Biên soạn: Cao Văn Tú Trường ĐH CNTT&TT Thái Ngun Website: www.caotu.tk TÀI LIỆU ƠN TẬP TÍCH PHÂN PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ĐỔI BIẾN LOẠI 1: ĐẶT t u x Nếu tích phân có dạng: ( ) . '( )g u x u x dx thì ta đặt ( ) '( )t u x dt u x dx f(x) có chứa Cách đổi biến dt 1 . nn ax b x dx n t ax b 1 2. n tdt anx dx sin cosf x xdx sint a x b cosdt a xdx cos sinf x xdx ost ac x b sdt a i nxdx 1 11 nn f dx xx 1 n t a b x 1 1 n dt an dx x xx f e e dx . x t ae b . x dt ae dx 1 lnf x dx x .lnt a x b 1 dt dx x 2 1 tan os f x dx cx .tant a x b 2 1 . os t a dx cx 2 1 t sin f co x dx x .cott a x b 2 1 . sin t a dx x ĐỔI BIẾN LOẠI 2: ĐẶT xt f(x) có chứa Cách đổi biến 22 ax sin , 22 x a t t hoặc cos , 0x a t t 22 ax 22 1 xa tan , 22 x a t t 2. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Nếu u,v cùng có tính liên tục trên k thì: udv uv vdu Khi đó ta áp dụng cá dạng sau: ( ). x P x e dx ( ).cosP x xdx ( ).sinP x xdx ( ).lnP x xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cosxdx sinxdx P(x) Biên soạn: Cao Văn Tú Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu.tk PHẦN 2: BÀI TẬP Dạng 1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ ĐA THỨC Bài tập 1 : Tính các tích phân sau 1 100 0 2 1 1x x dx 1 100 0 1x x dx 1 100 0 2 1 1x x dx 0 2 100 1 11x x dx Dạng 2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ PHÂN THỨC Công thức cần lưu ý : '( ) ln ( ) () ux dx u x ux Dạng cơ bản: 2 () ax Px dx bx c Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì các em lấy tử chia cho mẫu, ta sẽ dẫn đến tích phân có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu. Chúng ta xét các trường hợp sau của mẫu số 1. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c có hai nghiệm phân biệt Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) Ví dụ 1 : Tính tích phân : I= 1 2 0 4 11 56 x dx xx . Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) Ta có : f(x)= 2 32 4 11 4 11 5 6 ( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3) A x B x x x A B x x x x x x x x Thay x=-2 vào hai tử số : 3=A và thay x=-3 vào hai tử số : -1= -B suy ra B=1 Do đó : f(x)= 31 23xx Vậy : 11 2 00 1 4 11 3 1 3ln 2 ln 3 2ln3 ln2 0 5 6 2 3 x dx dx x x x x x x Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) Ta có : f(x)= 2 2 2 2 2 5 1 2 5 1 2 5 1 1 2. 2. 5 6 5 6 2 3 5 6 2 3 x xx x x x x x x x x x x Do đó : I= 11 2 2 00 1 2 5 1 1 2 ( ) 2. 2ln 5 6 ln 2ln3 ln2 0 5 6 2 3 3 xx f x dx dx x x x x x x x 2. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c có hai nghiệm kép Thông thừơng ta đặt ( /2 ) .x b a t Biên soạn: Cao Văn Tú Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu.tk Ví dụ 2: Tính tích phân sau : I= 3 3 2 0 21 x dx xx Giải Cách 1: Ta có : 33 33 2 2 00 21 1 xx dx dx xx x Đặt : t=x+1 suy ra : dx=dt ; x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=3 thì t=4 . Do đó : 3 3 4 4 3 2 2 22 0 1 1 4 1 3 1 1 1 3 3 3 ln 2ln2 1 22 1 t x dx dt t dt t t t t t t t x Cách 2: 3. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c vô nghiệm : Ta viết : f(x)= 2 22 2 ( ) ( ) 2 ; 2 22 b ux P x P x a a u k b k ax a aa Đặt .tanu k t ( dùng phương pháp đổi biến dạng 2) VD 3: Tính tích phân sau : I= 2 32 2 0 2 4 9 4 x x x dx x Giải Ta có : 32 22 2 4 9 1 2 44 x x x x xx Do đó : 2 2 2 32 2 2 2 2 0 0 0 2 2 4 9 1 1 2 2 6 0 4 4 2 4 x x x dx dx x dx x x J x x x (1) Tính tích phân J= 2 2 0 1 4 dx x Đặt : x = 2tant suy ra : dx = 2 00 2 ; 0; ost>0 os 4 2 4 xt dt t c ct xt Khi đó : 2 44 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 1 1 4 4 4 1 tan os 2 2 8 0 dx dt dt t x t c t Thay vào (1) : 6 8 I Nếu tích phân hữu tỉ có bậc mẫu lớn hơn hoặc bằng 3 thì ta thường phân tích mẫu thành nhân tử rồi dung kỷ thuật hệ số bấc định, kỷ thuật nhảy tầng lầu hoặc dung phương pháp đổi biến để tính. Bài tập 2 : Tính các tích phân sau: 3. 1 2 0 4 11 4 8 1 x dx xx 4. 1 3 2 0 2 44 x dx xx 5. 1 2 0 4 4 4 1 x dx xx 6. 2 2 2 1 1 21 x dx xx Biên soạn: Cao Văn Tú Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu.tk 7. 2 2 0 45 x dx xx 8. 2 32 2 0 2 4 9 4 x x x dx x 9. 1 3 0 1 x dx x 10. 3 3 2 1 11 dx xx 11. 3 2 2 2 12 x dx xx 12. 3 2 2 1 1 dx xx 13. 4 2 3 1 4 x dx xx 14. 3 2 2 2 12 x dx xx 15. 1 3 32 2 1 56 x dx x x x ( đồng nhất thức) 16. 0 2 2 1 3 3 3 21 xx dx xx 17. 1 2 4 0 1 1 x dx x 18. 2 3 1 1 dx xx 19. 1 0 31 21 x dx xx 20. 1 3 0 31 1 x dx x 21. 1 2 42 0 1 1 x dx xx 22. 2 3 2 1 1 x dx x 23. 2 2 6 1 1 1 x dx x 24. 3 3 0 dx xx 25. 2 2 32 1 10 25 x dx xx 26. 2 53 1 dx xx 27. 2 3 22 1 3 32 x dx xx 28. 1 3 0 21 x dx x 29. 3 0 3 6 9 dx x x x 30. 10 1 12 0 35 2 x dx x 31. 2 95 1 3 dx xx 32. 3 22 0 11 dx xx 33. 2 4 4 1 1 1 x dx xx 34. 7 3 84 2 x dx 1 x 2x Dạng 3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Tích phân dạng p mn x ax b dx trong đó m, n, p là các số hữu tỉ thì Hướng giải quyết đầu tiên là đặt n t ax b hoặc p n t ax b ( khoảng 80 % trong đề thi ĐH là giải được theo cách này, còn lại thì: nói chung là khó đó !!) Hướng giải quyết thứ hai là đặt n n n ax b b tx x t a . (thường là tích phân có dạng p n mn dx x ax b ) Nếu tích phân chứa nhiều căn bậc khác nhau nhưng biểu thức trong dấu căn giống nhau thì ta đặt n t f x với n là bội chung nhỏ nhất của các căn bậc đó. Nếu tích phân chứa căn dưới mẫu số thí ta có thể nhân lượng liên hợp Chú ý : 2 2 1 lndx x x a xa . Ta có thể mở rộng thành 2 2 1 lndu u u a ua Ví dụ 4: Tính tích phân sau 2 1 11 x dx x Giải - Đặt : 2 23 2 1; 2 ; 1 0, 2 1 1 12 ( ) 2 2 2 1 1 1 x t