tài liệu ôn thi tích phân toàn tập

Đối với các bạn học sinh chuẩn bị ôn thi tốt nghiệp hay đại học thì không thể bỏ qua các dạng toán tích phân. Tài liệu này giúp các bạn học sinh hệ thống lại các dạng toán tích phân toàn tập đầy đủ các dạng bài tập về toán tích phân.

Thầy Nhân sdt: 01696904010 fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) Bài tập : Tích phân TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu I  x2 dx x2  7x  12  16   I   1  dx =  x  16ln x   9ln x   = 1 25ln2  16ln3  x  x  3 2 Câu I  dx x5  x3 1 x    x x3 x2  x3( x2  1)  Ta có:  2 1 3  I   ln x   ln( x2  1)   ln2  ln5  2 2x  1 Câu I  Câu I  3x2  x  2x  5x  dx 13 14  I   ln  ln  ln2 3 15 xdx ( x  1)3 x x  1 1   ( x  1)2  ( x  1)3  I   ( x  1)2  ( x  1)3 dx   Ta có: 3 ( x  1) ( x  1) Dạng 2: Đổi biến số Câu I  Câu I  ( x  1)2 (2x  1)4 dx  7x  199 101  2x  1  7x    I     2x   99  x 1   Ta có: f ( x)     2x   I  5x (x Câu I   4) x7 (1  x2 )5 99  7x   1  7x     d    2x  12  2x    2x   dx 100 Câu  x    x 1    I    C  2x    2x   dx 1  7x       100  2x    100   2  1 900 dx  Đặt t  x2   I  dx  Đặt t   x2  dt  2xdx  I  Trang 1 (t  1)3 1 dt   t5 25 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Câu I   x5(1  x3)6dx  Đặt t   x3  dt  3x2dx  dx  Câu 10 I   x( x4  1) 2 x(1  x7 )  11  t t8  t (1  t ) dt      30   168 1 t    t  t  dt  ln   32 dt  I  Đặt t  x  I   10 t(t  1)2 x ( x  1)  x7 Câu 12 I   Câu 13 I  x.( x10  1)2 3x2 I   Đặt t  x2  I  dx dx Câu 11 I   dt  I  dx x4.dx (1  x7 ).x6 x7.(1  x7 ) dx Đặt t  x7  I  128  t dt 1 t(1  t ) dx x (1  x2 )  Đặt : x   I  t 3  t6 dt  t2   117  41     t  t    dt = 135 12 t     x2001 Câu 14 I   1002 (1  x ) 2 x2004  I  dx 1002 x (1  x ) Cách 2: Ta có: I  dx   1002 3  x   1 x  1000  x2 1 x  Ta có: 1 x  x4 x2   dt   x3 dx 11 x2000.2xdx Đặt t   x2  dt  2xdx  2000 2 (1  x ) (1  x ) (t  1)1000  1  I   1000 dt      21 t 1 t  t Câu 15 I   dx Đặt t   1 d 1    t  2002.21001 dx 1  x2 Đặt t  x   dt     dx  2 x x   x  x 2   1  t   dt  ln  ln  I      2 t  2    t  2 1 t  t   dt 1 Trang Thầy Nhân sdt: 01696904010 Câu 16 I    x2 1 x4 fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) Bài tập : Tích phân dx 1  dt 1 Đặt t  x   dt     dx  I     x 2 x t  x 1 x   x  x du 5 Đặt t  tan u  dt  ; tan u   u1  arctan2; tan u   u2  arctan 2 cos u 1 x  Ta có: 2 u  2 2  I du  (u2  u1)   arctan  arctan2   u 2   Câu 17 I   1 x x x Câu 18 I   1 x dx Đặt t  x   I  ln  Ta có: I   x x x x4  x6  dx dx x4  ( x4  x2  1)  x2 x4  x2  x2 x2       Ta có: x 1 x6  ( x2  1)( x4  x2  1) x6  x2  x6  1 d( x3)     I   dx   dx    (x )  4 x 1 Câu 19 3 x2  I x4  I 3  x ( x  1)( x  1) 2 xdx Câu 20 I   0x Câu 21 I  dx  x 1 1  x2  x 1 x  x 1 2  1      dx  ln(2  3)  12  x  x  1  Đặt t  x2  I  x  x2  1  Ta có: dx  3  1 dt 11  0 t  t  0  