Đề tài nghiên cứu khoa học: Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân hàm

1.Mục tiêu nghiên cứu: - Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc giải được của hệ phương trình vi phân hàm hoặc phương trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm được xây dựng bằng p

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

ĐÈ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CÁP BỘ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

ĐÈ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CÁP BỘ

— BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO _

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HÒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

DE TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HOC CAP BO

Tham gia thực hiện đề tài:

GS.TS Bedrich Puza Trường Đại học tông hợp Masaryk Cộng hòa Czech.

MỤC LỤC

MỤC LỤC - 52-56 SE S211E111211111211111211 111 11 T11 1 1 1 1 111111111 gay 3 TÓM TAT KET QUÁ NGHIÊN CUU - 2-2 + EEE£EE£EE£EE£EEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEErEkrrrrrkee 4

SUMMARY - ¿- 5c s1 1121112112111 11 11 11 T1 11 g1 T11 111 T1 T1 1n 1 gay 6

NỘI DUNG CUA BAO CÁO - ¿52 2S 2E12115112112111111111111111111.1111111111 11c 8 TAI LIEU THAM KHAO ouccececcescessessessessessesssssessesssssssscsvssucsuesucssesussussussussatssesaeeseeseeateaveaees 19 :180809 22 21

_ TÓM TÁT KET QUA NGHIÊN CUU

DE TAI KHOA HỌC VA CÔNG NGHỆ CAP BQ

Tên dé tai: Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân ham

Mã số:B2007-19-18.

Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Nguyễn Anh Tuấn

Tel: 08.330124 E-Mail: nguenanhtuan2512@Gmail.com.

Co quan chủ trì đề tai: Trường Dai hoc Sư phạm Tp Hồ Chí Minh

Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện:

Giáo sư,Tiến sỹ Bedrich Puza, bộ môn toán giải tích, khoa khoa học, trường Đại học tong hop Masaryk Cộng hòa Czech.

Thời gian thực hiện: tư tháng 4/2007 đến tháng 4/2009.

1.Mục tiêu nghiên cứu:

- Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc giải được của hệ phương trình vi phân hàm hoặc phương trình vi phân hàm bậc cao với điều kiện biên dạng hàm được xây dựng bằng

phương pháp đánh giá tiên nghiệm.

2.Nội dung chính:

- Nghiên cứu điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên cho

hệ phương trình vi phân thường với điều kiện biên dạng hàm được xây dựng bằng

phương pháp đánh giá tiên nghiệm.

- Xây dựng một tiêu chuẩn hiệu quả cho việc giải được của hệ phương trình vi phânvới điều kiện biên dạng hàm được xây dựng bằng phương pháp đánh giá tiên nghiệm.

- Nghiên cứu điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phânhàm bậc cao với điều kiện biên được xây dựng bằng phương pháp đánh giá tiên

Kết quả chính của đề tài thu nhận được gồm bốn bài báo sau:

1).B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a bounảary value problem for system of ordinary differential equatons, East-west Journal of Matematics,Vol.6 No.2 (2004), 139- 151.

2).Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value

problems for a system of ordinary differential

equations East-west Journal of Matematics,Vol.7 No 1 (2005), 69-77.

3) Nguyễn Anh Tuan, Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân bậc cao, Tap chí KHOA HOC.DHSP.TP.HCM, số 4(38), 2004 51-59.

4) Nguyễn Anh Tuan, Một tiêu chuẩn hiệu quả về tính giải được của bai toán biên cho phương trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chi KHOA HỌC DHSP.TP.HCM, số 8(42),2006 62-

69.

Implementing Institution: Ho Chi Minh City University of Pedagogy.

Cooperating Institution: Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science,

Masaryk University Individuals attend the subject:

Bedrich Puza, Prof.Ph.D., Department of Mathematical Analysis, Faculty of Science, Masaryk University.

Duration: From April, 2007 to April, 2009.

1)Objectives:

Studying sufficient conditions of solvability of boundary value problem for system of

ordinary differential equations or for functional differential equations of n-th order with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates.

