ôn thi tích phân

********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** Tuần 4 -Tiết 13 Chủ đề 7 : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN MỤC TIÊU : - Tìm được nguyên hàm của hàm số cho trước - Tính tích phân và các phương pháp tích phân - Tính diện tích hình phẳng và thể tích tròn xoay ■ Kỹ năng : - Nắm được các thuật toán để giải được các bài tập cơ bản - Từ các bài toán cơ bản phát huy tính sáng tạo để làm những bài toán nâng cao CHUẨN BỊ : - Giáo viên củng cố lại các kiến thức đã học - Học sinh xem trước các kiến thức về nguyên hàm và tích phân NỘI DUNG ÔN TẬP : PHẦN I : NGUYÊN HÀM VÀ HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ Nội dung Hoạt động thầy và trò Bài 1 : Tính đạo hàm của F(x)=xlnx– x Hãy tìm nguyên hàm của lnx . Giải Với ∀ x > 0, F’(x) = lnx + 1 – 1 = ln x Vậy nguyên hàm của f(x) = lnx là F(x) + C = xlnx – x + C (C : hằng số ) Bài 2 :Tính đạo hàm của G(x)=(x – 2) e x Suy ra nguyên hàm f(x) = (x – 1) e x Giải Rx ∈∀ : G’(x) = e x (x – 1) = f(x) Vậy nguyên hàm của f(x) = (x – 1) e x là G(x) + C = (x – 2) e x + C (C : hằng số) Bài 3 : Cho y = e x (2x 2 – 3x) Chứng tỏ rằng : y’’ – 2y’ + y = 4e x Suy ra rằng 4e x + 2y – y’ là một nguyên hàm của y. Giải Rx ∈∀ , y’ = e x (2x 2 – 3x) + e x (4x – 3) = e x (2x 2 + x – 3) y’’ = e x (2x 2 + 5x – 2) Vậy : y’’– 2y’+y = e x (2x 2 + 5x – 2) - 2 e x (2x 2 + x – 3) + e x (2x 2 – 3x) = 4e x (đpcm) Đặt F(x) = 4e x + 2y – y’ - GV gọi HS viết các công thức nguyên hàm của hàm số : ● ∫ += Cxdx ● C x dxx + + = ∫ + 1 1 α α α ( ) 1 −≠ α ● Cx x dx += ∫ ln ( ) 0 ≠ x ● Cedxe xx += ∫ ● C a a dxa x x += ∫ ln ( ) 10 ≠< a ● ∫ += Cxxdx sincos ● ∫ +−= Cxxdx cossin ● ∫ += Ctgx x dx 2 cos ● Cgx x dx +−= ∫ cot sin 2 ● Cbax abax dx ++= + ∫ ln 1 ● Ce a dxe axax += ∫ 1 ● Cax a axdx +−= ∫ cos 1 sin ● ∫ += Cax a axdx sin 1 cos ● Ctgax a ax dx += ∫ 1 cos 2 ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 26 ********************************************************************************************************************************** ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** Ta cần chứng minh : F’(x) = y Thật vậy : F’(x) = 4e x + 2y’ – y’’ ⇔ y = 4e x + 2y’ – y’’ Vậy 4e x + 2y – y’= F(x) là một nguyên hàm của y . Bài 4 : Cho 2 số : F(x)= (ax 2 + bx + c)e -2x và f(x) = - (2x 2 – 8x + 7)e x . Tìm a, b, c để F(x) là nguyên hàm của f(x). Giải F’(x) = (2ax + b)e x + e x (ax 2 + bx + c) = [ax 2 + (2a + b)x + b + c]e x Để F(x) là nguyên hàm của f(x) ⇔ F’(x) = f(x)      =+ =+ −= ⇔ 7 82 2 cb ba a      −= = −= ⇔ 5 12 2 c b a Bài 5 : Cho 2 hàm số F(x) = xx 2sin 4 1 2 1 + và f(x) = cos 2 x a. CMR: F(x) là nguyên hàm của f(x) b. Tìm nguyên hàm f(x) biết rằng : F       4 π = 0 Vậy : F(x) = 4 1 8 2sin 4 1 2 1 −−+ π xx       ∈+≠ Zkkx ; 2 π π ● Cgax a ax dx +−= ∫ cot 1 sin 2 ( ) Zkkx ∈≠ ; π - GV hướng dẫn HS làm các bài tập nguyên hàm và họ nguyên hàm. - GV gọi HS lên bảng áp