Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/toihoctoan
1 | P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n A. TÓM TẮT KIẾN THỨC: 1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ;a b é ù ê ú ë û . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a é ù = = - ê ú ë û ò (Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: • Tính chất 1 : Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0 a a f x dx = ò • Tính chất 2 : ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= - ò ò • Tính chất 3 : Nếu f(x) = c không đổi trên ;a b é ù ê ú ë û thì: ( ) b a cdx c b a= - ò • Tính chất 4 : Nếu f(x) liên tục trên ;a b é ù ê ú ë û và ( ) 0f x ³ thì ( ) 0 b a f x dx ³ ò • Tính chất 5 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên ;a b é ù ê ú ë û và ( ) ( ) x a;bf x g x é ù "³ Î ê ú ë û thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx³ ò ò • Tính chất 6 : Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên ;a b é ù ê ú ë û thì ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx é ù ± = ± ê ú ë û ò ò ò • Tính chất 7 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên ;a b é ù ê ú ë û và k là một hằng số thì . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx= ò ò • Tính chất 8 : Nếu hàm số f(x) liên tục trên ;a b é ù ê ú ë û và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ò ò ò • Tính chất 9 : Tích phân của hàm số trên ;a b é ù ê ú ë û cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : ( ) ( ) ( ) . b b b a a a f x dx f t dt f u du= = = ò ò ò II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: 1) DẠNG 1:Tính I = ' [ ( )]. ( ) b a f u x u x dx ò bằng cách đặt t = u(x) CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II. TÍCH PHÂN II. TÍCH PHÂN 2 | P a g e T r u n g K i ờ n Cụng thc i bin s dng 1: ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a f u x u x dx f t dt ộ ự = ờ ỳ ở ỷ ũ ũ Cỏch thc hin: Bc 1: t ' ( ) ( )t u x dt u x dx= =ị Bc 2: i cn : ( ) ( ) x b t u b x a t u a = = ị = = Bc 3: Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a I f u x u x dx f t dt ộ ự = = ờ ỳ ở ỷ ũ ũ (tip tc tớnh tớch phõn mi) VD1 : Tớnh tớch phõn 2 ln e e dx I x x = ũ . Gii : t ln dx t x dt x = =ị i cn: 2 1 2 x e t x e t = =ị = =ị ; 2 2 1 1 ln ln 2 dt I t t = = =ị ũ . Vy ln 2I = . 2) DNG 2: Tớnh I = ( ) b a f x dx ũ bng cỏch t x = ( )t j Cụng thc i bin s dng 2: ( ) ( ) '( ) b a I f x dx f t t dt b a f f ộ ự = = ờ ỳ ở ỷ ũ ũ Cỏch thc hin: Bc 1: t ' ( ) ( )x t dx t dt f f = =ị Bc 2: i cn : x b t x a t b a = = ị = = Bc 3: Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c ( ) ( ) '( ) b a I f x dx f t t dt b a f f ộ ự = = ờ ỳ ở ỷ ũ ũ (tip tc tớnh tớch phõn mi) Phng phap: Vi 2 2 a x- , t sin , ; 2 2 x a t t p p ộ ự ờ ỳ = -ẻ ờ ỳ ở ỷ hoc cos , 0;x a t t p ộ ự = ẻ ờ ỳ ở ỷ . Vi 2 2 a x+ , t t an , ; 2 2 x a t t p p ổ ử ữ ỗ ữ = -ẻ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ hoc ( ) , 0;x acott t p = ẻ . 