2) Main contents:

-Studying sufficient conditions of existence and uniqueness of the solutions of boundary value problem for systems for ordinary differential equations with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates.

-Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problem for system of ordinary differential equations with functional boundary conditions constructed by

method of priori estimates.

-Studying sufficient conditions of existence and uniqueness of the solution of

boundary value problem for functional differential equations of n-th order with functional

boundary conditions constructed by method of priori estimates.

- Constructing an effective criterion of solvability of boundary value problem for functional differential equations of n-th order with functional boundary conditions constructed by method of priori estimates.

Results obtained:

The main results had got as follows:

1) B.Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary valueproblem for system of

ordinary differentiai equations, East-west Journal of Matematics,Vol.6 No.2 (2004),

139-151.

2) Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value problems for a system of ordinary differential equations East-west Journal of Matematics, Vol.7 No 1 (2005) 69 - 77.

3) Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problem functional differential equations

of n-th order, Journal of science, Ho Chi Minh city university of Pedagogy, Vol 4 (38) 2004).51-59.

(12-4) Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value problems functional differential equations of n-th order Journal of science, Ho Chi Minh City university of Pedagogy, Vol.8.(42) (7-2006).62-69.

NOI DUNG CUA BAO CÁO

I.Tính cấp thiết và tong quan về đề tài:

Lý thuyết bài toán biên cho phương trình vi phân hàm ra đời từ thế kỷ 18 như một công cụ để giải quyết các bài toán vật lý, cơ học Tuy nhiên đến nay nó còn phát triển mạnh nhờ các ứng dụng rộng rãi và to lớn trong các lĩnh vực khác nhau của cuộc sống như: vật lý,

cơ học, kỹ thuật công nghệ, nông nghiệp, sinh học và kinh tế

Song nghiên cứu và phát triển theo hướng này thực sự phát triển mạnh và thu được nhiều kết quả mới bắt đầu từ năm 1997 do nhóm các nhà toán học Grudia và Cộng hòa Czech dưới sự dẫn dắt của giáo sư viện sỹ I.Kiguradze, viện trưởng viện toán hoc Tbilisi Các công

trình khai phá cho hướng nghiên cứu này được trình bày trong các công trình như [1],[2],[3],

L10]

Bài toán biên cho phương trình vi phân với điều kiện biên dạng hàm trong các năm gần đây đã đạt được một số kết quả trong [10], [11 ]

II Nội dung chính của đề tài.

Nội dung chính của dé tài gồm hai phan: bài toán biên cho hệ phương trình vi phân và bài toán biên cho phương trình hàm bậc cao với cùng điều kiện biên dạng hàm được xây dựng bằng phương pháp đánh giá tiên nghiệm Xét bài toán biên cho hệ phương trình vi phân:

2, (FY (1,3 ) (i=1, ,n) (1)

với điều kiên biên:

0.18 =m„6 Ì (i=1, ,n) (2)

Trong đó với mỗi i €{1, n} hàm f; :[a,b] x R—>R thỏa điều kiện Caratheodory, ®; là

phiếm hàm tuyến tính không giảm trên không gian C([a,b]) và tập trung trên đoạn [a¡,b;] © [a,b] (có nghĩa là giá trị của hàm ®; chỉ phụ thuộc vào hàm số thu hep với đoạn [a;,b;] và đoạn này có thé suy biên thành một điểm) và g; là hàm số liên tục trên không gian C„([a,b]).

Trường hợp đặc biệt của điều kiện (2) là:

Điều kiện biên nhiều điểm

K(f =O; (Rare, ) (i=1, ,n) (3)

®,(x,)=c,, (eeR) — (=l, n) (4)

hay đặc biệt hơn là điều kiện biên dạng Cauchy-Nicoletti

x(f,)=c, (ceeR) (=I, n) (5)

Cac bài toán (1), (5) đã được nghiên cứu trong [16], [17], Bài toán (1), (3) đã được nghiên

cứu trong [16], [17] Tương tự bài toán (1), (4) đã được nghiên cứu trong [17]

Các kết quả chính cho bài toán biên (1), (2) được đăng tải trong các bài báo [14], [15] Sau đây ta nhắc lại một số kết quả chính mà tác giả đạt được trong bài báo [ 14].