I  0t dt 1  1    t      2   dx 1  x2  x2 x2 Đặt t  x  1  1  dt     dx x x2    dt Đặt t  tan u  dt  du cos u  I   du  Trang    Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VƠ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x Câu 22 I   dx 3x  9x2  x  I  dx   x(3x  9x2  1)dx   3x2dx   x 9x2  1dx 3x  9x  + I   3x dx  x  C1 1 + I   x 9x  1dx   9x2  d(9x2  1)  (9x2  1)  C2 18 27 (9x2  1)  x3  C 27 x2  x Câu 23 I   dx 1 x x  I   x2  x 1 x x x2 dx   1 x x x dx   1 x x dx x2 dx Đặt t= 1 x x  t   x x  x3  (t  1)2  x2dx  t(t  1)dt 1 x x + I1     4 4 =  x x   x x  C1 ( t  1) dt  t  t  C 3 9 d(1  x x) x dx =  + I2   =  x x  C2 3 1 x x 1 x x  Vậy: I   1 x x 2x  Câu 24 I   1 2x   C dx dx Câu 25 I   2x   4x  1 Câu 26 I   x3  x2 dx  Đặt t  2x  I = Câu 27 I   t2  1 t dt 2  ln2  Đặt t  4x  I  ln  12  Đặt: t   x2  I    t  t  dt  0 1 x 1 15 dx x  t t  11  Đặt t  x  dx  2t.dt I = 2 dt = 2  t  t    4ln2 dt = t 1 1 t   0 3 Câu 28 I   x3 dx x   x  Trang Thầy Nhân sdt: 01696904010 fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) 2 2t  8t Bài tập : Tích phân dt   (2t  6)dt  6 dt  3  6ln t 1 t  3t  1  Đặt t  x   2tdu  dx  I    x Câu 29 I  x  1dx 1  t7 t4   Đặt t  x   t  x   dx  3t dt  I   3(t  1)dt  3     28  0 3 x2  Câu 30 I   x 3x  1 dx  t2  1   1 4  2tdt 2tdt  Đặt t  3x   dx   I   3 t 1 t 4 2  t 1 100   t  t   ln   ln 9 t  27 2 Câu 31 I   2x2  x  x 1  Đặt  24 dt ( t  1) dt    92 t 1 dx x   t  x  t   dx  2tdt 2(t  1)2  (t  1)   I  2tdt t 1  4t  54  2 (2t  3t )dt    2t    1 x2dx Câu 32 I  2 ( x  1) x 1  Đặt t  x   t  x   2tdt  dx I   (t  1)2 t3 Câu 33 I   2tdt 2  x 1 1   2x  2  t3  1 1 16  11 t  dt    2t      t 1  t 3 dx t  2t  Đặt t    2x  dt   dx  (t  1)dt x   2x dx Ta có: I = (t  2t  2)(t  1) t  3t  4t  4 2 dt  dt  t    dt     22 22 2 t t2  t2 t2 = Câu 34 I    t2 2   3t  4ln t   = 2ln2   t  x 1 dx x 1 Trang Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com    x    I   dx =  x2   ln x  x2      x2   3 x 1 8 =  ln   2  ln   3 Câu 35 I   ( x  1)3 2x  x2 dx  I   ( x  1) 2x  x dx   ( x2  2x  1) 2x  x2 ( x  1)dx Đặt t  2x  x2  I   0 Câu 36 I   2x3  3x2  x x2  x   I  ( x2  x)(2x  1) x2  x  Câu 37 I   15 dx dx Đặt t  x2  x   I   (t  1)dt  x3dx  x2  Đặt t   x2  x2  t   2xdx  3t 2dt  I   3 (t  4t )dt     43   23 2  Câu 38 I  dx  11  x   x2 1 11   x   x2  x2 dx   dx dx     1 dx    Ta có: I   2 1 x  2x 2x 1 (1  x)  (1  x ) 1 1 + I1  + I2  1  x   x2 11  1   1 dx  ln x  x |1  1 x   1  x2 dx Đặt t   x2  t   x2  2tdt  2xdx  I2= 2x  t 2dt 2 2(t  1) 0 Vậy: I  Cách 2: Đặt t  x  x2  Câu 39 I   Câu 40 I   1 3 x x    x2 dx x  Ta có: I    x2 I=  dx x4  3 1  Ta có: I     1 dx Đặt t    I  x  x 1 x t (tdt )  t2 x xdx Đặt t =  x2  t   x2  tdt   xdx  t 2    dt   (1  )dt   t  ln  2 t2  t  t   3 t2 Trang  2   =    ln    3   