Tài liệu ôn thì vào lớp 10.
Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải toán cách lập phương trình CHUN ĐỀ: GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A) TĨM TẮT LÝ THUYẾT Bước 1: Lập phương trình hệ ohương trình: a) Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn b) Biểu diễn đại lượng chưa biết thông qua ẩn địa lượng biết c) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Đối chiếu nghiệm pt, hệ phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời Chú ý: Tuỳ tập cụ thể mà ta lập phương trình bậc ẩn, hệ phương trình hay phương trình bậc hai Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung toán kiến thức thực tế B) CÁC DẠNG TỐN Dạng 1: Tốn quan hệ số Nững kiến thức cần nhớ: + Biểu diễn số có hai chữ số : ab 10a b ( víi 0 Thời gian xe máy để gặp ô tô 80 (giờ) y Quảng đường ô tô 100 km nên thời gian ô tô ta có phương trình 100 (giờ) y 100 80 (1) x y Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải toán cách lập phương trình Quảng đường xe máy 60 km nên thời gian xe máy Quảng đường ô tô lag 120 km nên thời gian ô tô Vì tơ trước xe máy 54 phút = 60 (giờ) y 120 (giờ) y nên ta có phương trình 10 120 60 (2) x y 10 100 80 100 80 x y x y 0 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 120 60 40 20 x x y 10 y 10 100 80 60 12 x y 0 x 50 x 10 (thoả mÃn điều kiện) y 40 160 80 12 100 80 x x y y 10 Vậy vận tốc ô tô 50 km/h Vận tốc xe máy 40 km/h Ví dụ 3: Một tơ quảng đường dai 520 km Khi 240 km tơ tăng vận tốc thêm 10 km/h hết quảng đường cịn lại Tính vận tốc ban đầu ô tô biết thời gian hết quảng đường Giải: Gọi vận tốc ban đầu ô tô x (km/h), đk: x>0 Vận tốc lúc sau ô tô x+10 (km/h) 240 (giờ) x 280 Thời gian ô tô hết quảng đường đầu (giờ) x 10 Thời gian tơ hết quảng đường đầu Vì thời gian ô tô hết quảng đường nên ta có phương trình 240 280 x 55x 300 x x 10 b 4ac (55)2 4.(300) 4225 4225 65 55 65 55 65 Phương trình có hai nghiệm x1 60(TMDK);x 5(loai) 2 Vậy vận tốc ban đầu ô tô 60 km/h Bài tập: Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải tốn cách lập phương trình Một tơ khởi hành từ A với vận tốc 50 km/h Qua 15 phút ô tô thứ hai khởi hành từ A hướng với ô tô thứ với vận tốc 40 km/h Hỏi sau tơ gặp nhau, điểm gặp cách A km? Một ca nơ xi dịng 50 km ngược dòng 30 km Biết thời gian xi dịng lâu thời gian ngược dịng 30 phút vận tốc xi dịng lớn vận tốc ngược dịng km/h Tính vận tốc lúc xi dịng? Hai tơ khởi hành lúc từ A đến B cách 150 km Biết vận tốc ô tô thứ lớn vận tốc ô tô thứ hai 10 km/h ô tô thứ đến B trước ô tô thứ hai 30 phút Tính vânl tốc ô tô Một thuyền dòng sông dài 50 km Tổng thời gian xi dịng ngược dịng 10 phút Tính vận tốc thực thuyền biết bè thả phải 10 xi hết dịng sơng Một người xe đạp từ A đến B cách 108 km Cùng lúc tơ khởi hành từ B đến A với vận tốc vận tốc xe đạp 18 km/h Sau hai xe gặp xe đạp phải tới B Tính vận tốc xe? Một ca nơ xi dịng từ A đến B cách 100 km Cùng lúc bè nứa trơi tự từ A đến B Ca nơ đến B quay lại A ngay, thời gian xi dịng ngược dịng hết 15 Trên đường ca nơ ngược A gặp bè nứa điểm cách A 50 km Tìm vận tốc riêng ca nơ vận tốc dịng nước? Đáp án: (giê) 20 km/h Vận tốc ô tô thứ 60 km/h Vận tốc ô tô thứ hai 50 km/h 25 km/h Vận tốc ca nô 15 km/h Vận tốc dòng nước km/h Dạng 3: Tốn làm chung cơng việc Những kiến thức cần nhớ: - Nếu đội làm xong công việc x ngày đội làm cơng việc x - Xem tồn cơng việc Ví dụ 1: Hai người thợ làm cơng việc 16 xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm hồn thành 25% cơng việc Hỏi làm riêng người hồn thành cơng việc bao lâu? Giải: Ta có 25%= Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải tốn cách lập phương trình Gọi thời gian người thứ hồn thành cơng việc x(x > 0; giờ) Gọi thời gian người thứ hai hồn thành cơng việc y(y > 0; giờ) Trong người thứ làm Trong người thứ hai làm công việc x cơng việc y Hai người làm xong 16 Vậy hai người làm Ta có phương trình: 1 (1) x y 16 Người thứ làm giờ, người thứ hai làm 25%= phương trình cơng việc 16 cơng việc Ta có (2) x y 1 1 3 3 1 1 x y 16 x y 16 x y 16 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 3 3 3 x y x y y 16 x 24 (thoả mÃn điều kiện) y 48 Vậy làm riêng người thứ hồn thành cơng việc 24 Người thứ hai hồn thành cơng việc 48 Ví dụ 2: Hai thợ đào mương sau 2giờ 55 phút xong việc Nếu họ làm riêng đội hồn thành cơng việc nhanh đội Hỏi làm riêng đội phải làm xong cơng việc? Giải : Gọi thời gian đội làm xong công việc x (x > 0; giờ) Gọi thời gian đội làm xong cơng việc x + (giờ) c«ng viƯc x Mỗi đội làm c«ng viƯc x2 11 35 Vì hai đội sau 55 phút = (giờ) xong 12 12 12 Trong hai đội làm công việc 35 1 12 Theo ta có phương trình 35x 70 35 12x 24x x x 35 12x 46x 70 6x 23x 35 Mỗi đội làm Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang Ôn thi vào 10 Chun đề giải tốn cách lập phương trình Ta có (23)2 4.6.(35) 529 840 1369 1369 37 23 37 23 37 Vậy phương trình cã hai nghiÖm x1 5(thoa m·n); x 2(lo¹i) 12 12 Vậy đội thứ hồn thành cơng việc Đội hai hồn thành cơng việc Chú ý: + Nếu có hai đối tượng làm công việc biết thời gian đại lượng hơn, đại lượng ta nên chọn ẩn đưa phương trình bậc hai + Nếu thời gian hai đại lượng không phụ thuộc vào ta nên chọn hai ẩn làm thời gian hai đội đưa dạng hệ phương trình để giải Ví dụ 3: Hai người thợ sơn cửa cho nhà ngày xong việc Nếu người thứ làm ngày nghỉ người thứ hai làm tiếp ngày xong việc Hỏi người làm xong cơng việc? Giải: Gọi thời gian để người thứ hồn thành công việc x (x>2; ngày) Gọi thời gian để người thứ hai hồn thành cơng việc y (x>2; ngày) Trong ngày người thứ làm Trong ngày người thứ hai làm công việc x công việc y Cả hai người làm xong ngày nên ngày hai người làm ta có pt công việc Từ 1 + = (1) x y Người thứ làm ngày người thứ hai làm ngày xong cơng việc ta có pt: (2) x y 1 1 1 1 x y x x y Từ (1) (2) ta có h pt (thoả mÃn đk) y 4 3 x y x Vậy người thứ làm xong cơng việc ngày Người thứ hai làm xong cơng việc ngày Bài tâp: Hai người thợ làm công việc xong 18 Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm 1/3 cơng việc Hỏi người làm xong cơng việc? Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải tốn cách lập phương trình Để hồn thành cơng việc hai tổ phải làm Sau làm chung tổ hai điều làm việc khác Tổ hoàn thành cơng việc cịn lại 10 Hỏi tổ làm riêng thhì xong cơng việc đó? Hai đội cơng nhân đào mương Nếu họ làm ngày xong cơng việc Nếu làm riêng đội haihồn thành công việc nhanh đội ngày Hỏi làm riêng đội phải làm ngày để xong cơng việc? Hai bình rỗng giống có dung tích 375 lít ậ binmhf có vịi nước chảy vào dung lượng nước chảy Người ta mở cho hai vịi chảy vào bình sau khố vịi thứ hai lại sau 45 phút tiếp tục mở lại Để hai bình đầy lúc người ta phải tăng dung lượng vịi thứ hai thêm 25 lít/giờ Tính xem vịi thứ chảy lít nước Kết quả: 1) Người thứ làm 54 Người thứ hai làm 27 2) Tổ thứ làm 10 Tổ thứ hai làm 15 3) Đội thứ làm ngày Đội thứ hai làm ngày 4) Mỗi vịi thứ chảy 75 lít Dạng 4: Tốn có nội dung hình học: Kiến thức cần nhớ: - Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y chiều dài) - Diện tích tam giác S x.y ( x chiều cao, y cạnh đáy tương ứng) - Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c cạnh huyền; a,b cạnh góc vng) - Số đường chéo đa giác n(n 3) (n số đỉnh) Ví dụ 1: Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2 , biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Giải: Gọi kích thước hình chữ nhật x y (cm; x, y > 0) Diện tích hình chữ nhật lúc đầu x.y (cm2) Theo ta có pt x.y = 40 (1) Khi tăng chiều thêm cm diện tích hình chữ nhật Theo ta có pt (x + 3)(y + 3) – xy = 48 3x + 3y + = 48 x + y = 13(2) Từ (1) (2) suy x y nghiệm pt X2 – 13 X + 40 = Ta có (13)2 4.40 Phương trình có hai nghiệm X1 13 13 8;X 5 2 Vậy kích thước hình chữ nhật (cm) (cm) Ví dụ 2: Cạnh huyền tam giác vuông m Hai cạnh góc vng 1m Tính cạnh góc vng tam giác? Giải: Học thêm tốn – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải toán cách lập phương trình Gọi cạnh góc vng thứ x (m) (5 > x > 0) Cạnh góc vng thứ hai x + (m) Vì cạnh huyền 5m nên theo định lý pi – ta – go ta có phương trình x2 + (x + 1)2 = 52 2x 2x 24 x x 12 12 4.(12) 49 Ph¬ng tr×nh co hai nghiƯm phan biƯt 1 1 x1 (tho¶ m·n); x2 4(lo¹i) 2 Vậy kích thước cạnh góc vuông tam giác vuông m m Bài tâp : Bài 1: Một hình chữ nhật có đường chéo 13 m, chiều dài chiều rộng m Tính diện tích hình chữ nhật đó? Bài 2: Một ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m Tính diện tích ruộng biết chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lần chu vi ruộng khơng thay đổi Bài 3: Một đa giác lồi có tất 35 đường chéo Hỏi đa giác có đỉnh? Bài 4: Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2 Tính cạnh đáy sân biết tăng cạnh đáy m giảm chiều cao tương ứng m diện tích khơng đổi? Bài 5: Một miếng đất hình thang cân có chiều cao 35 m hai đáy 30 m 50 m người ta làm hai đoạn đường có chiều rộng Các tim đừng đường trung bình hình thang đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đáy Tính chiều rộng đoạn đường biết diện tích phần làm đường diện tích hình thang Đáp số: Bài 1: Diện tích hình chữ nhật 60 m2 Bài 2: Diện tích hình chữ nhật 3750 m2 Bài 3: Đa giác có 10 đỉnh Bài 4: Cạnh đày tam giác 36 m Bài 5: Chiều rộng đoạn đường m Dạng 5: Toán dân số, lãi suất, tăng trưởng Những kiến thức cần nhớ : + x% = x 100 + Dân số tỉnh A năm ngoái a, tỷ lệ gia tăng dân số x% dân số năm tỉnh A a a x 100 Sè d©n năm sau (a+a x x x ) (a+a ) 100 100 100 Ví dụ 1: Bài 42 – SGK tr 58 Gọi lãi suất cho vay x (%),đk: x > Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải toán cách lập phương trình Tiền lãi suất sau năm 2000000 x 20000 (đồng) 100 Sau năm vốn lẫn lãi 200000 + 20000 x (đồng) Riêng tiền lãi năm thứ hai (2000000 20000 x) x 20000 x 200 x (®ång) 100 Số tiến sau hai năm Bác Thời phải trả 2000000 +20000x + 20000x + 200x2 (đồng) 200x2 + 40000x +2000000 (đồng) Theo ta có phương trình 200x2 + 40 000x + 2000000 = 2420000 x2 + 200x – 2100 = Giải phương trình ta x1 = 10 (thoả mãn); x2 = -210 (không thoả mãn) Vậy lãi suất cho vay 10 % năm Ví dụ 2: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức kế hoạch 18% tổ II vượt mức 21% Vì thời gian quy định họ hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ Giải Gọi x số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (sản phẩm), đk < x < 600 Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch 600 – x (sản phẩm) 18 (sản phẩm) 100 21 Số sản phẩm vượt mức tổ II (600 x ) (sản phẩm) 100 Số sản phẩm vượt mức tổ I x Vì số sản phẩm vượt mức kế hoạch hai tổ 120 sản phẩm ta có pt 18x 21(600 x ) 120 x = 20 (thoả mãn yêu cầu toán) 100 100 Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ I 200 (sản phẩm) Vậy số sản phẩm theo kế hoạch tổ II 400 (sản phẩm) Bài tập: Bài 1: Dân số thành phố Hà Nội sau năm tăng từ 200000 lên 2048288 người Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng phần trăm Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng ngân hàng để làm kinh tế Trong năm đầu bác chưa trả nên số tiền lãi năm đầu chuyển thành vốn để tính lãi năm sau Sau năm bác An phải trả 11 881 000 đồng Hỏi lãi suất cho vay phần trăm năm? Bài 3: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 1000 sản phẩm thời