Chuyên đề luyện thi tích phân dùng cho học sinh lớp 12 ôn thi đại học cao đẳng

CHUYấN LUYN THI TCH PHN Dựng cho h c sinh lp 12 -ễn thi i hc v Cao ng HUE, 01/2013 LUYEN THI ẹAẽI HOẽC CHAT LệễẽNG CAO SẹT: 0978421673-01234332133. TP HUE Don't try to fix the students, fix ourselves first. The good teacher makes the poor student good and the good student superior. When our students fail, we, as teachers, too, have failed. ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 1 M ỤC LỤC Trang A. NGUYÊN HÀM 3 B. TÍCH PHÂN 4 C. PHÂN LO ẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: 6 V ẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN ( ) n t f x 6 V ẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA 11 D ẠNG 1: 2 2 a x 11 D ẠNG 2: 2 2 x a 14 D ẠNG 3: 2 2 x a 14 D ẠNG 4: hoaëc a x a x a x a x     18 V ẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GI ÁC 19 D ạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản 19 D ạng 2: Tích phân dạng sin cos dx a x b x c   23 D ạng 3: Tích phân dạng 2 2 sin sin cos cos dx a x b x x c x   24 D ạng 4: Tích phân dạng 1 2 (sin )cos ; (cos )sinI f x xdx I f x xdx    25 1.Tích phân có d ạng sin .cos m n x xdx  26 2.Tích phân dạng 1 1 sin os ; ; , os sin m m n n x c x I dx I dx m n c x x        27 D ạ ng 5: Tích phân ch ứa     tan ;cos ; cot ;sinx x dx x x dx   28 D ạng 6: Đổi biến bất kì 29 V ẤN ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 39 V ẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ 42 V ẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 50 V ẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 58 V ẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 69 V ẤN ĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH V ẬT THỂ TRÒN XOAY 77 M ỘT SỐ BÀI TẬP CẦN LÀM TRƯỚC KHI THI 83 D. PH Ụ LỤC 95 ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 2 PHƯƠNG PHÁP Đ ẶT ẨN PHỤ KHÔNG LÀM THAYĐỔI CẬN TÍCH PHÂN 95 SAI L ẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN 100 Đ Ề THI ĐẠI HỌ C T Ừ 2009 -2012 107 TÀI LI ỆU THAM KHẢO 109 ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 3 A. NGUYÊN HÀM 1. Khái ni ệm nguyên hàm  Cho hàm s ố f xác đ ịnh trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm c ủa f trên K n ếu: '( ) ( )F x f x , x  K  N ếu F(x) là m ột nguyên hàm của f(x) trên K thì h ọ nguyên hàm c ủa f(x) trên K là: ( ) ( )f x dx F x C   , C  R.  M ọi hàm số f(x) liên t ục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính ch ất  '( ) ( )f x dx f x C      ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx       ( ) ( ) ( 0)kf x dx k f x dx k    3. Nguyên hàm c ủa một số hàm số thường gặp 4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đ ổi biến số  0dx C   dx x C    1 , ( 1) 1 x x dx C             1 lndx x C x     x x e dx e C    (0 1) ln x x a a dx C a a       cos sinxdx x C    sin cosxdx x C     2 1 tan cos dx x C x     2 1 cot sin dx x C x      1 cos( ) sin( ) ( 0)ax b dx ax b C a a        1 sin( ) cos( ) ( 0)ax b dx ax b C a a         1 , ( 0) ax b ax b e dx e C a a        1 1 lndx ax b C ax b a      ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 4 N ếu ( ) ( )f u du F u C   và ( )u u x có đ ạo hàm liên tục thì:     ( ) . '( ) ( )f u x u x dx F u x C   b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần N ếu u, v là hai hàm s ố có đạo hàm liên tục trên K thì: udv uv vdu    B. TÍCH PHÂN 1. Khái ni ệm tích phân  Cho hàm s ố f liên t ục trên K và a, b  K. N ếu F là m ột nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân c ủa f t ừ a đ ến b và kí hi ệu là ( ) b a f x dx  . ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a    Đ ối với biến số lấy tích ph ân, ta có th ể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, t ức là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du F b F a         Ý ngh ĩa hình học : N ếu hàm số y = f(x) liên t ục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S c ủa hình thang cong gi ới hạn bởi đồ thị của y = f(x), tr ục Ox và hai đườn g th ẳng x = a, x = b là: ( ) b a S f x dx  2. Tính ch ất của tích phân  0 0 ( ) 0f x dx    ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx     ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx   (k: const)    ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx       ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx     ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 5  N ếu f(x)  0 trên [a; b] thì ( ) 0 b a f x dx    N ếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx   3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đ ổi biến số   ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a f u x u x dx f u du   trong đó: u = u(x) có đ ạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên t ục và hàm hợp f[u(x)] xác đ ịnh trên K, a, b  K. b) Phương pháp tích phân t ừng phần N ếu u, v là hai hàm s ố có đ ạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì: b b b a a a udv uv vdu    Chú ý:  C ần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.  Trong phương pháp tích phân t ừng phần, ta cần chọn sao cho b a vdu  d ễ tính hơn b a udv  . Trong ph ần sau sẽ trình bày kỉ thuật lựa chọn u và dv . ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 6 C. PHÂN LO ẠI VÀ PH ƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂ N: V ẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN ( ) n t f x Phương pháp: Khi hàm dư ới dấu tích phân có chứa biểu thức có dạ ng ( ) n f x . Lúc đó trong nhi ều tr ường hợp ( chứ không phải mọi trường hợp), ta có thể đổi biến bằng cách - Bư ớc 1: Đặt 1 ( ) ( ) '( ) n n n t f x t f x nt dt f x dx       - Bư ớc 2: Ghi nhớ “Đổi biến thì phải đổi cân” BÀI T ẬP MẪU: Tính các tích phân sau Bài 1: Tính 1 3 2 0 1I x x dx   Giải: Đ ặt t = 2 1 x  t 2 = 1 – x 2  xdx = -tdt Đ ổi cận: x 0 1 t 1 0 Khi đó: 1 3 2 0 1I x x dx   =   1 2 0 1 . .t t tdt  =   1 2 4 0 t t dt  = 3 5 1 3 5 0 t t        = 2 . 15 Bài 2: Tính 1 3 3 4 0 1I x x dx   Gi ải: Đ ặt t = 3 4 3 4 3 2 3 1 1 4 x t x x dx t dt       Đ ổi cận: x 0 1 t 1 0 ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 7 Khi đó: 1 1 3 3 4 3 4 0 0 1 3 3 3 1 . 4 16 16 0 I x x dx t dt t       Bài 3: Tính 1 1 ln e x I dx x    Gi ải: Đ ặt 2 1 ln 1 ln 2 dx t x t x tdt x        Đ ổi cận: x 1 e t 1 2 Khi đó:   2 2 3 2 1 1 1 2 2 2 1 1 ln 2 .2 2 2 . 3 3 1 e x t I dx t tdt t dt x           Bài 4: Tính 2 3 1 1 dx I x x    Gi ải: Ta có: 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 dx x dx x x x x      Đ ặt 3 2 3 2 2 2 1 1 2 3 3 tdt t x t x tdt x dx x dx         Đ ổi cận: x 1 2 t 2 3 Khi đó: ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 8       2 2 3 3 2 2 3 3 3 1 1 2 2 2 2 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 3 3 1 1 1 1 1 2 1 ln 1 ln 1 ln ln ln 3 3 1 3 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 ln ln 3 3 2 2 1 2 1 dx x dx dt I dt t t t x x x x t t t t                                                    Bài 5: Tính 4 2 7 9 dx I x x    Gi ải:  Đ ặt   2 2 2 2 2 9 9 0 ; 9 dx tdt tdt t x t x t tdt xdx x x t            Đổi cận: x 7 4 t 4 5 Khi đó: 5 2 4 5 1 3 1 7 ln ln 6 3 6 4 9 4 dt t t t       BÀI T ẬP ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau     7 3 3 2 0 ln3 3 0 ln5 ln2 141 1) : 20 1 2) : 1 2 1 20 3) : 3 10 1 x x x x x x dx ÑS x e dx ÑS e e dx ÑS e e          ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HU Ế 9 4 7 3 4 4 0 8 3 2 1 3 3 3 4) : ln 8 4 2 1 1 1 1 1 5) : ln ln 2 3 1 11 6) ( 2004) : 4ln2 3 1 1 x dx ÑS x dx ÑS x x x dx A ÑS x                 3 2 3 3 1 3 2 ln . 2 ln 3 7) ( 2004). : 3 3 2 2 8 : 2 ln e x x dx Khoái B ÑS x HD Ñaët t x       2 3 1 2 2 0 8) . . : 1 x x e dx ÑS e e x     2 3 2 2 5 (KhoáiA-2003) 1 5 9) . . 4 : ln 4 3 4 dx Ñaët t x ÑS x x     3 2 1 ln 76 10) .(Döï bò khoái D-2005) ln 1. : 15 ln 1 e x dx Ñaët t x ÑS x x     2 1 2 1 ln 2 2 2 11) ln . : : 3 3 1 ln e x x dx HD I I I ÑS e x x              2 1 1 62 12) . 1. : 30ln2 10 3 x x dx t x DS x       . 1 1 2 3 0 0 13) sin 1 x x x dx dx x     Hư ớng dẫn : 1 1 2 3 0 0 sin 1 x I x x dx dx x      Ta tính I 1 = 1 2 3 0 sinx x dx  đ ặt t = x 3 ta tính đư ợc I 1 = -1/3(cos1 - sin1) Ta tính I 2 = 1 0 1 x dx x  đ ặt t = x ta tính đư ợc I 2 = 1 2 0 1 2 (1 ) 2(1 ) 2 4 2 1 dt t          ebooktoan.com [...]... Đình Cư SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 3 2 2 3 3 16 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO 1 10) 0 x dx x  x2  1 4 ĐS : CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN  3 8 1 1 du HD :Biến đổi tích phân đã cho về dạng:  2 2 0 u  u 1 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 17 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO DẠNG 4: a x hoặc ax CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN ax a x Tính tích phân sau: 0... 