Thầy Nhân sdt: 01696904010 Câu 41 I   27 x 2  x x x ( x2  1) x2  Câu 42 I  fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) x2  x  dx  Đặt t  x  x  x   I  1 1 2dt  ln(2t  1) 2t   x2 Câu 44 I   (1  4 t3  2  x )2(2   x )2  ln 3 3 dx  42 36   Đặt  1 x  t  I    2t  16    dt  12  42ln t t2  3 x2 Câu 45 I   2( x  1)  x   x x   Đặt t  x   I   2t(t  1)2 dt t(t  1)2 Câu 46 I  2  x  x3  2011x x4  Ta có: I  2  M 2 N  2011  x3  I dx 2 2  2 (t  1)2 dt  (t  1)3  3 dx 1 2 2011 x2 dx   dx  M  N x x3 1 x x3 2  dx Đặt t  dx  2  x2 1  M   2  2011 2011x dx      x2  3   t 3dt   14077 16 14077 21  16 128 dx Câu 47 I   (1  x3 )  x3 3  Đặt t   x  I   15 ln   2  5 2t  dt   1    dt  5   ln     12 t t  t  1  t (t  1)  Câu 43 I   3t dt dx  Đặt t  x  I    Đặt t  x2   I   dx Bài tập : Tích phân  t2 t (t  1) 3 dt  dt  t (t Trang  1) 213 128 Bài tập Tích phân  dt    t t       t  Câu 48 I  t3 2   du  dt    Đặt u   Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com 3dt t4  3  t 1   t  1  t  t4 1   1  u  I    du  dt 2 3 u du  3  1  u3 2    3     0 1  u3  x4 dx  1  x  x  x 1    Đặt t  x2   I  (t  1)2 t2  dt =  t  2t  t2  2 3 2t dt   t 2dt   2 dt  19  4   ln      Dạng 2: Đổi biến số dạng 1   x ln  x    dx  1 x  0 Câu 49 I    1 x  Tính H   1 x 1 x dx Đặt    x  cost; t   0;   H    2 u  ln(1  x)  Tính K   2x ln(1  x)dx Đặt   K  dv  2xdx Câu 50 I   (x  x2 )  x2 dx 2 I=  (x  x )  x dx = 2 x  x dx + 2 x  x2 dx = A + B 2 x  x2 dx Đặt t   x Tính được: A = x  x2 dx Đặt x  2sin t Tính được: B = 2 2 + Tính B = 2 + Tính A = 2 Vậy: I  2 Trang Thầy Nhân sdt: 01696904010 3  Câu 51 I   Bài tập : Tích phân   x2 dx 2x  Ta có: I   2x + Tính I =  2x + Tính I   4  x2 dx   2x4  x2 2x4 dx 4 x dx   21 16 dx = dx Đặt x  2sin t  dx  2costdt   I2  fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)   cos tdt 12    cot t dt   cot t.d(cot t )        sin t 8 8  sin t  2 Vậy: I  1  3 16 x2dx  x6 Câu 52 I   6  Đặt t  x3  dt  3x2dx  I  1 dt 0  t    16  Đặt t  2sin u, u   0;   dt  2cosudu  I   dt   2 30 18  Câu 53 I   2 x dx x2 Câu 54 I   x2dx  x  x2  Ta có: I   x2dx 22  ( x  1)2 Đặt x   2cost 2   I   2 Câu 55  t  Đặt x  2cost  dx  2sin tdt  I   sin2 dt    (1  2cost ) 2sin t  (2cost )2 dt =    4cost  2cos2t  dt =    3 4 2   2x  x2 dx  Đặt x  sin t  I   (cost  sin t ) costdt  0 Trang  12   8 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Dạng 3: Tích phân phần Câu 56 I   x2  1dx  x u  x2  du  dx  Đặt   x  dv  dx v  x   I  x x2  5 2   I   x x2  1dx  x x2  dx   dx  x 1 2   x 1   2    dx x     I  ln x  x2   ln   1  ln2  2;3   1;1 cost TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Chú ý: Không dùng phép đổi biến x  Dạng 1: Biến đổi lượng giác 8cos2 x  sin2x  dx sin x  cos x (sin x  cos x)2  4cos2x  I  dx    sin x  cos x  4(sin x  cos x dx sin