Định nghĩa 1 Giả sử G= (g;)”;-¡ : C([a,b]) — R",

H =(h, i : [a,b] > RƑ” và wy =(y,)",: C,([a,b])— R;

‘jel + là toán tử

thuần nhất dương không giảm Ta nói

(G,H,W)e Nic, ([a,b];a, 2„„bị„ ,b„ ) (6)

nếu hệ bất phương trình vi phân

với điều kiện biên

min{|x, (:): a,<t< b,} <y, (|x, (t) x, (t) ), Œ=I n) (8)

Trong đó œ;: [a, b] xR„—> R„ là hàm số đo được đổi với biến thứ nhất và không giảm đối vớibiên thứ hai,r, : R„ —> R, là hàm số không giảm và thỏa:

a l

lim — |, (4, 9)dt =O0= lim —r (i=l, , 11

im = Je,ứ.2) tim —”(2) GE1 n) 1)

Khi đó bai toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm

Định lý 2 Giả sử các bất đăng thức sau được thực hiện :

với a<†?<b,,xị =(x,,)_, €R",x, =(x,,)., ER", (i=l, n).

Trong đó G= (zg, )ˆ, : H=(h Ve „ P=(y, y thỏa điều kiện (6).

J

Khi đó bai toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm Đề chứng minh các định lý 1, 2 ta dựa vào

bỏ dé đánh giá tiệm cận sau:

Bỏ dé 1 Giả sử điều kiện (6) được thực hiện Khi đó với mỗi hằng số đương r, > 0 @, €

L({a.b],R,) va với mỗi X € AC, ([a,b]) thỏa các bat đẳng thức sau :

min {|x, (z)|: a, Sts b,} <

(14)

sy, (|x, (i) x, (t)|)+ r, (i=1, ,7)

đều tồn tại hằng số đương p > 0 sao cho đánh giá sau xây ra:

b

ll qesy of + Je.(92| (15)

Trong bài báo [15] ta sé xây dựng các tiêu chuẩn hiệu quả đề bài toán (1) (2) là giải được

Các kết quả chính của bài báo gôm các định lý sau:

Định lý 3 Giả sử trên [a,b] x R° ta có:

h,el* ([a,4],R,), p, 21, ve =], 4 $4,, t, €R,,(i.j =1, n)

@œ;: [a, b] x R — Ry, r,:R, —» R, (i=1, ,n) thỏa các diéu kiện trong định lý 1 và bán kínhphô của ma trận S=(S)"¡;-:

s, =(b- a)” r, +(b- ay’* (4440) hy» (inf = 1 n)

Wy = max qa ap |» ,„„p} (d= bev)

bé hơn 1 Khí đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm

Định lý 4 Giả sử trên [a,b] x R° các bất đăng thức sau được thực hiện:

Trong đó A, € L ([a,b],K,), ty €R,, (¡,/ = 1,5”) thỏa các digu kiện của

định lý 3 Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm

Định lý 5 Giả sử trên [a,b] x R° ta có:

Q,: [a,5]xR, —>R,„:, — R,., (i,j =1, 2) thỏa các điều kiện trong

định lý 1 và là các phiém hàm không giảm, thuần nhất đương Hơn nữa bán kính phỏ của các

ma trận

#“=(y;)=(zw,0),‘ysl

Khi đó bài toán (1), (2) có ít nhất một nghiệm.