dụng làm. - GV hướng dẫn HS tính F’(x) - GV gọi HS nhắc lại đònh nghóa nguyên hàm. HS:F(x)là nguyên hàm của f(x) ⇔ f(x) = F’(x) (Tương tự) Ta có nguyên hàm của f(x) là F(x) + C = xx 2sin 4 1 2 1 + + C F       4 π = 0 02/sin 4 1 4/ 2 1 =++⇔ C ππ 0 8 2 8 =++⇔ C π 0 8 2 =+ + ⇔ C π 4 1 8 −−=⇔ π C Tuần 4 Tiết 14-15-16 PHẦN II : TÍCH PHÂN Nội dung Hoạt động thầy và trò Dạng 1 : - GV đặt vấn đề : Nếu ta tính tích ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 27 ********************************************************************************************************************************** ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** Tính ∫ = b a dxxfI )( bằng đònh nghóa Phương pháp : - Biến đổi f(x) thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản đã biết nguyên hàm. - Tìm nguyên hàm của f(x) và áp dụng đònh nghóa )()()()( aFbFxFdxxf b a b a −== ∫ VD 1 : Tính tích phân ( ) ( ) dxxxxI 143 1 0 2 −+−= ∫ Giải ( ) dxxxxI ∫ −+−= 1 0 23 41354 1 0 2 34 4 2 13 3 5 x x xx −+−= 6 11 4 2 13 3 5 1 =−+−= VD 2 : Tính tích phân dx x xx I ∫ + = 2 1 3 2 4 Giải Ta có : 2 1 2 1 2 4 ln 41       −=       += ∫ x xdx x x I 22ln422ln +=+−= VD 3 : Tính tích phân ∫ = 4 0 5cos3cos π xdxxI Giải phân được thì biểu thức dưới dấu tích phân như thế nào ?  HS : Phải là một tổng hoặc hiệu của những hàm số đơn giản. - GV gọi HS đọc đề và nêu các hàm  HS : (x 2 – x + 3)(4x – 1) = 4x 3 – 5x 2 + 13x – 4 ( ) dxxxxI ∫ −+−= 1 0 23 41354 1 0 2 34 4 2 13 3 5 x x xx −+−= 6 11 4 2 13 3 5 1 =−+−= - GV gọi HS lên bảng làm  HS : 3 2 4 x xx + =       + 2 41 xx 2 1 2 1 2 1 2 2 1 4 ln 41 x xdx x dx x I −=+= ∫∫ 22ln422ln +=+−= - GV gọi HS lên bảng làm - HS : xx 5cos3cos = 2 1 ( ) xx 8cos2cos + ( ) dxxxI ∫ += 4 0 8cos2cos 2 1 π 4/ 0 4/ 0 2sin 4 1 8sin 8 1 . 2 1 ππ xx += ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 28 ********************************************************************************************************************************** ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** ( ) dxxxI ∫ += 4 0 8cos2cos 2 1 π 4 1 8sin 16 1 2sin 4 1 4/ 0 4/ 0 =+= ππ xx Dạng 2 : Tính ∫ = b a dxxfI )( bằng phương pháp đổi biến số kiểu 1 Phương pháp : - Đặt x = u(t) ⇒ dx = u’(t)dt - Đổi cận : . x = a ⇒ u(t) = a ⇒ t = α . x = b ⇒ u(t) = b ⇒ t = β ( ) [ ] ∫ =⇒ β α tufI dt u’(t) VD 1 : Tính tích phân ∫ − = 1 0 2 4 x dx I Giải Đặt : x = 2sint ⇒ dx = 2costdt . x = 0 ⇒ t = 0 . x = 1 ⇒ t = 6 π       ∈⇒ 6 ;0 π t ∫∫ = − = 6 0 2 6 0 2 cos2 cos2 sin44 cos2 ππ t tdt t tdt I 6 6/ 0 6 0 π π π === ∫ tdt  Chú ý : ♦ Nếu ( ) dxBAxaI n m ∫ +−= 2 2 Đặt Ax + B = asint ⇒       −∈ 2 ; 2 ππ t ♦ Nếu ( ) ∫ +− = n m BAxa dx I 2 2 Đặt Ax + B = asint ⇒       −∈ 2 ; 2 ππ t 4 1 1. 4 1 0. 