x  cos x  3cosx  5sin x  C cot x  tan x  2tan2x Câu 58 I   dx sin4x 2cot 2x  2tan2x 2cot 4x cos4x dx   dx  2 dx   C  Ta có: I   sin4x sin4x 2sin4x sin 4x Câu 57 I     cos2  x   8  Câu 59 I   dx sin2x  cos2x     cos 2x     dx  Ta có: I   2  sin  2x       4    cos 2x        dx     dx     2   sin  2x             sin  x    cos x      4  8       Trang 10 Thầy Nhân sdt: 01696904010 fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) Bài tập : Tích phân tdt 1  ln5 I     (1  )dt  (t  ln t  1) 19  31 t 1 t 1 3 Câu 132 I  16 ln  ln 3e x  4dx 2tdt t2   dx   Đặt: t  3e   e  t2  x I   x 2t t 4 2 Tính I  dt   dt   dt t 4  4 3  1  8I , với I   dt t 4    Đặt: t  2tan u, u    ;   dt  2(1  tan2 u)du t2   2 dt    I1  1    2du      24    Vậy: I  4(  1)   Câu 133 I  ln3 ex (e  1)  x dx  Đặt t  e   t  e   2tdt  e dx  dx  x x x 2tdt x e Câu 134 I  ln5 I 2 tdt t3  1 2x e  dx e 1 x ln2  t3  20  Đặt t  e   t  e   dx   I  2 (t  1)d    t   x  1 e x Câu 135 I  ln2  x 2tdt 2 ex  1dx  Đặt t  ex   t  ex   2tdt  exdx  dx  2td ex  2td t2  1   4 dt  2   dt  2 t  1 t 1 0 I  2t 2 2x  2 x 14 x Câu 136 I    4 x  dx  Đặt t  2x  2 x  4x  4 x   (2x  2 x )2   I  Câu 137 I  x dx 0 9x  3.6x  2.4x Trang 27 81 ln ln 25 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com x  3   dx    Ta có: I   0 3 2x x  3  3    2  2    x  3 dt ln15  ln14 Đăt t    I    ln3  ln2 t  3t  ln3  ln2  2   3x2 ln x  dx   x  ln x e ln x Câu 138 I    e  I  e ln x x  ln x dx  3 x2 ln xdx = 2(2  2) 2e3   2  2e3 + = 3 3 e ln x  ln2 x dx x Câu 139 I    Đặt t   ln2 x  dt  Câu 140 I  e2 I e  e Câu 141 I  e dx d(ln x) =  x ln x(1  ln x) e ln x(1  ln x) ln6  e2x  6e dx 5 log32 x dx x ln4 e e Câu 142 I   x x  3ln2 x  34  24  dx x ln x.ln ex  e 13 2ln x dx  I   tdt  22 x log32 x e e2  1    ln x   ln x d(ln x) = 2ln2 – ln3 e   Đặt t  ex I   9ln3  4ln2  ln x   ln2    e e ln2 x ln xdx 2 x x  3ln x x  3ln x 1  3ln x dx Đặt  3ln2 x  t  ln2 x  (t  1)  ln x  tdt x  I  dx   dx   ln3 1  Suy I  t t  3 9ln   27ln3 e x  ( x  2) ln x dx x(1  ln x) Câu 143 I   e ln x ln x dx = e   2 dx x(1  ln x) x(1  ln x) 1 e e   dx  2 t 1 ln x Đặt  dx J  t   ln x  x(1  ln x)  t dt  1 ln2 1 e Tính J = Vậy: I  e  2ln2 Câu 144 I  e3 2x ln2 x  x ln x2  dx 2 x (1  ln x ) e Trang 28 Thầy Nhân sdt: 01696904010 e3 fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) Bài tập : Tích phân e dx   ln xdx  3ln2  4e3  2e2  I  3 x(1  ln x) e2 e2 Câu 145 I  e2 ln2 x  ln x2  dx x2  2 t  2t  t 1 1t 1 t 1 dx dt   dt    dt   dt  I  I  Đặt : t  ln x  dt   I  0 t t t x e e e et   tdt dt  dt dt  + I    0 t  0 t     tet  0 t  0 t   e  e e  e  e  2 tdt dt dt dt + I2     tet     tet   t t t t 1 e e2 e e e e 2(e  1) Vậy : I  e2 ln( x   1) dx Câu 146 I   x 1 x 1  Đặt t  ln  x   1  2dt  e Câu 147 I  dx x  1 x  ln2 ln x dx x  