dx tdt x t x t xt t t t f x dx tdt dt t t dt t t t - Vậy : 21 2 10 2 11 2 4ln2 13 11 x dx t t dt t x Biên soạn: Cao Văn Tú Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu.tk 32 1 1 1 1 3 2 2 4 22 2 0 0 0 0 x x 1 x x I dx dx x x 1xdx x dx x 1 x x x 1 Vậy : Đặt 22 2 2 4 2 1, ; 0 1; 1 2 1 ( ) 1 . x t xdx tdt x t x t tx f x dx t t tdt t t dt Suy ra : 12 2 2 4 2 5 3 01 1 1 4 2 1 5 3 15 1 x x xdx t t dt t t ; 1 45 0 1 11 0 55 x dx x . - Do đó : 4 1 1 15 5 15 I VD 5: Tính tích phân sau : 1 2 1 25 dx I xx . Giải -Ta có : 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ln 1 1 4 25 1 4 1 4 dx dx dx I x x xx xx Vậy 2 ln ln 2 1 2 2 1 I VD 6: Tính tích phân sau 3 3 3 33 1 2 dx I xx . Chia cả tử và mẫu cho 3 3 ,x x x ta được 33 33 2 33 3 3 3 11 6 22 dx x dx x x x x x Đặt 3 3 3 2 3 3 2 2 33 3 2 2 2 6 3 1 1 x x t dt t t x x dx x x t t Suy ra 3 33 3 2 11 2 1 3 3 33 3 2 3 33 1 1 1 1 2 3 2 1 11 4 24 2 1 t dt t dx tdt t xx t t Bài tập 3: Tính các tích phân sau: 1. 7 3 3 2 0 1 x dx x 2. 4 2 7 9 dx xx 3. 4 1 1 dx xx 4. 1 32 0 1x x dx 5. 3 3 2 3 2 1 dx x 6. 2 42 1 1 dx xx 7. 1 4 5 0 1 x dx x 8. 3 3 2 0 1 x dx x 9. 1 3 0 1x xdx 10. 2 3 1 1 dx xx 11. 3 2 2 2 1 dx xx 12. 3 22 2 0 1 2 1 2 11 x x x dx xx 13. 5 22 1 2 1 3 1 x dx xx 14. 2 3 8 1 dx xx 15. 2 37 2 5 1 x dx xx 16. 2 1 1 2 1 3 dx x x Biên soạn: Cao Văn Tú Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu.tk Dạng 4: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Thuộc các nguyên hàm : a/ 1 sin ax+b os ax+bdx c a b/ sin ax+b ln os ax+b os ax+b dx c c c / 1 os ax+b sin ax+bc dx a d/ os ax+b ln sin ax+b sin ax+b c dx 2. Đối với : ()I f x dx a/ Nếu f(x)= n sin ; os m R x c x thì ta chú ý : - Nếu m lẻ , n chẵn : đặt cosx=t ( Gọi tắt là lẻ sin ) - Nếu n lẻ , m chẵn : đặt sinx=t ( Gọi tắt là lẻ cos ) - Nếu m,n đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos ) - Nếu m,n đều chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx ) b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công thức biến đổi lượng giác , các hằng đẳng thức lượng giác , công thức hạ bậc , nhân đôi , nhân ba , tính theo tang góc chia đôi 3. Nói chung để tính được một tích phân chứa các hàm số lượng giác , học sinh đòi hỏi phải có một số yếu tố sau : - Biến đổi lượng giác thuần thục - Có kỹ năng khéo léo nhận dạng được cách biến đỏi đưa về dạng đã biết trong nguyên hàm . Bài tập 4: Tính tích phân 1. 5 0 sin xdx 2. 4 24 0 sin cosx xdx 3. 2 4 4 1 sin dx x 4. 3 3 0 1 s dx co x 5. 4 2 0 os cos2c x xdx 6. 2 32 0 os 1 cosc x xdx 7. 2 4 0 1 2sin 1 sin2 x dx x 8. 3 3 4 tan xdx 9. 6 2 4 4 os sin cx dx x 10. 2 0 sin2 cos 1s xx dx co x 11. 4 6 0 tan s2 x dx co x 12. 2 3 3 1 sin dx x 13. 3 2 2 0 sin cos 1s xx dx co x 14. 4 3 3 tan 3 tan x dx x 15. 