3 | P a g e T r u n g K i ờ n Vi 2 2 x a- , t { } , ; \ 0 sin 2 2 a x t t p p ộ ự ờ ỳ = -ẻ ờ ỳ ở ỷ hoc ; cos a x t = 0; \ 2 t p p ỡ ỹ ù ù ù ù ộ ự ẻ ớ ý ờ ỳ ở ỷ ù ù ù ù ợ ỵ . VD1. Tớnh tớch phõn 1 2 2 0 1 1 I dx x = - ũ . Gii t sin , ; cos 2 2 x t t dx tdt p p ộ ự ờ ỳ = - =ẻ ị ờ ỳ ở ỷ ; i cn : 1 0 0, 2 6 x t x t p = = = =ị ị 6 6 2 0 0 cos cos cos 1 sin t t I dt dt t t p p = =ị - ũ ũ 6 6 0 0 0 6 6 dt t p p p p = = = - = ũ . Vy 6 I p = . VD2. Tớnh tớch phõn 2 2 0 4I x dx= - ũ . Hng dn: t 2 sinx t= . S: I p = . VD3. Tớnh tớch phõn 1 2 0 1 dx I x = + ũ . Gii: t 2 tan , ; (tan 1) 2 2 x t t dx x dt p p ổ ử ữ ỗ ữ = - = +ẻ ị ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ i cn: 0 0, 1 4 x t x t p = = = =ị ị 4 4 2 2 0 0 t an 1 4 1 t an t I dt dt t p p p + = = =ị + ũ ũ . Vy 4 I p = . II. TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TCH PHN TNG PHN: Cụng thc tớch phõn tng phn: ( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( ) b b b a a a u x v x dx u x v x v x u x dx ộ ự = - ờ ỳ ở ỷ ũ ũ Hay: . b b b a a a udv u v vdu ộ ự = - ờ ỳ ở ỷ ũ ũ Cỏch thc hin: Bc 1: t ( ) '( ) '( ) ( ) u u x du u x dx dv v x dx v v x = = ị = = Bc 2: Thay vo cụng thc tớch phõn tng tng phn : . b b b a a a udv u v vdu ộ ự = - ờ ỳ ở ỷ ũ ũ 4 | P a g e T r u n g K i ờ n Bc 3: Tớnh . b a u v ộ ự ờ ỳ ở ỷ v b a vdu ũ VD1: Tớnh cỏc tớch phõn sau: a) 2 ln 5 1 x dx x ũ Gii: t ln 1 1 5 4 4 dx u x du x dv dx v x x ỡ ù ỡ ù ù = = ù ù ù ù ù ù ị ớ ớ ù ù = ù ù = - ù ù ù ợ ù ù ợ Do ú: 2 2 2 2 ln ln 1 ln 2 1 1 15 4 ln 2 5 5 4 4 4 64 4 256 4 4 1 1 1 1 x x dx dx x x x x ổ ử - ữ ỗ ữ = - + = - + - = ỗ ũ ũ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . b) 2 cos 0 x xdx p ũ Gii: t cos sin u x du dx dv xdx v x ỡ ỡ ù ù = = ù ù ị ớ ớ ù ù = = ù ù ợ ợ Do o ( ) 2 2 cos sin sin cos 1 2 2 2 2 0 0 0 0 x xdx x x xdx x p p p p p p = - = + = - ũ ũ . B. CC DNG BI TP: VN 1: Tớnh tớch phõn cỏc hm s cú cha giỏ tr tuyt i Phng phỏp gii toỏn 1. Dng 1: Gi s cn tớnh tớch phõn ( ) b a I f x dx= ũ , ta thc hin cỏc bc sau Bc 1. Lp bng xột du (BXD) ca hm s f(x) trờn on [a; b], gi s f(x) cú BXD: x a 1 x 2 x b ( )f x + 0 - 0 + Bc 2. Tớnh 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x b b a a x x I f x dx f x dx f x dx f x dx= = - + ũ ũ ũ ũ . Vớ d 1. Tớnh tớch phõn 2 2 3 3 2I x x dx - = - + ũ . Gii Bng xột du x 3- 1 2 2 3 2x x- + + 0 - 0 ( ) ( ) 1 2 2 2 3 1 59 3 2 3 2 2 I x x dx x x dx - = - + - - + = ũ ũ . Vy 59 2 I = . 5 | P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n Ví dụ 2. Tính tích phân 2 2 0 5 4 cos 4 sinI x xdx p = - - ò . ĐS: 2 3 2 6 I p = - - . 