Định lý 6 Gia sử trên [a, b] x Ry các bat dang thức sau được thực hiện:

[Ai (¥en) //(f Xa» X2, ) ing (4, — x;,) €

Trong đó hy, W,g, (i,J=1, 0) thỏa các diéu kiện của định lý §

Khi đó bài toán (1), (2) có duy nhất một nghiệm

Trong phan hai của dé tài chúng ta nghiên cứu tính giải được của phương trình vi phân hàmbậc cao với điều kiện biên như trên

Xét phương trình vi phân hàm bậc cao sau :

ưu" %= f(u)() (24)

với điều kiện biên đạng hàm:

®, (uv) = ø,(w) (i=1,2,.,n) (25)

Trong đó toán tử f: C""({a.b]) —>L({a,b]), (i = L.2 n) thỏa man điều kiện Carathéodory

Với mỗi ¡ € {1, n} phiém ham ®, trong (2) là tuyến tính, liên tục, không giảm trong khônggian C({a, b]) và tập trung trong đoạn [a;,b,] € [a,b] (có nghĩa 1a gia trị của phiém ham ®, chiphụ thuộc vào ham sé thu hẹp đối với đoạn [a,, b,] va đoạn này có thé suy biến thành một

diem)

Ta luôn có thé gia thiết ®, (1) = 1 Trong điều kiện (2) các phiém ham 4 (i= 1, 2, , n) là

liên tục trong không gian C"" ([a, b})

Các trưởng hợp riêng của điều kiên biên (25) là:

Điều kiện biên dang Cauchy-Nicoleti

u(t, )=9,(u) — (i=1,2, n) (26)

hay diéu kién bién dang tuan hoan

Au! (a) +yu(b)=0 (i=1,2, n).

Nghiệm của bài toán (24), (25) là hàm số có đạo hàm đến cấp (n-L) liên tục tuyệt đối trên

đoạn [a,b] và thỏa phương trình (24) hau khắp nơi trên đoạn [a,b] và thỏa điều kiện biên (25)

Định nghĩa 2 : Giả sử

ƒ,:C; ([a,b]) > L([a.b].R.) w„:C¿ ([a.5])—> R (f= 1 m)

là các toán tử không giảm, liên tục và thuần nhất đương, g(t) € L{[a.b]) Nếu hệ bat phương

trình vi phân

|ø',()| <|ø'„(t)|,a< t <b, (iE1,2, n-1)

; (27)

Đa (:)- ø(t)ø, (¿)| < f, (|o.|.|o:| |„|)(r) astsb

với điều kiện

min|2,()| :a St <b,} < y,(|],[0,], |0,|) (El2 n) (27)

chỉ có nghiệm tầm thường, chúng ta nói rằng:

(8, fy Vi» Wn) Nic ([a, b], a, , a,, b,, , bạ) (28)

San phan chính của phan này là các kết quả sau đây:

Định lý 7: Giả sử

(gf Vi, , ‘Pa € Nic ({a, bị, a), a,, bị bạ)

va Lọ của bài toán (24), (25) thực hiện các điều kiện sau :

[f(u)(t)- g(t) u'(t)] sign u"°(t)<

với mọi u € C"” ([a,b]) , (¡ = 1,2 n).

Trong đó hàm SỐ @ : [a, b] xR, —+R là đo được đối với biến thứ nhất và không giảm

đối với biến thứ hai, hàm số r: R.~»R, là không giảm và thỏa

°

lim ~ foo (t,o) dt = 0 = lim 1 +(p) (31)

pms Pp - 2>+e 0

Khi đó bai toán biên (24), (25) có it nhất một nghiệm

Định lý §: Giả sử điều kiện (28) được thực hiện va foọi, , của bài toán (24), (25) thỏa các

điều kiện sau :

[f(u) (t) - f(v) (t) -g(t) (u“"(t) - v(t) sign(u? (t) - v*(9)

< f (| - vị, qf " v"Ì)(t)

với a, St <b„u,v EC" ([a.b]) (32))

[f(u) (t) - f(v) (t) —g(t) (u(t) - vr (t)] sign(uTM” (t) - vi" (t))

>~ f, (|¿—v|, lu"""— v®°l(t)

với a <t< bạ, uv eC"! ([a,b]}) (32)

lọ, (u) - @¡ (v) | <w;(u-vÌ, Non vfĐ[

với mọi u,v € C"”({a, b]) (33)

Khi đó bài toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm

Định lý 9, Giả sử các điều kiện sau là được thực hiện:

f0)()sing w(t) s Yh, (Du (0) dh (ss, (ul? )(o)|+

Trên C!°({a,b]) điều kiện sau đợc thực hiện

le, («)| s 2 d se" "k : moe (35)

khi ue ote ([a,b]) (i=1,2, ,n ).

