Tích phân Kiến thức Công thức Niutơn Laipnit Laipnit: Cho F(x) nguyên hàm hàm f(x) đoạn a; b Ta cã: b b a f ( x)dx F ( x) F (b) F (a ) a b Chó ý: TÝch ph©n f ( x)dx chØ phơ thc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến số a tích phân Vì ta cã thÓ viÕt: b F(b) – Laipnit F(a) = b b ( f ( x)dx f (t )dt f (u )du a a a C¸c tÝnh chất tích phân Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục khoảng K a,b,c ba ®iĨm cđa kho¶ng K Ta cã: a * TÝnh chÊt 1: f ( x)dx 0 a b * TÝnh chÊt 2: a f ( x)dx f ( x)dx a b b * TÝnh chÊt 3: b kf ( x)dx k f ( x)dx, k R a a b * TÝnh chÊt 4: b a a b * TÝnh chÊt 5: b f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx c a b f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a a c b * TÝnh chÊt 6: NÕu f(x) 0, x a; b f ( x)dx 0 a b * TÝnh chÊt 8: NÕu f ( x) g ( x), x a; b b f ( x)dx g ( x)dx a a b * TÝnh chÊt 9: NÕu m f ( x) M , x a; b m(b a) f ( x)dx M (b a) a Bài toán Tích phân hàm số đa thức hữu tỷ I Kiến thức áp dụng C«ng thøc 1: x dx x 1 C., 1 ( 1) x dx ln x C.; II VÝ dô minh hoạ Công thức 2: Ví dụ Tính tích ph©n sau a ) I ( x x 5) dx Bài giải x4 13 x x 10 = ; a) I1 = 3x b) I dx x 1 )dx x ln( x 1) 13 6 ln x 1 b) I2 = (3 VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau: I = x dx Bµi gi¶i 1 1 x ( )dx ln ln x x2 x2 VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau: dx x2 a) I b) J dx; 2 x 6x ( x x 1)( x x 1) Bài giải 1 1 x a) I = ( ; )dx ln ln x x7 x7 1 d (x 1 2 x) 1 1 x b) J = dx ln( x 1) ln( x 3) 12 (ln ln 5) 1 1 2 x x 2 (x (x 3)( x 1) 3)( x 1) x x x x x 11 VÝ dô §HSP.TPHCM-2000:TÝnh tÝch ph©n sau: I = dx ; x 5x Bài giải 1 4( x 2) 1 C¸ch 1: I = dx 3( ) dx ln(x 3) ln(x 2) 10 ln ln ( x 2)( x 3) x 3 x 2 x 3 0 Cách 2: (Phơng pháp hệ số bất định) x 11 a b Đặt: , x 2; x x ·x x x 11 a ( x 3) b( x 2) (a b) x 3a 2b ( x 2)( x 3) x 5x x 5x a b a 3 3a 2b 11 b 1 ; Ta cã: I = Khi ®ã: I = ( )dx ln( x 2) ln( x 3) x 2 x 3 ln ln 2 VÝ dụ ĐHYHN-2000 Tính tích phân sau: I = x2 dx ; x x 12 Bài giải Cách Phân tích: 2 x x 12 7( x 3) 1 I= dx 1 9( ) dx ( x )( x ) x x x 1 = x 16 ln x ln x 1 16 ln ln Cách (Phơng pháp hệ số bất định) Đặt: a x2 a b 1 x· x x x 12 b 16 (Bạn đọc tự làm) Ví dụ ĐHNT-2000 Tính tích phân sau: x 3x dx x2 x a) I Bài giải x 3x 10 b) J dx x 2x a) I = (1 b) J = (1 2x )dx x ln( x x 1) 02 2 ln x x 1 x 1 1 )dx x ln( x x 9) 10 1 ln 2 x 2x VÝ dơ 7.