HƯỚNG DẪN ƠN THI TỐT NGHIỆP MƠN GIẢI TÍCH A/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MƠN TỐN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu I (3 điểm): - Khảo sát, vẽ đồ thị của hàm số. - Các bài tốn liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm số: chiều biến thiên của hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất cho trước, tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đường thẳng)… Câu II (3 điểm): - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lơgarit. - Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. Tìm ngun hàm, tính tích phân. - Bài tốn tổng hợp. Câu III (1 điểm): Hình học khơng gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu. Câu IV.(2 điểm): Nội dung kiến thức: - Xác định tọa độ của điểm, vectơ. - Mặt cầu. - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng. - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu. Câu V.(1 điểm): Nội dung kiến thức: - Số phức: mơđun của số phức, các phép tốn trên số phức. Căn bậc hai của số thực âm. Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm. - Ứng dụng của tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG Chủ đề I: DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ: I/ Khảo sát hàm đa thức: 1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức: B1: Tập xác đònh: D= ¡ . B2: Tìm lim y x = →±∞ B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm của phương trình y’= 0, tính giá trò của hàm số tại các nghiệm vừa tìm được. B4: Lập bảng biến thiên B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm của y”= 0 ⇒ điểm uốn. B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trò bên trái và một điểm có hoành độ lớn hơn cực trò bên phải. B7:Vẽ đồ thò Các dạng đồ thò hàm bậc 3: y y y y 0 x 0 x 0 x 0 x ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 = > y a ' 0 0 ≥ ∀ > y x a ' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0 y a = < ' 0 0 ≤ ∀ < y x a 1 x Ghi tập xác đònh và nghiệm của phương trình y / =0 f’(x) Xét dấu y / f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trò của hàm số Chú ý: Đồ thò hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. Các dạng đồ thò hàm trùng phương: y' 0 có 3 nghiệm phân biệt a 0 = > ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a = > ' 0 có 3 nghiệm phân biệt 0 y a = < ' 0 có 1 nghiệm đơn 0 y a = < Chú ý: Đồ thò hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối xứng. 2/ Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x 3 +3x 2 – 4 Giải: Tập xác đònh: D = R lim x y →±∞ =±∞ y ′ = 3x 2 +6x = 3x(x+2), cho 0 4 0 2 0 x y y x y = ⇒ = − ′ = ⇔ = − ⇒ = Lập bảng biến thiên. x −∞ -2 0 + ∞ y / + 0 - 0 + y 0 CT + ∞ - ∞ CĐ -4 6 6y x ′′ = + cho y ′′ = 0 ⇔ x= –1 ⇒ y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 ⇒ I(-1 ;-2) là điểm uốn Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4) Vẽ đồ thò hàm số: Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x 2 – x 4 Giải MXĐ : D= R lim x y →±∞ =−∞ y ′ = 4x–4x 3 = 4x(1–x 2 ) cho y ′ = 0 ⇔ 4x(1–x 2 )=0 ⇔ x = 0 y=0 x = 1 y=1 ⇒ ± ⇒ Lập bảng biến thiên: x −∞ -1 0 1 + ∞ y / + 0 - 0 + 0 - y 1 CT 1 - ∞ CĐ 0 CĐ - ∞ 2 2 -2 -4 x y 14 -2 y ′′ = 4–12x 2 cho y ′′ = 0 ⇔ x = 3 3 ± ⇒ y= 5 9 y ′′ đổi dấu qua x = 3 3 ± ⇒ Đồ thị hàm số có 2 điêm uốn là 3 5 ; 3 9 ± ÷ ÷ Điểm đặc biệt: A ( ) 2;0 B ( ) 2;0− Đồ thò: 3/ Bài tập đề nghò: Bài 1 : Khảo sát các hàm số sau: a/ y=x 3 – 3x 2 b/ y= - x 3 + 3x – 2 c/ y= x 3 + 3x 2 + 4x -8 d/ y = x 4 – 6x 2 + 5 e/ y = - 1 4 x 4 + 2x 2 + 9 4 f/ y = x 4 + 2x 2 Bài 2 : a/Cho hàm số y= x 3 – 3m x 2 + 4m 3 . Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m=1. b/Cho hàm số y= x 4 – m x 2 + 4m -11 . Khảo sát vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m=4. II/ Khảo sát hàm nhất biến: 1/ Sơ đồ khảo sát hàm ax b y cx d + = + : B1: TXĐ D = R\ d c − B2: Tiệm cận ngang là: a y c = . Tiệm cận đứng là x = d c − . B3: Tính đạo hàm y’= ( ) 2 . .a d b c cx d − + ⇒ tính đơn điệu của hàm số B4: Lập bảng biến thiên. x Ghi miền xác đònh của hàm số f’(x) Xét dấu y / f(x) Ghi khoảng tăng giảm của hàm số B5:Tìm giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ. B6:Vẽ đồ thò Dạng đồ thò hàm b1/b1 y’< 0 x D∀ ∈ y’> 0 x D∀ ∈ 2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y = 2 2 1 x x − + . MXĐ: D= R\ { } 1− y ′ = ( ) 2 4 1x + > 0 x ∀ ∈ D ⇒ hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác đònh của nó. TCĐ: x=–1 ; TCN: y = 2 3 2 -2 x y 1 Lập bảng biến thiên. Điểm đặc biệt: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4) Đồ thò: Bài tập đề nghò: Bài 1: khảo sát các hàm số sau: a/ y = 2 2 1 x x − + + b/ y = 1 1 x x − + . c/y = 4 4x − Bài 2: Cho hàm số y= 1mx m x m − + − khảo sát hàm số khi m = 2. Chủ đề II: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HÀM SỐ I/Bài toán1: Tìm giao điểm của hai đường: Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thò (C), y= g(x) có đồ thò (C’). Tìm giao điểm của (C) và (C’). Phương pháp giải: B1: phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’): f(x) = g(x) (1) B2: Giải (1) giả sử nghiệm của phương trình là x 0 ,x 1 ,x 2 . . . thì các giao điểm của (C) và (C’) là :M 0 (x 0 ;f(x 0 ) ); M 1 (x 1 ;f(x 1 ) ); M 2 (x 2 ;f(x 2 )) . . . Chú ý: Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C) và (C’). Ví dụ 1: Cho đường cong (C): y= x 3 -3x +1 và đường thẳng d đi qua điểm A(0;1) có hệ số góc k. biện luận số giao điểm của (C) và d. Giải Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + 1. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là : x 3 -3x +1 = kx + 1 (1) ⇔ x 3 -(3+k)x = 0 ⇔ x(x 2 -3-k) = 0 ⇔ 2 0 ( ) 3 0 (2) x g x x k = = − − = ta có / ∆ (2) = 3+k Nếu 3+k < 0 ⇔ k<-3 Phương trình (2) vô nghiệm ⇒ (1) có 1 nghiệm ⇒ (C) và d có 1 giao điểm. Nếu 3+k = 0 ⇔ k= -3 Phương trình (2) có nghiệm kép x=0 ⇒ (1) có 1 nghiệm bội ⇒ (C) và d có 1 giao điểm. Nếu 3+k > 0 ⇔ k> -3 . Mặt khác g(0) = 0 ⇔ -3-k = 0 ⇔ k = -3 vậy phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác không ⇒ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇒ (C) và d có 3 giao điểm. Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2x y x 1 − = − 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho. 4 x - ∞ -1 + ∞ y / + + y + ∞ 2 2 - ∞ 2 4 6 8-2-4-6-8 2 4 6 8 -2 -4 -6 -8 x y 6 4 2 -2 5 x y 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt. Giài: 2/ Đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình (ẩn x) 3 2x = mx+2 x 1 − − có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (ẩn x) mx 2 – (m – 4)x – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt, khác 1 ⇔ 2 2 2 m 6 2 5 m 0 m 0 (m 4) 20m 0 6 2 5 m 0 m 12m 16 0 m 0 m.1 (m 4).1 5 0 <− − ≠ ≠ ∆= − + > ⇔ ⇔ − + < < + + > > − − − ≠ Bài tập đề nghò: Bài 1: Cho đường cong (C): y= 2 2 1 x x x + − + và đường thẳng d qua gốc toạ độ có hệ số góc k. biện luận theo k số giao điểm của d và (C). Bài 2: Cho đường cong (C): y= 4 2x − . Dựa vào đồ thò (C) biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng y=k. II/ Bài toán2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thò Dùng đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình f(x)= ( )m ϕ . Phương pháp giải: B1: Vẽ đồ thò (C) của hàm f(x) (Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số ) B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng y= ( )m ϕ . Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm. Ví dụ: Cho hàm số y=x 3 – 6x 2 + 9x (C). Dùng đồ thò (C) biện luận số nghiệm của phương trình x 3 – 6x 2 + 9x – m = 0 Giải: Phương trình x 3 – 6x 2 + 9x – m = 0 ⇔ x 3 – 6x 2 + 9x = m Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thò (C) và đường thẳng d: y=m. dựa vào đồ thò ta có: Nếu m > 4 phương trình có 1 nghiệm. Nếu m = 4 phương trình có 2 nghiệm. Nếu 0< m <4 phương trình có 3 nghiệm. Nếu m=0 phương trình có 2 nghiệm. Nếu m < 0 phương trình có 1 nghiệm. Bài tập đề nghò: Bài 1: a/ Khảo sát hàm số y= x 4 – 4 x 2 + 5. b/ Dùng đồ thò (C) của hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 4 – 4 x 2 + 5=m. Bài 2: Cho hàm số y= x 3 - 3x – 2 có đồ thò (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số. b/ Dùng đồ thò (C), đònh m để phương trình: x 3 - 3x – 2=m có 3 nghiệm phân biệt. 5 III/ Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến. Cho hàm số y=f(x) có đồ thò (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C) trong các trường hợp sau: 1/ Tại điểm có toạ độ (x 0 ;f(x 0 )) : B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x 0 ) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x 0 ;f(x 0 )) là: y = / 0 f (x ) (x–x 0 ) + f(x 0 ) 2/ Tại điểm trên đồ thò (C) có hoành độ x 0 : B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x 0 ), f(x 0 ) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x 0 là:y = / 0 f (x ) (x–x 0 ) + f(x 0 ) 3/ Tại điểm trên đồ thò (C) có tung độä y 0 : B1: Tìm f ’(x) . B2:Do tung độ là y 0 ⇔ f(x 0 )=y 0 . giải phương trình này tìm được x 0 ⇒ f / (x 0 ) B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y 0 là:y = / 0 f (x ) (x–x 0 ) + y 0 4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k: B1: Gọi M 0 (x 0 ;y 0 ) là tiếp điểm . B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên : )( 0 xf ′ =k (*) B3: Giải phương trình (*) tìm x 0 ⇒ f(x 0 ) ⇒ phương trình tiếp tuyến. Chú ý: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f / (x 0 )=a. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f / (x 0 ).a=-1. 5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) : B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x 1 ;y 1 ) có hệ số góc k là: y = k(x–x 1 ) + y 1 (1) B2: d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm : = ′ +−= kxf yxxkxf )( )()( 11 B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) ⇒ phương trình tiếp tuyến. Ví dụ 1 : Cho đường cong (C) y = x 3 .Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong : a.Tại điểm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ bằng –2 c.Tại điểm có tung độä bằng –8 d. Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3. e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8) Giải: Ta có y’= 3.x 2 a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1) ( )C∈ có 0 0 x 1 f(x ) 1 = − = − ⇒ f’(x 0 )= 3.(-1) 2 = 3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y=f’(x 0 ) (x-x 0 )+f(x 0 ) = 3.(x+1) + (-1) b/ Ta có x 0 = -2 ⇒ 0 0 f(x ) 8 f '(x ) 12 = − = ⇒ Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16 c/ Ta có tung độä bằng y 0 = –8 ⇔ f(x 0 )= -8 ⇔ 3 0 x =-8 ⇒ x 0 =-2 ⇒ f’(x 0 )=12 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16 d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 ⇔ f’(x 0 )=3 ⇔ 3. 2 0 x =3 ⇔ x 0 = ± 1 với x 0 =1 ⇒ f(x 0 )=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 . với x 0 =-1 ⇒ f(x 0 )= -1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2. 6 e/Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8 d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm : 3 2 k(x-2) + 8(1) 3 (2) x x k = = ⇔ x 3 = 3x 2 (x-2) + 8 ⇔ 2x 3 - 6x 2 + 8 = 0 ⇔ 2 1 x x = = − Với x=2 ⇒ k=12 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16. Với x=-1 ⇒ k=3 ⇒ phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - 4 Bài tập đề nghò: Bài 1: Cho hàm số y= x 3 - 3x 2 có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 4. c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3. d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2005. e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= 1 3 x + 2006. f/Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2). Bài 2: Cho hàm số y= 2 1 x x x − + + có đồ thò (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại các giao điểm với trục hoành. b/ Tại điểm có hoành độ = 2. c/ Tại điểm có tung độ y=- 3 2 . d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1. e/Biết tiếp tuyến đi qua A(2;0). IV/ Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác đònh khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ D= ? + Tính : y / = , tìm nghiệm của ptr y / = 0 + BXD (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) Chú ý: y / > 0 thì hàm số tăng ; y / < 0 thì hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghòch biến trên khoảng . Đònh lý 2 (dùng để tìm gía trị m): a) f / (x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a;b) ( chỉ bằng không tại hữu hạn điểm∈ (a;b) ) thi f(x) tăng trong khoảng (a;b). b) f / (x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a;b) ( chỉ bằng không tại hữu hạn điểm∈ (a;b) ) thi f(x) giảm trong khoảng (a;b). V/ Bài toán 5: Cực trị của hàm số • Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trò tại x 0 và có đạo hàm tại x 9 thì f / (x 0 )=0 • Tìm cực trò = dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Tính : y / = , tìm nghiệm của ptr y / = 0 . Tính y CĐ ; y CT + BBT : (sắp các nghiệm của PT y / = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số ln tăng ( giảm) trên (a;b) thì khơng có cực trị trên (a;b). 2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y / = 0. 3) x 0 là cực trị của hàm số / ( ) 0 0 / ( ) = y x y x • Tìm cực trò = dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y / = ? y // = ? cho y / = 0 => các nghiệm x 1 , x 2 … .