ln x   Đặt t  1 ln x  1 ln x  t  (t  1)3  I  dt = t Câu 148 I  ln3  I   dt  ln2  ln2 e  e  2ln x x  2ln x dx  2tdt ln3 x  (t  1)3 x t  3t  3t  1 15 dt   (t  3t  3t  )dt   ln2  t t 1 dx ln x  ln2 x dx Câu 149 I   x xe x  1 x(e x  ln x) dx  Đặt t  1 2ln x  I  e  (2  t )dt =  Đặt t   ln2 x  I   34  24  e Câu 150 I   Đặt t  ex  ln x  I  ln Trang 29 ee  e 5 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Dạng 2: Tích phân phần  Câu 151 I  e sinx sin2xdx  u  sin x du  cos xdx  I   esinx sin x cos xdx Đặt   sin x sin x dv  e cos xdx v  e   I  2sin xesin x 02  e sin x cos xdx  2e  2esin x 02 2 Câu 152 I   x ln( x2  x  1)dx  2x  du  dx u  ln( x2  x  1)   x  x 1  Đặt   dv  xdx v  x   x2 1 2x3  x2 I ln( x2  x  1)   dx 2 x  x 1 3 11 1 2x  31 dx  ln3   ln3   (2x  1)dx   dx   2 12 20 x  x 1 x  x 1 Câu 153 I   ln x x 1 dx u  ln x  dx 8 x 1  du    dx    I  x  1.ln x  x  x dx  6ln8  4ln3  2J  x  v  x   Đặt  dv  + Tính J   3 3  x 1 t t 1  dx Đặt t  x   J   2tdt  2 dt       dt 2 x t  t  t  t    2 Trang 30 Thầy Nhân sdt: 01696904010 fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) Bài tập : Tích phân  t 1    2t  ln    ln3  ln2 t 1   Từ I  20ln2  6ln3  e x  x ln x  x e dx x Câu 154 I   e e e x e dx x  I   xexdx   ln xexdx   1 e e e x e e 1 e x e e dx  ee  dx x x 1 +Tính I   ex ln xdx  ex ln x   e + Tính I   xexdx  xex   exdx  ee(e  1) e x e dx = ee1 x Vậy: I  I  I     ln2 x  dx   x  ln x e  ln x Câu 155 I    e ln x 1x e  ln x  Tính I   dx Đặt t  1 ln x  I  2  3 + Tính I   ln2 xdx Lấy tích phân phần lần I  e  2 Vậy I  e   3 ln( x  1) dx Câu 156 I   x3  2x u  ln( x2  1) du  ln( x2  1) 2 dx   x   Đặt  Do I =    dx 2 dv  x  v   x( x  1) x   2x2  ln2 ln5 dx d( x2  1) ln2 ln5  x          dx  2 1 x 1 x2   x x2    2 ln2 ln5     ln | x |  ln | x2  1| = 2ln2  ln5  1 Câu 157 I =  ln( x  1) x2 dx  dx u  ln( x  1) du  x  1 dx  dx  Đặt    I   ln( x  1)    3ln2  ln3 dv  x ( x  1) x  v   1 x2  x   1 x   dx  1 x  Câu 158 I   x ln  Trang 31 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com    du  dx  1 x     1 x    2  (1  x)2  Đặt u  ln  x     I   x2 ln   x dx 2   2  x x    x     dv  xdx v  0      2  ln3 x ln3 ln3 1  dx    1  dx    ln  x 1  ( x  1)( x  1)  2   1 10 u  ln  x    Đặt  x   I  3ln3  ln2   dv  x2dx   1 Câu 159 I   x ln  x   dx x  2   x2 )  I  ln2     Đặt u  ln(1 dv  x dx Câu 160 I   x2.ln(1  x2 )dx ln x Câu 161 I   ( x  1) dx I   ln3  ln ln x  e x (e x  ln x) dx  ex e Câu 162 I  u  ln x   Đặt dv  dx   ( x  1)2   e e  Ta có: I   ln x.dx   e2x x 1e 1 dx  H  K e e  + H   ln2 x.dx Đặt: u  ln x  H  e   2ln x.dx  e  dv  dx 1 e e2x + K x 1e dx Đặt t  e    I  x 1 Vậy: I  ee –  ln ee 1 t 1 e dt  ee  e  ln t ee  e1  e ee  x 1x I  ( x   )e dx Câu 163 1 x 2  Ta có: I   e x x  x  dx    x   e x dx  H  K x 1 + Tính H theo