2: Tích phân dạng dx  a sin x  b cos x  c x Cách giải: Đặt t  tan , đưa về tích phân hữu tỉ 2  Ví dụ 1: Tính tích phân 2 dx  2 cos x  sin x  2 0 ĐS: ln 3 2 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 23 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN  Ví dụ 2: Tính tích phân ĐS: 1 4 ln 2 3 ĐS:  3cos x  2sin x  2 1 5 ln 3 2 ĐS: dx 2 3 18 0  Ví dụ 3: Tính tích. .. x 5 x HD : x  5cos2t  x  a  b  x  Tính tích phân sau: 3 2   x  1 2  x  Đặt x  1  sin2 t 5 4 1  3 ĐS :    8  12 8    BÀI TẬP BỔ SUNG Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 18 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản  1 dx 4 0 cos x 4 Ví dụ 1: Tính I ... 3 cos2 x 0 cos x 0 0  4      Ví dụ 2: Tính I  12  tan 4 xdx 0 Giải:  12 0 Ta có:  12 0 sin 4 x  tan 4 xdx   cos4 x dx Đặt t = cos4x ;  dt  4s in4 xdx  sin 4 xdx   dt 4 Đổi cận: x 0 t 1  12 1 2 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 19 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO  1 2  12 CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN 12 1 1 sin 4 x 1 dt 1 dt 1 1 Khi đó: I   tan 4 xdx...   2 4 8 8 4  Ví dụ 9: Tính I  4   12 1  sin x  cosx  2 dx Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 33 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN Giải:  I   12   1 4  sin x  cosx  2 1 dx  2 1  1 4 3  2    dx   2 cot  x  4    2    sin  x   12 4 12  4 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tính tích phân sau:  3 1)   cos x dx 2 sin x  5sin... đưa về tan và cot o m  n thì đổi hàm ở tử theo mẫu sau đó tách tích phân và hạ bậc  Nếu m chẵn và n lẻ thì dùng tích phân từng phần  2 Ví dụ 1: Tính I    cos3 x dx s in2 x 6 Giải: Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 27 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN Đổi cận:  2 1 2 T  6 X 1 Khi đó:   1 1 1 2 1   1  cos... Cư SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 12 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN    Đặt x = sint, t    ;   dx = costdt  2 2 Đổi cận: x 0 t 1 0  2   1 2 Khi đó: I   x 2 1  x 2 dx =  sin 2 t 1  sin 2 t costdt = 0 0   1 12 sin 2 tcos 2tdt =  sin 2 2tdt = 4 40 0 2    1 1 12 =  1  cos4t dt =  t  sin 4t  2 = 8 4 80  0 16 Tính các tích phân sau:... x 0 cos x 3 Ví dụ 5: Tính I   Dạng 5: Tích phân chứa ĐS: 1 3  ln 2  32    tan x;cos x dx;   cot x;sin x dx Cách giải:  Đổi về sin và cos  Đặt t bằng một hàm ở mẫu  Ví dụ 1: Tính tích phân 3 t anx  1  cos x dx 0 Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 28 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO  Hướng dẫn: CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN  3 t anx sinx dx   dx Đặt t  cos... 0 12 1 0      B Các trường hợp đặt biệt: 1 Tích phân có dạng  sin m x.cosn xdx với m, n     Nếu m lẻ hoặc n lẻ thì đặt t  hàm có chứa mũ chẵn  Nếu m và n đều chẵn thì hạ bậc  2 Ví dụ 1: Tính I   sin3 xcos3 xdx 0 Giải: Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx Đổi cận: Gv: Ths.Trần Đình Cư SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 26 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO x  0 t CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN... SĐT: 0123 4332133, 0978421673 TP HUẾ 24 ebooktoan.com LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO  3  2 d  tan x   tan x  3  2 d  6    2 ln tan x  3  2 ln 3 tan x  1 3 tan x  1  CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN     3 tan x  1 3 6 6 6   3 1   2  ln 3  ln   2  ln 4  ln 2   2 ln 3  2 ln 2  ln   3 2   Ví dụ 2: Tính tích phân 4  sin 0 2 dx x  4cos2 x ĐS: 1 1 ln 4 3  Ví dụ 3: Tính tích . CẬN TÍCH PHÂN 95 SAI L ẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN 100 Đ Ề THI ĐẠI HỌ C T Ừ 2009 -2 012 107 TÀI LI ỆU THAM KHẢO 109 ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH. HỮU TỈ 42 V ẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT 50 V ẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 58 V ẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 69 V ẤN ĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH V ẬT THỂ TRÒN XOAY . failed. ebooktoan.com LUY ỆN THI ĐẠI HỌC CH ẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN Đ Ề: TÍCH PH ÂN Gv: Ths.Tr ần Đình Cư. SĐT: 0123 4332133, 0978421673. TP HU Ế 1 M ỤC LỤC Trang A. NGUYÊN HÀM 3 B. TÍCH PHÂN 4 C. PHÂN LO ẠI VÀ PHƯƠNG