Chuyên Đề Ôn Thi Đại Học - Tích Phân

Tài Liệu Ôn Thi Đại Học

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 TÍCH PHÂN BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HÀ N ỘI, 8/2013 HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1 CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 1: NGUYÊN HÀM 1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu: '( ) ( )=F x f x , ∀x ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: ( ) ( )= + ∫ f x dx F x C , C ∈ R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất • '( ) ( )= + ∫ f x dx f x C • ( ) ( ) ( ) ( )   ± = ±   ∫ ∫ ∫ f x g x dx f x dx g x dx • ( ) ( ) ( 0)= ≠ ∫ ∫ kf x dx k f x dx k 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 4. Phương pháp tính nguyên hàm 1) Phương pháp đổi biến số Nếu ( ) ( )= + ∫ f u du F u C và ( )=u u x có đạo hàm liên tục thì: ( ) . '( ) ( )     = +     ∫ f u x u x dx F u x C 2) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: = − ∫ ∫ udv uv vdu • 0 = ∫ dx C • = + ∫ dx x C • 1 , ( 1) 1 α α α α + = + ≠ − + ∫ x x dx C • 1 ln= + ∫ dx x C x • = + ∫ x x e dx e C • (0 1) ln = + < ≠ ∫ x x a a dx C a a • cos sin= + ∫ xdx x C • sin cos= − + ∫ xdx x C • 2 1 tan cos = + ∫ dx x C x • 2 1 cot sin = − + ∫ dx x C x • 1 cos( ) sin( ) ( 0)+ = + + ≠ ∫ ax b dx ax b C a a • 1 sin( ) cos( ) ( 0)+ = − + + ≠ ∫ ax b dx ax b C a a • 1 , ( 0) + + = + ≠ ∫ ax b ax b e dx e C a a • 1 1 ln= + + + ∫ dx ax b C ax b a GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2 VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm HT 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 1) 2 1 ( ) – 3= +f x x x x 2) 4 2 2 3 ( ) + = x f x x 3) 2 1 ( ) − = x f x x 4) 2 2 2 ( 1) ( ) − = x f x x 5) 2 2 1 ( ) sin .cos =f x x x 6) 2 2 cos 2 ( ) sin .cos = x f x x x 7) 2 ( ) 2 sin 2 = x f x 8) 2 ( ) tan=f x x 9) 2 ( ) cos=f x x 10) ( ) 2 sin 3 cos2=f x x x 11) ( ) ( ) – 1= x x f x e e 12) 2 ( ) 2 cos −       = +         x x e f x e x HT 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: 1) 3 ( ) 4 5; (1) 3= − + =f x x x F 2) ( ) 3 5 cos ; ( ) 2π= − =f x x F 3) 2 3 5 ( ) ; ( ) 1 − = = x f x F e x 4) 2 1 3 ( ) ; (1) 2 + = = x f x F x 5) ( )= 3 2 1 ; ( 2) 0 − − = x f x F x 6) 1 ( ) ; (1) 2= + = −f x x x F x 7) ( ) sin 2 .cos ; ' 0 3 π      = =       f x x x F 8) 4 3 2 3 2 5 ( ) ; (1) 2 − + = = x x f x F x 9) 3 3 2 3 3 7 ( ) ; (0) 8 ( 1) + + − = = + x x x f x F x 10) 2 ( ) sin ; 2 2 4 π π      == =       x f x F VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ( ) ∫ f x dx bằng phương pháp đổi