2. Dạng 2 Giả sử cần tính tích phân ( ) ( ) b a I f x g x dx é ù = ± ê ú ë û ò , ta thực hiện Cách 1. Tách ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a I f x g x dx f x dx g x dx é ù = ± = ± ê ú ë û ò ò ò rồi sử dụng dạng 1 ở trên. Cách 2. Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]. Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x). Ví dụ 3. Tính tích phân ( ) 2 1 1I x x dx - = - - ò . Giải Cách 1. ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1I x x dx x dx x dx - - - = - - = - - ò ò ò 0 2 1 2 1 0 1 1 ( 1) ( 1)xdx xdx x dx x dx - - = - + + - - - ò ò ò ò 1 2 0 2 2 2 2 2 1 0 1 1 0 2 2 2 2 x x x x x x - - æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = - + + - - - = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Cách 2. Bảng xét dấu x –1 0 1 2 x – 0 + + x – 1 – – 0 + ( ) ( ) ( ) 0 1 2 1 0 1 1 1 1I x x dx x x dx x x dx - = - + - + + - + - + ò ò ò ( ) 1 0 2 2 1 1 0 0x x x x - = - + - + = . Vậy 0I = . VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ PHƯƠNG PHÁP: f(x) là hàm hữu tỉ: ( ) ( ) ( ) P x f x Q x = – Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định). Chẳng hạn: 1 ( )( ) A B x a x b x a x b = + - - - - 6 | P a g e T r u n g K i ờ n 2 2 2 1 , 4 0 ( )( ) A Bx C vụựi b ac x m x m ax bx c ax bx c + = + = - <D - - + + + + 2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) A B C D x a x b x a x b x a x b = + + + - - - - - - V D MINH HOA: 1. 2 2 2 1 7x 12 x I dx x = - + ũ 2 1 16 9 1 4 3 I dx x x ổ ử ữ ỗ ữ = + - ỗ ữ ỗ ố ứ - - ũ = ( ) 2 1 16 ln 4 9 ln 3x x x+ - - - = 1 25 ln 2 16 ln 3+ - . 2. 1 3 0 ( 1) xdx I x = + ũ Ta cú: 3 3 2 3 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x + - = = - + + + + 1 2 3 0 1 1 1 8 ( 1) ( 1) I dx x x ộ ự ờ ỳ = - =ị ờ ỳ + + ở ỷ ũ 3. 1 2 2 0 5 ( 4) x I dx x = + ũ t 2 4t x= + 1 8 I = 4. 2 2 3 1 1 x I dx x x - = + ũ Ta cú: 2 2 1 1 1 x 1 x I d x x - = + ũ . t 1 t x x = + 4 ln 5 I = 5. 1 7 2 5 0 (1 ) x I dx x = + ũ t 2 1 2t x dt xdx= + =ị 2 3 5 5 1 1 ( 1) 1 1 . 2 4 2 t I dt t - = = ũ 6. 2 7 7 1 1 (1 ) x I dx x x - = + ũ 2 7 6 7 7 1 (1 ). .(1 ) x x I dx x x - = + ũ . t 7 t x= 128 1 1 1 7 (1 ) t I dt t t - = + ũ 2 2001 2 1002 1 x .dx (1 x ) I = + ũ 2 2 2004 3 2 1002 1002 1 1 3 2 1 . . (1 ) 1 1 x I dx dx x x x x = = + ổ ử ữ ỗ ữ + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ũ ũ . t 2 3 1 2 1 t dt dx x x = + = -ị . Cỏch 2: Ta cú: 1 2000 2 2000 2 2 0 1 .2 2 (1 ) (1 ) x xdx I x x = + + ũ . t 2 1 2t x dt xdx= + =ị 1000 2 2 1000 1000 2 1001 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 2 2 2002.2 t I dt d t t t t ổ ử ổ ử - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ = = - - = ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ũ ũ 7 | P a g e T r u n g K i ờ n BI TP THI: Tớnh cỏc tớch phõn sau: 1. . 1 0 2 1 1 x I dx x = + (C2010) 2. 