16 1 =+= - GV gọi HS nhắc lại các phương pháp tính tích phân. - GV gọi HS áp dụng làm VD 1 - HS : Đặt :x=2sint ⇒ dx = 2costdt . x = 0 ⇒ t = 0 . x = 1 ⇒ t = 6 π       ∈⇒ 6 ;0 π t ∫ − = 6 0 2 sin44 cos2 π t tdt I 6 6 0 π π == ∫ dt ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 29 ********************************************************************************************************************************** ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** ♦ Nếu ( ) ∫ ++ = n m BAxa dx I 2 2 Đặt Ax + B = atgt ⇒       −∈ 2 ; 2 ππ t (a > 0 ; A; B : hằng số) Dạng 3 : Tính tích phân ( ) [ ] ( ) dxxuxufI '. ∫ = β α bằng phương pháp đổi biến kiểu 2. Phương pháp : - Đặt t = u(x) ⇒ dt = u’(x)dx - Đổi cận : ( ) ( )    ==⇒= ==⇒= butx autx ββ αα ∫ = b a dttfI )( VD 1 : Tính tích phân ∫ = 2 0 cos sin π xdxeI x Giải Đặt t = cosx ⇒ dt = -sintdt Đổi cận : x = 0 ⇒ t = 1 0 2 =⇒= tx π [ ] 1;0 ∈⇒ t 1 1 0 0 1 1 0 −===−= ∫ ∫ eedtedteI ttt - GV : Chúng ta có bao nhiêu dạng đổi biến ?  HS : Có 2 dạng -GV : Dạng 2 là như thế nào ? - GV gọi HS lên bảng áp dụng giải  HS : Đặt t = cosx ⇒ dt = sintdt [ ] 1;0 ∈⇒ t 1 1 0 0 1 1 0 −===−= ∫ ∫ eedtedteI ttt -GV gọi HS lên bảng sửa  HS : Đặt t = 2 2 + x ⇒ t 2 = x 2 + 2 ⇒ x 2 = t 2 – 2 ⇒ 2tdt = 2xdx ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 30 ********************************************************************************************************************************** ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** VD 2 : Tính tích phân ∫ += dxxxI 32 2 Giải Đặt t = 2 2 + x ⇒ t 2 = x 2 + 2 ⇒ 2tdt = 2xdx    = = ⇒    = = 2 2 2 0 t t x x ( ) ( ) 15 28 15 16 3 24 5 24 3 16 5 32 3 2 5 2.2 2 2 35 2 2 24 2 2 2 +=+−−=         −=−=−= ∫∫ tt dttttdtttI VD 3 : Tính tích phân ∫ = 2 4 4 sin π π x dx I Giải ( ) dx x xg dx xxxx dx I 2 2 4 2 2 4 22 2 4 22 sin 1 cot1 sin 1 . sin 1 sinsin ∫ ∫∫ +=       == π π π π π π Đặt t = cotgx dx x dt 2 sin 1 −=⇒ ( ) ( ) 3 4 3 1 1 3 11 1 0 3 1 0 2 0 1 2 =+=         += +=+−= ∫∫ t t dttdttI  Chú ý :    = = ⇒    = = 2 2 2 0 t t x x ∫ = 2 2 2 xdxtxI = ( ) tdttt ∫ − 2 2 2 .2 = ( ) dttt ∫ − 2 2 24 2 - GV gọi HS lên bảng làm  HS : Ta có : x 2 sin 1 =1 + cotg 2 x Đặt t = cotgx dx x dt 2 sin 1 −=⇒        =⇒= =⇒= 0 2 1 4 tx tx π π ( ) ( ) 3 4 3 1 1 3 11 1 0 3 1 0 2 0 1 2 =+=         += +=+−= ∫∫ t t dttdttI ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 31 ********************************************************************************************************************************** ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** ( ) xdxbxafI sincos ∫ += β α đặt t = acosx + b ( ) xdxbxafI cossin ∫ += β α đặt t = asinx + b ( ) dx x bgxaf I ∫ + = β α 2 sin cot đặt t = acotgx + b ( ) dx x batgxf I ∫ + = β α 2 cos đặt t = atgx + b ( ) dx x bxaf I ∫ + = β α ln đặt t = alnx + b ( ) dxxbaxfI nn 1 − ∫ += β α đặt t = ax n + b ( ) [ ] ( ) dxxxfI n ' ϕϕ β α ∫ = đặt t = n x)( ϕ Dạng 4 : Tích phân từng phần Phương pháp : - Đặt    = = ⇒    = = )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu - Khi đó ∫ ∫ −= b a b a b a vduuvudv  Chú ý : ∫ b a x dxexp )( đặt    = = eexdxdv xpu )( ( ) xdxxp b a sin ∫ đặt ( )    = = xdxdv xpu sin ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 32 ********************************************************************************************************************************** ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** ( ) ∫ b a xdxxp cos đặt ( )    = = xdxdv xpu cos ( ) ∫ b a xdxxp ln đặt    = = pxdxdv xu ln p(x) là đa thức theo x VD 1 : Tính tích phân 1 2 0 x I xe dx= ∫ Giải Đặt      = = ⇒    = = x x ev dxdu dxedv xu 2 2 2 1 ∫∫ −== 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 1 2 1 dxexedxxeI xxx 4 1 44 1 424 1 2 222 1 0 2 2 +=         −−=−= eee e e x VD 2 : Tính tích phân ∫ = 2 0 2 cos π xdxxI Giải Đặt    = = ⇒    = = xv xdxdu xdxdv xu sin 2 cos 2 GV gọi HS lên bảng làm bài tập  HS : Đặt      = = ⇒    = = x x ev dxdu dxedv xu 2 2 2 1 - GV hướng dẫn HS làm và chỉ ra kết quả - GV gọi HS lên bảng làm bài tập -HS : Đặt    = = xdxdv xu cos 2 - Cho lớp nhận xét và GV sửa chữa -Lặp lại lần nữa : ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 33 ********************************************************************************************************************************** ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** ∫ ∫ −= −= 2 0 2 2 0 2 0 2 sin2 4 sin2sin π π π π xdxx xdxxxxI Đặt    −= = ⇒    = = xv dxdu xdxdv xu cossin 1 1 1 1 [ ] 2 4 coscos2 4 2 2 0 2/ 0 2 −=+−−= ∫ ππ π π xdxxx VD 3 : Tính tích phân ( ) dxxxI ∫ −= 5 2 1ln2 Giải Đặt ( )      = − = ⇒    = −= 2 1 2 1ln xv x dx du xdxdv xu ( ) ( ) 2 27 4ln244ln225 2 25 4ln25 1 2 4ln25 1 1 14ln25 1 1ln 5 2 5 2 2 5 2 5 2 5 2 2 5 2 2 −=−       −−+−= −−         +−= − −+−= − −−= ∫∫ ∫ xnlx x dx x dxx dx x x xxI Đặt    = = xdxdv xu sin 1 1 - GV gọi HS lên bảng làm bài tập  HS : Đặt ( )    = −= xdxdv xu 2 1ln - GV đặt câu hỏi : Nếu chúng ta đặt ngược lại thì có được không ? -GV khẳng đònh lại lần nữa : “Chỉ có cách đặt này là duy nhất”  Bài tập về nhà : Tính các tích phân sau : ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 34 ********************************************************************************************************************************** ********************************************************************************************************************************** Trường THPT Long Kiến Tổ Toán –Tin Học ********************************************************************************************************************************** a. ∫ + = e dx x x I 1 ln1 b. ∫ = 2 0 3 cossin π xdxxI c. xdxxI cossin41 6 0 ∫ += π d. ∫ = π 0 sin xdxxI e. dxexI x ∫ − = 1 0 2 f. ∫ = e xdxI 1 ln g. ∫ = 2 0 cos π xdxeI x h. ( ) xdxxeI x sin 0 cos ∫ += π a. ( ) 6 3 0 2 1 cos sin xdx x π + ∫ b. 2 3 6 1cos sinx xdx π π + ∫ c. ( ) 1 3 2ln e dx x x + ∫ d. 19 2 3 0 8 xdx x + ∫ e. ( ) 1 2 0 2 4 5 x dx x x − − + ∫ b. 2 4 2 0 cos tgx e dx x π ∫ c. ( ) 2 2 6 3 1cot sin dx gx x π π + ∫ d. 4 2 1 1 x dx e x + ∫ a. 3 3 0 cos tgxdx x π ∫ b. 2 2 3 6 sin cosx xdx π π ∫ c. 6 4 4 0 2sin cos sin xdx x x π − ∫ Tuần 5 Tiết 17 PHẦN III : DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH Nội dung Hoạt động thầy và trò ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 35 ********************************************************************************************************************************** [...]