biến số • Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = ( ) . '( )     g u x u x thì ta đặt ( ) '( )= ⇒ =t u x dt u x dx . Khi đó: ( ) ∫ f x dx = ( ) ∫ g t dt , trong đó ( ) ∫ g t dt dễ dàng tìm được. Chú ý: Sau khi tính ( ) ∫ g t dt theo t, ta phải thay lại t = u(x). • Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: HT 3: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): 1) 10 (5 1)− ∫ x dx 2) 5 (3 2 )− ∫ dx x 3) 5 2− ∫ xdx 4) 2 7 (2 1)+ ∫ x xdx 5) 3 4 2 ( 5)+ ∫ x x dx 6) 2 5+ ∫ x dx x 7) 2 1.+ ∫ x xdx 8) 2 3 3 5 2+ ∫ x dx x 9) 2 (1 )+ ∫ dx x x f(x) có chứa Cách đổi biến 2 2 −a x sin , 2 2 π π = − ≤ ≤x a t t hoặc cos , 0 π= ≤ ≤x a t t 2 2 +a x tan , 2 2 π π = − < <x a t t hoặc cot , 0 π= < <x a t t GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3 10) 4 sin cos ∫ x xdx 11) 5 sin cos ∫ x dx x 12) 2 tan cos ∫ xdx x 13) 3− ∫ x x e dx e 14) 2 1 . + ∫ x x e dx 15) ∫ x e dx x 16) 3 ln ∫ x dx x 17) 1+ ∫ x dx e 18) tan 2 cos ∫ x e dx x HT 4: Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): 1) 2 3 (1 )− ∫ dx x 2) 2 3 (1 )+ ∫ dx x 3) 2 1 .− ∫ x dx 4) 2 4 − ∫ dx x 5) 2 2 1 .− ∫ x x dx 6) 2 1 + ∫ dx x 7) 2 2 1− ∫ x dx x 8) 2 1+ + ∫ dx x x 9) 3 2 1.+ ∫ x x dx VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: HT 5: Tính các nguyên hàm sau: 1) .sin ∫ x xdx 2) cos ∫ x xdx 3) 2 ( 5)sin+ ∫ x xdx 4) 2 ( 2 3)cos+ + ∫ x x xdx 5) sin 2 ∫ x xdx 6) cos2 ∫ x xdx 7) . ∫ x x e dx 8) 2 3 ∫ x x e dx 9) ln ∫ xdx 10) ln ∫ x xdx 11) 2 ln ∫ xdx 12) 2 ln( 1)+ ∫ x dx HT 6: Tính các nguyên hàm sau: 1) ∫ x e dx 2) ln ∫ xdx x 3) sin ∫ x dx 4) cos ∫ x dx 5) .sin ∫ x x dx 6) 3 sin ∫ xdx 7) ln(ln ) ∫ x dx x 8) sin(ln ) ∫ x dx 9) cos(ln ) ∫ x dx HT 7: Tính các nguyên hàm sau: 1) .cos ∫ x e xdx 2) 2 (1 tan tan )+ + ∫ x e x x dx 3) .sin2 ∫ x e xdx 4) 2 ln(cos ) cos ∫ x dx x 5) 2 ln(1 )+ ∫ x dx x 6) 2 cos ∫ x dx x 7) ( ) 2 2 ln 1 1 + + + ∫ x x x dx x 8) 3 2 1+ ∫ x dx x 9) 2 ln            ∫ x dx x ( ). ∫ x P x e dx ( ).cos ∫ P x xdx ( ).sin ∫ P x xdx ( ).ln ∫ P x xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cos xdx sin xdx P(x) GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4 VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. f(x) là hàm hữu tỉ: ( ) ( ) ( ) = P x f x Q x – Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất địn8). Chẳng hạn: 1 ( )( ) = + − − − − A B x a x b x a x b 2 2 1 , ( )( ) + = + − − + + + + A Bx C x m x m ax bx c ax bx c 2 4 0∆ = − <vôùi b ac 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = + + + − − − − − − A B C D x a x b x a x b