1 3 4 2 0 3 2 x dx x x + + (B_12) ; 3 ln3 ln 2 2 I = 3. ( ) 2 1 2 0 1 x 1 x I d x + = + (D_13); 1 ln 2I = + VN 3: Tớnh tớch phõn cỏc hm s vụ t PHNG PHP: f(x) l hm vụ t + f(x) = , m ax b R x cx d ổ ử + ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + t m ax b t cx d + = + + f(x) = 1 ( )( ) R x a x b ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ + + ố ứ t t x a x b= + + + V D: 1. 2 3 9 1 x I dx x x = + - ũ 2 2 2 2 (3 9 1) 3 9 1 3 9 1 x I dx x x x dx x dx x x dx x x = = - - = - - + - ũ ũ ũ ũ + 2 3 1 1 3I x dx x C= = + ũ + 2 2 9 1I x x dx= - ũ 3 2 2 2 2 2 1 1 9 1 (9 1) (9 1) 18 27 x d x x C= - - = - + ũ 3 2 3 2 1 (9 1) 27 I x x C= - + + 2. 1 3 2 0 1 xI x x d= - ũ t: 2 1t x= - . 2 2 1 2 2t x tdt xdx= - = -ị ( ) 1 2 4 0 2 15 I t t dt= - = ũ 3. 1 2 0 2 ( 1) 1 x dx I x x = + + ũ t 2 1 1 2t x t x tdt dx= + = + =ị ị 2 2 2 2 2 2 3 3 1 1 1 ( 1) 1 1 16 11 2 .2 2 2 2 3 3 t t I tdt t dt t t t t ổ ử ổ ử - - ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ = = - = - - =ị ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ũ ũ 4. 1 2 2 0 1 2 1x x dx- - ũ t sinx t= 6 0 3 1 (cos sin ) cos 12 8 8 I t t tdt p p = - = + - ũ 5. 1 2 6 0 4 x dx I x = - ũ t 3 2 3t x dt x dx= =ị 1 2 0 1 3 4 dt I t = - ũ . t 2 sin , 0; 2 cos 2 t u u dt udu p ộ ự ờ ỳ = =ẻị ờ ỳ ở ỷ 6 0 1 3 18 I dt p p = = ũ . 8 | P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n BÀI TẬP THI: Tính các tích phân sau: 1. 7 3 0 2 1 x I dx x + = + ò (DB2-A05) ĐS: 231 10 2. 10 5 2 1 dx I x x = - - ò (DB1-B06) ĐS: 2 ln 2 1+ 3. 9 3 . 1 1 x xdx- ò (CD06) 4. 1 2 0 2 xI x x d = − ∫ (B_13); 2 2 1 3 I − = 5. 4 0 4 1 2 1 2 x dx x − + + ∫ (D_11); 34 3 10ln 3 5 I = + 6. 2 3 2 5 4 dx x x + ∫ (ĐH_A_03); 1 5 ln 4 3 I = 7. 2 1 1 1 x dx x+ − ∫ (ĐH_A_04); 11 4ln 2 3 I = − VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số lượng giác VÍ DỤ MINH HỌA: Baøi 1. 3 2 0 sin t anI x xdx p = ò • Ta có: 3 3 2 2 0 0 sin (1 cos ) sin sin . cos cos x x x I x dx dx x x p p - = = ò ò . Đặt cost x= ⇒ 1 2 2 1 1 3 ln 2 8 u I du u - = - = - ò Baøi 2. 2 0 sin 2 .cos 1 cos x x I dx x p = + ò • Ta có: 2 2 0 sin . cos 2 1 cos x x I dx x p = + ò . Đặt 1 cost x= + ⇒ 2 2 1 ( 1) 2 2 ln 2 1 t I dt t - = = - ò Baøi 3. 2 3 2 0 (cos 1) cos .I x x dx p = - ò • A = ( ) 2 2 2 5 2 0 0 cos 1 sin (sin )xdx x d x p p = - ò ò = 8 15 B = 2 2 2 0 0 1 cos . (1 cos 2 ). 2 x dx x dx p p = + ò ò = 4 p Vậy I = 8 15 – 4 p . CÁC BÀI TOÁN THI 1. ( ) 2 3 2 0 os 1 osc x c xdx π − ∫ (A_09); 8 15 4 I π = − 2. 2 2 2 0 sin 2 cos 4 sin x I dx x x p = + ò ( ĐH-KA-2006) 3. 2 0 sin 2 sinx 1+3cosx x I dx π + = ∫ (A_05); 34 27 I = 4. 2 0 sin 2 . cos 1 cos x x I dx x p = + ò (KB-2005); 2ln 2 1I = − 9 | P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n 5. 4 2 0 cos x dx x p ò (CĐ06) 6. ( ) 2 3 0 cos 1I x dx π = − ∫ (A2009) 7. 4 0 sin( ) 4 sin 2 2(1 sinx+cosx) x I dx x π π − = + + ∫ (B08); 4 3 2 4 I − = 8. / 2 2 2 0 sin 2 cos 4sin x I dx x x π = + ∫ (A2006); 2 3 I = 9. 