phương pháp phần I1 = H  xe x x I e  Câu 164 I  ln( x   x)dx Trang 32  x 1x 52     x   e dx  e  K x 1 2 Thầy Nhân sdt: 01696904010  fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng)    Đặt u  ln x   x  I  x ln dv  dx  x   x 4  x x2  Bài tập : Tích phân dx  TP5: TÍCH PHÂN TỔ HỢP NHIỀU HÀM SỐ 1 Câu 165 I    x2ex  0 x   dx 1 x  4  I   x2ex dx   x 1 x dx 11 t 1 1 + Tính I   x e dx Đặt t  x  I   e dt  et  e  30 3 x3 + Tính I     dt  4     4 1 t x 1 dx Đặt t  x  I  4 x Vậy: I  e    3   x2 Câu 166 I   x  ex   x3  2 x2 1   dx    x2   I   xe dx + x dx 2 + Tính I   + Tính I   xexdx  e2 1   I2     cos2 t dt  ( cot t  t ) 2 = sin t t4 3  x2 x2   dx Đặt x  2sin t , t   0;   2  Vậy: I  e2   Câu 167 I   x 4 x   e2x   x2  x2 dx x3 4 x  I   xe2x dx   dx  I  I e2  + Tính I   xe dx  + Tính I    I 2x x3  x2 dx Đặt t   x2  I  3  e2 61 3 3 12 Trang 33 16 Bài tập Tích phân x2  Câu 168 I   ( x  1) exdx 2  Đặt t  x  1 dx  dt I   t  2t  t2  Câu 169 I  Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com    e2 2 et 1dt   1    et 1dt = e  1    e   e  t2 t  1  x2 1 x3.e dx  x2 2  Đặt t   x  dx  tdt  I   (t  1)e dt   t 2et dt  et 2 t 1  J  (e2  e)  2  2 t 2 + J   t e dt  t e   2te dt  4e  e   tet   et dt   4e2  e  2(tet  et )  1  1 1   2 t t Vậy: I  e2 x ln( x2  1)  x3 Câu 170 I   x2   Ta có: f ( x)  dx x ln( x2  1)  x( x2  1)  x  x ln( x2  1)  x x x 1 x 1 x 1 x 1 1  F( x)   f ( x)dx   ln( x2  1)d( x2  1)   xdx   d ln( x2  1) 2 2 = ln ( x  1)  x  ln( x2  1)  C 2  4  I   ln x  x2   3x3 Câu 171 I   x2    ln x  x2   3x3 x 9 + Tính I    x 9  I1  ln9  udu  ln3 + Tính I   Vậy I   dx    ln x  x2  x 9 dx Đặt ln  x  dx  34  x3 x 9  x2   u  du  dx  I  3I x 9 u2 ln9 ln2  ln2  ln3 x3 x 9 x2   v  dv  dx Đặt  I   (u2  9)du  ( dx ln x  x2  x x 9 dx, x2  v 9 u 44  9u)  3   ln x  x2   3x3 x2  ln2  ln2 dx  I  3I   44 e ( x3  1) ln x  2x2  dx  x ln x Câu 172 I   Trang 34 dx Thầy Nhân sdt: 01696904010 e fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) e e e  ln x  I   x2dx   dx  x ln x 1 x3 e3   +  x2dx  31 e + e e  ln x d(2  x ln x) e dx    x ln x   x ln x  ln  x ln x  ln 1 Câu 173 I  e3 x ln3 x  ln x Bài tập : Tích phân Vậy: I  e3  e  ln dx  Đặt t  1 ln x  1 ln x  t  (t  1)3 dt = t  I  dx  2tdt ln3 x  (t  1)3 x t  3t  3t  1 15 dt  (t  3t  3t  )dt   ln2   t t 1  Câu 174 I  x sin x dx x  cos u x    Đặt  sin x dv  dx  cos2 x    4 dx  cos xdx  cos x    sin2 x + I1     du  dx x 4 dx  dx  I       cos x   cos x cos x v   0 cos x  Đặt t  sin x  I  2  dt 1 t  2 ln 2  2  ln 2 ln(5  x)  x  x dx Câu 175 I   x2 Vậy:  ln(5  x)  Ta có: I   dx   x  x dx  K  H x2 1 4 + K ln(5  x) x2 u  ln(5  x)  dx  K  ln4 dx Đặt  dv   x2 + H=  x  x dx Đặt t   x  H  164 15 164 Vậy: I  ln4  15 Câu 176 I    x(2  x)  ln(4  x2 )  dx 2  Ta có: I   x(2  x)dx +  ln(4  