Trong đó r, rụ (1,J=l,2 ,n) là các số thực không âm œ:[a,b] x R, — R, là hàm đo được đo đốivới biến thứ nhất và không giảm doi với biến thứ hai và thỏa điều kiện (31).

h,ke I? ([ab],R, ), p2l Np vở =1,7,€AC{[ab]) ú=12 n) là đơn điệu và

?- )

2(b-›=#*`{@-a)' '$[ 20-2)" (f[a.)».‹

m=! ““ hei

Khi đó bài toán (24), (25) có ít nhất một nghiệm.

Định lý 10 Giả sử các bắt đăng thức sau được thực hiện:

[Z@)Œ)- £ (OD) sign[ uP (1)- vf9œ)]s

‹ > h,(O|¿'2Œ)- vO) + x k,(t)|S,, (wo? - v9-9)0)

Trong đó các ham số h;, k; và các hãng sé tị ,Š¡ Va 8) (1,j=l,2 n) thỏa các điều kiện trong

định lý 9.

Khi đó bai toán (24), (25) có duy nhất một nghiệm

Các kết quả trên được chứng minh day đủ trong hai bài báo sau [12] [13] được đăng

trên tạp chí khoa học của trường.Tuy nhiên các kết quá còn đúng hay không cho bài toán biên

dạng vall-Pussil hay bài toán biên không chính qui đến nay vẫn còn chưa được tiếp tục xem

xét Các kết quá trên cho phương trình vi phân cũng được tắc giả xem xét trong [10], [11]

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 L.Kiguradze and B.Puza, On boundary value problems for systems of linear functional differential equations, Czechslovak, Math, J, 47 (1997), No.2, 341- 373.

2 LKiguradze and B.Puza, Conti -Opial type theorems for systems of functional

differential equations (Russian) Differentsialnye Uravneniya, 33 (1997), No.2, 185 - 194.

3, L.Kiguradze and B, Puza, On the sovability of nonlinear boundary value problems

for fuctional differential equations Gcorglan Math, J, 5 (1998) No, 3251- 262.

4, E.Barvyi, A.Lomtatidze, B.,Puza A not on the theorem on differential inequalities,

Georgian Math, J, 7(2000), No.4, 627 - 631.

5, R.Hakl, On bounded solutions of systems of linear functional differential equations,

Georgian Math, J, (1999), No.5, 429 - 440.

6 R.Hakl, On some boundary value problems for systems of lincar functional

differential equations, E.LQualitative Theory of Diff Equ (1999) No 10, 1-16.

7, R.Hakl, I Kiguradze, B,Puza, Upper and lower solutions of boundary value

problems for functional differenial equatons and theorems on functional differential

inequalities, Georgian Math, J, 7(2000), No.3 489 - 512.

8 R.Hakl, A.Lomatatidze, B.Puza, On periodic solutions of first order linear

functional differential equations, Nolin.Anal: Theory, Meth & Appl 49(2002), 929 - 945,

9, L.Kiguradze, B.Puza, On boundary value problems for functional differential

equations, Mem, Differential Equutions Math, Phy 12 (1997), 106-113.

10 Nguyễn Anh Tuan, On one class of sovable boundary value problems for ordinary

differential equation of n-th order, Comment Univ Carolin 35, 2 (1994), 299 - 309.

11 Nguyễn Anh Tuan, On an effective criterion of solvability of boundry value

problems for ordinary differential equation of n-th order Arch Math 41 (2005), No

451-460,

12 Nguyễn Anh Tuấn, Một lớp bài toán biên cho phương trình vi phân ham bậc cao,

Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Tp.HCM số 4(38), 2004

13 Nguyễn Anh Tuấn, Một tiêu chuẩn hiệu quả vẻ tính giải được của bai toán biên

cho phương trình vi phân hàm bậc cao, Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP Tp.HCM số 8 (42),

2005.

