tài liệu ôn thi đại học môn toán tham khảo bồi dưỡng thi Tích phân và ứng dụng tóm tắt sách giáo khoa

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C x α 1 1 x C α α + + + ()ax b α + a 1 1 () 1 ax b C α α + + + + 1 x ln x C+ 1 ax b + 1 ln ax b C a ++ x a ln x a C a + x e x eC+ ax b e + 1 ax b eC a + + sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos( )ax b C a −+ + cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin( )ax b C a ++ 2 1 cos x tgx + C 2 1 cos ( )ax b + 1 ()tg ax b C a ++ 2 1 sin x -cotgx + C 2 1 sin ( )ax b + 1 cot ( )gax b C a −+ + ' () () ux ux ln ( )ux C+ 22 1 x a − 1 ln 2 x a C axa − + + tgx ln cos x C−+ 22 1 x a+ 22 ln x xa C+++ cotgx ln sin x C+ Phương pháp 1: • Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản • Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1. 3 1 () cos 1 fx x x x =+ +− 2. 2 2x 5 f(x) x4x3 − = − + 83 Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 5 cos sin x xdx ∫ 2. cos tgx dx x ∫ 3. 1ln x dx x + ∫ I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ] ;ab . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: [] () () () () b b a a f xdx Fx Fb Fa==− ∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: • Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì : () 0 b a fxdx = ∫ • Tính chất 2: () () ba ab f xdx f xdx=− ∫∫ • Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên [ ] ;ab thì: () b a cdx c b a = − ∫ • Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;ab và () 0 f x ≥ thì () 0 b a fxdx≥ ∫ • Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;ab và [ ] () () x a;bfx gx≥∀∈ thì () () bb aa f xdx gxdx≥ ∫∫ • Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;ab và ( ) ( m,M là hai hằng số)mfx M ≤ ≤ thì () () () b a mb a f xdx Mb a − ≤≤ ∫ − • Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;ab thì [] () () () () bb aa b a f x gx dx f xdx gxdx±= ± ∫∫∫ • Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;ab và k là một hằng số thì .() . () bb aa kf xdx k f xdx= ∫∫ • Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;ab và c là một hằng số thì () () () bcb aac f xdx f xdx f xdx=+ ∫∫∫ • Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ] ;ab cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa là : ( ) ( ) ( ) bbb aaa f x dx f t dt f u du== ∫∫∫ = 84 Bài 1: Tính các tích phân sau: 85 1) 1 3 0 x dx (2x 1)+ ∫ 2) 1 0 x dx 2x 1+ ∫ 3) 1 0 x1 xdx− ∫ 4) 1 2 0 4x 11 dx x5x6 + ++ ∫ 5) 1 2 0 2x 5 dx x4x4 − −+ ∫ 6) 3 3 2 0 x dx x2x1++ ∫ 7) 6 66 0 (sin x cos x)dx π + ∫ 8) 3 2 0 4sin x dx 1cosx π + ∫ 9) 4 2 0 1sin2x dx cos x π + ∫ 10) 2 4 0 cos 2xdx π ∫ 11) 2 6 1sin2xcos2x dx sinx cosx π π ++ + ∫ 12) 1 x 0 1 dx e1+ ∫ . 13) dxxx )sin(cos 4 0 44 ∫ − π 14) ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x 15) ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x 16) ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x 17) ∫ −+ − 0 2 2 32 4 dx x x 18) ∫ + + − 1 1 2 52 x x dx Bài 2: 1) 3 2 3 x1dx − − ∫ 2) 4 2 1 x3x2dx − −+ ∫ 3) 5 3 (x 2 x 2)dx − +−− ∫ 4) 2 2 2 1 2 1 x2 x +− ∫ dx 5) 3 x 0 24dx− ∫ 6) 0 1 cos2xdx π + ∫ 7) 2 0 1sinxdx π + ∫ 8) dxxx ∫ − 2 0 2 Bài 3: 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B = π+ thỏa mãn đồng thời các điều kiện và ' f(1) 2= 2 0 f(x)dx 4 = ∫ 2) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức : 2 23 0 [a (4 4a)x 4x ]dx 12 + −+ = ∫ II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 1) DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x) b ' a f[u(x)].u (x)dx ∫ Công thức đổi biến số dạng 1: [] ∫ = ∫ )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxuf Cách thực hiện: Bước 1: Đặt t dxxudtxu )()( ' =⇒= Bước 2: Đổi cận : )( )( aut but ax bx = = ⇒ = = Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [] ∫ = b fI (tiếp tục tính tích phân mới) ∫ = )( )( )()('.)