x a x b 2. f(x) là hàm vô tỉ + f(x) = ,    +           + m ax b R x cx d → đặt + = + m ax b t cx d + f(x) = 1 ( )( )             + +   R x a x b → đặt = + + +t x a x b • •• • f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: + sin ( ) ( ) 1 1 . sin( ).sin( ) sin( ) sin( ). sin( )   + − +   = + + − + + x a x b x a x b a b x a x b , sin( ) 1 sin( )   −    =      −   a b söû duïng a b + sin ( ) ( ) 1 1 . cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( )   + − +   = + + − + + x a x b x a x b a b x a x b , sin( ) 1 sin( )   −    =      −   a b söû duïng a b + cos ( ) ( ) 1 1 . sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( )   + − +   = + + − + + x a x b x a x b a b x a x b , cos( ) 1 cos( )   −    =      −   a b söû duïng a b + Nếu ( sin , cos ) (sin , cos )− = −R x x R x x thì đặt t = cosx + Nếu (sin , cos ) (sin , cos )− = −R x x R x x thì đặt t = sinx + Nếu ( sin , cos ) (sin , cos )− − = −R x x R x x thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) HT 8: Tính các nguyên hàm sau (dạng hữu tỷ): 1) ( 1)+ ∫ dx x x 2) ( 1)(2 3)+ − ∫ dx x x 3) 2 2 1 1 + − ∫ x dx x 4) 2 7 10− + ∫ dx x x 5) 2 6 9− + ∫ dx x x 6) 2 4− ∫ dx x 7) ( 1)(2 1)+ + ∫ x dx x x 8) 2 2 3 2− − ∫ x dx x x 9) 3 2 3 2− + ∫ x dx x x 10) 2 ( 1)+ ∫ dx x x 11) 3 1 + ∫ dx x 12) 3 1− ∫ x dx x HT 9: Tính các nguyên hàm sau (dạng vô tỷ): 1) 1 1 1+ + ∫ dx x 2) 1 2 + − ∫ x dx x x 3) 3 1 1 1+ + ∫ dx x 4) 4 1 + ∫ dx x x 5) 3 − ∫ x dx x x 6) ( 1)+ ∫ x dx x x GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5 7) 3 4 2+ + ∫ dx x x x 8) 1 1 − + ∫ x dx x x 9) 3 1 1 − + ∫ x dx x x 10) 2 3 (2 1) 2 1+ − + ∫ dx x x 11) 2 5 6− + ∫ dx x x 12) 2 6 8+ + ∫ dx x x HT 10: Tính các nguyên hàm sau (dạng lượng giác): 1) sin 2 sin 5 ∫ x xdx 2) cos sin 3 ∫ x xdx 3) 2 4 (tan tan )+ ∫ x x dx 4) cos 2 1 sin cos+ ∫ x dx x x 5) 2 sin 1+ ∫ dx x 6) cos ∫ dx x 7) 1 sin cos − ∫ x dx x 8) 3 sin cos ∫ x dx x 9) cos cos 4 dx x x   +     ∫ π 10) cos cos2 cos 3 ∫ x x xdx 11) 3 cos ∫ xdx 12) 4 sin ∫ xdx ---------------------------------------------------------------------- GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6 BÀI 2: TÍCH PHÂN 1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(2) – F(1) được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là ( ) ∫ b a f x dx . ( ) ( ) ( )= − ∫ b a f x dx F b F a • Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( )= = = = − ∫ ∫ ∫ b b b a a a f x dx f t dt f u du F b F a • Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: ( )= ∫ b a S f x dx 2. Tính chất của tích