14 B Puza and Nguyen Anh Tuan, On a boundary value problem for system of

ordinary differential equations, East-west Journal of Matematics, Vol 6 No.2 (2004),

139-151.

15 Nguyen Anh Tuan, An effective criterion of solvability of boundary value

problems for a system of ordinary differential equations East-west Journal of

Matematics, Vol.7 No 1 (2005), 69-77.

16 LKiguradze, Some singular boudary value problem for ordinary dif-ferential

equations, (in Russian), Tbilisi Univ Press, 1975.

17 LKiguradze, Boundary value problems for systems of ordinary differential

equations (in Russian), Sovremennye Problemy matem., T30 (Itogi nauki I tech.,VINTTI,

ANSSR, Moskva, 1987, 3-203).

PHỤ LỤC

Chiang Mai University

Chiang Mai 50200 Thailand

BANGKOK - KHON KAEN

THAI LAND

ISSN 1513-489X

East - West J.of Mathematics : Vol 6, No 2 (2004)pp 139-151

ON A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR

A SYSTEM OF ORDINARY DIFFERENTIAL

New sufficient conditions of the existence and uniqueness of the so-lution of a boundary problem for a

system of ordinaxy differential equa-tions with certain functional boundary conditions are constructed by the method of a priori estimates.

Introduction

In this paper we give new sufficient conditions for the existence and the unique-ness of the

solution of the problem

z(t) = fi(t,z1, ,2n) (=1, ,n) (1)

®o¡(Z¡) = 9i(z1, Fn) G= 1, ,n) (2)

where for each i €{1, n} f: (a, b)xR° — R satisfies the Carathéodory conditions, ®,; - the

linear nondecreasing continuous functional on C((a,b)) is concentrated on (a;, b) S (a, b)

(i.e the value of ©, depends only on functions

Key words: boundary value problem with functional condition, functional differential equation, method of

priori estimates, differential inequalities.

2000 AMS Mathematics Subject Classification: 3415, 34B 10.

139

140 On a boundary problem for a system of ODE’s

restricted to (aj, bị) and the segment can be degenerated to a point) and @; is a continuous

functional on Ca((4, b)) In general Bg 1) = Cj (i = I, ,n) Without loss of generality we can

suppose ®a¡=l(¡=l, m), which simplifies the notation.

Special cases of the conditions (2) are presented by the series of formerly investigated

Problems (1), (5) and (1), (6) were studied in the papers [4], [5] Problem (1), (3) was

studied in [5], [6], [8] and [9], problem (1), (4) in [2], [3], similar results are also published in

[I].

Main result

We adopt the following notation:

(a, b}-a segment, 00 < @ < aj <b < b < +00 (i = 1, ,n), R", then-dimensional real

space with points x = (x;)/L, normed by, Jz|| = ° |z{

int

R? = {rE R": 27, >0, f= 1,005};

C.((a, b)) and AC, ({@, b)) are, respectively, the spaces of conunuous and ab-solutcly

continuous n-dimensional vector-valued functions on (a,b) with the norm

"

lIzllc„¿asy› = max { > |r.()| : a < £ < b},

im]

C*({a,b)) = {x € C({a,b}) : z(t) 2 0,a St < b}

L?((a, b)) is space of functions integrable on (a, b) in p-th power with the norm

B PuZa and Nguyen Anh Tuan lái

If x= (X,/(0)n,=L € C,((a, b)) and y = (y,(t))n=1 € C;((a, b)), then x < y if and only if

x(t) < y;(Ù for all t € (a, b) and i = 1, n K((a, b)) is the set of functions g : (a,b) X R" =R

satisfying local Carathédory conditions, i.e if g € K((a, b)),g(.,X) is measurable on (a, b) for

each x € B®, g(t,.) is continuous in rn for almost all t € (a, b), and

sup([@(.,z)| : lz|| < ø} € Li{a,4)) for ø € (0, +00)

Let us consider the problem (1), (2) Under the solution we understand abso-lutely continuous

n-dimensional vector-valued function on (a, b), which satisfies the equation (1) for almost all

t € (a, b) and fulfils the boundary conditions (2).