§HNT-1999 TÝnh tÝch ph©n sau: I = ( x dx x 2) Bài giải 1 1 2 I = ( ) dx dx 2 x 1 x ( x 1)( x 2) ( x 2) 0 ( x 1) 1 1 x 1 1 1 4 = ln 1 ln ln x 1 x2 x 2 2 3 1 VÝ dơ §HTN – Laipnit 2001 TÝnh tÝch ph©n sau: I = x x dx x Bài giải 1 1 1 ) x 1 1 d ( x x x x ln x Ta cã: I = dx dx 1 1 (x (x x2 )2 )2 x 1 1 x x x x 1 1 III Bài tập áp dụng x dx ; 1) A (1 x ) dx B ; x 3x 2 ( x x 2.dx ; 2) A x3 1 x dx B ; 10 ( x 1) ( x 10 x 16 x 1).dx C ; x 5x 1 dx D ; 2 ( x 3) ( x 1) ( x x x 6).dx (7 x 4)dx ; B ; 3) A x 5x 6x 1 x 3x 2 dx dx ; B ; 4) A 2 x 2x x x 4x ( x x x 1).dx x dx A ; B ; 5) x4 x3 ( x 4) dx ; 6) A x ( x 1) (1 x ).dx B ; x.( x 1) 3x I dx 7) (C§SP HN 2000): x dx 8) (§HNL TPHCM 1995) I x 5x x dx 9) (§HKT TPHCM 1994) I (1 x ) 1 ( x x 10 x 1).dx x 2x 10) (§HNT HN 2000) I (4 x 11).dx x 5x 11) (§HSP TPHCM 2000) I 3.dx x3 1 12) (§HXD HN 2000) I dx x 4x 13) (§H M§C 1995 ) I 14) (§HQG HN 1995) Xác định số A,B,C để 3x 3x A B C TÝnh x x2 x 3x ( x 1) 3x 3x I dx x 3x x dx 15) (§HTM 1995) I x 1 (1 x ).dx 16) (ĐH Thái Nguyên 1997) I x 1 HD : t x x x2 A B ( x 2) dx 17) Xác định số A,B để Tính I ( x 1) ( x 1) x ( x 1) x dx x x 13 18 ) A ; B dx; x x3 ( x 2)( x 1) 3 Bài toán Phơng pháp đổi biến số Dạng Đặt x = u(t) * x = tant, t * x = sint, t ; 2 ; 2 VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n : I = x dx; Bài giải ; 2 Đặt x = 3sint, t *x=0 t=0 *x=3 t= 9 x dx 9(1 sin x) cos xdx 9 cos xdx (1 cos x)dx I = (1 cos x)dx = ( x sin x) 2 = 9 4 VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau: I = 4x x dx Bài giải I= ( x x 4) dx ( x 2) dx; ; 2 Đặt x -2 = 2sint, t *x=0 t=0 *x=3 t= ( x 2) dx 4(1 sin x) cos tdt 2 cos tdt (1 cos 2t ) dt I = (1 cos 2t )dt a 2 , a Ph¬ng pháp : Đặt x = asint Tổng quát : a x dx a Ví dụ ĐHSP1-2000 Tính tích phân : I = x a x dx; víi a > 0 Bài giải ; 2 *x=0 t=0 *x=a t= Đặt x = asint t 4 x2 a x dx a sin t a (1 sin t ) a cos tdx a sin t cos tdx a sin 2tdt a (1 cos 4t )dt I= a (1 cos 4t )dt a 4 16 VÝ dô TÝnh tÝch ph©n : I = 5 x dx Bài giải ; 2 tant, t Đặt x = *x=0 t=0 *x= 5 x t= dx a Tỉng qu¸t : x 2 (1 tan t ) 5 dt 5dt tan t a dx , a a Phơng pháp : Đặt x = atant VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau 1 dx a) I x x 1 b) HVTC 2000 : J xdx ; x x 1 Bài giải a) I = dx (x ) Đặt x+ tan t t ; 2 2 *x=0 t= *x=1 t= (1 tan t ) dx 3 I= dt