x2 )dx = I  I 0 2 + I   x(2  x)dx    ( x  1)2 dx  0  (sử dụng đổi biến: x  1 sin t ) Trang 35 Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com 2 + I   ln(4  x )dx  x ln(4  x )  2 2 x2 dx (sử dụng tích phân phần) x2  6ln2    (đổi biến x  2tan t ) 4 Vậy: I  I  I  3   6ln2 ln x dx x 1 Câu 177 I   u  ln x  dx 8 x 1  du  dx    Đặt   I  x  1ln x  2 dx x dv  x   x  v  x  3  2t dt x 1   2 1  dx Đặt t  x   J   dt   ln3  ln2 2 x t  1 t 1 2 + Tính J    I  6ln8  4ln3  2(2  ln3  ln2)  20ln2  6ln3   x2 1 x3 ln xdx Câu 178 I  u  ln x  1   Ta có: I      ln xdx Đặt  1 dv  (  )dx x x    x3 x  2  1   1  63  I   ln x  ln x     ln x  dx =  ln2   ln2 x 64  4x    4x e x  x ln x  x e dx x Câu 179 I   e e 1 e x e dx  H  K  J x  Ta có: I   xexdx   ex ln xdx   e e e + H   xexdx  xex 1e  exdx  ee(e  1) e x e e e + K   e ln xdx  e ln x   dx  e  dx  ee  J x x 1 x x e e x Vậy: I  H  K  J  ee1  ee  ee  J  J  ee1  Câu 180 I  x cos x  sin3 x  dx   2cos x  Ta có     Đặt sin x  sin x   u  x du  dx   dv  cos x dx  v     sin3 x 2sin2 x     2 dx   1   (  )  cot x  =  I =  x +  2  sin x 2 2 sin x  4 Trang 36 Thầy Nhân sdt: 01696904010 fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) Bài tập : Tích phân  x sin x  cos3 xdx Câu 181 I     u  x du  dx 4 x dx     I      tan x    Đặt:  sin x  2 dv  dx v 2cos x cos x   cos3 x 2.cos2 x    ( x  sin x) 0  sin x dx Câu 182 I    x sin2 x dx    sin2x   sin2x dx  H  K 0  Ta có: I  u  x du  dx  dx x x  dv     dx   dx Đặt:  + H   v  tan  x    sin2x   2  0 2cos2 x   2cos  x   4    4       2   H    x   1 2  tan  x     ln cos x            + K  sin x cos2 x  dx K  Đặt  t   x   sin2x   sin2x dx 0 2    dx 2  tan  x     K    40  2cos2 x      4  Vậy, I  H  K    2K  Câu 183 I    x(cos3 x  cos x  sin x)   cos2 x dx     cos x(1  cos2 x)  sin x  x.sin x dx  J  K  Ta có: I   x   dx   x.cos x.dx   2    cos x  0  cos x      u  x + Tính J   x.cos x.dx Đặt   J  ( x.sin x)   sin x.dx   cos x  2 0 dv  cos xdx 0  + Tính K   x.sin x  cos x  K  dx Đặt x    t  dx  dt (  t ).sin(  t )   2K    cos (  t ) ( x    x).sin x  cos2 x  dt   (  t ).sin t  cos t  dx     dt   sin x.dx  cos x (  x).sin x  cos2 x K  Trang 37 dx   sin x.dx 0  cos2 x Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com Đặt t  cosx  dt   sin x.dx  K   dt ,  1 t đặt t  tan u  dt  (1  tan2 u)du 1  K       Vậy I  (1  tan u)du  tan2 u 2 Câu 184 I   x  ( x  sin x)sin x  Ta có: I   2 x sin2 x u    2 dx (1  sin x)sin x 2 dx   x sin x 2 dx   dx HK  sin x u  x   du  dx dv  dx  v   cot x  H    sin2 x  dx Đặt 2  Vậy I   dx   sin x   du  x(1  sin x)  sin2 x + K      2 2 2 (1  sin x)sin2 x 3 4 + H     2 dx dx  3  32   x 2  cos  x  2cos    2   2  32  Câu 185 I   x  sin2 x dx  cos2x    x  sin2 x x sin2 x dx   dx   dx  H  K  Ta có: I  03 0  cos2x 2cos2 x 