3 2 4 tan xdx 16. 3 6 4 tan xdx 17. 2 0 sin2 s 1 8 s x inx dx co x 18. 6 0 1 s . os 4 dx co x c x 19. 4 0 sin 1 sin2 x dx x 20. 2 3 1 sin2 2sin dx xx 21. 2 3 22 0 sin2 3sin 4 s x dx x co x 22. 2 3 0 s2 sin s 3 co x dx x co x 23. 6 4 0 s3 1 2sin co x dx x 24. 2 3 0 tan sin sin s xx dx x co x Biên soạn: Cao Văn Tú Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu.tk 25. 2 4 42 4 sin n 2tan 5 x dx cos x ta x x 26. 3 2 4 tan cos 2 s x dx x co x 27. 3 4 2 6 4 sin 2 sin 2 x dx x 28. 2 0 cosx x dx 29. 3 2 0 sin 1 cos xx dx x 30. 4 3 0 sin cos xx dx x 31. 4 2 0 tanx xdx 32. 2 0 2 sincos xdxxx Dạng 5: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT Ta thường đổi biến hoặc dùng phương pháp tích phân từng phần Chú ý công thức vi phân: 1 , ln xx d e e dx d x dx x Bài tập 5: Tính tích phân: 1. 2 3 1 ln x dx x 2. 1 2 x 2 x x 0 x e 2x e dx 1 2e 3. 2 1 ln (2 ln ) e x dx xx 4. 1 3 2 ln e x xdx x 5. e 32 1 x ln xdx 6. e 3 1 x1 lnxdx x 7. ln2 2x x 0 e dx e2 8. 2 2 1 ln 1 x dx x 9. 3 1 ln 1 e x dx x 10. e 1 3 2lnx dx x 1 2lnx 11. ln3 0 1 x x xe dx e 12. ln2 0 1 x e dx 13. ln5 ln3 2. 3 xx dx ee 14. 3 2 1 3 ln (1 ) x dx x 15. 3 2 1 ln (1 ln ) e x dx xx 16. ln5 ln2 10. 1 1 xx dx ee TÍCH PHÂN TỔNG HỢP Bài tập 6: Tính tích phân: 1/ 8 3 2 3 ln 1 xx I dx x 2/ 2 2 1 1 ln 1 e x x x I dx xx 3/ 1 ln 2 ln 2 ln e x I dx x x x 4/ 23 1 1 ln 2 ln 1 ln e x x x x x I dx xx 5/ dxx x x I 2 1 3 2 ln 1 6/ x I dx xx 3 6 cot sin .sin 4 7/ 1 2 ln 1 ln 1 ln e x x x I dx xx 8/ e x I dx xx 1 3 2ln 1 2ln 9/ xx I dx x 2 0 sin 1 cos 10/ 2 2 2 ln2 2 0 21 1 x x x xx x e x e e I dx ee 11/ 2 0 5 7 cos2 2 2 os x x x I dx cx 12/ 4 2 0 sin cos 1 1 cos x e x x I dx x Biên soạn: Cao Văn Tú Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên Website: www.caotu.tk 13/ 2 6 1 sin2 cos2 sin cos xx I dx xx 14/ 3 2 0 1 sin cos xx I dx x 15/ e x I x x dx xx 2 1 ln 3 ln 1 ln 16/ 2 1 ln 1 3ln e x I dx xx 17/ 3 3 2 1 11 I dx xx 18/ 5 3 63 2 x I dx 1 x 2x 19/ 3 2 0 4 4 sin cos sin2 1 cos x xe x x x dx x 20/ 2 2 0 1 cos sin 1 cos x xx e dx x 21/ 4 0 2 cos 2 sin cos sin x x x x dx x x x 22/ e x x x I dx xx 32 1 ( 1)ln 2 1 2 ln 23/ 2 1 2 0 1 1 x xe I x 24/ 8 3 ln 1 x I dx x . Dạng 5: TÍCH PHÂN HÀM SỐ MŨ – LÔGARIT Ta thường đổi biến hoặc dùng phương pháp tích phân từng phần Chú ý công thức vi phân: 1 , ln xx d e e dx d x dx x Bài tập 5: Tính tích phân: . Website: www.caotu.tk TÀI LIỆU ƠN TẬP TÍCH PHÂN PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ĐỔI BIẾN LOẠI 1: ĐẶT t u x Nếu tích phân có dạng: ( ) . '( )g. đều lẻ thì : đặt cosx=t hoặc sinx =t đều được ( gọi tắt lẻ sin hoặc lẻ cos ) - Nếu m,n đều chẵn : đặt tanx=t ( gọi tắt là chẵn sinx , cosx ) b/ Phải thuộc các công thức lượng giác và các công