( bu aua dttfdxxuxu Tính các tích phân sau: 1) 2 32 0 cos xsin xdx π ∫ 2) 2 5 0 cos xdx π ∫ 3) 4 2 0 sin 4x dx 1cosx π + ∫ 4) 1 32 0 x1xdx− ∫ 5) 2 23 0 sin2x(1 sin x) dx π + ∫ 6) 4 4 0 1 dx cos x π ∫ 7) e 1 1lnx dx x + ∫ 8) 4 0 1 dx cosx π ∫ 9) e 2 1 1lnx dx x + ∫ 10) 11) 1 536 0 x(1 x)dx− ∫ 6 2 0 cosx dx 6 5sinx sin x π −+ ∫ 12) 3 4 0 tg x dx cos2x ∫ 13) 4 0 cos sin 3sin2 x x dx x π + + ∫ 14) ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x 15) ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx 16) ∫ + 2 0 2 )sin2( 2sin π dx x x 17) ∫ 3 4 2sin )ln( π π dx x tgx 18) ∫ − 4 0 8 )1( π dxxtg 19) ∫ + − 2 4 2sin1 cossin π π dx x xx 20) ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 21) ∫ + 2 0 cos1 cos2sin π dx x xx 22) ∫ + 2 0 sin cos)cos( π xdxxe x 23) ∫ −+ 2 1 11 dx x x 24) ∫ + e dx x xx 1 lnln31 25) ∫ + − 4 0 2 2sin1 sin21 π dx x x 2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x = b a f(x)dx ∫ (t) ϕ Công thức đổi biến số dạng 2: [] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dttdxtx )()( ' ϕϕ =⇒= Bước 2: Đổi cận : α β = = ⇒ = = t t ax bx Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được (tiếp tục tính tích phân mới) [] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Tính các tích phân sau: 1) 1 2 0 1xdx− ∫ 2) 1 2 0 1 dx 1x + ∫ 3) 1 2 0 1 dx 4x − ∫ 4) 1 2 0 1 dx xx1 −+ ∫ 5) 1 42 0 x dx xx1 ++ ∫ 6) 2 0 1 1cos sin dx x x π ++ ∫ 7) 2 2 2 2 0 x dx 1x− ∫ 8) 2 22 1 x4xdx− ∫ 86 9) 2 3 2 2 1 dx xx 1 − ∫ 10) 3 2 2 1 93x dx x + ∫ 11) 1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫ 12) 2 2 2 3 1 1 dx xx− ∫ 13) 2 0 cos 7cos2 x dx x π + ∫ 14) 1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫ 15) 2 0 cos 1cos x dx x π + ∫ 16) ∫ + + − 0 1 2 22 x x dx 17) ∫ ++ 1 0 311 x dx 18) ∫ − − 2 1 5 1 dx x xx II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính các tích phân sau: 1) 8 2 3 1 1 dx xx + ∫ 2) 7 3 32 0 1 x dx x+ ∫ 3) 3 52 0 1 x xdx+ ∫ 4) ln2 x 0 1 dx e2 + ∫ 5) 7 3 3 0 1 31 x dx x + + ∫ 6) 2 23 0 1 x xd+ ∫ x 7) ∫ + 32 5 2 4xx dx III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: [] ∫∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay: [] ∫∫ −= b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện: Bước 1: Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = = ⇒ = = Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [] ∫∫ −= b a b a b a vduvuudv . Bước 3: Tính [ và ] b a vu. ∫ b a vdu Tính các tích phân sau: 1) 2 5 1 lnx dx x ∫ 2) 2 2 0 xcos xdx π ∫ 3) 1 x 0 esinxdx ∫ 4) 2 0 sin xdx π ∫ 5) 6) e 2 1 xln xdx ∫ 3 2 0 xsinx dx cos x π + ∫ 87 7) 8) 2 0 xsinxcos xdx π ∫ 4 2 0 x(2cos x 1)dx π − ∫ 9) 2 2 1 ln(1 x) dx x + ∫ 10) 11) 12) 1 22x 0 (x 1) e dx+ ∫ e 2 1 (xlnx) dx ∫ 2 0 cosx.ln(1 cosx)dx π + ∫ 13) 2 1 ln (1) e e x dx x + ∫ 14) 1 2 0 x tg xdx ∫ 15) ∫ − 1 0 2 )2( dxex x 16) 17) ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx ∫ e dx x x 