( nếu có ) + Tính y // (x 1 ); y // (x 2 )……. Nếu y // (x 0 ) > 0 thì hàm số đạt CT tại x 0 , y CT = ? Nếu y // (x 0 ) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x 0 , y CĐ = ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y / khó xét dấu 7 đổi dấu qua x 0 *Cực trò của hàm hữu tỉ : Nếu h/s đạt cực trò tại x 0 thì y / (x 0 )= 0 và giá trò cực trò y(x 0 ) = u (x ) 0 v (x ) 0 ′ ′ * Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trò (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ a 0 0 ≠ ∆ > *Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trò (có cực đại,cực tiểu): y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu * Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trò : y / = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Một số ví dụ: 1/Xác đònh m để hàm số: 2 1x mx y x m + + = + đạt cực đại tại x=2. Giải: Ta có ( ) 2 2 2 2 1 ' x mx m y x m + + - = + ; ( ) 4 2 2 '' x m y x m + = + Đ/k cần để å hàm số đạt cực đại tại x=2 là: ( ) 2 ' 2 0 4 3 0f m m= + + =Û ⇔ 1 3 m m é =- ê ê =- ë Đ/k đủ: Với m= -1 thì f // (2)=2>0 ⇒ m= -1 không là giá trò cần tìm. Với m= -3 thì f // (2)= -2< 0 ⇒ m= -3 là giá trò cần tìm. 2/ Chứng minh rằng hàm số y= 2 2 2 2 x x m x + + + luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu. Giải: Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 ' 1 x m x y x - + - + = + Cho ( ) 2 ' 0 2 2 4 0y x m x= - + - + =Û ta có ( ) 2 ' 2 4 0 m m= - + > "D ⇒ y / =0 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu. 3/Đònh m để hàm số y= ( ) 3 2 2 3 3 1x mx m m x− + − + có cực đại, cực tiểu. Giải Txđ D=R y / = 3x 2 -6mx +3(m 2 -m) Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y / =0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ 3x 2 -6mx +3(m 2 -m)=0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ / 0∆ > ⇔ 9m 2 -9m 2 +9m >0 ⇔ m>0 vậy m>0 là giá trò cần tìm. Bài tập đề nghò: Bài 1: Đònh m để y= ( ) ( ) 1133 2223 −−−+− mxmmxx đạt cực đại tại x=1. ĐS:m=2 Bài 2: Cho hàm số y= bax x +− 2 4 2 . Đònh a,b để hàm số đạt cực trò bằng –2 tại x=1 Bài 3 : Cho hàm số y= 1 2 + +− x mxx Đònh m để hàm số có cực trò và 2 giá trò cực trò cùng dấu. Bài 4: Cho hàm số y= ( ) ( ) 131 23 −+−−+ xmxmx .CMR đồ thò hàm số lu6n có cực đại và cực tiểu.Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trò của hàm số . Ch ủ đề III :TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NH NHẤT CA HM SỐ . Phương pháp giải: *Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên miền xác đònh hay một khoảng : -Tìm tập xác đònh . 8 -Tính y’, tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đó hàm số liên tục , tính giá trò của hàm số tại các điểm đó. -Lập bảng biến thiên căn cứ bảng biến thiên ⇒ GTLN, GTNN. *Giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]: -Tính y’, tìm các điểm thuộc [a;b] tại đó đạo hàm bằng khơng hoặc khơng xác định nhưng tại đó hàm số liên tục. Giả sử các điểm đó là x 1 , x 2 ,…, x n - Tính các giá trò f(a), f(x 1 ), f(x 2 ),…., f(x n ) , f(b) GTLN là số lớn nhất trong các giá trò vừa tìm được, GTNN là giá trò nhỏ nhất trong các số vừa tìm được. Ví dụ a)Tìm giá trò lớn nhất & giá trò nhỏ nhất của hàm số y= 2 2x x− . b)Tìm giá trò lớn nhất & giá trò nhỏ nhất của hàm số b/ y = x xx 1 2 ++ trên [ 1 2 ;2 ] Giải : a)Txđ : D =[0;2] y / = 2 1 2 x x x − − cho y / =0 ⇔ 1-x=0 ⇔ x=1 ⇒ y=1 Bảng biến thiên x 0 1 2 y / + 0 - y 1 0 CĐ 0 max ( ) (1) 1f x f= = , min ( ) (0) (2) 0f x f f= = = b) y / = 2 2 1x x − cho y / =0 ⇔ x 2 -1=0 ⇔ 1 1 ;2 2 1 1 ;2 2 x x = ∈ = − ∉ Ta có y( 1 ) 2 = 7 2 ; y(1)=3 ; y(2)= 7 2 1 [ ;2] 2 min ( )f x = f( 1 ) 2 =f(2)= 7 2 ; 1 ;2 2 max ( ) (1) 3f x f = = Bài tập đề nghò: Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất,giá trò nhỏ nhất của các hàm số : a) y= x 2 + 2 x (x > 0) b) y = 3 3 2x x− + trên [ ] 10,10− c) y = 5 4x− trên đoạn [ ] 1,1− d) y= x 4 - 4x 2 + 2 trên đoạn [-2;2] Chủ đề IV: Phương trình, bất phương trình mũ loga 1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit : • Dạng cơ bản: f (x) a = g(x) a ⇔ f(x) = g(x) v(x) u = 1 ⇔ ( u −1 ).v(x) = 0 ( trong đó u có chứa biến ) f (x) a = b ( với b > 0 ) ⇔ f(x) = log a b 9 log a f(x) = log a g(x) ⇔ f (x) 0 g(x) 0 f (x) g(x) > > = dạng: log f (x) b a 0 a 1 = < ≠ ⇔ f(x) = b a log v(x) u(x) = b ⇔ [ ] v(x) 0 ; u(x) 0 ; u(x) 1 b v(x) u(x) > > ≠ = • Đặt ẩn phụ : α. 2f (x) a +β. f (x) a + γ = 0 ; Đặt : t = f (x) a Đk t > 0 α. f (x) a +β. f (x) b + γ = 0 ; ( với a.b=1) Đặt : t = f (x) a (Đk t > 0) ⇒ 1 t = f (x) b α. 2f (x) a +β. ( ) f (x) a.b + γ. 2f (x) b = 0 ; Đặt t = f (x) a b ÷ • Logarit hoá hai vế : 2/ Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit • Dạng cơ bản : 1 0 f (x) a > g(x) a ⇔ f (x) g(x) khi a 1 f (x) g(x) khi 0 a 1 > > < < < 2 0 f (x) a > b ⇔ Nếu b ≤ 0 có nghiệm ∀x Nếu b > 0 f(x) > log a b nếu a > 1 f(x) < log a b nếu 0 < a < 1 3 0 f (x) a < b ⇔ Nếu b ≤ 0 thì pt vô nghiệm Nếu b > 0 ; f(x) < log a b nếu a > 1 f(x) > log a b nếu 0 < a < 1 •log a f(x) > log a g(x) ⇔ Đk: f(x) > 0 ; g(x) > 0 ; 0 < a ≠ 1 (a−1)[ f(x) − g(x) ] > 0 •log a f(x) > b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > b a * Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < b a •log a f(x) < b ⇔ * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) < b a * Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > b a • ( ) v(x) u(x) > 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) > 0 • ( ) )( )( xv xu < 1 ⇔ u(x) > 0 và [ u(x) −1 ].v(x) < 0 Lưu ý: *) trong trường hợp có ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng thức sau để bài tốn trở nên dễ dang hơn. 1 0 f (x) a > g(x) a (a−1)(f(x) − g(x)) > 0. 2 0 log a f(x) > log a g(x) (a−1)(f(x) − g(x)) > 0. *) Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên. *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số. Bài tập đề nghò: Phương trình mũ: Dạng 1. Đưa về cùng cơ số Bài 17 : Giải các phương trình sau a) 4 3 2 4 x− = b) 2 5 6 2 2 16 2 x x− − = c) 2 2 3 3 5 3 9 x x x− + − = 10 hoặc [...]... tích phân sau: a/ π 4 π 2 π 2 b/ sin 2 xdx ∫ sin 3x.cos x.dx c/ cos3 xdx ∫ 0 π 2 d/ cos3 x sin 2 xdx ∫ 0 ∫ 0 0 Giải a/ π 4 π 4 1 1 cos 4 x cos 2 x π 1 2 + )0 = sin 3 x.cos x.dx = ∫ (sin 4 x + s in2 x )dx = − ( ∫ 2 2 4 2 2 0 0 π 2 π 2 0 0 π b/ sin 2 xdx = 1 − cos 2 x dx = 1 ( x − sin 2 x ) 2 = π 0 ∫ ∫ 2 2 2 π 2 π 2 π 2 0 0 4 0 c/I= cos3 xdx = cos2 x.cos x.dx = (1 − sin 2 x ).cos x.dx ∫ ∫ ∫ đặt u=sinx ⇒... đổi biến Ví dụ : β ∫ sin 2 n +1 α β β β xdx = ∫ sin x sin xdx = ∫ (1 − cos2 x )n sin xdx Đặt t =cosx 2n α α β n β 1 + cos 2 x ∫ cos xdx = α (cos x ) dx = α 2 dx ∫ ∫ α 2n 2 n β Dạng: ∫ R(sin x ).cos xdx β ∫ 2n 2 k +1 xdx Đặc biệt: sin x.cos α α Phương pháp giải: Đặt t =sinx β Dạng: ∫ R(cos x ).sin xdx α β 2 n +1 x.cos2 k xdx Đặc biệt: ∫ sin α Phương pháp giải: Đặt t =cosx Các trường hợp... cosx dx x=0 ⇒ u=0 ; x= π ⇒ u=1 2 1 2 vậy: I= ∫ (1 − u ).du = (u − 0 π 2 π 2 π 2 0 0 u3 1 2 ) = 3 0 3 0 d/J= cos3 x sin 2 xdx = cos2 x sin 2 x.cos x.dx = (1 − sin 2 x )sin 2 x.cos x.dx ∫ ∫ đặt u=sinx ⇒ du = cosx dx π ⇒ u=1 x=0 ⇒ u=0 ; x= 2 ∫ 1 1 0 0 2 2 2 4 J= ∫ (1 − u )u du = ∫ (u − u ).du = ( u3 u 5 1 2 − )0 = 3 5 15 Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau: 1/ π ∫ cos 0 4 x.dx π 2 2/ sin 3 x.cos3... hàm s đã cho B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm được C thay vào họ nguyên hàm ⇒ nguyên hàm cần tìm Ví dụ: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm s f(x)=1+ sin3x biết F( 1 π Ta có F(x)= x – cos3x + C Do F( ) = 0 ⇔ 3 6 1 Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x 3 Bài tập đề nghò: Giải π )= 0 6 π 1 π π - cos + C = 0 ⇔ C = - 6 3 2 6 π 6 1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm s f(x)=sin2x.cosx, biết... dx 2− x Dạng 6: Tính tích phân của một s hàm lượng giác thường gặp β β α α Dạng: ∫ sin ax.cos bxdx , ∫ sin ax.sin bxdx, Phương pháp giải: 17 β ∫ cos ax.cos bxdx α 1 3 Bài tập đề nghò: Tính các tích phân sau: 3 1/ ∫ x 1 − xdx 0 1 2 = 0 3 4 Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải β n Dạng: ∫ sin xdx; α β ∫ cos n xdx α Phương pháp giải: Nếu n chẵn... tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết quả Ví dụ: Tìm tích phân các hàm s sau: 3 a/ ∫ (x 3 π 4 2 4 − 3sin x )dx b/ ∫ ( cos2 x −π + 1)dx −1 c/ ∫ x − 1 dx −2 4 Giải 3 a/ 3 ∫ ( x + 1)dx = −1 3 3 −1 3 −1 3 ∫ x dx + ∫ 1dx = ( π 4 x4 81 1 + x ) = ( + 3) − ( − 1) = 24 4 4 4 −1 π π π 4 4 4 1 − 3sin x )dx = 4 ∫ dx − 3 ∫ sin xdx = (4tgx + 3 cos x ) 4π = b/ ∫ ( − cos2 x cos2 x −π −π −π... Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0 Ví dụ 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm s y = sinx trên đoạn [0;2 π ] và trục hoành Giải : Ta có :sinx = 0 có 1 nghiệm x= π ∈ ( 0;2π ) vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: 2π S= ∫ 0 π sin x dx = ∫ sin xdx + 0 2π ∫ sin xdx π 2π π = cos x 0 + cos x π =4 Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1):... diƠn s phøc z tháa m·n: a z + 3 = 1 3 + 5i d x+i x −i víi x lµ s thùc mµ ta b z + i = z − 2 − 3i C©u 2: T×m tËp hỵp nh÷ng ®iĨm M biĨu diƠn s phøc z tháa m·n: a z + 2i lµ s thùc b z - 2 + i lµ s thn ¶o c z.z = 9 d z − 3i z+i = 1 lµ s thùc c¨n bËc hai cđa S phøc ph¬ng tr×nh bËc hai D¹ng 1: tÝnh c¨n bËc hai cđa s Ví dụ : Tìm căn bậc hai của s phức z = − 4i Gọi x + iy là căn bậc hai của s phức... 3/ ∫ sin 4 x.cos 4 x.dx 0 III/ Diện tích hình phẳng: 18 π 2 4/ ∫ π 6 1 dx sin x 1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng Công thức: Cho hàm s y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) :y=f(x) và b các đường thẳng x= a; x=b; y= 0 là : S = ∫ f ( x ) dx a 2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và... d) f(x) = sin4x cosx x Giải a/ ∫ 1 1 x4 3 f ( x )dx = ∫ (x 3 - 3x + )dx = ∫ x 3 dx − 3∫ xdx + ∫ dx = − x 2 + ln x + c x x 4 2 2x 3x b/ ∫ f ( x )dx = ∫ (2 + 3 ) dx =∫ 2 dx + ∫ 3 dx = + +c ln 2 ln 3 (5 x + 3)6 5 5 d (5 x + 3) c/ ∫ f ( x )dx = ∫ (5x+ 3) dx =∫ (5x+ 3) = +c 5 30 x x x x 12 sin 5 x d/ ∫ f ( x )dx =∫ sin x cosxdx =∫ sin x d (sin x ) = +c 5 4 4 Dạng 2: Tìm nguyên hàm của một hàm s thoả điều . 2 0 sin xdx π ∫ c/ 2 3 0 cos xdx π ∫ d/ 2 3 2 0 cos sinx xdx π ∫ Giải a/ 4 0 sin3 .cos .x x dx π ∫ = π π + = − + = ∫ 4 2 0 0 1 1 cos 4 cos2 1 (sin 4 s 2. cos2 1 sin2 sin ( ) 2 2 2 4 x x xdx dx x c/I= 2 3 0 cos xdx π ∫ = π π = − ∫ ∫ 2 2 2 2 0 0 cos .cos . (1 sin ).cos .x x dx x x dx đặt u=sinx ⇒ du = cosx