Definition Let G = (g¡)ƒ-; : C{a,b) > R",H= (hụ)jj~¡ : (a,b) > R$X”" and W = (i),

: C,((a, b)) > RY is a positively homogeneous nondecreasing operator We say that

(G,H,¥) € Nico((a, 6); a1, ,aa,y, va) (7)

if the system of differential inequalities

Iz4(£) — gi(tzi(t)] < D> hụ(£)|z;(E)| for at << (¡=1, ,n) (8)

j=l

with boundary conditions

min{|z/(f)| : a < t < b,} < W(|z:(Đ| - |za(Đ)|) (@=1, .,n) (9)

has only trivial solution

Theorem 1 Let the inequalities

[fi(t,21, ,2n) — gilt)xs] sign 2; > — pa h¿;(E)Íz;| — wilt, > |x!)

142 On a boundary problem for a system of ODE’s

hold, where G = (g,)"}=1, H=(hj)")j" 1] and W = (W;)”;-¡ satisfy the condition (7), the functions

@ ; (a,b) x R,>R, (i = 1,2, n) are measurable with regard to the first and nondecreasing to

the second argument,r: R —> R, are nondecreasing and

*

„lim, = [osteo =(Q= lim, =nio) (im 1, ,n}) (12)

then the problem (1), (2) has at least one solution.

For the proof of the Theorem | we need two following assertions and the first is

similar to lemma 4.1 from [4] about differential inequality with boundary conditions of

Cauchy type.

Lemma | Let #`(tyi ya)€K((4, bì), g`(,Y,- ,Yn) sign (t-t,) be nondecreasing to arguments

Vis ¥2 yee ¥ied sNiets s¥n and each solution of the problem

Yom g(t yay Un) (== 1, ,n) (13)

(ti) = c i =1, ,n) (14)

Where t; € (a,b) ,c¡ € R (i=1, n) can be extended in the whole segment (a, b) Then for

cach solution (xi(t))"j.1 € AC, ((@, b}) of the problem (15),(16)

B PủZa and Nguyen Anh Tuan 143

holds for each constant r„ > 0, oy € L((a, b),R,) and for each solution x € AC,((a, b)) of the

Proof By contradiction let n, €R,,@¿ € Lia, b},R,) and x¿= (xa)”;.¡ € ACa((œ, b}) exist for

any natural k, such that

144 On a boundary problem for a system of ODE’s

We get

ll@xbon¢(a.sy) = 1 and |0 Í[r((aay) Š i (23)

On the other hand according to (21), (22)

[Fie (t) = gilt)Zin(t)] sign Z(t) <

< Yas tesa +cn(t) fay st<b (im 1, n) (24)

jel

(2in(t) = ge(t)Fie(t)] sign Zie(t) >

> - Shy lthzu( cee) Ífa <t<b, (=d, ,n) — 8)

Now for any i € (1, , n) and a natural k we choose a point tụ € (a, b;) such that

Fee (te)| = min{|zue(t)| : & < ¢ < dy} (26)

then from (24), (25) and (26), we have

[Fie (tie)| < (#a¿|, Í#ax|) + ĩ (i= 1, ,n) (28)

Let(yjg)ƒ_; be the solution of the Cauchy-Nicolotti problem

Vin(t) = gilt) yale) + fray (t) [Fin (t)| +k ( tk [x J (29)

+cn(1)] sign (t= te) (2 = 1, - 67)

B PủZa and Nguyen Anh Tuan

vie (tin) = l#Zu(tz)| (ï = l, ,n)

then according to Lemma | and to the condition (27)

|#¿(#)| < ww(#) for a<‡<b_ (¢=1, ,n)

Formulae (29), (30) and (31) vield

welt) < exp ( J (5) đ)|Ea(ta)| +

+| j edi si(3)4a | = hij (7) Ee (7)| + Zx(z)|4r|

According to (23), (29) and (32), we obtain

|wa(t)| < r fora<t<b, (i=1, ,n) (k=l1,2,

146 On a boundary problem for a system of ODE’s

Iwua(tia)l € 940 same) + 2 (i=l, ,n), (£=1,2, ) (37)