1 ln 18) ∫ + 2 0 3 sin)cos( π xdxxx 19) 20) ∫ ++ 2 0 )1ln()72( dxxx ∫ − 3 2 2 )ln( dxxx MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a f(x)dx 0 − = ∫ 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : aa a0 f(x)dx 2 f(x)dx − = ∫∫ Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì: a) 22 00 f(sinx)dx f(cosx)dx ππ = ∫∫ b) 00 xf(sinx)dx f(sinx)dx 2 ππ π = ∫∫ ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau: 88 1) n 2 + nn 0 cos x dx với n Z cos x sin x π ∈ + ∫ 2) 4 2 44 0 cos x dx cos x sin x π + ∫ 3) 6 2 66 0 sin x dx sin x cos x π + ∫ 4) 5) 5 0 xsin xdx π ∫ 2 2 2 4sin xcosx dx x π π − + − ∫ 6) 1 4 2 1 sin 1 x x dx x − + + ∫ 7) 2 0 xsinx dx 4cosx π − ∫ 8) 43 0 cos sin x xxd π ∫ x Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì + 0 () ( ) với R và a > 0 1 x fx dx f x dx a αα α α − =∈ + ∫∫ ; a1 ≠ ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau: 2) 1 2 1 1 12 x x dx − − + ∫ 3) 2 sin 31 x x dx π π − + ∫ 1) 1 4 1 21 x x dx − + ∫ IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: 89 1 C y 2 C y 2 C x 1 C x ] dxxgxfS )()( [ ∫ −= b a [] ∫ −= b a dyygyfS )()( Tính diện tích của các hình phẳng sau: 1) (H 1 ): 2 2 x y4 4 x y 42 ⎧ =− ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 2) (H 2 ) : 2 yx4x3 yx3 ⎧ = −+ ⎪ ⎨ =+ ⎪ ⎩ 3) (H 3 ): 3x 1 y x1 y0 x0 − − ⎧ = ⎪ − ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ 4) (H 4 ): 5) (H 2 2 yx xy ⎧ = ⎪ ⎨ =− ⎪ ⎩ 5 ): 2 yx y2x ⎧= ⎪ ⎨ = − ⎪ ⎩ 6) (H 6 ): 2 yx50 xy30 ⎧ + −= ⎨ + −= ⎩ 7) (H 7 ): lnx y 2x y0 xe x1 ⎧ = ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎪ = ⎪ ⎩ 8) (H 8 ) : 2 2 yx 2x yx4 ⎧ =− ⎪ ⎨ x = −+ ⎪ ⎩ 9) (H 9 ): 2 33 yx x 2 yx ⎧ 2 = +− ⎪ ⎨ ⎪ = ⎩ 10) (H 10 ): 11) 2 y2yx0 xy0 ⎧ −+= ⎨ += ⎩ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= = )( 2:)( :)( Ox xyd xyC 12) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =Δ = = 1:)( 2:)( :)( x yd eyC x V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. Công thức: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =Δ =Δ = = bx ax xgyC xfyC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =Δ =Δ = = by ay ygxC yfxC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1 x y )(H a b )(:)( 1 yfxC = )(:)( 2 ygxC = a y = by = O y x x )(H a b )(:)( 1 xfyC a = = )(:)( 2 xgyC bx = O = b a x y 0 = x O )(:)( yfxC = by = a y = a b 0 =y )(:)( xfyC = b a x = bx = x y O [] dxxfV b a 2 )( ∫ = π [] dyyfV b a 2 )( ∫ = π Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x 2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0 = =− = Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4 2 y(x2)=− Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 22 4;yxyx2 = −=+. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2 2 1 ; 12 x yy x == + Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Hết 90 . tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản • Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác. F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: [] () () () () b b a a f xdx Fx Fb Fa==− ∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: • Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x). 0 b a fxdx = ∫ • Tính chất 2: () () ba ab f xdx f xdx=− ∫∫ • Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên [ ] ;ab thì: () b a cdx c b a = − ∫ • Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;ab