phân • 0 0 ( ) 0= ∫ f x dx • ( ) ( )= − ∫ ∫ b a a b f x dx f x dx • ( ) ( )= ∫ ∫ b b a a kf x dx k f x dx (k: const) • ( ) ( ) ( ) ( )   ± = ±   ∫ ∫ ∫ b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx • ( ) ( ) ( )= + ∫ ∫ ∫ b c b a a c f x dx f x dx f x dx • Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì ( ) 0≥ ∫ b a f x dx • Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì ( ) ( )≥ ∫ ∫ b b a a f x dx g x dx 3. Phương pháp tính tích phân 1) Phương pháp đổi biến số: ( ) ( ) ( ) . '( ) ( )   =   ∫ ∫ u b b a u a f u x u x dx f u du trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b ∈ K. 2) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì: = − ∫ ∫ b b b a a a udv uv vdu Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho ∫ b a vdu dễ tính hơn ∫ b a udv . GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7 VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm HT 11: Tính các tích phân sau: 1) 2 3 1 ( 2 1)+ + ∫ x x dx 2) 2 2 3 1 1 3 ( ) + + + ∫ x x e dx x 3) 2 2 1 1− ∫ x dx x 4) 2 1 2 2 − + ∫ x dx x 5) ( ) 2 4 1 2 2 4 − − + ∫ x dx x 6) 2 2 1 1 1 ( )+ + + ∫ e x x dx x x 7) 2 1 ( 1)( 1)+ − + ∫ x x x dx 8) 2 3 2 1 ( )+ + ∫ x x x x dx 9) ( ) 4 3 4 1 2 4+ − ∫ x x x dx 10) 2 2 3 1 2− ∫ x x dx x 11) 2 1 2 5 7+ − ∫ e x x dx x 12) 8 3 2 1 1 4 3        −         ∫ x dx x HT 12: Tính các tích phân sau: 1) 2 1 1+ ∫ x dx 2) 5 2 2 2+ + − ∫ dx x x 3) 2 3 2 1 ( )+ + ∫ x x x x dx 4) 1 2 0 2 1− ∫ xdx dx x 5) 2 2 3 0 3 3 1 + ∫ x dx x 6) 4 2 0 9+ ∫ x x dx HT 13: Tính các tích phân sau: 1) 0 sin(2 ) 6 π π + ∫ x dx 2) 2 3 (2 sin 3 ) π π + + ∫ x cosx x dx 3) ( ) 6 0 sin 3 cos2 π + ∫ x x dx 4) 4 2 0 tan . cos π ∫ x dx x 5) 3 2 4 3 tan π π ∫ x dx 6) 4 2 6 (2 cot 5) π π + ∫ x dx 7) 2 0 1 sin π + ∫ dx x 8) 2 0 1 cos 1 cos π − + ∫ x dx x 9) 2 2 2 0 sin .cos π ∫ x xdx HT 14: Tính các tích phân sau: 1) dx 1 0 − − − + ∫ x x x x e e e e 2) 2 2 1 ( 1). ln + + ∫ x dx x x x 3) 2 1 0 4 2 − + ∫ x x e dx e 4) ln 2 0 1+ ∫ x x e dx e 5) 2 1 (1 ) − − ∫ x x e e dx x 6) 1 0 2 ∫ x x e dx 7) cos 2 0 sin π ∫ x e xdx 8) 4 1 ∫ x e dx x 9) 1 1 ln+ ∫ e x dx x 10) 1 ln ∫ e x dx x 11) 2 1 0 ∫ x xe dx 12) 1 0 1 1 + ∫ x dx e GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 8 VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số Dạng 1: Giả sử ta cần tính ( ) ∫ b a g x dx . Nếu viết được g(x) dưới dạng: ( ) ( ) . '( )   =   g x f u x u x thì ( ) ( ) ( ) ( )= ∫ ∫ u b b a u a g x dx f u du Dạng 2: Giả sử ta cần tính ( ) β α ∫ f x dx . Đặt x = x(t) (t ∈ 10) và a, b ∈ K thoả mãn α = x(1), β = x(2) thì ( ) ( ) '( ) ( ) β α   = =   ∫ ∫ ∫ b b a a f x dx f x t x t dt g t dt ( ) ( ) ( ) . '( )   =   g t f x t x t Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: HT 15: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1) 1 19 0 (1 )− ∫ x x dx 2) 1 3 2 3 0 (1 )+ ∫ x dx x 3) 1 5 2 0 1+ ∫ x dx x 4) 1 0 2 1+ ∫ xdx x 5) 1 2 0 1− ∫ x x dx 6) 1 3 2 0 1− ∫ x x dx 7) 2 3 2 5 4+ ∫ dx x x 8) 3 5 3 2 0 2 1 + + ∫ x x dx x 9) ln 2 0 1 + ∫ x x e dx e 10) ( ) ln 3 3 0 1+ ∫ x x e dx e 11) 1 2 ln 2 + ∫ e xdx x 12) 1 1 3 ln ln+ ∫ e x x dx x 13) 2 2 2 0 sin 2 cos 4 sin π + ∫ x dx x x 14) 2 3 2 0 cos . sin 1 sin π + ∫ x x dx x 15) 6 2 2 0 sin 2 2 sin cos π + ∫ x dx x x HT 16: Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): 1) 1 2 2 0 1− ∫ dx x 2) 1 2 2 0 4 − ∫ x dx x 3) 2 2 2 1 4 − ∫ x x dx f(x) có chứa Cách đổi biến 2 2 −a x sin , 2 2 π π = − ≤ ≤x a t t ho ặ c cos , 0 π= ≤ ≤x a t t 2 2 +a x tan , 2 2 π π = − < <x a t t ho ặ c cot , 0 π= < <x a t t 2 2 −x a { } , ; \ 0 sin 2 2 π π     = ∈ −     a x t t ho ặ c , 0; \ cos 2 π π          = ∈         a x t t GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9 4) 3 2 0 3+ ∫ dx x 5) 1 2 2 0 ( 1)( 2)+ + ∫ dx x x 6) 1 4 2 0 1+ + ∫ xdx x x 7) 0 2 1 2 2 − + + ∫ dx x x 8) 2 2 3 1 1− ∫ x dx x 9) ( ) 1 5 2 0 1+ ∫ dx x 10) 2 3 2 2 1− ∫ dx x x 11) 2 2 2 2 0 1− ∫ x dx x 12) 2 2 0 2 − ∫ x x x dx VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: HT 17: Tính các tích phân sau: 1) 4 0 sin 2 π ∫ x xdx 2) 2 2 0 ( sin )cos π + ∫ x x xdx 3) 2 2 0 cos π ∫ x xdx 4) 2 4 0 cos π ∫ x xdx 5) 3 2 4 tan π π ∫ x xdx 6) 1 2 0 ( 2)− ∫ x x e dx 7) ln 2 0 ∫ x xe dx 8) 1 ln ∫ e x xdx 9) 3 2 2 ln( )− ∫ x x dx 10) 2 3 0 sin 5 π ∫ x e xdx 11) 2 cos 0 sin 2 π ∫ x e xdx 12) 3 1 ln ∫ e xdx 13) 3 2 1 ln ∫ e x xdx 14) 2 1 ln ∫ e e x dx x 15) 0 2 3 1 ( 1) − + + ∫ x x e x dx VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị tuyệt đối HT 18: Tính các tích phân sau: 1) 2 0 2− ∫ x dx 2) 2 2 0 − ∫ x x dx 3) 2 2 0 2 3+ − ∫ x x dx 4) 3 2 3 1 − − ∫ x dx 5) 5 2 ( 2 2 ) − + − − ∫ x x dx 6) 3 0 2 4− ∫ x dx ( ). ∫ b x a P x e dx ( ).cos ∫ b a P x xdx ( ).sin ∫ b a P x xdx ( ). n ∫ b a P x l xdx u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cos xdx sin xdx P(x) . 1) 2 3 1 ( 2 1)+ + ∫ x x dx 2) 2 2 3 1 1 3 ( ) + + + ∫ x x e dx x 3) 2 2 1 1− ∫ x dx x 4) 2 1 2 2 − + ∫ x dx x 5) ( ) 2 4 1 2 2 4 − − + ∫ x dx x 6) 2 2. sau: 1) 2 2 0 2 2− + ∫ dx x x 2) ( ) 2 3 2 0 3 2 1 + + ∫ x dx x 3) 2 3 2 2 0 2 4 9 4 + + + + ∫ x x x dx x 4) 1 2 2 0 1 ( 2) ( 3)+ + ∫ dx x x 5) 1 3 2 0 1 1