2cos2 x  + H   x x dx   dx Đặt 2 cos2 x 2cos x u  x  du  dx dv  dx  v  tan x   cos2 x      1   H  x tan x   tan xdx    ln cos x 0  2  + K      ln2  1  dx   tan2 xdx   tan x  x     2 2 3 2cos2 x sin2 x Vậy: I  H  K  1      1  ln2       (  ln2) 2 3 2  Câu 186 I   x  1sin x  1.dx 2 1  Đặt t  x   I   t.sin t.2tdt   2t sin tdt   2x2 sin xdx Trang 38 Thầy Nhân sdt: 01696904010 fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) Bài tập : Tích phân 2 u  2x2 du  4xdx Đặt   I  2x cos x   4x cos xdx  dv  sin xdx v   cos x u  x du  4dx  Đặt  Từ suy kết dv  cos xdx v  sin x   sin x   cos x e dx Câu 187 I  x  I  x e dx sin x x  e dx 0  cos x 2x cos   2  x x 2sin cos sin x x 2 exdx  tan x exdx e dx   + Tính I    x  cos x 0 2cos2  u  ex   du  exdx   x 2 e dx    tan x exdx I  e + Tính I   Đặt dv  dx     2 x x 20   v  tan x cos2 2cos   2  Do đó: I  I  I  e2  Câu 188 I   cos x ex (1  sin2x) dx  cos x  (sin x  cos x)dx u du    x cos x   e ex  dx Đặt   I  02 x dx sin x e (sin x  cos x) dv  v    sin x  cos x (sin x  cos x)   I  cos x x e   2 sin x sin xdx   sin x  cos x 0 ex  sin xdx ex   u1  sin x du1  cos xdx 1 2 cos xdx 1    Đặt   I  sin x    dx  1 x x  dv  v  e e 1   0 ex ex   e2 u2  cos x du2   sin xdx   Đặt  dx   1  dv1  ex v1  ex   I  1  e2   cos x 1 ex   sin xdx ex  1    I  2I e2 Trang 39   e 1  I    cos xdx  e 2 ex  Bài tập Tích phân Trần Sĩ Tùng hoctoancapba.com  sin6 x  cos6 x  6x   Câu 189 I   dx    Đặt t   x  dt  dx  I    6t I  dt    6x  (6x  1) sin x  cos x 6 6x   dx  6x  dx    sin6 x  cos6 x    6t     2I  sin t  cos t (sin6 x  cos6 x)dx     5  5   cos4x dx  16   8 4 5 32   Câu 190 I   sin4 xdx 2 x     Ta có: I  sin xdx  2x    2x sin4 xdx  2x  x sin xdx 2x    sin xdx 1 x     2x  0 Đặt x  t  I    x sin xdx 1 x  I1  I 2t sin4(t )   2x sin4 xdx  6  I       + Tính I   x 6   sin4 xdx  2t  dt   sin4 t  6 (1  cos2x)2 dx  40 16 4  (3  4cos2x  cos4x)dx   80 64 e  cos(ln x)dx Câu 191 I   Đặt t  ln x  x  et  dx  et dt   I   et costdt =  (e  1) (dùng pp tích phân phần)  sin2 x sin x.cos3 xdx Câu 192 I   e 11 t  Đặt t  sin x  I   e (1  t )dt  e (dùng tích phân phần) 20 2 Trang 40 sin4 x  2t  1dt   2x  1dx    Thầy Nhân sdt: 01696904010 fb: Nhân Đào( Thầy giáo Làng) Bài tập : Tích phân  Câu 193 I   ln(1  tan x)dx   Đặt t  =     x  I   ln   tan   t  dt =       4 0  ln2  I     tan t   ln    tan t dt = 4  ln  tan t dt   ln2dt   ln(1  tan t )dt  2I    = t.ln2 04  I ln2  Câu 194 I   sin x ln(1  sin x)dx u  ln(1  sin x)  Đặt  dv  sin xdx   cos x   du   sin x dx v   cos x    I   cos x.ln(1  sin x)   cos x 0   cos x  sin x  dx    dx   (1  sin x)dx   1  sin x  sin x 0 2  Câu 195 I  tan x.ln(cos x) dx cos x   Đặt t  cos x  dt   sin xdx  I    ln t t dt    u  ln t du  t dt  Đặt    I   1 ln2 dv  dt 2   v t t  Trang 41 ln t t2 dt