... phương trình để tìm cận  p dụng công thức tính diện tích hình phẳng - GV gọi HS nêu cách làm  HS :  Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) 3 x – 3x + 1 = 3 (*)  Giải phương trình (*) Tìm cận của tích phân Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) : 2 S= ∫x 3 − 3 x − 2 dx −1 2 = −∫ ( x 3 − 3 x − 2 )dx −1 - GV gọi HS lên bảng áp dụng để tính diện tích - GV gọi HS nhận xét - GV đánh... ********************************************************************************************************************************** 1 Diện tích hình phẳng của hình thang cong giới hạn bởi các đường x = a, x = b, Ox và hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] b S = ∫ f ( x ) dx - GV gọi HS nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong - GV hướng dẫn HS để tìm ra và nhớ lại công thức a 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = a, x = b, hàm số y = f1(x), y=f2(x)... = a, x = b, hàm số y = f1(x), y=f2(x) liên tục trên [a; b] b S = ∫ f 1 ( x ) − f 2 ( x ) dx a VD1 : Tính diện tích của hình phẳng giới hạn x bởi đường cong ( C ) : y = Ox 2 − 6x + 5 và trục 2x −1 Giải Lập phương trình hoành độ giao điểm x = 1 x2 − 6x + 5 = 0 ⇔ 2 x −1 x = 5 VD2 : Tính diện tích của hình phẳng giới 3 hạn bởi đường cong ( C ) : y = x − 3 x + 1 và đường thẳng (d):y=3 Giải Lập phương...   −1 1 3  = −( 4 − 6 − 4 ) +  − − 2  4 2  ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 36 ********************************************************************************************************************************** **********************************************************************************************************************************... ********************************************************************************************************************************** ********************************************************************************************************************************** Giáo n n Thi Tốt Nghiệp Giải Tích 12 Trang 37 ********************************************************************************************************************************** . VÀ TÍCH PHÂN MỤC TIÊU : - Tìm được nguyên hàm của hàm số cho trước - Tính tích phân và các phương pháp tích phân - Tính diện tích hình phẳng và thể tích. kiến thức đã học - Học sinh xem trước các kiến thức về nguyên hàm và tích phân NỘI DUNG ÔN TẬP : PHẦN I : NGUYÊN HÀM VÀ HỌ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ Nội dung