dt 12 tan t (x )2 6 b)Đặt x2 + tan t (Làm tơng tự) Ví dơ TÝnh tÝch ph©n sau : I = x dx x4 Bài giải ; 2 Đặt x2 = sint, t *x=0 t=0 *x= xdx = cosxdx ; I= 1 1 x 2 sin x t cos x xdx 1 x dx 2 dx 12 b VÝ dô HVKTQS – Laipnit 2001 TÝnh tÝch ph©n sau: I = Híng dÉn : §Ỉt x = a x2 dx; a, b 2 (a x ) a tan t a x a (1 tan t ) cos 2t dx a dt dt 2 2 2 (a x ) a (1 tan t ) cos t a b I = = a b2 Dạng Đặt t = u(x) Ví dơ TÝnh tÝch ph©n sau : a) I (3x 2)( x 1) dx b) DHL.TPHCM 2001 : J x x dx Bài giải a) Đặt t = x+1 * x=0 , t = vµ x = 1, t = x = t – Laipnit dx = dt 3t t I = (3t 1)t dt ( )1 b) Đặt t = x * x = t = *x=1 t=0 x3 = – Laipnit t2 2tdt x2 dx = x x dx (1 t ).t 2t dt (t t )dt 3 2 t t (t t )dt ( ) 30 I= VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau: I = 1 30 dx x Bài giải Đặt t = = *x=1 t=2 *x=9 t=4 x Khi ®ã x = t2 -2t + dx = (2t -2)dt I = (2 dx 1 x 2t dt t )dt ( 2t ln t ) 42 4 ln t Ví dụ ĐHK.A-2004 Tính tích phân sau: I = xdx Bài giải Đặt t = x *x=1 t=1 *x=2 t=2 x = t2 – Laipnit 2t + dx = (2t-2)dt I= 2 (t 2t 2)(2t 2) 2t 6t 8t 4 2t 11 dt dt ( t t ) dt ( 3t 8t ln t ) 12 ln t t t 3 1 x VÝ dô Tính tích phân sau a)ĐHK.A-2003 : I = x Bài giải a) Đặt t = x 4 dx dx b) DHAN 1999 : J 7x x 9 x2 2 c) K x dx x 1 *x= t=3 * x= t = x2 = t2 -4 xdx = tdt xdx x x 4 tdt 1 ( )dt (t 4).t t t 2 1 1 t ( )dt ln ln t t 2 t 2 I= b) + c) Làm tơng tự ln VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau : I = Bài giải Đặt t = e x dx ex *x=0 t=2 * x = ln2 t = dx ex = t2 – Laipnit exdx = 2tdt I= ( t 2 t )dt x e 7 ln t e x dx e t x x e 7 2 2tdt 1 ( )dt (t 7).t t t (ln 3 3 ln 2 2 ) ln e VÝ dô ĐHK.B-2006 Tính tích phân sau : I = ln x dx 2e x Bµi giải Đặt t = ex * x = ln3 t = * x = ln4 t = dx e x dx dt 1 xdx dt = e x e x 3e x ( )dt x t t1 e 2e t 3t I = ( 1 t )dt ln t t1 t1 ln VÝ dô TÝnh tÝch ph©n sau : ln 1 ex dx b) HVQY – Laipnit 97 : I = a) §HTM-97 : I = x 1 e ln ln 1 e x dx c) §HBK – Laipnit 2000 : I = Hớng dẫn Đặt t = ex, làm tơng tự nh VD5, VD6 e Ví dụ ĐHHH Laipnit 98 Tính tích phân : I = x Bài giải Đặt t = ln x ln x ln x dx *x=1 t=1 *x=e t= dx 2tdt lnx = t2 – Laipnit ln x x x ln x dx t2 2tdt ( 2t 2) dt t 2t 4 2 2t ) 3 VÝ dô TÝnh tÝch ph©n sau: e ln x ln x dx b) HV CTQG.TPHCM – Laipnit 1999: J = a) §H.K.B – Laipnit 2004.: I = x I= (2t 2)dt ( e ln x.3 ln x dx ; x Bài giải a) Đặt t = ln x *x=1 t=1 *t=e t=2 2 lnx = t dx 2tdt ln x ln x dx t t 2tdt (t t )dt x x 3 2 t t 31 116 ; (t t ) dt ( ) 12 ( ) 91 9 135 b) Làm tơng tự I= Bài tập áp dụng 2a 1) A x 15 x dx; B x 2a x dx(a 0) a 2) dx A x a x dx; B x) x (1 ( a 0) e2x 1 ex dx 3) A 1 dx x x 1 dx ; B ( x 1)( x 2) 4) A 1 x dx dx ; B x x x2 1 2 dx 5) A x x 2 ; B x 1.dx x x dx dx 6) A ; B 3 2x 1 x 1 0 3 dx ( x 2)dx ; (*)B 8 x 1 x x 2x x 1 7) A 8) (*) A 3 1 x dx ; x x 1 9) A x dx; B x x dx C 1 x 1 1 x2 dx; D dx x x2 x dx 10) (HVNH THCM 2000) I x x2 1 11) a)(§H BKHN 1995) I dx x x dx b) (HVKTQS 1998) I 1 dx 12) (§HAN 1999) I x x2 1 x x 13) (§HQG HN 1998) I x x dx 14) (§HSP2 HN 2000) I 1 dx x x ( x 1).dx x 1 15) (§HXD HN 1996) I 16) (§HTM 1997) I x dx 1 x2 17) (§HQG TPHCM 1998) I x.dx 2x Bài toán Phơng pháp tích phân phần I Công thức tích phân phần Ta cã: b b b udv uv a vdu a a II Phơng pháp giải toán b f ( x)dx Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I = a Phơng pháp chung: Bớc 1: Biến đổi TP vỊ d¹ng: I = b b f ( x)dx = f a ( x) f ( x ) dx a u f ( x ) du v dv f ( x ) dx Bớc 2: Đặt: Bớc 3: Khi đó: I = b b b udv uv a vdu a a VÝ dơ §HK.D – Laipnit 2006: TÝnh tÝch ph©n sau: I = 2)e x dx ( x Bài giải Đặt: du dx u x 2x 2x v e dx dx dv e I= ( x 2) e x 1 1` x 1 3e e dx ( e 2) e x 10 2 VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n sau: 1 a ) DHHH 99 : I (2 x x 1)e x dx b)CDGT 2004 : J (4 x x 1)e x dx Híng dÉn: Tõng phÇn lÇn VÝ dơ TN.THPT-2008: TÝnh tÝch ph©n sau: I (2 x 1) cos xdx Bài giải §Ỉt: u 2 x du 2dx dv cos xdx v sin x I = = ((2x-1)sinx + 2cosx) ( VÝ dô §H KT – Laipnit 2001 TÝnh tÝch ph©n sau: I = 2 = )3 sin x dx Bài giải Đặt t = x *x=0 t=0 * x = ( )3 t x = t3 dx = 3t2dt I 3t sin t.dx Bạn đọc tự giải( Từng phần lần) Ví dụ ĐHK.D-2004 TÝnh tÝch ph©n sau : I = ln( x Bài giải x ) dx Đặt: 2x u ln( x x ) dx du x x dv dx v x 2x dx 3 ln ln (2 x ln( x 1)) x I = xln(x2-x) 32 = ln216 - ln4 – Laipnit – Laipnit ln2 = ln27 – VÝ dơ TÝnh tÝch ph©n : e a)§H K.D – Laipnit 2007: I = 10 x ln xdx b) §HL.TPMCM : J = Bài giải a) Đặt : x ln x I= x lg xdx ln x dx du u ln x x dv x dx v x Đặt : e e du1 dx u1 ln x x x dx dv1 v x x ln x e4 dx I1 x ln x I1 = e e x3 e4 8 dx b) Làm tơng tự Ví dụ Tính tích phân sau : a) I = e x sin xdx Hớng dẫn a) Từng phần lần, đặt : b) Làm tơng tự b) J e x cos xdx; u e x ; dv sin xdx u1 e x ; dv1 cos xdx Ví dụ CĐSP.Tây Ninh Laipnit 2003 Tính tÝch ph©n sau : e a) I cos(ln x)dx; e b) J sin(ln x)dx ; Híng dẫn Đặt : t = lnx phần lần Bài tập áp dụng Tính tích phân sau: e 1/ I = x ln xdx 2/ (CĐSP Hà Nam A2004) T= x tan xdx 3/.