gian dự định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức kế hoạch 15% tổ hai vượt mức 17% Vì thời gian quy định hai tổ sản xuất tất 1162 sản phẩm Hỏi số sản phẩm tổ bao nhiêu? Kết quả: Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Học thêm tốn – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang 10 Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải toán cách lập phương trình Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm Bài 3: Tổ I giao 400 sản phẩm Tổ II giao 600 sản phẩm Dạng 6: Các dạng toán khác Những kiến thức cần nhớ : m (V lµ thĨ tich dung dich; m khối lượng; D khối lượng riêng) D Khối lỵng chÊt tan - Khối lượng nồng độ dung dịch = Khối lượng dung môi (m tổng) - V Vớ dụ : (Bài trang 59 SGK) Gọi trọng lượng nước dung dịch trước đổ thêm nước x (g) đk x > Nồng độ muối dung dịch 40 % x 40 Nếu đổ thêm 200g nước vào dung dịch trọng lượng dung dịch là: 40 % x 240 Vì nồng độ giảm 10% nên ta có phương trình 40 40 10 x 280x 70400 x 40 x 240 100 Giải pt ta x1 = -440 ( loại); x2 = 160 (thoả mãn đk toán) Vậy trước đổ thêm nước dung dịch có 160 g nước Ví dụ 2: Người ta trộn 8g chất lỏng với 6g chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ 0,2g/cm3 để hỗn hợp có khối lượng riêng 0,7g/cm3 Tìm khối lượng riêng chất lỏng Giải Gọi khối lượng riêng chất lỏng thứ x (g/cm3) Đk x > 0,2 Khối lượng riêng chất lỏng thứ x – 0,2 (g/cm3) (cm3 ) x (cm3 ) Thể tích chất lỏng thứ hai x 0, (cm3 ) Thể tích hỗn hợp x x 0, Thể tích chất lỏng thứ Theo ta có pt 14 14x 12, 6x 1,12 Giải pt ta kết x x 0, 0, x1 = 0,1 (loại) ; x2 = 0,8 (t/m đk) Vậy khối lượng riêng chất lỏng thứ 0,8 (g/cm3) Khối lượng riêng chất lỏng thứ hai 0,6 (g/cm3) Bài tập: Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang 11 Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải tốn cách lập phương trình Bài 1: Một phịng họp có 240 ghế xếp thành dãy có số ghế Nếu dãy bớt ghế phải xếp thêm 20 dãy hết số ghế Hỏi phòng họp lúc đầu xếp thành dãy ghế Bài 2: Hai giá sách có 400 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ hai 30 số sách giá thứ số sách ngăn thứ hai Tính số sách ban đầu ngăn? Bài 3: Người ta trồng 35 dừa đất hình chữ nhật có chiều dài 30 m chiều rộng 20 m thành hàng song song cách theo hai chiều Hàng trồng biên đất Hãy tính khoảng cách hai hàng liên tiếp? Bài 4: Hai người nông dân mang 100 trứng chợ bán Số trứng hai người không số tiền thu hai người lại Một người nói với người kia: “ Nếu số trứng số trứng anh tơi bán 15 đồng ” Người nói “ Nếu số trứng tơi số trứmg anh bán đồng thơi” Hỏi người có trứng? Bài 5: Một hợp kim gồm đồng kẽm có gam kẽm Nếu thêm 15 gam kẽm vào hợp kim hợp kim mà lượng đồng giảm so với lúc đầu 30% Tìm khối lượng ban đầu hợp kim? Kết quả: Bài 1: Có 60 dãy ghế Bài 2: Giá thứ có 180 Giá thứ hai có 220 Bài 3: Khoảng cách hai hàng 5m Bài 4: Người thứ có 40 Người thứ hai có 60 Bài 5: 25 gam 10 gam Lưu ý: Từ dạng 4-6,là dạng giải phương trình bậc hai (chưa học) nên cần thử đặt ẩn dạng hệ phương trình thử xem Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang 12 ... – ĐT: 0968 64 65 97 Trang Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải tốn cách lập phương trình Bài 2: Hai số 15 36 Bài 3: Số 61 Bài 4: Hai số 10 15 -1 0 -1 5; Bài 5: Số 32 Dạng 2: Toán chuyển động Những kiến... đường ô tô 100 km nên thời gian tơ ta có phương trình 100 (giờ) y 100 80 (1) x y Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang Ôn thi vào 10 Chuyên đề giải tốn cách lập phương trình Quảng... Kết quả: Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2% Học thêm toán – Thầy Huy – ĐT: 0968 64 65 97 Trang 10 Ôn thi vào 10 Chun đề giải tốn cách lập phương trình Bài 2: Lãi suất cho vay 9% năm Bài 3: Tổ