46 0 tan cos2 x I dx x π = ∫ (A2008); ( ) 1 10 ln 2 3 2 9 3 I = + − 10. / 2 sin 0 ( cos )cos x I e x x dx π = + ∫ (D05); 1 4 I e π = + − 11. ( ) 4 0 1 sin 2x x dx π + ∫ (D_12) ; 2 1 32 4 I π = + 12. 2 0 sin 2 sinx 1+3cosx x dx π + ∫ (A_05); 34 27 I = 13. 2 4 0 1 2sin 1 sin 2 x dx x π − + ∫ (ĐH_B_03); 1 ln 2 2 I = 14. ( ) 4 0 sin 1 osx xsinx+cosx x x x c dx π + + ∫ (A_11); 2 ln 1 4 2 4 I π π = + + ÷ ÷ ÷ 15. 3 2 0 1 sin os x x dx c x π + ∫ (B_11) ; ( ) 2 3 ln 2 3 3 I π = + + − VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit VD1: 1 1 x ( ln x) e x x xe J d x e + = + ò • 1 1 ( ln x) 1 ln ln x ln ln x e x e e x x d e e J e e e + + = = + = + ò VD2: 2 ln . ln ex e e dx I x x = ò • 2 2 (ln ) ln (1 ln ) ln (1 ln ) e e e e dx d x I x x x x x = = + + ò ò = 2 1 1 (ln ) ln 1 ln e e d x x x æ ö ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ ç + è ø ò = 2ln2 – ln3 VD3: 1 ( 2) ln (1 ln ) e x x x I dx x x + - = + ò • 1 1 ln x 2 (1 ln ) e e x d dx x x - + ò ò = 1 ln 1 2 (1 ln ) e x e dx x x - - + ò Tính J = 1 ln (1 ln ) e x dx x x+ ò . Đặt 1 ln xt = + ⇒ 2 1 1 1 ln 2 t J dt t - = = - ò . 10 | P a g e Đ ỗ T r u n g K i ê n VD4: 3 3 1 ln 1 ln e x I dx x x = + ò • Đặt 2 1 ln 1 ln 2 dx t x x t tdt x = + + = =Þ Þ và 3 2 3 ln ( 1)x t= - ⇒ 2 2 2 2 3 6 4 2 5 3 1 1 1 ( 1) 3 3 1 1 = ( 3 3 ) t t t t I dt dt t t t dt t t t - - + - = = - + - ò ò ò 15 ln 2 4 = - VD5: I = dx 2 2 1 ln( 1)x x + ò • Đặt 2 1 2 ln( 1) 2 1 3 1 ln( 1) 3 ln 2 ln 3 1 1 ( 1) 2 dx u x du dx x I x dx x x x dv v x x ì ï ì ï ï = + = ï ï ï ï ï ï + = - + + = -Û Þ í í ï ï + = ï ï = - ï ï ï î ï ï î ò CÁC BÀI TOÁN THI: 1. 3 2 1 3 ln ( 1) x I dx x + = + ò (B-2009) 2. 1 2 0 ( 2) . x x e dx- ò (D06); 2 5 3e 4 I − = 3. ( ) 2 s inx 0 ox osxdxe c c p + ò (D05) 4. . 1 3 ln ln 1 e x x dx x + ò (B04); 116 135 I = 5. 3 2 ln 1 e I x xdx x = − ∫ ÷ (D2010); 2 1 2 e I = − 6. 3 2 1 3 ln ( 1) x I dx x + = + ∫ (B2009); 1 27 3 ln 4 16 I = + ÷ 7. 2 1 ln (2 ln ) e x I dx x x = + ∫ (B2010); 1 3 ln 3 2 I = − + 8. 3 1 1 1 x I dx e = − ∫ (D2009); ( ) 2 ln 1 2I e e = + + − 9. 2 3 0 ln x I dx x = ∫ (D2008); 3 2ln2 16 I − = 10. 3 2 1 .ln e I x xdx = ∫ (D2007); 4 5 1 32 e I − = 11. ln5 ln3 2 3 x x dx I e e − = + − ∫ (B2006); 3 ln 2 I = 12. ( ) 3 2 2 ln x x dx− ∫ (D_04); 3ln3 2I = − 13. ( ) 3 2 1 1 ln 1x dx x + + ∫ (A+A1_12); 2 2 ln3 ln 2 3 3 I = + − 14. 2 2 2 1 1 ln xdx x I x − = ∫ (A_13); 5 3 ln 2 2 2 I = − 15. 1 2 2 0 2 1 2 x x x x e x e dx e + + + ∫ (A_10) ; 1 1 1 2 ln 3 2 3 e I + = + . Gii: t 2 tan , ; (tan 1) 2 2 x t t dx x dt p p ổ ử ữ ỗ ữ = - = +ẻ ị ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ i cn: 0 0, 1 4 x t x t p = = = =ị ị 4 4 2 2 0 0 t an 1 4 1 t an t I dt. 2: i cn : ( ) ( ) x b t u b x a t u a = = ị = = Bc 3: Chuyn tớch phõn ó cho sang tớch phõn theo bin t ta c ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a I f u