(C§ KTKT I - 2005) T = e3x sin5 xdx e ln x dx 4/.(CĐ KTKT Cần Thơ A2005) T = x2 e4 32 I = 5e 32 T = x.sin x dx sin x.cos2 x 5/.(C§ SP STrB 2005) 6/ .(C§ SP VÜnh Long A05) T= e x ln xdx 2 T = x.cos x dx 7/ (CĐ CN Hà Nội 2005) 8/.(C§ SP QNam05) T = x(e x x 1)dx 9/ (CĐ Y tế ThHoá05) T= ln2 x2 x e dx 10/ (ĐH Thuỷ Lợi 2001 - 2002) T104 ln(1 tan x) dx 10 T107 x lg xdx 11/ (ĐH Luật, Dợc 01-02) 1 2 12/ a) ( x 3)e x dx b) ( x x)e x dx c) ln( x 10 x)dx 0 d ) (4 x 3) ln xdx e) (6 x 4) ln xdx Bài toán Tích phân hàm số lợng giác Ví dụ : Tính tích phân sau 1) dx tan x.dx A ; B sin x cos x cos x sin x.cos x tan x.dx 2) A ; B ( cos x cos x Bµi tËp sin x ).dx 3) A ( x sin x ) dx ; B sin x cos 2 x.dx cos x 0 4) A x cos x.dx ; sin x 1) (§HQG TPHCM 1998) TÝnh : sin x.dx sin x.dx I ; va J 4 sin x cos x 2) (§HSP TPHCM 1995) Cho f ( x) sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x a) T×m A,B cho f ( x) A B b) TÝnh I f ( x ).dx 3) (§HGTVT TPHCM 1999) a) CMR cos x.dx sin x.dx 4 4 cos x sin x cos x sin x cos x.dx b) TÝnh I 4 cos x sin x 4) (§HTS 1999) TÝnh : I sin x cos x.(1 cos x) dx dx 5) (§HTM HN 1995) TÝnh I cos x 6) (HVKTQS 1999):TÝnh I sin x.dx cos x 7) (§HNN1 HN Khèi B 1998) I cos x.dx cos x 8) (§HQGHN Khèi A 1997) I sin x.dx cos x sin x cos x 9) (§HNN1 HN 1998) TÝnh I dx sin x cos x 10) (§HQG TPHCM 1998) I cos x sin x.dx 11) (HVNH TPHCM 2000) I sin x.dx cos x sin x (2 sin x) A cos x B cos x a) Tìm A,B để h( x) (2 sin x) 2 sin x 12) (ĐHBK HN 1999) Cho hàm số h( x) b) TÝnh I h( x ).dx 13) (§HBK HN 1998) I cos x.(cos x sin x).dx 14) (HVNH TPHCM 2000) I ( x sin x).dx cos x ... (§HTM 1997) I x dx 1 x2 17) (§HQG TPHCM 1998) I x.dx 2x Bài toán Phơng pháp tích phân phần I Công thức tích phân phần Ta có: b b b udv uv a vdu a a II Phơng pháp giải toán b f ( x)dx... c) ln( x 10 x)dx 0 d ) (4 x 3) ln xdx e) (6 x 4) ln xdx Bài toán Tích phân hàm số lợng giác Ví dụ : Tính tích phân sau 1) dx tan x.dx A ; B sin x cos x cos x sin x.cos... 1 x 1 1 )dx x ln( x x 9) 10 1 ln 2 x 2x Ví dụ 7.ĐHNT-1999 Tính tích phân sau: I = ( x dx x 2) Bài giải 1 1 2 I = ( ) dx dx 2 x 1 x ( x 1)(