From (34) and (35), it follows that the sequences {yi )},=)” (i = 1, ,.n) are uniformly bounded

and unifonnly continuous According to the Lemma of Arzela-Ascoli, we can suppose

without the loss of generality that these se-quences uniformly converge The sequences of

points {vz}x=¡” (i=1, 0) can be taken convergent as well Denoting

tim tá = ho (i=1, ,n) (38)

and

„im wel?) =yolt) (‡= 1, ,n)

Clearly

tio € (ai, bi) {i = l, ,n) (39)

Passing to the limit in the inequalities (33) and (37), using (23) we obtain

yo(tio) < t(Mo› see > Uno) (i - 1, n) (41)

Let us introduce the functions

B PủZa and Nguyen Anh Tuan 147

From (39) - (43) it follows that (y;(Q)”;-¡ is a solution of the problem (8) (9).

Therefore according to the condition (7)

vi # 0(i=1, ,n)

On the other hand, (36) and (40) imply

ll(y,()Ê,., IlCm((a,b)) >I

which is a contradiction and the lemma is proved ©

Proof of Theorem 1 Let ø be a constant from Lemma 1 Firstly, we want to show that there

exists a constant @,>0 such that

ñ⁄(t,za,- v#a) = X(I|£l)ƒ,Zà, - ›#a) — (4s)

~øi(8)z¡| for z = (z)ạ ER", (í=1, n)

148 On a boundary problem for a system of ODE’s

PilTry +++ Tn) = X(IN lloras )PilZ2- + v#n)

for x = (x)Pay € Ca((a,b)), (f= 1, ,n) (46)

We consider the problem

Ví = 9) + Ñ(t,Vì, - sta): (i= 1, ,n) (47)

Poi(yi) = Pilti, - yn) (2 1, ,n) (48)

From (45) and (46), it follows immediately that fi: (a,b) x R"— Rú= 1 , n) satisfy the

local Carathéodory conditions, @,: C,({a,b}) > R (i=1, , n) are continuous functionals,

fo(t) = suf{|fi(t,21, - 2n)] : (zs), € R"} €

€ L({a,b)) {i=1, ,n) (49)

and

“= sup{|i(z., - »Zn)l ize Ca((a,5))} < +00 Œ =1, ,„n) (50)

We want to show that the homogeneous problem

w=galthy — (Ì=1, ,n) (47o)

has only trivial solution Let ÿ= (jj )"\-1 be an arbitrary solution of this

problem, Then y(t) =C, exp ( in g;(t)dt ) where C, =const (i =1, ,n).

According to (48,) ỉ

a.#e (sp Í a(z)#r) =0 (i=1, ,n)

However, if Mp, (i =1, n) are nondecroasing functionals and ® (1) = 1(i=1, n), we have

b

So:( exp / a(ridr) 2 ep (— f latte) Gout) > 0 @=, n)

Consequently

¥i(t) =0 (i=l n)

B PủZa and Nguyen Anh Tuan 149

Using Lemma 2.1 from [3], we obtain that the conditions (49) and (50) and the unicity of

trivial solution of the problem (47,), (48,) guarantee the existence of solutions of the problem

(47), (48) Let (y,(0)"=1 be the solution of the problem (47), (48), then

lvi(£) = ø(9)w(Đ)] sign wá(#) = #(tvi(9), ,a(9) sign y(t)

=x(5Iw(9|)Uitt.va(9) yale) = ø(()w(9)] sigm y(t)

lullcaccauy € elr(2ø) + f(t, 200)at] < œ

Consequently x3 |w/(£)|) = 1 when a < t < b and

X(lvlÌc„¿a+;)) = 1

Putting these equalities into (45) - (48), we obtain that (y,)n=1 is a solution of the problem

(1), (2) The Theorem 1 is proved 0

Theorem 2 Let the inequalities

(5Œ, - „Tin} = Flt, za „2n )| am

~ø(9|=u — 2a) sign [su =zm] < Šhạ(0l=u—sụ| — CHỈ

j=!