cos n xdx = ( sin x ) ( cos 2 x ) ∫ ∫ • Tích phân (*) tính được ⇔ 1 trong 3 số n −1 2 cos xdx = u m ( 1 − u 2 ) ∫ m −1 2 du (*) m +1 n −1 m + k ; ; là số nguyên 2 2 2 2 Các bài tập mẫu minh họa 1 ( sin 2 x ) 2 ( cos x ) 2 dx 4 1 ( 1 − cos 4x ) ( 1 + cos 2x ) dx = 1 ( 1 + cos 2x − cos 4x − cos 2x cos... 1 1 ∫ cos ( ax + b ) dx = a sin ( ax + b ) + c ∫ cos 2 ∫ sin ( ax + b ) dx = − a cos ( ax + b ) + c dx 1 = tg ( ax + b ) + c ( ax + b ) a ∫ sin 2 dx 1 = − cotg ( ax + b ) + c ( ax + b ) a B CÁC DẠNG TÍCH PHÂN I Dạng 1: A1.1 = ∫ ( sinx ) n ∫ n dx ; A1.2 ( cosx ) dx 19 1 Công thức hạ bậc sin2 x = 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x − sin 3x + 3 sin x cos 3x + 3 cos x ; cos 2 x = ; sin3 x = ; cos 3 x = 2 2 4 4 2 Phương... 5 7 9 = −  cos 5x − cos 5x + cos 5x − cos 5x + cos 5x ÷ + c 5 3 5 7 9  II Dạng 2: B = ∫ sin m x cos n x dx (m, n∈N) 1 Phương pháp: 1.1 Trường hợp 1: m, n là các số nguyên a Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng 20 b Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi: m 2p+1 m 2p m B = ( sinx ) ( cosx ) dx = ( sin x ) ( cos x ) cos xdx = ( sin x ) ( 1 − sin 2 x ) d ( sin... d x+ 1  x   2 x + 1 − 1  x  ) x − 1 1 x + 1 −1 1 x2 − 1 1 x2 − x + 1 x − ln x = arctg +c= arctg − ln 2 +c 4 x + 1 +1 4 x + x +1 2 3 3 2 3 x 3 x 1 IV DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 • D1 = = ∫x ∫ t( t dx dx d ( x − 1) = = 2 ( x − 1) ( x + x + 1) −1 ( x − 1) ( x − 1) 2 + 3 ( x − 1) + 3   ∫ 3 dt 2 + 3t + 3) = ∫ 1 3 ( t 2 + 3t + 3) − ( t 2 + 3t ) ( t + 3) dt  1... ÷  2    dx ( x−1 2 ) 2 2 −1  1 2x − 1  − 1 x 2 + 2x + 1 1 2x − 1 ln x + 1 − ln x 2 − x + 1 − 3arctg + c = ln 2 − arctg +c   3 2 6 x − x +1 3  3 3 V DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6 • E1 = = = dx = −1 6 ∫(x dx 3 − 1) ( x + 1) 3 = 1  dx dx  1  x 3 − 1 − x 3 + 1  = 2 ( D1 − D 2 ) 2  ∫ ∫ 1   1 x 2 − 2x + 1 1 2x + 1   1 x 2 + 2x + 1 1 2x − 1   − arctg + arctg... + 2 ) − 29 ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 )  dx   ∫ = −66 49 ( x + 2 ) 49 + 149 48 ( x + 2 ) 48 − 48 47 ( x + 2 ) 47 + 29 46 ( x + 2 ) 46 − 3 45 ( x + 2 ) 45 +c VII DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO 1 Các bài tập mẫu minh họa: dx dx 1 ( 3x 99 + 5 ) − 3 x99 1  dx 3x98 dx  = = dx =  −  5 x 3x 100 + 5x 3x99 + 5  x ( 3x 99 + 5 ) 5 x ( 3x 99 + 5 ) 1  dx 1 d ( 3x 99 + 5 )  1... ; B5 = 4 5 6 7 + 5x x − 7x x − 8x x + 9x x + 13x ∫ ∫ ∫ ∫ dx dx dx ; B7 = 3 ; B8 = 4 2 3 + 6x + 19x + 22 x − 3x + 14x − 12 x + 4x + 6x 2 + 7x + 4 ∫ 2 ∫ III DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4 •C 1 = ∫ dx = 4 x −1 ∫(x dx 2 − 1) ( x 2 + 1) = 1 2 ( x 2 + 1) − ( x 2 − 1) 1 x −1 1 ∫ ( x 2 − 1) ( x 2 + 1) dx = 4 ln x + 1 − 2 arctgx + c 12 •C 2 = xdx ∫x = 1 2 ∫(x d ( x2 ) = 1  1 . NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN I. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng ( ) 1 1 1 1 ax. 2 65 78 3 5 26 5 + +   = − = − −  ÷ − −   11 BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC Các bài tập mẫu minh. x 0 0 0 0 2 1 dx dx dx J ; J ; J ; J e 1 e dx 4 3 4 2 4 − − + = = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2 A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI 1. = + + ∫ 2